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甘肅省白銀市景泰縣2024屆高三最后一模數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫(xiě)清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效;在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4.作圖可先使用鉛筆畫(huà)出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知斜率為k的直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)交于A,B兩點(diǎn),線(xiàn)段AB的中點(diǎn)為,則斜率k的取值范圍是()A. B. C. D.2.將函數(shù)的圖象分別向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度與向左平移(>0)個(gè)單位長(zhǎng)度,若所得到的兩個(gè)圖象重合,則的最小值為()A. B. C. D.3.設(shè),,,則的大小關(guān)系是()A. B. C. D.4.函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線(xiàn)為,則在軸上的截距為()A. B. C. D.5.已知m,n為異面直線(xiàn),m⊥平面α,n⊥平面β,直線(xiàn)l滿(mǎn)足l⊥m,l⊥n,則()A.α∥β且∥α B.α⊥β且⊥βC.α與β相交,且交線(xiàn)垂直于 D.α與β相交,且交線(xiàn)平行于6.已知的值域?yàn)?,?dāng)正數(shù)a,b滿(mǎn)足時(shí),則的最小值為()A. B.5 C. D.97.給甲、乙、丙、丁四人安排泥工、木工、油漆三項(xiàng)工作,每項(xiàng)工作至少一人,每人做且僅做一項(xiàng)工作,甲不能安排木工工作,則不同的安排方法共有()A.12種 B.18種 C.24種 D.64種8.已知為拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn),拋物線(xiàn)上的點(diǎn)到的距離為,點(diǎn)的坐標(biāo)為,則的最小值是()A. B.4 C.2 D.9.若函數(shù)的圖象如圖所示,則的解析式可能是()A. B. C. D.10.在中,“”是“為鈍角三角形”的()A.充分非必要條件 B.必要非充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件11.已知函數(shù),若,則的最小值為()參考數(shù)據(jù):A. B. C. D.12.閱讀如圖的程序框圖,運(yùn)行相應(yīng)的程序,則輸出的的值為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在數(shù)列中,,,曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn),下列四個(gè)結(jié)論:①;②;③;④數(shù)列是等比數(shù)列;其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是______.14.已知在△ABC中,(2sin32°,2cos32°),(cos77°,﹣cos13°),則?_____,△ABC的面積為_(kāi)____.15.記實(shí)數(shù)中的最大數(shù)為,最小數(shù)為.已知實(shí)數(shù)且三數(shù)能構(gòu)成三角形的三邊長(zhǎng),若,則的取值范圍是.16.如圖,棱長(zhǎng)為2的正方體中,點(diǎn)分別為棱的中點(diǎn),以為圓心,1為半徑,分別在面和面內(nèi)作弧和,并將兩弧各五等分,分點(diǎn)依次為、、、、、以及、、、、、.一只螞蟻欲從點(diǎn)出發(fā),沿正方體的表面爬行至,則其爬行的最短距離為_(kāi)_______.參考數(shù)據(jù):;;)三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)如圖,三棱臺(tái)中,側(cè)面與側(cè)面是全等的梯形,若,且.(Ⅰ)若,,證明:∥平面;(Ⅱ)若二面角為,求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.18.(12分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,曲線(xiàn)C的參數(shù)方程為(m為參數(shù)),以坐標(biāo)點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線(xiàn)l的極坐標(biāo)方程為ρcos(θ+)=1.(1)求直線(xiàn)l的直角坐標(biāo)方程和曲線(xiàn)C的普通方程;(2)已知點(diǎn)M(2,0),若直線(xiàn)l與曲線(xiàn)C相交于P、Q兩點(diǎn),求的值.19.(12分)選修4—5;不等式選講.已知函數(shù).(1)若的解集非空,求實(shí)數(shù)的取值范圍;(2)若正數(shù)滿(mǎn)足,為(1)中m可取到的最大值,求證:.20.(12分)已知橢圓的上頂點(diǎn)為,圓與軸的正半軸交于點(diǎn),與有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)且都在軸上,(為坐標(biāo)原點(diǎn)).(1)求橢圓的方程;(2)已知點(diǎn),不過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線(xiàn)與橢圓交于兩點(diǎn),證明:直線(xiàn)與直線(xiàn)的斜率互為相反數(shù).21.(12分)如圖1,在邊長(zhǎng)為4的正方形中,是的中點(diǎn),是的中點(diǎn),現(xiàn)將三角形沿翻折成如圖2所示的五棱錐.(1)求證:平面;(2)若平面平面,求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值.22.(10分)設(shè)直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于兩點(diǎn),與橢圓交于兩點(diǎn),設(shè)直線(xiàn)(為坐標(biāo)原點(diǎn))的斜率分別為,若.(1)證明:直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo);(2)是否存在常數(shù),滿(mǎn)足?并說(shuō)明理由.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】
