上海市二中學2024屆高三六校第一次聯(lián)考數(shù)學試卷含解析

上海市二中學2024屆高三六校第一次聯(lián)考數(shù)學試卷注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．如圖在直角坐標系中，過原點作曲線的切線，切點為，過點分別作、軸的垂線，垂足分別為、，在矩形中隨機選取一點，則它在陰影部分的概率為（）A． B． C． D．2．如圖所示程序框圖，若判斷框內(nèi)為“”，則輸出（）A．2 B．10 C．34 D．983．已知冪函數(shù)的圖象過點，且，，，則，，的大小關系為（）A． B． C． D．4．已知三點A(1,0)，B(0，)，C(2，)，則△ABC外接圓的圓心到原點的距離為()A． B．C． D．5．正三棱柱中，，是的中點，則異面直線與所成的角為（）A． B． C． D．6．數(shù)列滿足：，則數(shù)列前項的和為A． B． C． D．7．已知直線過圓的圓心，則的最小值為（）A．1 B．2 C．3 D．48．定義在R上的函數(shù)y=fx滿足fx≤2x-1A． B． C． D．9．二項式展開式中，項的系數(shù)為（）A． B． C． D．10．以，為直徑的圓的方程是A． B．C． D．11．某工廠一年中各月份的收入、支出情況的統(tǒng)計如圖所示，下列說法中錯誤的是（）．A．收入最高值與收入最低值的比是B．結余最高的月份是月份C．與月份的收入的變化率與至月份的收入的變化率相同D．前個月的平均收入為萬元12．《九章算術》是我國古代數(shù)學名著，書中有如下問題：“今有勾六步，股八步，問勾中容圓，徑幾何？”其意思為：“已知直角三角形兩直角邊長分別為6步和8步，問其內(nèi)切圓的直徑為多少步？”現(xiàn)從該三角形內(nèi)隨機取一點，則此點取自內(nèi)切圓的概率是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．下表是關于青年觀眾的性別與是否喜歡綜藝“奔跑吧，兄弟”的調查數(shù)據(jù)，人數(shù)如下表所示：不喜歡喜歡男性青年觀眾4010女性青年觀眾3080現(xiàn)要在所有參與調查的人中用分層抽樣的方法抽取個人做進一步的調研，若在“不喜歡的男性青年觀眾”的人中抽取了8人，則的值為______.14．在中，角、、所對的邊分別為、、，若，，則的取值范圍是_____．15．已知雙曲線的左右焦點分別關于兩漸近線對稱點重合，則雙曲線的離心率為_____16．在中，，．若，則_________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）△ABC的內(nèi)角的對邊分別為,已知△ABC的面積為(1)求;(2)若求△ABC的周長.18．（12分）某市計劃在一片空地上建一個集購物、餐飲、娛樂為一體的大型綜合園區(qū)，如圖，已知兩個購物廣場的占地都呈正方形，它們的面積分別為13公頃和8公頃；美食城和歡樂大世界的占地也都呈正方形，分別記它們的面積為公頃和公頃；由購物廣場、美食城和歡樂大世界圍成的兩塊公共綠地都呈三角形，分別記它們的面積為公頃和公頃.（1）設，用關于的函數(shù)表示，并求在區(qū)間上的最大值的近似值（精確到0.001公頃）；（2）如果，并且，試分別求出、、、的值.19．（12分）已知函數(shù)．（1）當時，試求曲線在點處的切線；（2）試討論函數(shù)的單調區(qū)間．20．（12分）在平面直角坐標系中，曲線（為參數(shù)），以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸且取相同的單位長度建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.（1）求曲線的普通方程和曲線的普通方程；（2）若P，Q分別為曲線，上的動點，求的最大值.21．（12分）在直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標原點為極點，以軸正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.（1）寫出直線的普通方程和曲線的直角坐標方程；（2）設直線與曲線相交于兩點，的頂點也在曲線上運動，求面積的最大值.22．（10分）已知函數(shù).（Ⅰ）解不等式；（Ⅱ）設其中為常數(shù).若方程在上恰有兩個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

設所求切線的方程為，聯(lián)立，消去得出關于的方程，可得出，求出的值，進而求得切點的坐標，利用定積分求出陰影部分區(qū)域的面積，然后利用幾何概型概率公式可求得所求事件的概率.【詳解】設所求切線的方程為，則，聯(lián)立，消去得①，由，解得，方程①為，解得，則點，所以，陰影部分區(qū)域的面積為，矩形的面積為，因此，所求概率為.故選：A.【點睛】本題考查定積分的計算以及幾何概型，同時也涉及了二次函數(shù)的切線方程的求解，考查計算能力，屬于中等題.2、C【解析】

由題意，逐步分析循環(huán)中各變量的值的變化情況，即可得解.【詳解】由題意運行程序可得：，，，；，，，；，，，；不成立，此時輸出.故選：C.【點睛】本題考查了程序框圖，只需在理解程序框圖的前提下細心計算即可，屬于基礎題.3、A【解析】

