集合的基本概念

集合的基本概念3.1集合的基本概念集合的概念是數(shù)學(xué)中的基本概念，故無(wú)法對(duì)集合下一個(gè)確切的定義，正象在幾何中無(wú)法定義點(diǎn)、直線一樣。因此，我們只能對(duì)它進(jìn)行描述。一、集合的概念第2頁(yè),共32頁(yè)，2024年2月25日，星期天集合是人們直觀上或思想上能夠明確區(qū)分的一些確定的、彼此不同的事物或?qū)傩运鶚?gòu)成的整體。每一個(gè)對(duì)象都能確定是不是某一集合的元素，沒(méi)有確定性就不能成為集合，例如“個(gè)子高的同學(xué)”“很小的數(shù)”都不能構(gòu)成集合。

組成集合的事物被稱(chēng)為集合的元素，同一集合中的元素之間可以有某種關(guān)聯(lián)，也可以彼此毫無(wú)關(guān)系。集合中任意兩個(gè)元素都是不同的對(duì)象。如寫(xiě)成{1，1，2}，等同于{1，2}。互異性使集合中的元素沒(méi)有重復(fù)，兩個(gè)相同的對(duì)象在同一個(gè)集合中時(shí)，只能算作這個(gè)集合的一個(gè)元素。

集合中的元素沒(méi)有次序關(guān)系。{a,b,c}{c,b,a}是同一個(gè)集合集合通常用大寫(xiě)英文字母來(lái)標(biāo)記，集合中的元素用小寫(xiě)字母表示第3頁(yè),共32頁(yè)，2024年2月25日，星期天二、集合的表示方法列舉法：常用于表示有限集合，把集合中的所有元素一一列舉出來(lái)﹐寫(xiě)在花括號(hào)內(nèi)﹐這種表示集合的方法叫做列舉法。{1，2，3，……}描述法：常用于表示無(wú)限集合，把集合中元素的公共屬性用文字﹐符號(hào)或式子等描述出來(lái)﹐寫(xiě)在花括號(hào)內(nèi)﹐

如：：A={x|0<x<π}

B=第4頁(yè),共32頁(yè)，2024年2月25日，星期天1.子集、全集與空集子集描述了一個(gè)集合與另一個(gè)集合之間的關(guān)系，其定義如下。定義：

設(shè)A和B是任意兩個(gè)集合，如果集合A的每個(gè)元素，都是集合B中的一個(gè)元素，則稱(chēng)A是B的子集，或稱(chēng)A被包含于B中，或者說(shuō)B包含A，并記為A

B。三、集合間的關(guān)系第5頁(yè),共32頁(yè)，2024年2月25日，星期天本定義也可表成：A

B

(

x)(x

A

x

B)這表明，要證明A

B，只需對(duì)任意元素x，有下式：x

A

x

B成立即可。此外，若集合B不包含集合A，記為A

B。/第6頁(yè),共32頁(yè)，2024年2月25日，星期天定義：

設(shè)A和B是兩個(gè)集合，若A

B且A

B，則稱(chēng)A是B的真子集，記為A

B，也稱(chēng)B真包含A。該定義也可表為：A

B

(A

B

A

B)第7頁(yè),共32頁(yè)，2024年2月25日，星期天定義：設(shè)A和B是兩個(gè)集合，若A

B且B

A，則稱(chēng)A和B相等，記為A=B該定義也可表為：A=B

(A

B

B

A)由以上定義可知，兩個(gè)集合相等的充分必要條件是它們具有相同的元素第8頁(yè),共32頁(yè)，2024年2月25日，星期天定義：沒(méi)有任何元素的集合，稱(chēng)為空集，記為

，它可形式地表為：

={x|P(x)

P(x)}其中P(x)為任何謂詞公式。由定義可知，對(duì)任何集合A，有

A。這是因?yàn)槿我庠豿，公式x

x

A總是為真注:空集包含于任何集合，但不能說(shuō)“空集屬于任何集合”,空集也被認(rèn)為是有限集合

第9頁(yè),共32頁(yè)，2024年2月25日，星期天注意，

與{

}是不同的，空集是唯一的{

}是以

為元素的集合，而

沒(méi)有任何元素能用

構(gòu)成集合的無(wú)限序列：(1)

，{

}，{{

}}，···該序列除第一項(xiàng)外，每項(xiàng)均以前一項(xiàng)為元素的集合。(2)

，{

}，{

，{

}}，···該序列除第一項(xiàng)外，每項(xiàng)均以前面各項(xiàng)為元素的集合第10頁(yè),共32頁(yè)，2024年2月25日，星期天定義：

如果一個(gè)集合包含了所要討論的每一個(gè)集合，則稱(chēng)該集合為全集，記為U或E。它可形式地表為：E={x|P(x)