設(shè),,,,設(shè)直線(xiàn)的方程為:,與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立,由△得,利用韋達(dá)定理結(jié)合已知條件得,,代入上式即可求出的取值范圍.【詳解】設(shè)直線(xiàn)的方程為:,,,,,聯(lián)立方程,消去得:,△,,且,,,線(xiàn)段的中點(diǎn)為,,,,,,,,把代入,得,,,故選:【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系,考查了韋達(dá)定理的應(yīng)用,屬于中檔題.2、B【解析】
首先根據(jù)函數(shù)的圖象分別向左與向右平移m,n個(gè)單位長(zhǎng)度后,所得的兩個(gè)圖像重合,那么,利用的最小正周期為,從而求得結(jié)果.【詳解】的最小正周期為,那么(∈),于是,于是當(dāng)時(shí),最小值為,故選B.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)三角函數(shù)的周期與函數(shù)圖象平移之間的關(guān)系,屬于簡(jiǎn)單題目.3、A【解析】
選取中間值和,利用對(duì)數(shù)函數(shù),和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【詳解】因?yàn)閷?duì)數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞增,所以,因?yàn)閷?duì)數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞減,所以,因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)在上單調(diào)遞增,所以,綜上可知,.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查利用對(duì)數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小;考查邏輯思維能力和知識(shí)的綜合運(yùn)用能力;選取合適的中間值是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題、??碱}型.4、A【解析】
求出函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)后可得曲線(xiàn)在處的切線(xiàn)方程,從而可求切線(xiàn)的縱截距.【詳解】,故,所以曲線(xiàn)在處的切線(xiàn)方程為:.令,則,故切線(xiàn)的縱截距為.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及直線(xiàn)的截距,注意直線(xiàn)的縱截距指直線(xiàn)與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo),因此截距有正有負(fù),本題屬于基礎(chǔ)題.5、D【解析】
試題分析:由平面,直線(xiàn)滿(mǎn)足,且,所以,又平面,,所以,由直線(xiàn)為異面直線(xiàn),且平面平面,則與相交,否則,若則推出,與異面矛盾,所以相交,且交線(xiàn)平行于,故選D.考點(diǎn):平面與平面的位置關(guān)系,平面的基本性質(zhì)及其推論.6、A【解析】
利用的值域?yàn)?求出m,再變形,利用1的代換,即可求出的最小值.【詳解】解:∵的值域?yàn)?∴,∴,∴,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),∴的最小值為.故選:A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了對(duì)數(shù)復(fù)合函數(shù)的值域運(yùn)用,同時(shí)也考查了基本不等式中“1的運(yùn)用”,屬于中檔題.7、C【解析】
根據(jù)題意,分2步進(jìn)行分析:①,將4人分成3組,②,甲不能安排木工工作,甲所在的一組只能安排給泥工或油漆,將剩下的2組全排列,安排其他的2項(xiàng)工作,由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案.【詳解】解:根據(jù)題意,分2步進(jìn)行分析:①,將4人分成3組,有種分法;②,甲不能安排木工工作,甲所在的一組只能安排給泥工或油漆,有2種情況,將剩下的2組全排列,安排其他的2項(xiàng)工作,有種情況,此時(shí)有種情況,則有種不同的安排方法;故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查排列、組合的應(yīng)用,涉及分步計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.8、B【解析】
設(shè)拋物線(xiàn)焦點(diǎn)為,由題意利用拋物線(xiàn)的定義可得,當(dāng)共線(xiàn)時(shí),取得最小值,由此求得答案.【詳解】解:拋物線(xiàn)焦點(diǎn),準(zhǔn)線(xiàn),過(guò)作交于點(diǎn),連接由拋物線(xiàn)定義,
,
當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí),取“=”號(hào),∴的最小值為.
