兩角和與差的正弦余弦和正切公式教學設計-高一上學期數(shù)學人教A版

第五章三角函數(shù)5.5.1兩角和與差的正弦、余弦和正切公式教學設計教學目標1.了解推導兩角差的余弦公式的過程.2.能從兩角差的余弦公式導出兩角和與差的正弦、余弦、正切公式.3.會用兩角和與差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角公式進行簡單的三角函數(shù)的化簡、求值、證明.教學重難點教學重點：兩角和與差的三角函數(shù)公式的推導及其內在聯(lián)系.教學難點：兩角差的余弦公式的探究.教學過程新課導入前面我們學習了誘導公式，觀察誘導公式，可以發(fā)現(xiàn)它們都是特殊角與任意角的和（或差）的三角函數(shù)與這個任意角的三角函數(shù)的恒等關系.如果把特殊角換為任意角，那么任意角與的和（或差）的三角函數(shù)與，的三角函數(shù)會有什么關系呢？下面來研究這個問題.【設計意圖】加強新舊知識間的聯(lián)系，使學生從直觀角度加強對差角公式結構形式的認識.新知積累探究一：兩角差的余弦公式的推導1.單位圓與三角函數(shù)的定義教師：（1）怎樣作出角，，的終邊？（2）怎樣表示出終邊與單位圓交點的坐標？學生：思考.，，，，教師讓學生學習圓的旋轉對稱性，由此得出.2.在同圓或等圓中，等弧所對的圓心角與弦長相等，由上圖，可以得出.任意一個圓繞著其圓心旋轉任意角后都與原來的圓重合，這一性質叫做圓的旋轉對稱性.3.兩點間的距離公式平面上任意兩點，間的距離公式為.教師指導幫助學生了解兩點間的距離公式的有關內容，根據(jù)這個公式和上面得到的的結論，把點，，，的坐標代入公式中，可以得到兩角差的余弦公式.4.兩角差的余弦公式.提問：左面的公式是在，的情況下得到的，如果，，上述公式還成立嗎？學生：思考討論.總結：此公式給出了任意角，的正弦，余弦與其差角的余弦值，簡記為說明：有了公式以后，我們只要知道，，，的值，就可以求得的值了.例題點撥例1利用公式證明.（1）；（2）.證明：（1）.（2）.例2已知，，，是第三象限角，求的值.解：由，，得.又由，是第三象限角，得.所以.【設計意圖】鍛煉學生動腦、動手的能力，進一步熟悉公式的表達形式.探究二：兩角和與差的正弦、余弦、正切公式1.兩角和的余弦公式的推導兩角和的余弦公式.教師：如何由兩角差的余弦公式得到兩角和的余弦公式？教師引導學生用代換中的，便可得到：.教師：使用條件：，都是任意角，簡記符號：.記憶口訣：“余余正正，符號相反”.2.兩角和與差的正弦公式的推導兩角和與差的正弦公式如何利用兩角差的余弦公式和誘導公式得到兩角和與差的正弦公式？教師：提示學生：在前面我們已經(jīng)學習了誘導公式五（或六）可以實現(xiàn)正弦、余弦的互化，這對我們今天的問題又幫助嗎？學生：動手完成兩角和與差的正弦公式推導過程，得出：，.教師：使用條件：，都是任意角，簡記符號：，.記憶口訣：“正余余正，符號相同”3.兩角和與差的正切公式的推導兩角和與差的正切公式（1）怎樣由兩角和的正弦、余弦公式得到兩角和的正切公式？

教師：引導學生借助同角三角函數(shù)的基本關系式得出結論學生：觀察兩角和與差的正弦、余弦公式并思考得出：，分子分母同除以，便可得到：.（2）由兩角和的正弦公式如何得到兩角差的正切公式？用替換中的即可得到：.（3）對于兩角和與差的正弦公式，思考討論：a.公式是如何推導出來的？有什么限制條件？

b.公式有何特點？

c.公式有何用處？有何變形？師生共同探討：a.必須在定義域范圍內使用上述公式，即，，只要有一個不存在就不能使用這兩個公式，只能（也只需）用誘導公式來解.b.注意公式的結構，尤其是符號.c.的變形：，，.的變形：，，.【設計意圖】在教師的指導下，學生通過合作交流，探究問題，共同完成兩角和與差的正弦、正切公式的推導，提升學生數(shù)學抽象素養(yǎng).例題點撥例3已知，是第四象限角，求，，的值.解：因為，是第四象限角，得，，于是有，，.例4利用和（差）角公式計算下列各式的值：（1）；（2）；（3）．分析：解此類題首先要學會觀察，看題目當中所給的式子與我們所學的兩角和與差正弦、余弦和正切公式中哪個相象.解：（1）；（2）；（3）．【設計意圖】固化概念，提升能力，提升學生的數(shù)學運算素養(yǎng).探究三：二倍角的正弦、余弦、正切公式師：提出問題：在公式，，中對，如何合理賦值，才能出現(xiàn)，，的表達式？請同學們把對應的等式寫出來.生：在公式，，中，令就可以求出，，的表達式.；；.師：對于和，，但是在使用時，要保證分母，且有意義，即，且.當時，的值不存在；當時，的值不存在，故不能用二倍角公式求，此時可以利用誘導公式直接求.【設計意圖】在教師指導下，學生通過合作交流，探究問題，共同完成二倍角公式的推導，提升學生的數(shù)學抽象素養(yǎng).例題點撥例5已知，，求，，的值.分析：已知條件給出了的正弦函數(shù)值.由于是的二倍角，因此可以考慮用倍角公式.解：由，得.又，所以.于是.；.【設計意圖】通過動手，增強學生運用所學知識解決問題的能力，提升學生的數(shù)學運算素養(yǎng).課堂練習1.()A. B. C. D.答案：D解析：解法一，故選D.解法二由題意可知，故選D.2.已知，則()A. B. C.答案：A解析：.3.()A. B. C. D.答案：B解析：，故選B.4.若，則() B. C.答案：D解析：，故選D.5.設為銳角，若，則的值為()A. B. C. D.答案：B解析：因為為銳角，且，所以，所以，故選B.6.若，是方程的兩個根，則____________.答案：解析：因為，是方程的兩個根，所以，，所以.7.已知，，則____________，____________.答