線性代數(shù)-第四章-(3節(jié))

§3線性方程組解的結(jié)構(gòu)概念2若一個(gè)線性方程組的常數(shù)項(xiàng)都等于0，那么那個(gè)線性方程組叫作齊次線性方程組.咱們看一個(gè)齊次線性方程組那個(gè)方程組老是有解，顯然就是方程組的一個(gè)解，那個(gè)解叫做零解，若方程組還有其他解，那么這些解就叫做非零解.咱們常常希望明白，一個(gè)齊次線性方程組有無非零解，由定理3咱們就當(dāng)即取得.定理4一個(gè)齊次線性方程組（）有非零解的充分必要條件是：它的系數(shù)矩陣的秩r小于它的未知量的個(gè)數(shù)n.概念3設(shè)是齊次線性方程組的r個(gè)解向量，若是知足下列條件：(1)線性無關(guān)；(2)方程組的任意一個(gè)解向量都能由線性表出.則稱為齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系.易見，基礎(chǔ)解系可看成解向量組的一個(gè)極大線性無關(guān)組.定理5齊次線性方程組（）如有非零解，則它必然有基礎(chǔ)解系，且基礎(chǔ)解系所含解向量的個(gè)數(shù)等于nr，其中r是系數(shù)矩陣的秩.證設(shè)齊次線性方程組的系數(shù)矩陣為由定理4知秩r＜n.對A進(jìn)行行初等變換，A可化為與之對應(yīng)的方程組為（）令為自由未知量，得咱們?nèi)∮煽傻脧亩〉玫膎r個(gè)解下面咱們證明就是的基礎(chǔ)解系.第一，這nr個(gè)解向量顯然線性無關(guān).第二，設(shè)()是方程組的任意解，代入方程組得于是，因此方程組的每一個(gè)解向量，都能夠由這nr個(gè)解向量線性表示，所以是方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系，由于方程組與方程組同解，所以也是方程組的基礎(chǔ)解系.定理5實(shí)際上指出了求齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系的一種方式.推論(齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)定理)齊次線性方程組（）如有非零解，則它的通解就是基礎(chǔ)解系的線性組合.例6解齊次線性方程組解齊次線性方程組的系數(shù)矩陣為對A進(jìn)行行初等變換，得由此可看出，ｒ＝２＜4，故有非零解，其對應(yīng)的方程組是把看做自由未知量，令得從而得基礎(chǔ)解系由此，得方程組的通解為(其中為任意實(shí)數(shù)).例7λ取何值時(shí)，方程組有非零解，并求其通解.解由于所給方程組是屬于方程個(gè)數(shù)與未知量的個(gè)數(shù)相同的特殊情形，能夠通過判斷其系數(shù)行列式是不是為零，來肯定方程組是不是有零解.其系數(shù)行列式為當(dāng)|A|=0，即λ=1，4時(shí)，有非零解.將λ=1代入原方程，得方程組的系數(shù)矩陣得同解方程組把看做自由未知量，令=2得從而得基礎(chǔ)解系所以，方程組的通解為x=kξ(k為任意實(shí)數(shù)).同理，當(dāng)λ=4時(shí)，可求得方程組的通解為(k為任意實(shí)數(shù)).例8設(shè)B是一個(gè)三階非零矩陣，它的每一列是齊次方程組的解，求λ的值和|B|.解由于B是一個(gè)三階非零矩陣，所以B中至少有一列向量不是零向量，又由于B的每一列都是上面齊次方程組的解，故該齊次方程組有非零解，從而系數(shù)行列式所以λ=1.當(dāng)λ=1時(shí)，秩R（A）=2從而基礎(chǔ)解系中只含有一個(gè)解向量，因此B的三個(gè)列向量必線性相關(guān)，得|B|=0.下面討論非齊次線性方程組.線性方程組（）稱為非齊次線性方程組(不全為0).若是把它的常數(shù)項(xiàng)都換成0，就取得相應(yīng)的齊次線性方程組，稱它為非齊次線性方程組的導(dǎo)出方程組，簡稱導(dǎo)出組.非齊次線性方程組的解與它的導(dǎo)出組的解之間有如下關(guān)系.