工學(xué)高等數(shù)學(xué)習(xí)題及答案

第七章微分方程

§1基本概念

1.驗(yàn)證下列各題所給出的隱函數(shù)是微分方程的解.

(1)-xy+=C,(x-2y)y'=2x-y

解：求導(dǎo)：2x-y-孫'+2yyf=0

移項(xiàng):(x-2y)y"=2x-y

故所給出的隱函數(shù)是微分方程的解

[2

(2)JQe2力+x=l,y"=y(y，)2.

解：隱函數(shù)方程兩邊對(duì)工求導(dǎo)

e>y'+1=0

方程兩邊再對(duì)無(wú)求導(dǎo)

e21(-y)yy+/i=o

指數(shù)函數(shù)非零，即有

/=武行

故所給出的隱函數(shù)是微分方程的解

2.已知曲線族，求它相應(yīng)的微分方程(其中C，G，C2均為常數(shù))

(一般方法：對(duì)曲線簇方程求導(dǎo)，然后消去常數(shù)，方程中常數(shù)個(gè)數(shù)決定求導(dǎo)次數(shù).)

(1)(x+C)2+y2=1；

求導(dǎo)得：2(x+c)+2yyr=0

解出(JC+c)=-yy

代入原方程得y2y2+y2=i

(2)y=C\sinlx+C2cos2x.

求導(dǎo)得：y'=2c;cos2x+2c2(-sin2x)

再求導(dǎo)得：y*=Ye〕sin2x-4c2cos2x

消去qq得：>"+4y=0

3.寫(xiě)出下列條件確定的曲線所滿足的微分方程。

(1)曲線在(x,y)處切線的斜率等于該點(diǎn)橫坐標(biāo)的平方。

解：設(shè)曲線為y=y(x)則曲線上的點(diǎn)(x,y)處的切線斜率為),，由題意知所求方程為

，2

y=x

（2）曲線在點(diǎn)P（x,y）處的法線x軸的交點(diǎn)為Q,,PQ為y軸平分。

解：曲線上的點(diǎn)（x,y）處法線方程：y_y=_」（x—X）。

故法線x軸的交點(diǎn)為。坐標(biāo)應(yīng)為（yy'+x,O），又PQ為y軸平分，故g[（W+x）+x]=O,

便得曲線所滿足的微分方程：

yy+2x=0

（3）曲線上的點(diǎn)尸（x,y）處的切線與y軸交點(diǎn)為。,尸。長(zhǎng)度為2,且曲線過(guò)點(diǎn)（2,0）。

解：點(diǎn)P（x,y）處切線方程:Y—y=yf（X-x）

故Q坐標(biāo)為（0,y—，則有

同|=J（x_0『+[y_（y_以）]2=2

2n+J2）=4

則得初值問(wèn)題為：\x），一

I，y\1*=2,=0

§2可分離變量與齊次方程

I.求下列微分方程的通解

(1)"]一尤2y=yj\~y2;

解:分離變量

得arcsiny=arcsinx+c

(2)secX'tanydx+secy-tanxdy=0；

解:分離變量

sec2xdx_sec2ydyrd(tanx)_(?d(tany)=

In|tanx|=-In|tany|+C,=>

tanxtany」tanx」tany

ln|tanxtany\=C]

^ln|tanxtan.y|_&n

tanxtany\=ec'ntanxtany=+ec'n

tanxtany=C其中C=±ec,

（3）——3xy=xy2；

dx

解：—~3xy=xy2=>@=孫（,+3）分離變量得

dxdx

dy,dy,cdyr,

-----:----=xax=>----------=xax=>-----:----=xax

y（y+3）y（y+3）Jy（y+3）J

傳-J備卜白辦=#|“1巾+3|]=；/+”

In---=—x2+3C,n

y+321

y-x

=>—=其中c=±e3G

y+3

（4）（2-2'）dx+（2.+2v）Jy=O.