P(x)}其中P(x)為任何謂詞公式。顯然，全集E即是第二章中的全總論域。于是，每個(gè)元素x都屬于全集E，由定義易知，對(duì)任意集合A，都有A

E。全集是個(gè)相對(duì)性概念，在實(shí)際應(yīng)用中，常常根據(jù)具體問(wèn)題作出選擇。第11頁(yè),共32頁(yè)，2024年2月25日，星期天2．集合的冪集一個(gè)集合的冪集是指該集合所有子集的集合，即是由這些子集所組成的集合族。定義：

設(shè)A為一集合，A的冪集是一集合族，記為P(A)，P(A)={B|B

A}由定義可知，

P(A)，A

P(A)。

注意：n元集合有2n個(gè)子集。若A是n元集，則P(A)有2n個(gè)元素第12頁(yè),共32頁(yè)，2024年2月25日，星期天3．集合的基數(shù)表示集合中元素多少或度量集合大小的數(shù)，稱(chēng)作集合的基數(shù)或勢(shì)。一個(gè)集合A的基數(shù)，記為|A|。如果一個(gè)集合恰有m個(gè)不同的元素，且m是某個(gè)非負(fù)整數(shù)，稱(chēng)該集合是有限的或有窮的，否則稱(chēng)這個(gè)集合為無(wú)限的或無(wú)窮的。第13頁(yè),共32頁(yè)，2024年2月25日，星期天本書(shū)中常見(jiàn)的無(wú)窮集合有：N={0,1,2,3,···}，即自然數(shù)集合。Z={···,-2,-1,0,1,2,3,···}，即整數(shù)集合。Z+={1,2,3,···}，即正整數(shù)集合。Q=有理數(shù)集合。R=實(shí)數(shù)集合。C=復(fù)數(shù)集合。第14頁(yè),共32頁(yè)，2024年2月25日，星期天3.2集合運(yùn)算及其性質(zhì)集合運(yùn)算是指用已知的集合去生成新的集合。假設(shè)所有集合都是全集E的子集，即這些集合是利用子集公理得到的。常見(jiàn)的集合運(yùn)算有：并、交和差運(yùn)算、絕對(duì)補(bǔ)集、對(duì)稱(chēng)差第15頁(yè),共32頁(yè)，2024年2月25日，星期天1．并、交和差運(yùn)算定義:設(shè)A和B是任意兩個(gè)集合，①A和B的并是集合，記為A∪B，A∪B={x|x

A

x

B}②A和B的交是集合，記為A∩B，A∩B={x|x

A

x

B}③

A和B的差，或B關(guān)于A的相對(duì)補(bǔ)是集合，記為A-B，A-B={x|x

A

x

B}第16頁(yè),共32頁(yè)，2024年2月25日，星期天④若A和B是集合，且A∩B=

，則稱(chēng)A和B是不相交的。第17頁(yè),共32頁(yè)，2024年2月25日，星期天2.絕對(duì)補(bǔ)集、對(duì)稱(chēng)差①集合A的絕對(duì)補(bǔ)集是集合（即相對(duì)于全集的補(bǔ) 集），記為～A

～A=E-A={x|x

E

x

A}={x|x

A}例如:全集U={1，2，3，4，5},若A={1，2，5}那么全集有而A中沒(méi)有的3，4就是A的補(bǔ)集。

～A={3，4}。

第18頁(yè),共32頁(yè)，2024年2月25日，星期天②任給集合A和B，A和B的對(duì)稱(chēng)差是集合，記為A

B，A

B=(A-B)∪(B-A)

={x|(x

A

x

B)

(x

B

x

A)}例如：A={a,b,c},B={b,d},

則A

B={a,c,d}

對(duì)稱(chēng)差運(yùn)算的另一種定義是：

A

B=（A∪B）-(A∩B)

第19頁(yè),共32頁(yè)，2024年2月25日，星期天3．文氏圖文氏(Venn)圖是一種利用平面上的點(diǎn)構(gòu)成的圖形來(lái)形象展示集合的一種方法。全集E用一個(gè)矩形的內(nèi)部表示，其他集合用矩形內(nèi)的圓面或一封閉曲線圈成的面積來(lái)表示第20頁(yè),共32頁(yè)，2024年2月25日，星期天（1）等冪律 A∪A=A

A∩A=A（2）結(jié)合律 (A∪B)∪C=A∪(B∪C) (A∩B)∩C=A∩(B∩C)（3）交換律 A∪B=B∪A

A∩B=B∩A（4）分配律 A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C) A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)（5）同一律 A∪