定理6(非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)定理)若是線性方程組有解，那么方程組的一個(gè)解與它的導(dǎo)出方程組的解之和是方程組的一個(gè)解，方程組的任意解都可寫成方程組的一個(gè)特解與它的導(dǎo)出方程組的解之和.證設(shè)則方程組可表示為Ax=b，它的導(dǎo)出組可表示為Ａｘ＝０.設(shè)是方程組的一個(gè)特解，是它的導(dǎo)出組的一個(gè)解，于是有那么所以是方程組的一個(gè)解，設(shè)是方程組的任意解，那么.因此是導(dǎo)出組的一個(gè)解，從而.由定理可知，對于非齊次線性方程組在時(shí)，咱們只須先求得它的一個(gè)特解，然后再求它的導(dǎo)出組的通解，由此即可得的全數(shù)解.一般求的一個(gè)特解與求它的導(dǎo)出組的通解可同時(shí)進(jìn)行.例9試求的全數(shù)解.解對增廣矩陣進(jìn)行行初等變換由此可知系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩都是2，故有解.由前述知對應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系(去掉常數(shù)列)為令，得非齊次線性方程組的一個(gè)特解為(不能忽略常數(shù)列)，于是它的全數(shù)解（一般解）為其中為任意實(shí)數(shù).注：在求方程組的特解與它的導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系時(shí)，必然要小心常數(shù)列(項(xiàng))的處置!最好把特解與基礎(chǔ)解系中的解別離代入兩個(gè)方程組進(jìn)行驗(yàn)證.例10設(shè)線性方程組試就p,t討論方程組的解的情形，有解時(shí)并求出解.解對增廣矩陣進(jìn)行行初等變換(1)當(dāng)（p1）t≠0(即p≠1,t≠0)時(shí)，有惟一解(2)當(dāng)p=1，且14t+2pt=12t=0即t=時(shí)，方程組有無窮多解，現(xiàn)在于是方程組的一般解為(k為任意常數(shù)).(3)當(dāng)p=1，但14t+2pt=12t≠0，即t≠(4)當(dāng)t=0時(shí)，14t+2pt=1≠習(xí)題四1.用消元法解下列方程組.(1)(2)2.求下列齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系.(1)(2)(3)(4)3.解下列非齊次線性方程組.(1)(2)(3)(4)4.某工廠有三個(gè)車間，各車間彼此提供產(chǎn)品（或勞務(wù)），今年各車間出廠產(chǎn)量及對其它車間的消耗如下表所示.車間消耗系數(shù)車間123出廠產(chǎn)量（萬元）總產(chǎn)量（萬元）122x120x230x3表中第一列消耗系數(shù),,表示第一車間生產(chǎn)1萬元的產(chǎn)品需別離消耗第一，二，三車間萬元，萬元，萬元的產(chǎn)品；第二列，第三列類同，求今年各車間的總產(chǎn)量.5.λ取何值時(shí)，方程組(1)有惟一解，(2)無解，(3)有無窮多解，并求解.6.齊次方程組當(dāng)λ取何值時(shí)，才可能有非零解?并求解.7.當(dāng)a，b取何值時(shí)，下列線性方程組無解，有惟一解或無窮多解？在有解時(shí)，求出其解.（1）(2)8.設(shè)，求一秩為2的3階方陣B使AB=0.9.已知是三元非齊次線性方程組Ax=b的解，且R（A）=1及求：方程組Ax=b的通解.10.求出一個(gè)齊次線性方程組，使它的基礎(chǔ)解系由下列向量組成.(1)(2)11.設(shè)向量組=（1，0，2，3），=（1，1，3，5），=（1，1，a+2，1），=（1，2，4，a+8），=（1，1，b+3，5）問：（1）a，b為何值時(shí)，不能由，，，線性表出？（2）a，b為何值時(shí)，可由，，，惟一地線性表出？并寫出該表出式.（3）a，b為何值時(shí)，可由，，，線性表出，且該表出不惟一？并寫出該表出式.12.證明：線性方程組有解的充要條件是.13.