解：分離變量得

2'，2'"f2'*「2,〃/（2>T）/Qi）

------dy=--------dx=>--------dy=-\-------dx=>------------=-------------=>

2、一12”+1J2y-l-J2V+1J2V-1J2A+1

.,In|（2>,-1）（2,+1）|c

ln|2v-l|=一ln,+l|+C]=>ln]（2VT（2，+l）卜G=e=e'

ln|（2v-l）（2v+l）|=^C1n（2v-l）（2x+l）=±ec'n（2l）（2，+i）=c

其中C=±eG

2.求下列微分方程的特解

2v

（1）/=^-\y|x=o=O；

解：eydy=e2xdx

jeydy=^e2xdx

ey=-e2x-\-c

2

由N（）=°解得。=,

lv=02

所以特解為：/=L/+i）

2

⑵孫”二>2,^^=1

解：分離變量得J—^―=1處=[史=>In-_-=ln|x|+C1

jy--,JxJy-1yJxy

，ncc,

|>I—*N+Gn丁-1-e>IJ=_-=±ex=>

yy

匕1=ex,其中C=±ec,,

y

由卜1=；得。=—1,故特解為y=l-孫

3.求下列微分方程的通解

(1)xy'=y[\n—+i)；

x

解：方程變形為齊次方程蟲(chóng)=2(ln2+l),令2=〃,則包=〃+x立，故原方程變?yōu)?/p>

dxxxxdxdx

dy八八八生*0但dudx兩邊積分\-^-=f—,即

u+x—=w(ln〃+1),分離變重得-----=一，

dxwinwxJu\nuJx

jJlnw故ln|lnM=ln|x|+G，得』而〃1=*小加二

Inux

y

cc,

|Inu\=e'|x|=>lnw=±ex=>In—=Cx,其中C=±ec,

(2)(x3+y3)dx-3xy2dy=0.

7144〃d

解：方程變形為齊次方程生=-^-，令w=2則?=〃+*:，故原方程變?yōu)?/p>

dxJyjxdxdx

dul+〃3八/*日/口

u+x—=——丁，分離變重得

dx3u

3u2du_dx兩邊積分J將上

即

1-2w3x

'「dx

J1-2/一一JT

得

In1-2?3=-21nx+G=111|1-2?3|+2111|^|=^=>ln|(l-2M3jx2|—C,=>

］即-2叫同=j二

3

(I/*eGn1-2yx2=±ec'n1-22x2=+ec,n

x

d—2y3=Cr其中C=±eG

4.求下列微分方程的特解

孫

⑴祟225x=0=l；

%-y

y

解：原方程化為包=—一,令貝ij◎=〃+》生，故原方程變?yōu)?/p>

dx

duui〃-/x

u+x—,分離變量得二-力/=竺

dx1-M2UX

dx

兩邊積分得

x

-u2ln|w|=ln|H+G=>=ln|M+ln|H+Gn

2

-2

—M=In|MX|+C1=>e=e'"M+Gne5=eG3n

2

X

c

=+e'y=e2=Cy其中C=±eGc=±e。，由引.0=1得。=1，故

特解為e2[)J=y

22

(2)(y-3x)dy+Ixydx=0,y|x=0

2

解：原方程可化為立2則立=〃+x生，故原方程變?yōu)?/p>

-9,令u

dx2xdxdx

-3

du_-2u

“+'五一〃2—3,分離變量得?1點(diǎn)=蟲(chóng)，兩邊積分血=|■蟲(chóng)，即

u—uXJu-uJX

3

H——---—du=^—得In"3?10|w-1|+In|w+1|-In|w1=In|x|+In|C|即

ILt114+1U)XVI

f4-l32

In〃3!=In得J<I=Cx，即kx/_=Cx,又y|p=1得特解為)'3=廠一廠?

a

5.用適當(dāng)?shù)淖儞Q替換化簡(jiǎn)方程，并求解下列方程

⑴y，=(x+?；

解:令〃=x+y則@=業(yè)+1,原方程變?yōu)榘?=1,分離變量并積分J?—=｝拄

dxdxdxnI1

Warctanu=x+C

故方程通解為arctan(x+y)=x+c

(2)x/+y=y(lnx+lny)

解：令x-y=〃，則x立+>=@，原方程變?yōu)樗?巳111〃，分離變量并積分

dxdxdxx

rducdx口「fdIn〃rdx

——=—,即-——=—

JumuJx'In”Jx

得ln|lnM=ln|H+G，得ln〃=Cx,即lnAy=Cx,其中。=±』故方程通解為*=*

c,

(*M〃|_*小|+。n|]nw|-|x|=>Inw=Cx,其中C=±e)