根據(jù)題意求得參數(shù)，根據(jù)對數(shù)的運算性質，以及對數(shù)函數(shù)的單調性即可判斷.【詳解】依題意，得，故，故，，，則.故選：A.【點睛】本題考查利用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調性比較大小，考查推理論證能力，屬基礎題.4、B【解析】

選B.考點：圓心坐標5、C【解析】

取中點，連接，，根據(jù)正棱柱的結構性質，得出//，則即為異面直線與所成角，求出，即可得出結果.【詳解】解：如圖，取中點，連接，，由于正三棱柱，則底面，而底面，所以，由正三棱柱的性質可知，為等邊三角形，所以，且,所以平面，而平面，則，則//，，∴即為異面直線與所成角，設，則，，，則，∴.故選：C.【點睛】本題考查通過幾何法求異面直線的夾角，考查計算能力.6、A【解析】分析：通過對an﹣an+1=2anan+1變形可知，進而可知，利用裂項相消法求和即可．詳解：∵，∴，又∵=5，∴，即，∴，∴數(shù)列前項的和為，故選A．點睛：裂項相消法是最難把握的求和方法之一，其原因是有時很難找到裂項的方向，突破這一難點的方法是根據(jù)式子的結構特點，常見的裂項技巧：(1)；（2）；（3）；（4）；此外，需注意裂項之后相消的過程中容易出現(xiàn)丟項或多項的問題，導致計算結果錯誤.7、D【解析】

圓心坐標為，代入直線方程，再由乘1法和基本不等式，展開計算即可得到所求最小值．【詳解】圓的圓心為，由題意可得，即，，，則，當且僅當且即時取等號，故選：．【點睛】本題考查最值的求法，注意運用乘1法和基本不等式，注意滿足的條件：一正二定三等，同時考查直線與圓的關系，考查運算能力，屬于基礎題．8、D【解析】

根據(jù)y=fx+1為奇函數(shù)，得到函數(shù)關于1,0中心對稱，排除AB，計算f1.5≤【詳解】y=fx+1為奇函數(shù)，即fx+1=-f-x+1，函數(shù)關于f1.5≤2故選：D.【點睛】本題考查了函數(shù)圖像的識別，確定函數(shù)關于1,0中心對稱是解題的關鍵.9、D【解析】

寫出二項式的通項公式,再分析的系數(shù)求解即可.【詳解】二項式展開式的通項為,令,得,故項的系數(shù)為.故選：D【點睛】本題主要考查了二項式定理的運算,屬于基礎題.10、A【解析】

設圓的標準方程，利用待定系數(shù)法一一求出，從而求出圓的方程.【詳解】設圓的標準方程為，由題意得圓心為，的中點，根據(jù)中點坐標公式可得，，又，所以圓的標準方程為：，化簡整理得，所以本題答案為A.【點睛】本題考查待定系數(shù)法求圓的方程，解題的關鍵是假設圓的標準方程，建立方程組，屬于基礎題.11、D【解析】由圖可知，收入最高值為萬元，收入最低值為萬元，其比是，故項正確；結余最高為月份，為，故項正確；至月份的收入的變化率為至月份的收入的變化率相同，故項正確；前個月的平均收入為萬元，故項錯誤．綜上，故選．12、C【解析】

利用直角三角形三邊與內(nèi)切圓半徑的關系求出半徑，再分別求出三角形和內(nèi)切圓的面積，根據(jù)幾何概型的概率計算公式，即可求解.【詳解】由題意，直角三角形的斜邊長為，利用等面積法，可得其內(nèi)切圓的半徑為，所以向次三角形內(nèi)投擲豆子，則落在其內(nèi)切圓內(nèi)的概率為.故選：C.【點睛】本題主要考查了面積比的幾何概型的概率的計算問題，其中解答中熟練應用直角三角形的性質，求得其內(nèi)切圓的半徑是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、32【解析】

由已知可得抽取的比例，計算出所有被調查的人數(shù)，再乘以抽取的比例即為分層抽樣的樣本容量.【詳解】由題可知，抽取的比例為，被調查的總人數(shù)為人，則分層抽樣的樣本容量是人.故答案為：32【點睛】本題考查分層抽樣中求樣本容量，屬于基礎題.14、【解析】

計算出角的取值范圍，結合正弦定理可求得的取值范圍.【詳解】，則，所以，，由正弦定理，.因此，的取值范圍是.故答案為：.【點睛】本題主要考查了正弦定理，正弦函數(shù)圖象和性質，考查了轉化思想，屬于基礎題．15、【解析】

