江蘇省南京梅山高級中學2024年高三二診模擬考試數(shù)學試卷含解析_第1頁
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文檔簡介

江蘇省南京梅山高級中學2024年高三二診模擬考試數(shù)學試卷注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚,將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.古希臘數(shù)學家畢達哥拉斯在公元前六世紀發(fā)現(xiàn)了第一、二個“完全數(shù)”6和28,進一步研究發(fā)現(xiàn)后續(xù)三個“完全數(shù)”分別為496,8128,33550336,現(xiàn)將這五個“完全數(shù)”隨機分為兩組,一組2個,另一組3個,則6和28恰好在同一組的概率為A. B. C. D.2.在中,為邊上的中點,且,則()A. B. C. D.3.已知角的終邊經(jīng)過點P(),則sin()=A. B. C. D.4.連接雙曲線及的4個頂點的四邊形面積為,連接4個焦點的四邊形的面積為,則當取得最大值時,雙曲線的離心率為()A. B. C. D.5.已知函數(shù)滿足,且,則不等式的解集為()A. B. C. D.6.閱讀名著,品味人生,是中華民族的優(yōu)良傳統(tǒng).學生李華計劃在高一年級每周星期一至星期五的每天閱讀半個小時中國四大名著:《紅樓夢》、《三國演義》、《水滸傳》及《西游記》,其中每天閱讀一種,每種至少閱讀一次,則每周不同的閱讀計劃共有()A.120種 B.240種 C.480種 D.600種7.雙曲線的漸近線方程為()A. B.C. D.8.如圖,正方體的底面與正四面體的底面在同一平面上,且,若正方體的六個面所在的平面與直線相交的平面?zhèn)€數(shù)分別記為,則下列結(jié)論正確的是()A. B. C. D.9.若復(fù)數(shù)(是虛數(shù)單位),則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限10.設(shè)等比數(shù)列的前項和為,則“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件11.集合的真子集的個數(shù)為()A.7 B.8 C.31 D.3212.若與互為共軛復(fù)數(shù),則()A.0 B.3 C.-1 D.4二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.甲、乙、丙、丁四人參加冬季滑雪比賽,有兩人獲獎.在比賽結(jié)果揭曉之前,四人的猜測如下表,其中“√”表示猜測某人獲獎,“×”表示猜測某人未獲獎,而“○”則表示對某人是否獲獎未發(fā)表意見.已知四個人中有且只有兩個人的猜測是正確的,那么兩名獲獎?wù)呤莀______.甲獲獎乙獲獎丙獲獎丁獲獎甲的猜測√××√乙的猜測×○○√丙的猜測×√×√丁的猜測○○√×14.已知單位向量的夾角為,則=_________.15.如圖,為測量出高,選擇和另一座山的山頂為測量觀測點,從點測得點的仰角,點的仰角以及;從點測得.已知山高,則山高__________.16.已知函數(shù),若,則___________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)a,b,c分別為△ABC內(nèi)角A,B,C的對邊.已知a=3,,且B=60°.(1)求△ABC的面積;(2)若D,E是BC邊上的三等分點,求.18.(12分)設(shè)為等差數(shù)列的前項和,且,.(1)求數(shù)列的通項公式;(2)若滿足不等式的正整數(shù)恰有個,求正實數(shù)的取值范圍.19.(12分)(1)已知數(shù)列滿足:,且(為非零常數(shù),),求數(shù)列的前項和;(2)已知數(shù)列滿足:(ⅰ)對任意的;(ⅱ)對任意的,,且.①若,求數(shù)列是等比數(shù)列的充要條件.②求證:數(shù)列是等比數(shù)列,其中.20.(12分)已知圓O經(jīng)過橢圓C:的兩個焦點以及兩個頂點,且點在橢圓C上.求橢圓C的方程;若直線l與圓O相切,與橢圓C交于M、N兩點,且,求直線l的傾斜角.21.(12分)已知函數(shù)(,),且對任意,都有.(Ⅰ)用含的表達式表示;(Ⅱ)若存在兩個極值點,,且,求出的取值范圍,并證明;(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,判斷零點的個數(shù),并說明理由.22.(10分)設(shè),(1)求的單調(diào)區(qū)間;(2)設(shè)恒成立,求實數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

推導出基本事件總數(shù),6和28恰好在同一組包含的基本事件個數(shù),由此能求出6和28恰好在同一組的概率.【詳解】解:將五個“完全數(shù)”6,28,496,8128,33550336,隨機分為兩組,一組2個,另一組3個,基本事件總數(shù),6和28恰好在同一組包含的基本事件個數(shù),∴6和28恰好在同一組的概率.故選:B.【點睛】本題考查概率的求法,考查古典概型、排列組合等基礎(chǔ)知識,考查運算求解能力,是基礎(chǔ)題.2、A【解析】

由為邊上的中點,表示出,然后用向量模的計算公式求模.【詳解】解:為邊上的中點,,故選:A【點睛】在三角形中,考查中點向量公式和向量模的求法,是基礎(chǔ)題.3、A【解析】