(3)y—―--F1

x-y

解：令x-y=〃，則1一包=包，原方程變?yōu)?一立=‘+i,分離變量并積分

dxdxdxu

^-udu=JtZr得

~—=x+C故方程通解為一,一"')2=X+C

22

(4)y(xy+\)dx+x(l+xy+x2y2)dy=0

解：令x-y=〃，則光蟲(chóng)+y=叁，原方程變?yōu)閄蟲(chóng)=〃-一匕J,分離變量并積分

dxdxdx1+w+w

+〃+.rdx

I3dU=\，

JUJX

得一;〃-2一/+]nM=in|x|+G，即2/y3=c(i+2孫)其中C=+ec'

(分析原方程可變形為"x@+y]=xy--"+(")r,故令令x-y=〃，)

kdx)1+孫+(孫)一

1

—u+〃-=>,e

2

(\

y=±ec'—---=>2%2y3=C(l+2盯)其中。=±〃)

(2(孫)xy)

^:-(l+xy+x2y2)-=-(xy+l)

ydx

令=,/=/〃+▲/代入上式

yuxx

y2_11

—(14-W4-M2)(=〃+—/)=-W-1

UXX

j1+du=J—解得:ln|w|-———=ln|x|+c

nxw2zi/

得通解:2x2y2ln|y|-2xy-l=ex1y2

6.求一曲線，使其任意一點(diǎn)的切線與過(guò)切點(diǎn)平行于y軸的直線和x軸所圍城三角形面積等

解：曲線點(diǎn)P(x,y)的切線方程為:

y-y=y\x-x)

該曲線與X軸交點(diǎn)記為B,則B坐標(biāo)為x—2,0，

{y)

過(guò)點(diǎn)P(x,y)平行于y軸的直線和x軸交點(diǎn)記為A,則A坐標(biāo)為(匕0)

]I,I

故三角形面積為JA即AP|=x-2~x\y\^a2

即有微分方程丁=±2/包

dx

當(dāng);/=2/立時(shí)用分離變量法解得義。-?=2/

dx

當(dāng)y2=-2”2空時(shí)用分離變量法解得MC+X)=242

dx

7.設(shè)質(zhì)量為根的物體自由下落，所受空氣阻力與速度成正比，并設(shè)開(kāi)始下落時(shí)《=0)速度

為0,求物體速度u與時(shí)間，的函數(shù)關(guān)系.

解：根據(jù)尸=ma-m一，而尸=/叫-h(左為比例常數(shù)).便得v滿足微分方程:

dt

.dv

mg-kv=m—.

dt

及初始條件：v|=0

?k=o

求解方程：

mg-kv

積分得：t------\n(mg-kv)4-c

k

由“_()=。解得c=ln(〃zg)

所以得：v=^(i-3,).

8.有一種醫(yī)療手段，是把示蹤染色注射到胰臟里去，以檢查其功能.正常胰臟每分鐘吸收掉

40%染色，現(xiàn)內(nèi)科醫(yī)生給某人注射了0.3g染色，30分鐘后剩下0.1g,試求注射染色后，

分鐘時(shí)正常胰臟中染色量P⑺隨時(shí)間，變化的規(guī)律，此人胰臟是否正常？

解:t以分為單位，因此，每分鐘正常胰臟吸收40%染色可得

電=-0.4p

dt

—Inp=-t+c

通解為：2

加以初始p(0)=0.3,

便可求出p(t)=0.3e-°4及p(30)=0.3e-12

然后與實(shí)測(cè)比較知，此人胰臟不正常.

9.有一容器內(nèi)有100L的鹽水，其中含鹽10kg,現(xiàn)以每分鐘3L的速度注入清水，同時(shí)又以

每分鐘2L的速度將沖淡的鹽水排出，問(wèn)一小時(shí)后，容器內(nèi)尚有多少鹽？

解：設(shè)f時(shí)刻容器內(nèi)含鹽P⑺，P(0)=l(),由于f時(shí)刻容器內(nèi)液體為：100+f,因此f時(shí)刻

容器內(nèi)濃度為：。⑺=—2.于是在f時(shí)刻鹽的流失速度為：2QQ),從而有P⑺滿足的方

100+r

程為:

初始化條件為:

凡=0=10

業(yè)=_

p

InP=-2ln(l00+r)=Inc=In

(100+O2

P=

(100+1)2

由Hi=10,求得c=100000

于是

(100+0

當(dāng)f=60分鐘時(shí),

I100000?.

