2022-2023學(xué)年高二物理同步講義（人教）2.3 簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的回復(fù)力和能量（教師版）

第03講簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的回復(fù)力和能量目標(biāo)導(dǎo)航目標(biāo)導(dǎo)航課程標(biāo)準(zhǔn)課標(biāo)解讀1．掌握簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的定義.2．了解簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)特征.3．掌握簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)回復(fù)力的特征．4．了解簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的能量變化規(guī)律．5．對(duì)水平的彈簧振子，能定性地說(shuō)明彈性勢(shì)能與動(dòng)能的轉(zhuǎn)化過(guò)程．1．知道回復(fù)力的概念，了解它的來(lái)源。2．理解從力的角度來(lái)定義的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。3．理解簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)中位移、回復(fù)力、加速度、速度、能量等各物理量的變化規(guī)律。4．掌握簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)公式.5．知道簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)中機(jī)械能守恒，能量大小與振幅有關(guān)。會(huì)用能量守恒的觀點(diǎn)分析水平彈簧振子中動(dòng)能、勢(shì)能、總能量的變化規(guī)律。知識(shí)精講知識(shí)精講知識(shí)點(diǎn)01簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的回復(fù)力1．簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)定義：如果質(zhì)點(diǎn)所受的力與它偏離平衡位置位移的大小成正比，并且總是指向平衡位置，質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)就是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。2．回復(fù)力：由于力的方向總是指向平衡位置，它的作用總是要把物體拉回到平衡位置，所以通常把這個(gè)力稱為回復(fù)力。3．彈簧振子的回復(fù)力與位移的關(guān)系：F＝－kx，式中k是彈簧的勁度系數(shù)。4．回復(fù)力的性質(zhì)：回復(fù)力是根據(jù)力的效果命名的，它可以是一個(gè)力，也可以是多個(gè)力的合力，還可以由某個(gè)力的分力提供．如圖甲所示，水平方向的彈簧振子，彈力充當(dāng)回復(fù)力；如圖乙所示，豎直方向的彈簧振子，彈力和重力的合力充當(dāng)回復(fù)力；如圖丙所示，m隨M一起振動(dòng)，m的回復(fù)力是靜摩擦力．5．簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的回復(fù)力的特點(diǎn)(1)由F＝－kx知，簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的回復(fù)力大小與振子的位移大小成正比，回復(fù)力的方向與位移的方向相反，即回復(fù)力的方向總是指向平衡位置．(2)公式F＝－kx中的k指的是回復(fù)力與位移的比例系數(shù)，而不一定是彈簧的勁度系數(shù)，系數(shù)k由振動(dòng)系統(tǒng)自身決定．(3)根據(jù)牛頓第二定律得，a＝eq\f(F,m)＝－eq\f(k,m)x，表明彈簧振子做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)時(shí)振子的加速度大小也與位移大小成正比，加速度方向與位移方向相反．【即學(xué)即練1】(多選)如圖所示，彈簧振子在光滑水平桿上的A、B之間做往復(fù)運(yùn)動(dòng)，O為平衡位置，下列說(shuō)法正確的是()A．彈簧振子運(yùn)動(dòng)過(guò)程中受重力、支持力和彈簧彈力的作用B．彈簧振子運(yùn)動(dòng)過(guò)程中受重力、支持力、彈簧彈力和回復(fù)力作用C．振子由A向O運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，回復(fù)力逐漸增大D．