幾何與代數(shù)因“坐標(biāo)法”相得益彰-2019年全國(guó)Ⅰ卷理科第16題的探究及感悟

幾何與代數(shù)因“坐標(biāo)法”相得益彰——2019年全國(guó)Ⅰ卷理科第16題的探究及感悟幾何與代數(shù)是高中數(shù)學(xué)中的兩個(gè)重要分支，它們?cè)跀?shù)學(xué)的發(fā)展中相互滲透、相互促進(jìn)、相得益彰。其中，“坐標(biāo)法”作為幾何與代數(shù)的結(jié)合體，為解決幾何問題提供了一種強(qiáng)有力的工具。2019年全國(guó)Ⅰ卷理科第16題便是一個(gè)很好的例子，我們可以從中探究幾何與代數(shù)因“坐標(biāo)法”相得益彰的本質(zhì)，并從中獲得一些啟示和感悟。首先，我們來(lái)看一下2019年全國(guó)Ⅰ卷理科第16題的內(nèi)容。題目描述了一個(gè)矩形ABCD及其內(nèi)部的一條線段PQ，要求我們求出線段PQ在x軸上的投影Q'。在這個(gè)問題中，我們可以使用坐標(biāo)法來(lái)解決。以矩形ABCD的左下角A為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，設(shè)A點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,0)，D點(diǎn)的坐標(biāo)為(a,b)，其中a和b是正實(shí)數(shù)。根據(jù)矩形的定義，可知B點(diǎn)的坐標(biāo)為(a,0)，C點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,b)。又設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,y)，Q點(diǎn)的坐標(biāo)為(p,q)。根據(jù)題目中的條件，可得到以下幾個(gè)方程：1.PQ與x軸平行，即y=q；2.P點(diǎn)在線段AB上，即0≤x≤a；3.Q點(diǎn)在線段AC上，即0≤p≤a；4.線段PQ的長(zhǎng)度等于b，即√[(x-p)2+(y-q)2]=b。將第1個(gè)方程代入第4個(gè)方程中，并將第2個(gè)方程代入第4個(gè)方程中，化簡(jiǎn)可得：√[x2+(q-b)2]=b——（1）接下來(lái)，我們通過坐標(biāo)法的幾何解釋，將問題轉(zhuǎn)化為幾何形狀上的問題。不難發(fā)現(xiàn)，由方程（1）可知，上述問題實(shí)際上是在橢圓上求解點(diǎn)P的問題。根據(jù)橢圓的特點(diǎn)，在橢圓上，兩點(diǎn)之間的距離之和等于常數(shù)。將方程（1）變形，可得：(x-0)2+(y-(q-b))2=b2上述方程表示了一個(gè)以點(diǎn)A為焦點(diǎn)、以線段BC為長(zhǎng)軸的橢圓。這樣，我們就將原問題轉(zhuǎn)化為求解橢圓上的點(diǎn)P的問題。接下來(lái)的步驟是代數(shù)的求解問題，我們可以利用方程（1）中的幾何解釋來(lái)求出點(diǎn)P的具體坐標(biāo)。首先，我們需要確定橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)，由矩形的性質(zhì)可知，焦點(diǎn)的縱坐標(biāo)為b/2，即焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(0,b/2)。接著，我們?cè)O(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為h，則點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為h-b，代入方程（1）中可得：h2+(h-b)2=b2化簡(jiǎn)上述方程，可求得兩個(gè)解h1和h2，即點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的兩個(gè)可能值。帶入方程（1）中，即可求得點(diǎn)P的縱坐標(biāo)。此時(shí)，我們已經(jīng)得到了線段PQ的具體坐標(biāo)。最后，我們還需求解線段PQ在x軸上的投影Q'的橫坐標(biāo)。由題意可知，線段PQ與x軸平行，且Q點(diǎn)的縱坐標(biāo)為q。通過簡(jiǎn)單的幾何推理可得，點(diǎn)Q'的縱坐標(biāo)也為q，橫坐標(biāo)為p。因此，我們得到了線段PQ在x軸上的投影Q'的坐標(biāo)。通過以上的分析與計(jì)算，我們可以看出，幾何與代數(shù)因“坐標(biāo)法”相得益彰的優(yōu)勢(shì)和作用。首先，坐標(biāo)法能夠?qū)缀紊系膯栴}轉(zhuǎn)化為代數(shù)上的問題，使問題更具體、更易于分析和計(jì)算。其次，坐標(biāo)法能夠?qū)缀螁栴}的解法轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程的求解問題，使問題的求解更一般、更靈活。進(jìn)一步思考，我們可以從這個(gè)問題中得到一些啟示和感悟。首先，幾何與代數(shù)的結(jié)合體“坐標(biāo)法”在解決幾何問題時(shí)表現(xiàn)出了強(qiáng)大的力量，這也為我們解決其他幾何問題提供了新的思路和方法。其次，幾何與代數(shù)因“坐標(biāo)法”相得益彰，不僅可以解決具體的問題，還可以幫助我們理解和發(fā)展數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的一些基本概念和性質(zhì)。最后，探究數(shù)學(xué)中的某個(gè)問題，不僅可以提高自己的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，還能培養(yǎng)我們的數(shù)學(xué)思維能力和解決問題的能力。綜上所述，幾何與代數(shù)因“坐標(biāo)法”相得益彰，這在2019年全國(guó)Ⅰ卷理科第16題中得到了很好的體現(xiàn)。通過分析這個(gè)問題