P\“、=-------=3.9(Ag)

,/=6025600

§3一階線性方程與貝努利方程

1.求下列微分方程的通解

(1)-=x2：

X

解：法一：常系數(shù)變易法：解齊次方程>'-2=0,分離變量得包=包，

xyx

積分得ln|)|=lnW+￡,即〉=以，其中(注：在常系數(shù)變易法時(shí)求解齊次方

程通解時(shí)寫(xiě)成顯式解；

In但=In\x\+C,=>e1nm=n=ec'|x|=>y=Cx其中C=±ec,(,

設(shè)非齊次方程有解y=〃(x)%，代入非齊次方程有uz(x)x+w(x)-w(x)=x2,即

/(%)=x,

[(2、

故〃(%)=上/+。，非齊次微分方程的通解y=x—+C

212,

法二(公式法)

y=e^d'jx2e"^d'dx+C=e'nx(jx2e-'n'djc+C)

\7.

=x(^xdx-\-C^

(2\

=x—+C

(2J

(2)(x2-l)yz+2xy-cosx=0；

五刀,2xcosx

解

故尸/含蘇罕J含%+C]

J一1

=-J][Jcosxdx+C]=s"+；

(3)yinydx+(x-Iny)dy=0；

解：方程變形為包+—!—%=!

dyylnyy

dylnlnvnlnv

故x=e^\--e^dy+Cy=e-[j^'Jy+C1]

1

Iny

即2xlny=ln2)+C,其中C=2￡

⑷>'=y

2(lny-x)

解：方程變形為由+2x=2]ny,

dyyy

y2fIny-^j+C

即盯2=+C

(分部積分法

Jly\nydy=^\nydy2=/lny-jy2d\ny=y2Iny-jyJy=Iny—^~+C)

(5)^-=4e-ysinx-1

dx

解：兩邊同乘e，得e>'@=4sinx-e>,ip—=4sinx-ey,

dxdx

故令〃=",則原方程變?yōu)椤?〃=4sinx

dx

故〃=e"(J4sinx?/"5+C),即u=0一"(J4sinx?exdx+C)

得〃=[2(sinxex-cos尤?/)+C]

即原方程通解為"'=2(sin%-cos冗)+CH”

(Jsinx?exdx用分部積分法積分)

2.求下列微分方程的特解

(1)y'-ytan冗=secx,y\v=0=0；

rersinx,rsinx(.x

._tanxdxrfI-tanxdxf----公「「---'.—r

解：y=eJ[Jsecx-^Jdx-^-C]=e3cosx[jsecxeJ8sx公+。]

_fdcosxr(Zcosxl

="R7]Leer/嬴7公+C]=e』8sli'seer*8sz葉口=|<小+c

JJCOSx'J

代y(0)=0nc=0特解：y=

cosx

e,ysinx.i

(2)y+2=——，y],R=l

XX

解：y=f—.e-"'dx+C]="叫f嗎.e'nxdx+C]

JXJX

代y(〃)=lnc=〃一l=-[(sin.rd^+C]=-(-cosx+C)

xJx

特解:y=’0-cosx-l)

x

3.一曲線過(guò)原點(diǎn)，在(x,y)處切線斜率為2x+y,求該曲線方程.

fy，=2x+y

解：由題意可得：凡＜,。=。,,

于是：y=e^^x\1xe+=e"[j2xe—Xdx+C

=e'l-2jxd(e\+C]=e”,-je-xdx^+(?}=ex(-lxex-2ex+C)

由＞L=o=0得C=2，故曲線方程為y=2(ev-x-l)

4.設(shè)可導(dǎo)函數(shù)Q(x)滿足方程

(p{x}cosx+2J)(p(t)sintdt=x+\,求(p(x).

(P(x)cosx-°(x)sinx+2。(x)sinx=1

解：?jiǎn)栴}為初值問(wèn)題JVV

W(o)=i

該微分方程為線性微分方程故°(x)=e「'11n"[jsecxe卜"粕公+C

=cosx|^jsec2尤公+c]=cosx(tanx+C)

又9(0)=1得。=1,故9(1)=$皿1+(：0$工

5,設(shè)有一個(gè)由電阻R=10。，電感L=2H,電流電壓E=20sin5fV串聯(lián)組成之電路,

合上開(kāi)關(guān)，求電路中電流，和時(shí)間/之關(guān)系.