故選:B.【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線(xiàn)的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程,以及簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用,體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想,屬于中檔題.9、A【解析】
由函數(shù)性質(zhì),結(jié)合特殊值驗(yàn)證,通過(guò)排除法求得結(jié)果.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)B,為奇函數(shù)可判斷B錯(cuò)誤;對(duì)于選項(xiàng)C,當(dāng)時(shí),,可判斷C錯(cuò)誤;對(duì)于選項(xiàng)D,,可知函數(shù)在第一象限的圖象無(wú)增區(qū)間,故D錯(cuò)誤;故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查已知函數(shù)的圖象判斷解析式問(wèn)題,通過(guò)函數(shù)性質(zhì)及特殊值利用排除法是解決本題的關(guān)鍵,難度一般.10、C【解析】分析:從兩個(gè)方向去判斷,先看能推出三角形的形狀是銳角三角形,而非鈍角三角形,從而得到充分性不成立,再看當(dāng)三角形是鈍角三角形時(shí),也推不出成立,從而必要性也不滿(mǎn)足,從而選出正確的結(jié)果.詳解:由題意可得,在中,因?yàn)椋?,因?yàn)椋?,,結(jié)合三角形內(nèi)角的條件,故A,B同為銳角,因?yàn)?,所以,即,所以,因此,所以是銳角三角形,不是鈍角三角形,所以充分性不滿(mǎn)足,反之,若是鈍角三角形,也推不出“,故必要性不成立,所以為既不充分也不必要條件,故選D.點(diǎn)睛:該題考查的是有關(guān)充分必要條件的判斷問(wèn)題,在解題的過(guò)程中,需要用到不等式的等價(jià)轉(zhuǎn)化,余弦的和角公式,誘導(dǎo)公式等,需要明確對(duì)應(yīng)此類(lèi)問(wèn)題的解題步驟,以及三角形形狀對(duì)應(yīng)的特征.11、A【解析】
首先的單調(diào)性,由此判斷出,由求得的關(guān)系式.利用導(dǎo)數(shù)求得的最小值,由此求得的最小值.【詳解】由于函數(shù),所以在上遞減,在上遞增.由于,,令,解得,所以,且,化簡(jiǎn)得,所以,構(gòu)造函數(shù),.構(gòu)造函數(shù),,所以在區(qū)間上遞減,而,,所以存在,使.所以在上大于零,在上小于零.所以在區(qū)間上遞增,在區(qū)間上遞減.而,所以在區(qū)間上的最小值為,也即的最小值為,所以的最小值為.故選:A【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值,考查分段函數(shù)的圖像與性質(zhì),考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法,屬于難題.12、C【解析】
根據(jù)給定的程序框圖,計(jì)算前幾次的運(yùn)算規(guī)律,得出運(yùn)算的周期性,確定跳出循環(huán)時(shí)的n的值,進(jìn)而求解的值,得到答案.【詳解】由題意,,第1次循環(huán),,滿(mǎn)足判斷條件;第2次循環(huán),,滿(mǎn)足判斷條件;第3次循環(huán),,滿(mǎn)足判斷條件;可得的值滿(mǎn)足以3項(xiàng)為周期的計(jì)算規(guī)律,所以當(dāng)時(shí),跳出循環(huán),此時(shí)和時(shí)的值對(duì)應(yīng)的相同,即.故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖的計(jì)算與輸出問(wèn)題,其中解答中認(rèn)真審題,得出程序運(yùn)行時(shí)的計(jì)算規(guī)律是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與計(jì)算能力.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、①③④【解析】
先利用導(dǎo)數(shù)求得曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程,由此求得與的遞推關(guān)系式,進(jìn)而證得數(shù)列是等比數(shù)列,由此判斷出四個(gè)結(jié)論中正確的結(jié)論編號(hào).【詳解】∵,∴曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為,則.∵,∴,則是首項(xiàng)為1,公比為的等比數(shù)列,從而,,.故所有正確結(jié)論的編號(hào)是①③④.故答案為:①③④【點(diǎn)睛】本小題主要考查曲線(xiàn)的切線(xiàn)方程的求法,考查根據(jù)遞推關(guān)系式證明等比數(shù)列,考查等比數(shù)列通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式,屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】