由題意可得三角函數(shù)的定義可知:,,則:本題選擇A選項.4、D【解析】

先求出四個頂點、四個焦點的坐標,四個頂點構(gòu)成一個菱形,求出菱形的面積,四個焦點構(gòu)成正方形,求出其面積,利用重要不等式求得取得最大值時有,從而求得其離心率.【詳解】雙曲線與互為共軛雙曲線,四個頂點的坐標為,四個焦點的坐標為,四個頂點形成的四邊形的面積,四個焦點連線形成的四邊形的面積,所以,當取得最大值時有,,離心率,故選:D.【點睛】該題考查的是有關(guān)雙曲線的離心率的問題,涉及到的知識點有共軛雙曲線的頂點,焦點,菱形面積公式,重要不等式求最值,等軸雙曲線的離心率,屬于簡單題目.5、B【解析】

構(gòu)造函數(shù),利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,即可得到結(jié)論.【詳解】設(shè),則函數(shù)的導數(shù),,,即函數(shù)為減函數(shù),,,則不等式等價為,則不等式的解集為,即的解為,,由得或,解得或,故不等式的解集為.故選:.【點睛】本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式,考查學生分析問題解決問題的能力,是難題.6、B【解析】

首先將五天進行分組,再對名著進行分配,根據(jù)分步乘法計數(shù)原理求得結(jié)果.【詳解】將周一至周五分為組,每組至少天,共有:種分組方法;將四大名著安排到組中,每組種名著,共有:種分配方法;由分步乘法計數(shù)原理可得不同的閱讀計劃共有:種本題正確選項:【點睛】本題考查排列組合中的分組分配問題,涉及到分步乘法計數(shù)原理的應(yīng)用,易錯點是忽略分組中涉及到的平均分組問題.7、A【解析】

將雙曲線方程化為標準方程為,其漸近線方程為,化簡整理即得漸近線方程.【詳解】雙曲線得,則其漸近線方程為,整理得.故選:A【點睛】本題主要考查了雙曲線的標準方程,雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用.8、A【解析】

根據(jù)題意,畫出幾何位置圖形,由圖形的位置關(guān)系分別求得的值,即可比較各選項.【詳解】如下圖所示,平面,從而平面,易知與正方體的其余四個面所在平面均相交,∴,∵平面,平面,且與正方體的其余四個面所在平面均相交,∴,∴結(jié)合四個選項可知,只有正確.故選:A.【點睛】本題考查了空間幾何體中直線與平面位置關(guān)系的判斷與綜合應(yīng)用,對空間想象能力要求較高,屬于中檔題.9、A【解析】

將整理成的形式,得到復(fù)數(shù)所對應(yīng)的的點,從而可選出所在象限.【詳解】解:,所以所對應(yīng)的點為在第一象限.故選:A.【點睛】本題考查了復(fù)數(shù)的乘法運算,考查了復(fù)數(shù)對應(yīng)的坐標.易錯點是誤把當成進行計算.10、C【解析】

根據(jù)等比數(shù)列的前項和公式,判斷出正確選項.【詳解】由于數(shù)列是等比數(shù)列,所以,由于,所以,故“”是“”的充分必要條件.故選:C【點睛】本小題主要考查充分、必要條件的判斷,考查等比數(shù)列前項和公式,屬于基礎(chǔ)題.11、A【解析】

計算,再計算真子集個數(shù)得到答案.【詳解】,故真子集個數(shù)為:.故選:.【點睛】本題考查了集合的真子集個數(shù),意在考查學生的計算能力.12、C【解析】

計算,由共軛復(fù)數(shù)的概念解得即可.【詳解】,又由共軛復(fù)數(shù)概念得:,.故選:C【點睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的運算,共軛復(fù)數(shù)的概念.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、乙、丁【解析】

本題首先可根據(jù)題意中的“四個人中有且只有兩個人的猜測是正確的”將題目分為四種情況,然后對四種情況依次進行分析,觀察四人所猜測的結(jié)果是否沖突,最后即可得出結(jié)果.【詳解】從表中可知,若甲猜測正確,則乙,丙,丁猜測錯誤,與題意不符,故甲猜測錯誤;若乙猜測正確,則依題意丙猜測無法確定正誤,丁猜測錯誤;若丙猜測正確,則丁猜測錯誤;綜上只有乙,丙猜測不矛盾,依題意乙,丙猜測是正確的,從而得出乙,丁獲獎.所以本題答案為乙、丁.【點睛】本題是一個簡單的合情推理題,能否根據(jù)“四個人中有且只有兩個人的猜測是正確的”將題目所給條件分為四種情況并通過推理判斷出每一種情況的正誤是解決本題的關(guān)鍵,考查推理能力,是簡單題.14、【解析】

因為單位向量的夾角為,所以,所以==.15、1【解析】試題分析:在中,,,在中,由正弦定理可得即解得,在中,.故答案為1.考點:正弦定理的應(yīng)用.16、【解析】