1,—+5i=10sin5r

解：由石=&+入竺及可得：?jiǎn)栴}為初值問(wèn)題?dt

dt

Lo=。

該微分方程為線性微分方程故

i=e卜"(Jl()sin5j3"%+c)

=e-5,(J10sin5/e5,Jr+C)

=sin5t-cos5/+Ce~5'

又i|,=o=0得C=1,故i=sin5f—cos5f+e』

(分部積分法積Jsin力)

6.求下列貝努利方程的通解

(1)y+-^x2y6

X

解：原方程變形為>一6立+_1>-5=尤2,令2=尸5,則包=一5尸6包，

dxxdxdx

z/75

故原方程變?yōu)榫€性微分方程—--z=-5x2

dxx

故2=e',[JJ(-5x2)dx+C]

5n25

=/叫Je-'\-5x)dx+C]=斕卜-5(_5/心+0=+Cx

35

貝努利方程的通解為yf=1%+Cx

(2)y'=cosx+ytanx

原方程變形為y7且一=cosx,令z=y一二則在二一？、"4包

dxdxdx

dz

故原方程變?yōu)榫€性微分方程幺+3tanx?z=-3cosx

dx

,-3f(anxdx(f3flanAdv、

故z=e」I-3cosx-eJdx+C

=e3lncosAQ-3cosx.e-31ncosA6/x+cj=cos3x(j-3sec2xdx+cj=cos3x(-3tanx+C)

3

貝努利方程的通解為y—3=Cosx(-3tanx+C)

(3)y-+x-x2lny=0

dy

解：方程變形為X-蟲(chóng)+_lxT=J_]ny,令2=/1則在=一/2電

dyyydydy

故原方程變?yōu)榫€性微分方程—--=-^

dyyy

故z=卜-皿尸公力+C

=yJ-^v-<fy+C必T+C]

=)[尸]nJy-6+c]=lny+]+Cy

貝努利方程的通解為=lny+l+Cy,即x(lny+l+Cy)=1

2

(4)y/=—^~—+xy2

x2-]

-AY--dz1--civ

解：方程變形為y2y---y2=%，，令Z=y2,則一=_y2q_

x-1dx2dx

1YY

故原方程變?yōu)榫€性微分方程—z=-

dx2x2-l2

U上a且f上也、?,-

故z=e2」*2TJ—xe2'tdx+C=—(x2—1)+C(x2—IV

111

貝努利方程的通解為儼=-(x2-l)+C(x2-l)4

§4可降階的高階方程

1.求下列方程通解。

2.(i)/=y+x

解：令型=〃，則凹?=迎，原方程變?yōu)榫€性微分方程加=p+x

dxdxdxdx

故p=e""(JxeJ心公+G)=e'^~xe~x-e~x+C,)

故,=]/(_此-*_67+&)以

X2

即y/eX-^-x+C?

(2)/=當(dāng)；

x2+1

解：令@=〃，則4=迎，原方程變?yōu)榭煞蛛x變量的微分方程位=32，

axax"axaxx**+1

分離變量積分得J牛=]言^右，得p=G(V+i)

故丁=]6(/+1)公，即＞=?/+￡*+。2

⑶-2)4=0

解：令半=〃，則且?=半=半蟲(chóng)=p@.,原方程變?yōu)榭煞蛛x變量的微分方程

dxdxdxaydxdy

yp?-2P2=0

dy

若p=0,即y=0,故y=。

若〃H0,分離變量積分|■亞=|'女，得〃=。少2,

JdyJy

即*=Gyt分離變量積分J^=JG公，得一(=Gx+G

(4)/r=i

解：令粵=p,則且?=軍=半半=〃?，原方程變?yōu)榭煞蛛x變量的微分方程

dxdxdxaydxdy

3dp

yp—=1

dy

分離變量積分Jp^二J尸辦，得p2=-y-2+G，即半=±J-尸+C],

dx

變形得電=±。二,分離變量積分土f

131/2rdy=^dx

心yJJcM-]