①根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示結(jié)合兩角差的正弦公式的逆用即可得解;②結(jié)合①求出,根據(jù)面積公式即可得解.【詳解】①2(sin32°?cos77°﹣cos32°?sin77°),②,,∴,∴.故答案為:.【點(diǎn)睛】此題考查平面向量與三角函數(shù)解三角形綜合應(yīng)用,涉及平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示,三角恒等變換,根據(jù)三角形面積公式求解三角形面積,綜合性強(qiáng).15、【解析】試題分析:顯然,又,①當(dāng)時(shí),,作出可行區(qū)域,因拋物線(xiàn)與直線(xiàn)及在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)分別是(1,1)和,從而②當(dāng)時(shí),,作出可行區(qū)域,因拋物線(xiàn)與直線(xiàn)及在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)分別是(1,1)和,從而綜上所述,的取值范圍是.考點(diǎn):不等式、簡(jiǎn)單線(xiàn)性規(guī)劃.16、【解析】
根據(jù)空間位置關(guān)系,將平面旋轉(zhuǎn)后使得各點(diǎn)在同一平面內(nèi),結(jié)合角的關(guān)系即可求得兩點(diǎn)間距離的三角函數(shù)表達(dá)式.根據(jù)所給參考數(shù)據(jù)即可得解.【詳解】棱長(zhǎng)為2的正方體中,點(diǎn)分別為棱的中點(diǎn),以為圓心,1為半徑,分別在面和面內(nèi)作弧和.將平面繞旋轉(zhuǎn)至與平面共面的位置,如下圖所示:則,所以;將平面繞旋轉(zhuǎn)至與平面共面的位置,將繞旋轉(zhuǎn)至與平面共面的位置,如下圖所示:則,所以;因?yàn)椋矣烧T導(dǎo)公式可得,所以最短距離為,故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了空間幾何體中最短距離的求法,注意將空間幾何體展開(kāi)至同一平面內(nèi)求解的方法,三角函數(shù)誘導(dǎo)公式的應(yīng)用,綜合性強(qiáng),屬于難題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(Ⅰ)見(jiàn)解析;(Ⅱ).【解析】試題分析:(Ⅰ)連接,由比例可得∥,進(jìn)而得線(xiàn)面平行;(Ⅱ)過(guò)點(diǎn)作的垂線(xiàn),建立空間直角坐標(biāo)系,不妨設(shè),則求得平面的法向量為,設(shè)平面的法向量為,由求二面角余弦即可.試題解析:(Ⅰ)證明:連接,梯形,,易知:;又,則∥;平面,平面,可得:∥平面;(Ⅱ)側(cè)面是梯形,,,,則為二面角的平面角,;均為正三角形,在平面內(nèi),過(guò)點(diǎn)作的垂線(xiàn),如圖建立空間直角坐標(biāo)系,不妨設(shè),則,故點(diǎn),;設(shè)平面的法向量為,則有:;設(shè)平面的法向量為,則有:;,故平面與平面所成的銳二面角的余弦值為.18、(1)l:,C方程為;(2)=【解析】
(1)直接利用轉(zhuǎn)換關(guān)系,把參數(shù)方程極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換.
(2)利用一元二次方程根和系數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用求出結(jié)果.【詳解】(1)曲線(xiàn)C的參數(shù)方程為(m為參數(shù)),兩式相加得到,進(jìn)一步轉(zhuǎn)換為.直線(xiàn)l的極坐標(biāo)方程為ρcos(θ+)=1,則轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為.(2)將直線(xiàn)的方程轉(zhuǎn)換為參數(shù)方程為(t為參數(shù)),代入得到(t1和t2為P、Q對(duì)應(yīng)的參數(shù)),所以,,所以=.【點(diǎn)睛】本題考查參數(shù)方程極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程之間的轉(zhuǎn)換,一元二次方程根和系數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用,主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力,屬于基礎(chǔ)題型.19、(1);(2)見(jiàn)解析.【解析】試題分析:(1)討論三種情況去絕對(duì)值符號(hào),可得所以,由此得,解得;(2)利用分析法,由(1)知,,所以,因?yàn)?,要證,只需證,即證,只需證即可得結(jié)果.試題解析:(1)去絕對(duì)值符號(hào),可得所以,所以,解得,所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.(2)由(1)知,,所以.因?yàn)椋砸C,只需證,即證,即證.因?yàn)?,所以只需證,因?yàn)?,∴成立,所以解法二:x2+y2=2,x、y∈R+,x+y≥2xy設(shè):證明:x+y-2xy==令,∴原式====當(dāng)時(shí),20、(1)(2)證明見(jiàn)解析【解析】
(1)根據(jù)條件可得,進(jìn)而得到,即可得到橢圓方程;(2)設(shè)直線(xiàn)的方程為,聯(lián)立,分別表示出直線(xiàn)和直線(xiàn)斜率,相加利用根與系數(shù)關(guān)系即可得到.【詳解】解:(1)圓與有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)且都在軸上,所以,又,,解得,故橢圓的方程為;(2)設(shè)直線(xiàn)的方程為,聯(lián)立,整理可得,則
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