根據(jù)題意,利用函數(shù)奇偶性的定義判斷函數(shù)的奇偶性,利用函數(shù)奇偶性的性質(zhì)求解即可.【詳解】因為函數(shù),其定義域為,所以其定義域關(guān)于原點對稱,又,所以函數(shù)為奇函數(shù),因為,所以.故答案為:【點睛】本題考查函數(shù)奇偶性的判斷及其性質(zhì);考查運算求解能力;熟練掌握函數(shù)奇偶性的判斷方法是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題、??碱}型.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2)【解析】

(1)根據(jù)正弦定理,可得△ABC為直角三角形,然后可計算b,可得結(jié)果.(2)計算,然后根據(jù)余弦定理,可得,利用平方關(guān)系,可得結(jié)果.【詳解】(1)△ABC中,由csinC=asinA+bsinB,利用正弦定理得c2=a2+b2,所以△ABC是直角三角形.又a=3,B=60°,所以;所以△ABC的面積為.(2)設(shè)D靠近點B,則BD=DE=EC=1.,所以所以.【點睛】本題考查正弦定理的應(yīng)用,屬基礎(chǔ)題.18、(1);(2).【解析】

(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為,根據(jù)題意得出關(guān)于和的方程組,解出這兩個量的值,然后利用等差數(shù)列的通項公式可得出數(shù)列的通項公式;(2)求出,可得出,可知當為奇數(shù)時不等式不成立,只考慮為偶數(shù)的情況,利用數(shù)列單調(diào)性的定義判斷數(shù)列中偶數(shù)項構(gòu)成的數(shù)列的單調(diào)性,由此能求出正實數(shù)的取值范圍.【詳解】(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為,則,整理得,解得,,因此,;(2),滿足不等式的正整數(shù)恰有個,得,由于,若為奇數(shù),則不等式不可能成立.只考慮為偶數(shù)的情況,令,則,..當時,,則;當時,,則;當時,,則.所以,,又,,,,.因此,實數(shù)的取值范圍是.【點睛】本題考查數(shù)列的通項公式的求法,考查正實數(shù)的取值范圍的求法,考查等差數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識,考查運算求解能力,是中檔題.19、(1);(2)①;②證明見解析.【解析】

(1)由條件可得,結(jié)合等差數(shù)列的定義和通項公式、求和公式,即可得到所求;(2)①若,可令,運用已知條件和等比數(shù)列的性質(zhì),即可得到所求充要條件;②當,,,由等比數(shù)列的定義和不等式的性質(zhì),化簡變形,即可得到所求結(jié)論.【詳解】解:(1),,且為非零常數(shù),,,可得,可得數(shù)列的首項為,公差為的等差數(shù)列,可得,前項和為;(2)①若,可令,,且,即,,,,對任意的,,可得,可得,,數(shù)列是等比數(shù)列,則,,可得,,即,又,即有,即,數(shù)列是等比數(shù)列的充要條件為;②證明:對任意的,,,,,當,,,可得,即以為首項、為公比的等比數(shù)列;同理可得以為首項、為公比的等比數(shù)列;對任意的,,可得,即有,所以對,,,可得,,即且,則,可令,故數(shù)列,,,,,,,,,是以為首項,為公比的等比數(shù)列,其中.【點睛】本題考查新定義的理解和運用,考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義和通項公式的運用,考查分類討論思想方法和推理、運算能力,屬于難題.20、(1);(2)或【解析】

(1)先由題意得出,可得出與的等量關(guān)系,然后將點的坐標代入橢圓的方程,可求出與的值,從而得出橢圓的方程;(2)對直線的斜率是否存在進行分類討論,當直線的斜率不存在時,可求出,然后進行檢驗;當直線的斜率存在時,可設(shè)直線的方程為,設(shè)點,先由直線與圓相切得出與之間的關(guān)系,再將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立,由韋達定理,利用弦長公式并結(jié)合條件得出的值,從而求出直線的傾斜角.【詳解】(1)由題可知圓只能經(jīng)過橢圓的上下頂點,所以橢圓焦距等于短軸長,可得,又點在橢圓上,所以,解得,即橢圓的方程為.(2)圓的方程為,當直線不存在斜率時,解得,不符合題意;當直線存在斜率時,設(shè)其方程為,因為直線與圓相切,所以,即.將直線與橢圓的方程聯(lián)立,得:,判別式,即,設(shè),則,所以,解得,所以直線的傾斜角為或.【點睛】求橢圓標準方程的方法一般為待定系數(shù)法,根據(jù)條件確定關(guān)于的方程組,解出,從而寫出橢圓的標準方程.解決直線與橢圓的位置關(guān)系的相關(guān)問題,其常規(guī)思路是先把直線方程與橢圓方程聯(lián)立,消元、化簡,然后應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系建立方程,解決相關(guān)問題.涉及弦中點的問題常常用“點差法”解決,往往會更簡單.21、(1)(2)見解析(3)見解析【解析】試題分析:利用賦值法求出關(guān)系,求函數(shù)導數(shù),要求函數(shù)有兩個極值點,只需在內(nèi)有兩個實根,利用一元二次方程的根的分布求出的取值范圍,再根據(jù)函數(shù)圖象和極值的大小判斷零點的個數(shù).試題解析:(Ⅰ)根據(jù)題意:令,可得,所以,經(jīng)驗證,可得當時,對任意,

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