12

即ifi=d(C,y—1]={dx得即

C-1

±7i/=C[x+C2

即Gy2T=(￡X+G『

2.求下列方程的特解

⑴y"=y〃，九。=。，幾0=T

解：令包=0,則》=姐=坐3=p也,原方程變?yōu)榭煞蛛x變量的微分方程

dxdxdxdydxdy

也p2

dy

由ND=-l，知P，o，分離變量積分J/=Jdy得.=。|",Hr=o=O，y'L=o=T

得G=-i

即興=一"’分離變量積分"Zy=J公得一e-'=x+G，由九0=0得C2=T

故特解e-'=l+x

2

(2)yr+2xy'^e~x,丸力=0,4=0=。

解：令包=〃，則》=玄，原方程變?yōu)榫€性微分方程包+2中=e-/

dxdxdxdx

x2xdxx

故p=e1-"'(je~^dx+C^-xe"+Cie~

由y|x=o=。,y'|*=o=o得G=o,即半=L

dx

故丁=Jxe-'-公+。2，由y|*=o=o得G=；，

故特解為y=；0_e*)

3.求y"=x的經(jīng)過(guò)(0,1)且在與直線y=>l相切的積分曲線.

‘y"=x

解：由題意，原方程可化為?1.

［兒=0=5,兒=0=1

19

,1「1

?-。=2，=2,

y，3+1

-22

13X?

y=T++C2，

。2

y"C=L

/.V=IX3+IX+1i

62

4.證明曲率恒為常數(shù)的曲線是圓或直線.

證明:yK,（KRO,K=O可推出y是線性函數(shù)；K可取正或負(fù)）

(i+y'2嚴(yán)

用y作自變量，令夕=卜'得:

pdp?,

-----7^7=Kdy，

(1+,)3/2

-1

——(l+p2F)I/W2=K),+G，

從而

\(Ky+G-

*+G".

Jl—(Ky+G)2

再積分：

J1-(2+,)2=KX+C2,

2

(Ky+Cy+(Ky+C2)=1,

5.槍彈垂直射穿厚度為6的鋼板，入板速度為4,出板速度為匕（a〉與，設(shè)槍彈在板內(nèi)受

到阻力與速度成正比，問(wèn)槍彈穿過(guò)鋼板的時(shí)間是多少？

dv

m——=—KV

解：由方程＜dt，

v(0)=a

_k_

可得v=aem,

f,k

as——r

---=Cl€m

再?gòu)膁t，

5(0)=0

k

in—/

得到s(t)=—(a-aem),

k

根據(jù))=J,v(r0)=b,

——”bb

、m

§5高階線性微分方程

1.已知丫］(x),丫2(x)是二階線性微分方程+P(x)y'+q(x)y=f(x)的解，試證

X(x)~乃(X)是y"+P(x)y'+4(x)y=。的解

解:；口,先是y"+p(x)>'+式尤)丁=/(0的解，，所以其滿足方程，

將必-為代入方程的左邊

(必一九)“+〃(》)(>1一%)'+4(x)(口一%)

=(/+p(x)y；+q(x)M)-(y；+p(x)<+(7。)乃)

=/(尤)-/(x)

=0

故(%-%)是y"+p(x)y'+，(x)y=/(x)的解

3.已知二階線性微分方程y"+p(x)y'+q(x)y=/(x)的三個(gè)特解

力=%為=X?，乃=^3'，試求此方程滿足)'(0)=0,y'(0)=3的特解.

解：“―%—％=/一63，是齊次微分方程的解，

2

且上二匹二:一;W常數(shù),故原方程通解為丁二￡(1—/)+。2(/—X

%一為元一《

由y(0)=0,y(0)=3得。2=0,G=2,即特解為丁=3%-2?

3.驗(yàn)證乃=x+l,y2=e*+1是微分方程(尤-l)y"-xy'+y=l的解，并求其通解.