=A

A∩E=A4.主要算律第21頁(yè),共32頁(yè)，2024年2月25日，星期天（6）零律 A∪E=E

A∩

=

（7）排中律

A∪～A=E

A∩～A=

（8）吸收律 A∪(A∩B)=A

A∩(A∪B)=A（9）德·摩根律～(A∪B)=～A∩～B

～(A∩B)=～A∪～B（10）雙重否定律～(～A)=A第22頁(yè),共32頁(yè)，2024年2月25日，星期天（11）排中律A∪～A=E，（12）矛盾律A∩～A=

。推論： ①～A

～B=A

B ②A

B=B

A ③A

A=

第23頁(yè),共32頁(yè)，2024年2月25日，星期天問(wèn)題：如何用集合的概念來(lái)描述一些現(xiàn)實(shí)問(wèn)題？例1：設(shè)某計(jì)算機(jī)允許多道工作（設(shè)在此處道數(shù)為2），其內(nèi)存分配如下：系統(tǒng)區(qū)，第一道作業(yè)區(qū)和公共區(qū)，第二道作業(yè)區(qū)和公共區(qū)。試用集合表示出：⑴第一道作業(yè)的內(nèi)存區(qū)域；⑵第二道作業(yè)的內(nèi)存區(qū)域；⑶第一道作業(yè)不能訪問(wèn)的內(nèi)存區(qū)域；⑷第二道作業(yè)不能訪問(wèn)的內(nèi)存區(qū)域；第24頁(yè),共32頁(yè)，2024年2月25日，星期天⑴第一道作業(yè)的內(nèi)存區(qū)域；⑵第二道作業(yè)的內(nèi)存區(qū)域；⑶第一道作業(yè)不能訪問(wèn)的內(nèi)存

區(qū)域；⑷第二道作業(yè)不能訪問(wèn)的內(nèi)存

區(qū)域；整個(gè)內(nèi)存組成全集E，系統(tǒng)區(qū)為集合S，第一道作業(yè)的專(zhuān)用區(qū)為集合A；第二道作業(yè)的專(zhuān)用區(qū)為集合B；第一、第二道作業(yè)的公共區(qū)為集合C；A∪C第25頁(yè),共32頁(yè)，2024年2月25日，星期天例2：某圖書(shū)館有藏書(shū)100萬(wàn)冊(cè)，有一讀者前往查閱。他希望了解所有19世紀(jì)的以描寫(xiě)農(nóng)民生活為題材的長(zhǎng)篇小說(shuō)以及1979年出版的我國(guó)的不是描寫(xiě)文化大革命的長(zhǎng)篇小說(shuō)之書(shū)名。請(qǐng)將此讀者所要了解之書(shū)名用集合描述。第26頁(yè),共32頁(yè)，2024年2月25日，星期天令：全集E為所有該圖書(shū)館藏書(shū)的書(shū)名集，F(xiàn)為所有十九世紀(jì)的書(shū)所組成的書(shū)名集H為所有描寫(xiě)農(nóng)民生活題材的書(shū)所組成的書(shū)名集R為所有長(zhǎng)篇小說(shuō)所組成的書(shū)名集S為所有1979年出版的書(shū)所組成的書(shū)名集C為所有中國(guó)的書(shū)所組成的書(shū)名集K為所有描寫(xiě)文化大革命的書(shū)所組成的書(shū)名集讀者所要了解之書(shū)名用集合描述如下：(R∩G∩F∩H)∪(S∩C∩～K)第27頁(yè),共32頁(yè)，2024年2月25日，星期天3.3集合中元素的計(jì)數(shù)1.基數(shù)：表示集合中所含元素多少的量記作：或cardA=n2.有窮集和無(wú)窮集定義：設(shè)A為集合，若存在自然數(shù)n（0也是自然數(shù)）。使得cardA=n，則稱(chēng)A為有窮集，否則稱(chēng)A為有無(wú)窮集第28頁(yè),共32頁(yè)，2024年2月25日，星期天3.包含排斥原理（1）兩個(gè)集合的基數(shù)關(guān)系

設(shè)A1，A2為有限集合，其元素個(gè)數(shù)分別記為|A1|，|A2|，根據(jù)集合運(yùn)算的定義，顯然以下各式成立

|A1∪A2|≤|A1|+|A2|

|A1∩A2|≤min(|A1|，|A2|)

|A1-A2|≥|A1|-|A2|，

|A1⊕A2|＝|A1|+|A2|-2|A1∩A2|

第29頁(yè),共32頁(yè)，2024年2月25日，星期天（2）兩個(gè)集合的包含排斥原理：|A1∪A2|＝(|A1|+|A2|)-|A1∩A2|

|A1∩A2|＝|S|-(|A1|+|A2|)+|A1∩A2|

∵～A1∩～A2=～(A