雙曲線的左右焦點分別關于兩條漸近線的對稱點重合，可得一條漸近線的斜率為1，即，即可求出雙曲線的離心率．【詳解】解：雙曲線的左右焦點分別關于兩條漸近線的對稱點重合，一條漸近線的斜率為1，即，，，故答案為：．【點睛】本題考查雙曲線的離心率，考查學生的計算能力，確定一條漸近線的斜率為1是關鍵，屬于基礎題．16、【解析】分析：首先設出相應的直角邊長，利用余弦勾股定理得到相應的斜邊長，之后應用余弦定理得到直角邊長之間的關系，從而應用正切函數(shù)的定義，對邊比臨邊，求得對應角的正切值，即可得結果.詳解：根據(jù)題意，設，則，根據(jù)，得，由勾股定理可得，根據(jù)余弦定理可得，化簡整理得，即，解得，所以，故答案是.點睛：該題考查的是有關解三角形的問題，在解題的過程中，注意分析要求對應角的正切值，需要求誰，而題中所給的條件與對應的結果之間有什么樣的連線，設出直角邊長，利用所給的角的余弦值，利用余弦定理得到相應的等量關系，求得最后的結果.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2).【解析】試題分析：（1）由三角形面積公式建立等式，再利用正弦定理將邊化成角，從而得出的值；（2）由和計算出，從而求出角，根據(jù)題設和余弦定理可以求出和的值，從而求出的周長為.試題解析：（1）由題設得，即.由正弦定理得.故.（2）由題設及（1）得，即.所以，故.由題設得，即.由余弦定理得，即，得.故的周長為.點睛:在處理解三角形問題時，要注意抓住題目所給的條件，當題設中給定三角形的面積，可以使用面積公式建立等式，再將所有邊的關系轉化為角的關系，有時需將角的關系轉化為邊的關系；解三角形問題常見的一種考題是“已知一條邊的長度和它所對的角，求面積或周長的取值范圍”或者“已知一條邊的長度和它所對的角，再有另外一個條件，求面積或周長的值”，這類問題的通法思路是：全部轉化為角的關系，建立函數(shù)關系式，如，從而求出范圍，或利用余弦定理以及基本不等式求范圍；求具體的值直接利用余弦定理和給定條件即可.18、（1），最大值公頃；（2）17、25、5、5.【解析】

（1）由余弦定理求出三角形ABC的邊長BC，進而可以求出，，由面積公式求出，，即可求出，并求出最值；（2）由（1）知，，，即可求出、，再算出，代入（1）中表達式求出，?！驹斀狻浚?）由余弦定理得，，所以，，同理可得又，所以，故在區(qū)間上的最大值為，近似值為。（2）由（1）知，，，所以，進而，由知，，，故、、、的值分別是17、25、5、5。【點睛】本題主要考查利用余弦定理解三角形以及同角三角函數(shù)平方關系的應用，意在考查學生的數(shù)學建模以及數(shù)學運算能力。19、（1）；（2）見解析【解析】

（1）對函數(shù)進行求導，可以求出曲線在點處的切線，利用直線的斜截式方程可以求出曲線的切線方程；（2）對函數(shù)進行求導，對實數(shù)進行分類討論，可以求出函數(shù)的單調區(qū)間．【詳解】（1）當時，函數(shù)定義域為，,所以切線方程為；（2）當時，函數(shù)定義域為，在上單調遞增當時，恒成立，函數(shù)定義域為，又在單調遞增，單調遞減，單調遞增當時，函數(shù)定義域為，在單調遞增，單調遞減，單調遞增當時，設的兩個根為且，由韋達定理易知兩根均為正根，且，所以函數(shù)的定義域為，又對稱軸，且，在單調遞增，單調遞減，單調遞增【點睛】本題考查了曲線切線方程的求法，考查了利用函數(shù)的導數(shù)討論函數(shù)的單調性問題，考查了分類思想.20、（1），；（2）【解析】試題分析：（1）由消去參數(shù)，可得的普通方程，由可得的普通方程；（2）設為曲線上一點，點到曲線的圓心的距離，結合可得最值，的最大值為，從而得解.試題解析：（1）的普通方程為.∵曲線的極坐標方程為，∴曲線的普通方程為，即.（2）設為曲線上一點，則點到曲線的圓心的距離.∵，∴當時，d有最大值.又∵P，Q分別為曲線，曲線上動點，∴的最大值為.21、（1）：，：；（2）【解析】

（1）由直線參數(shù)方程消去參數(shù)即可得直線的普通方程，根據(jù)極坐標方程和直角坐標方程互化的公式即可得曲線的直角坐標方程；（2）由即可得的底，由點到直線的距離的最大值為即可得高的最大值，即可得解.【詳解】（1）由消去參數(shù)得直線的普通方程為，由得，曲線的直角坐標方程為；（2）曲線即，圓心到直線的距離，所以，又點到直線的距離的最大值為，所以面積的最大值為.【點睛】本題考查了參數(shù)方程、極坐標方程和直角坐標方程的互化，考查了直線與圓的位置關