解：乂=1,<=o代入微分方程_x+x+1=1滿足方程，故必是解。

x

y2=e,y；=婷代入微分方程(x-l)e*-xe*+e"+1=1滿足方程，故乃是解。

易觀察得必=1也是微分方程的解，

必-為=x-e*是齊次微分方程的一個(gè)解，%-%=》也是齊次微分方程的一個(gè)解。

江&?，常數(shù)，故線性無(wú)關(guān)。故通解為丫=G(龍-")+。,犬+1

§6二階常系數(shù)齊次線性微分方程

1.求下列微分方程的通解

(1)y"+y'-2y=0；

2

解：特征方程r+r-2=0,(r+2)(r-l)=0,解得r]=-2,r2=1

2xx

通解y=c}e~+c2e

(2)y〃+6y'+l3y=0；

解：特征方程r2+6r+13=0,r=―°應(yīng)=—3±2i

2

3x

通解y=e~(c1!cos2x+c2sin2x)

(3)y"+4)」+4y=0；

2

解：特征方程，+4r+4=0,(r+2)=0,=r2=—2

2x

通解y=(G+c2x)e~

(4)?、?2y"+y=0.

解：特征方程為/+2產(chǎn)+1=0,即(，+])~=o得(r±‘y=()

即特征方程為有二重共甄復(fù)根r=+i

故方程通解為y=(G+C2x)cos^+(C3+C4x)sinx

2.求下列微分方程的特解

(1)/-4/+3>'=0,y|v=0=6,y[x=o=10

解：廠2—4廠+3=0,(r—l)(r-3)=0,=1,r2=3

x3xx3x

通解y=c}e+c2e,y=c}e+3c2e

代y(0)=6,y'(0)=10

c+c=6

l2特解y=4/+2/x

G+3c2=10

(2)y"+25y=0,y|x=o=2,y|x=o=5

解：/+25=0,rx=5z,r2=-5z

通解y=Gcos5x+c2sin5x

代y(0)=2,y'(0)=5解出c]=2,c2=1,特解y=2cos5x+sin5x

⑶y"-4)/+13y=0,y3=2,y[x=o=3

2x

通解y=e(C)cos3x+c2sin3x)

由y(0)=2,y'(0)=3解出q=2,c2=一;

特解y=e2x(2cos3九一;sin3x)

3,設(shè)單擺擺長(zhǎng)為/,質(zhì)量為機(jī)，開(kāi)始時(shí)偏移一個(gè)小角度%,然后放開(kāi)，開(kāi)始自由擺動(dòng).在不

計(jì)空氣阻力條件下，求角位移8隨時(shí)間，變化的規(guī)律.

解：在，時(shí)刻，P點(diǎn)受力機(jī)g中垂直于擺的分量為：F=mgs\n0-mg0,如圖：

此為造成運(yùn)動(dòng)之力.而此時(shí)線加速度a為故有加/W=-mg0.

從而方程為：駕+&e=o,

dt~I

初始條件：。(0)=%，/(0)=0,

解得通解為：6。)=c,cos—x+c2sin

特解為:0(t)=。0COS

4.圓柱形浮筒直徑為0.5m，鉛垂放在水中，當(dāng)稍向下壓后突然放開(kāi)，浮筒在水中上下震動(dòng),

周期為2s,求浮筒質(zhì)量.

AX

'O

1x(f)

解：建立如圖所示的坐標(biāo)系，

取圓筒在平衡時(shí)(此時(shí)重力與浮力相等)筒上一點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)筒在上下振動(dòng)時(shí)該點(diǎn)位移

為x(t),則有⑺=F(x).其中F(t)為由于筒離開(kāi)平衡位置后產(chǎn)生的浮力：

F(t)--7rR2-x-1000g.

|

由此可得振動(dòng)方程：〃?r=—"(—x0.5)2TOOOgx,

dr2

該方程的通解為

,、?llOOOgTT.llOOOgTT

x(r)=Gcos--——t+C,sin--t,

VlornVlorn

根據(jù)周期為T(mén)=2s,獲得r2兀=2,

lOOOgTT

V16m

解出機(jī)=W2些=195伏g).

16%

5.長(zhǎng)為6m的鏈條自桌上無(wú)摩察地向下滑動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)開(kāi)始時(shí)，鏈條自桌上垂下部分長(zhǎng)為1m,

問(wèn)需多少時(shí)間鏈條全部滑過(guò)桌面.

解：坐標(biāo)系如圖，原點(diǎn)于鏈尾點(diǎn)P,鏈條滑過(guò)的方向?yàn)閤軸的正方向建立坐標(biāo)系，

八

O

X

于是x(O)=O,f(O)=O,

由mxr(t)=(1+x)pg.

tn=6p

觀察得一特解：x=-l,

于是通解為：

廊]屈.