振子由O向B運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，回復(fù)力的方向指向平衡位置【解析】回復(fù)力是根據(jù)效果命名的力，不是做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的物體受到的具體的力，它是由物體受到的具體的力所提供的，在題圖情景中彈簧的彈力充當(dāng)回復(fù)力，故A正確，B錯(cuò)誤；回復(fù)力與位移的大小成正比，由A向O運(yùn)動(dòng)過(guò)程中位移的大小在減小，故此過(guò)程中回復(fù)力逐漸減小，C錯(cuò)誤；回復(fù)力總是指向平衡位置，故D正確．【答案】AD【即學(xué)即練2】如圖所示，質(zhì)量為m的物體A放置在質(zhì)量為M的物體B上，B與彈簧相連，它們一起在光滑水平面上做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，振動(dòng)過(guò)程中A、B之間無(wú)相對(duì)運(yùn)動(dòng)，設(shè)彈簧的勁度系數(shù)為k，當(dāng)物體離開平衡位置的位移為x時(shí)，A、B間摩擦力的大小等于()A．0B．kxC．eq\f(m,M)kxD．eq\f(m,M＋m)kx【解析】當(dāng)物體離開平衡位置的位移為x時(shí)，回復(fù)力(即彈簧彈力)的大小為kx，以整體為研究對(duì)象，此時(shí)m與M具有相同的加速度，根據(jù)牛頓第二定律得kx＝(m＋M)a，得a＝eq\f(kx,M＋m)，以A為研究對(duì)象，使m產(chǎn)生加速度的力即為B對(duì)A的靜摩擦力F，由牛頓第二定律可得F＝ma＝eq\f(m,M＋m)kx，D正確．【答案】D【歸納總結(jié)】理解回復(fù)力的兩點(diǎn)注意(1)分析物體做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的回復(fù)力，首先要明確回復(fù)力是效果力，是由物體受到的力來(lái)充當(dāng)?shù)?，不要認(rèn)為回復(fù)力是物體受到的一種新力．(2)對(duì)于相關(guān)聯(lián)的多個(gè)物體，整體法和隔離法在分析簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)時(shí)，仍然適用．知識(shí)點(diǎn)02簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的能量1．能量轉(zhuǎn)化：彈簧振子運(yùn)動(dòng)的過(guò)程就是動(dòng)能和勢(shì)能互相轉(zhuǎn)化的過(guò)程。(1)在最大位移處，勢(shì)能最大，動(dòng)能為零。(2)在平衡位置處，動(dòng)能最大，勢(shì)能最小。2．能量特點(diǎn)：在簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)中，振動(dòng)系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，而在實(shí)際運(yùn)動(dòng)中都有一定的能量損耗，因此簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)是一種理想化的模型。3．簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)：如圖所示的彈簧振子．振子的運(yùn)動(dòng)位移加速度速度動(dòng)能勢(shì)能O→B增大，方向向右增大，方向向左減小，方向向右減小增大B最大最大00最大B→O減小，方向向右減小，方向向左增大，方向向左增大減小O00最大最大0O→C增大，方向向左增大，方向向右減小，方向向左減小增大C最大最大00最大C→O減小，方向向左減小，方向向右增大，方向向右增大減小說(shuō)明:簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的位移、回復(fù)力、加速度、速度都隨時(shí)間做周期性變化（正弦或余弦函數(shù)），變化周期為T，振子的動(dòng)能、勢(shì)能也做周期性變化，周期為T/2。(1)凡離開平衡位置的過(guò)程，v、Ek均減小，x、F、a、EP均增大；凡向平衡位置移動(dòng)時(shí)，v、Ek均增大,x、F、a、EP均減小.(2)在平衡位置時(shí)，x、F、a為零，EP最小，v、Ek最大；在最大位移時(shí)，x、F、a、EP最大，v、Ek最為零；(3)在平衡位置兩側(cè)的對(duì)稱點(diǎn)上,x、F、a、v、Ek、EP的大小均相同．