66

x-Cie+C2e

求f(),由x(%)=5,

得:t0—^―-In(6+J35)

§7二階常系數(shù)非齊次線性微分方程

1.求下列微分方程的通解

(1)y*+3y'+2y-3xe~x；

解：特征方程為，+3r+2=0,特征根為｛=-2,r2=-1,

2xx

故對(duì)應(yīng)齊次方程通解為y=C,e-+C2e-

本題中2=-1是特征方程的單根，故可設(shè)原方程有特解

代入原方程有[x(Ax++(-1x2+3)[x(Ax+B)[=3x

得4=工3=-3

2

2xx

故原方程通解為y=C1e-+C2e-+%^(|%-3)

(2)y"+5y'+4y=3-2x；

解：特征方程為尸+5r+4=0,特征根為(=一1,4=-4,

故對(duì)應(yīng)齊次方程通解為y=C,e-'+Qe-4'

本題中2=0不是特征方程的根，故可設(shè)原方程有特解

y*=Ax-VB

代入原方程有(Ar+8)”+(0x2+5)(7U+3)'+4(Ax+3)=3-2x

?1_ll

得A=—,BD=—

28

故原方程通解為y=CK*+Ce-4x--x+-

228

(3)y,+4y'=xcosx；

解：特征方程為/+4r=0,特征根為4=0,馬=一4,

x

故對(duì)應(yīng)齊次方程通解為y=G+C2e^

構(gòu)造復(fù)方程y"+4y'=xe&

復(fù)方程中a=i不是特征方程的根，故可設(shè)復(fù)方程有特解

y*=e"(Ar+B)

代入復(fù)方程得

(Ar+B)”+(2i+4)(Ax+8y+(『+4i)(Ar+B)=x

76-2i_2z+4

得4=g

289'-l-4z

u/4i+176—2z：4i+176—2z..

故復(fù)方程有特解y*=(-------x+---------)ex,=(--------x+--------)(cos.x+1sinx)

1728917289

故復(fù)方程特解的實(shí)部---XCOSJC+-^-COSX+—jrsinx+-^-sinx為原方程的

1728917289

一個(gè)特解，

故原方程的通解為y=G+C,e^x——XCOSA：+--^-COS^+—xsinx+—sinx

-,21728917289

(4)y"-y-sin2x；

解：原方程即為y"-y=g-；cos2元

特征方程為1=0,特征根為彳=1,弓=一1,

rx

故對(duì)應(yīng)齊次方程通解為y=Cte+C2e-

顯然y"-y=；有特解M=_g

對(duì)y=-geos2x構(gòu)造復(fù)方程y"+4y'=-^-e2,v

設(shè)復(fù)方程有特解%=ae2ix,代入復(fù)方程有a+⑷+0),+[(2i『-1]a=

2ix

得a=-L,即復(fù)方程有特解y2=—e=—cos2x+/—sin2x

10101010

“1*1

故y-y=一￥(：052不有特解y2==5以)§2工，

所以原方程有特解y*=-!-COS2X-L

102

故原方程有通解y=G"+\cos2x—；

(5)y"+y"-2y'=x(ex+4).

解：特征方程為r+/—2r=0,特征根為4=0,為=一2,4=1

2x

故對(duì)應(yīng)齊次方程通解為y=q+Q,+c3e-

對(duì)y"+y"-2y'=xe*(1),

4=1是(1)特征方程的單根，可設(shè)(1)有特解y=x(Ax+B)ex

14

解得X=x(-x――)ex

69

對(duì)y"+y"-2)/=4x(2),

4=0是(2)特征方程的單根，可設(shè)(2)有特解%=x(Cx+D)

解得％=工(一工一1)

14

故y*=X--)ex+x(-x-1)是原方程的一個(gè)特解

I4

故原方程通解為y=G+C,ex+C3-+x(—x--)ex+x(-x-l)

69

2.求下列微分方程的特解

(1)y,-3y'+2y=5,y(0)=6,yz(0)=2；

2

解：特征方程r-3r+2=0(r-l)(r-2)=0;^=1r2=2

x2x

齊次的通解y=cxe+c2e