(4)在簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)中，位移、回復(fù)力、加速度和勢(shì)能四個(gè)物理量同時(shí)增大或減小，與速度和動(dòng)能的變化步調(diào)相反．(5)平衡位置是位移、加速度和回復(fù)力方向變化的轉(zhuǎn)折點(diǎn)．(6)最大位移處是速度方向變化的轉(zhuǎn)折點(diǎn)．(7)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的位移與前面學(xué)過(guò)的位移不同，簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的位移是從平衡位置指向某一位置的有向線段，位移起點(diǎn)是平衡位置，是矢量．4．因x＝Asin(ωt＋φ)，故回復(fù)力F＝－kx＝－kAsin(ωt＋φ)，可見回復(fù)力隨時(shí)間按正弦規(guī)律變化。5．表達(dá)式中k雖然是系數(shù)，但有單位，其單位是由F和x的單位決定的，即為N/m。6．簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)中，x變化，回復(fù)力F隨之改變，可見a＝eq\f(F,m)也是隨x在改變，所以簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)是一個(gè)變加速運(yùn)動(dòng)。其位移跟加速度的關(guān)系為a＝－eq\f(k,m)x，加速度大小跟位移大小成正比，方向相反?！炯磳W(xué)即練3】如圖所示為一彈簧振子的振動(dòng)圖象，在A、B、C、D、E、F各時(shí)刻中：(1)哪些時(shí)刻振子有最大動(dòng)能？(2)哪些時(shí)刻振子有相同速度？(3)哪些時(shí)刻振子有最大勢(shì)能？(4)哪些時(shí)刻振子有相同的最大加速度？【解析】由題圖知，B、D、F時(shí)刻振子在平衡位置，具有最大動(dòng)能，此時(shí)振子的速率最大；A、C、E時(shí)刻振子在最大位移處，具有最大勢(shì)能，此時(shí)振子的速度為0.B、F時(shí)刻振子向負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，D時(shí)刻振子向正方向運(yùn)動(dòng)，可知D時(shí)刻與B、F時(shí)刻雖然速率相同，但方向相反．A、E兩時(shí)刻振子的位移相同，C時(shí)刻振子的位移雖然大小與A、E兩時(shí)刻相同，但方向相反．由回復(fù)力知識(shí)可知C時(shí)刻與A、E時(shí)刻振子受力大小相等，但方向相反，故加速度大小相等，方向相反．【答案】(1)B、D、F時(shí)刻振子有最大動(dòng)能(2)A、C、E時(shí)刻振子速度相同，B、F時(shí)刻振子速度相同(3)A、C、E時(shí)刻振子有最大勢(shì)能(4)A、E時(shí)刻振子有相同的最大加速度【歸納總結(jié)】對(duì)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)能量的三點(diǎn)認(rèn)識(shí)(1)決定因素：對(duì)于一個(gè)確定的振動(dòng)系統(tǒng)，簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的能量由振幅決定，振幅越大，系統(tǒng)的能量越大．(2)能量獲得：系統(tǒng)開始振動(dòng)的能量是通過(guò)外力做功由其他形式的能轉(zhuǎn)化來(lái)的．(3)能量轉(zhuǎn)化：當(dāng)振動(dòng)系統(tǒng)自由振動(dòng)后，如果不考慮阻力作用，系統(tǒng)只發(fā)生動(dòng)能和勢(shì)能的相互轉(zhuǎn)化，機(jī)械能守恒．能力拓展能力拓展考法01連接體的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的回復(fù)力的變化【典例1】光滑的水平面上放有質(zhì)量分別為m和eq\f(1,2)m的兩木塊，下方木塊與一勁度系數(shù)為k的彈簧相連，彈簧的另一端固定在墻上，如圖所示。已知兩木塊之間的最大靜摩擦力為Ff，為使這兩個(gè)木塊組成的系統(tǒng)能像一個(gè)整體一起振動(dòng)，系統(tǒng)的最大振幅為A．eq\f(Ff,k) B．eq\f(2Ff,k) C．eq\f(3Ff,k)D．eq\f(4Ff,k)【解析】質(zhì)量分別為m和eq\f(1,2)m的兩木塊作為一個(gè)整體同步振動(dòng)，兩者具有相同的加速度。當(dāng)兩木塊之間靜摩擦力達(dá)到最大值Ff時(shí)，eq\f(1,2)m木塊的加速度達(dá)到最大值eq\f(2Ff,m)，此時(shí)兩木塊組成的系統(tǒng)的加速度也達(dá)到最大值eq\f(2Ff,m)，彈簧彈力達(dá)到最大值Fmax＝(m＋eq\f(1,2)m)amax＝3Ff，此時(shí)系統(tǒng)的位移大小即為振幅達(dá)到最大值A(chǔ)max＝eq\f(Fmax,k)＝eq\f(3Ff,k)?！敬鸢浮緾【歸納總結(jié)】理解回復(fù)力的兩點(diǎn)注意(1)分析物體做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的回復(fù)力，首先要明確回復(fù)力是效果力，是由物體受到的力來(lái)充當(dāng)?shù)?，不要認(rèn)為回復(fù)力是物體受到的一種新力．(2)對(duì)于相關(guān)聯(lián)的多個(gè)物體，整體法和隔離法在分析簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)時(shí)，仍然適用．簡(jiǎn)諧振動(dòng)能量的變化考法02簡(jiǎn)諧振動(dòng)中能量的變化【典例2】(多選)如圖所示是彈簧振子做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的振動(dòng)圖像，可以判定()A．從t1到t2時(shí)間內(nèi)系統(tǒng)的動(dòng)能不斷增大，勢(shì)能不斷減小B．從t2到t3時(shí)間內(nèi)振幅不斷增大C．t3時(shí)刻振子處于平衡位置處，動(dòng)能最大D．t1、t4時(shí)刻振子的動(dòng)能、速度都相同【解析】t1到t2時(shí)間內(nèi)，x減小，彈力做正功，系統(tǒng)的動(dòng)能不斷增大，勢(shì)能不斷減小，A項(xiàng)正確；振幅不隨時(shí)間而改變，B項(xiàng)錯(cuò)誤；t3時(shí)刻振子位移為零，速度最大，動(dòng)能最大，C項(xiàng)正確；t1和t4時(shí)刻振子位移相同，即位于同一位置，其速度等大反向，但動(dòng)能相同D項(xiàng)錯(cuò)誤．【答案】AC【歸納總結(jié)】(1)最大位移處、平衡位置處物理量的大小：簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)中的最大位移處，F(xiàn)、a、Ep最大，Ek＝0；在平衡位置，F(xiàn)＝0，a＝0，x＝0，Ep＝0，而Ek最大。(2)豎直彈簧振子的能量組成：對(duì)豎直彈簧振子來(lái)說(shuō)，振動(dòng)能量包含動(dòng)能、彈性勢(shì)能、重力勢(shì)能?？挤?3簡(jiǎn)諧振動(dòng)中各量的比較【典例3】一質(zhì)點(diǎn)做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，其振動(dòng)圖象如圖所示，在t1和t2時(shí)刻的位移為x1＝x2＝7cm，在t3時(shí)刻的振動(dòng)位移為x3＝－5cm，以v1、v2、v3和a1、a2、a3分別表示t1、t2、t3時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)速度大小和加速度大小，則以下關(guān)系正確的是()A．v1＝v2＞v3a1＝a2＞a3B．v1＝v2＜v3a1＝a2＜a3C．v1＝v2＞v3a1＝a2＜a3D．v1＝v2＜v3a1＝a2＞a3【解析】x1＝x2＞|x3|，故t1、t2、t3時(shí)刻的勢(shì)能關(guān)系為Ep1＝Ep2＞Ep3，據(jù)機(jī)械能守恒定律知，相應(yīng)的三個(gè)時(shí)刻的動(dòng)能關(guān)系為eq\f(1,2)mveq\o\al(2,1)＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,2)<eq\f(1,2)mveq\o\al(2,3)，則v1＝v2＜v3；加速度大小a1＝eq\f(kx1,m)，a2＝eq\f(kx2,m)，a3＝eq\f(k,m)|x3|，故a1＝a2＞a3，D選項(xiàng)正確．【答案】D題組A基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練1．做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的彈簧振子質(zhì)量為0.2kg，當(dāng)它運(yùn)動(dòng)到平衡位置左側(cè)20cm時(shí)受到的回復(fù)力是4N；當(dāng)它運(yùn)動(dòng)到平衡位置右側(cè)40cm時(shí)，它的加速度為()A．20m/s2，向右 B．20m/s2，向左C．40m/s2，向右 D．40m/s2，向左【解析】由力和位移的大小關(guān)系F＝kx可知，當(dāng)x＝40cm時(shí)，F(xiàn)＝8N，a＝eq\f(F,m)＝40m/s2，方向指向平衡位置，因此方向向左，D正確?！敬鸢浮緿2．(多選)一彈簧振子振動(dòng)過(guò)程中的某段時(shí)間內(nèi)其加速度的值越來(lái)越小，則在這段時(shí)間內(nèi)()A．振子的速度越來(lái)越大B．振子正在向平衡位置運(yùn)動(dòng)C．振子的速度方向與回復(fù)力方向相反D．振子正在遠(yuǎn)離平衡位置【解析】彈簧振子加速度的值越來(lái)越小，位移也必然越來(lái)越小，說(shuō)明振子正在向平衡位置運(yùn)動(dòng)，選項(xiàng)B正確，D錯(cuò)誤；振子正在向平衡位置運(yùn)動(dòng)，振子的速度越來(lái)越大，選項(xiàng)A正確；當(dāng)振子向平衡位置運(yùn)動(dòng)時(shí)，速度方向與加速度方向一致，即振子的速度方向與回復(fù)力方向相同，當(dāng)振子遠(yuǎn)離平衡位置時(shí)，速度方向與回復(fù)力方向相反，選項(xiàng)C錯(cuò)誤．【答案】AB3．如圖甲所示，一彈簧振子在AB間做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，O為平衡位置，如圖乙是振子做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)時(shí)的位移—時(shí)間圖像，則關(guān)于振子的加速度隨時(shí)間的變化規(guī)律，下列四個(gè)圖像中正確的是()【解析】加速度與位移關(guān)系a＝－eq\f(kx,m)，而x＝Asin(ωt＋φ)，所以a＝－eq\f(kA,m)sin(ωt＋φ)，則可知C選項(xiàng)正確．【答案】C4．(多選)做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的彈簧振子，質(zhì)量為m，最大速率為v，則下列說(shuō)法正確的是()A．從某一時(shí)刻算起，在半個(gè)周期的時(shí)間內(nèi)，回復(fù)力做的功一定為零B．從某一時(shí)刻算起，在半個(gè)周期的時(shí)間內(nèi)，回復(fù)力做的功可能是零到eq\f(1,2)mv2之間的某一個(gè)值C．從某一時(shí)刻算起，在半個(gè)周期的時(shí)間內(nèi)，速度變化量一定為零D．從某一時(shí)刻算起，在半個(gè)周期的時(shí)間內(nèi)，速度變化量的大小可能是零到2v之間的某一個(gè)值【解析】彈簧振子在半個(gè)周期內(nèi)剛好到達(dá)與初位置關(guān)于平衡位置對(duì)稱的位置，兩位置的速度大小相等，故由動(dòng)能定理知，回復(fù)力做的功一定為零，則A正確，B錯(cuò)誤.由于速度反向(初位置在最大位移處時(shí)速度為零)，所以在半個(gè)周期內(nèi)速度變化量的大小為初速度大小的2倍，因此在半個(gè)周期內(nèi)速度變化量的大小應(yīng)為零到2v之間的某一個(gè)值，則C錯(cuò)誤，D正確．故正確選項(xiàng)為A、D.【答案】AD5．把一個(gè)小球套在光滑細(xì)桿上，小球與輕彈簧相連組成彈簧振子，小球沿桿在水平方向做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，它的平衡位置為O，在A、B間振動(dòng)，如圖所示，下列結(jié)論正確的是()A．小球在O位置時(shí)，動(dòng)能最大，加速度最小B．小球在A、B位置時(shí)，動(dòng)能最大，加速度最大C．小球從A經(jīng)O到B的過(guò)程中，回復(fù)力一直做正功D．小球從A經(jīng)O到B的過(guò)程中，回復(fù)力一直做負(fù)功【解析】小球在平衡位置時(shí)動(dòng)能最大，加速度為零；小球在A、B位置時(shí)，動(dòng)能最小，為零，加速度最大，A正確，B錯(cuò)誤；小球靠近平衡位置時(shí)，回復(fù)力做正功；遠(yuǎn)離平衡位置時(shí)，回復(fù)力做負(fù)功，C、D錯(cuò)誤．【答案】A6．公路上勻速行駛的貨車受一擾動(dòng)，車上貨物隨車廂底板上下振動(dòng)但不脫離底板。一段時(shí)間內(nèi)貨物在豎直方向的振動(dòng)可視為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，周期為T。取豎直向上為正方向，以某時(shí)刻為計(jì)時(shí)起點(diǎn)，其振動(dòng)圖象如圖所示，則()A．t＝eq\f(1,4)T時(shí)，貨物對(duì)車廂底板的壓力最大B．t＝eq\f(1,2)T時(shí)，貨物對(duì)車廂底板的壓力最小C．t＝eq\f(3,4)T時(shí)，貨物對(duì)車廂底板的壓力最大D．t＝eq\f(3,4)T時(shí)，貨物對(duì)車廂底板的壓力最小【解析】要使貨物對(duì)車廂底板的壓力最大，則車廂底板對(duì)貨物的支持力最大，則要求貨物向上的加速度最大，由振動(dòng)圖象可知在t＝eq\f(3,4)T時(shí)，貨物向上的加速度最大，則選項(xiàng)A錯(cuò)誤，選項(xiàng)C正確；貨物對(duì)車廂底板的壓力最小，則車廂底板對(duì)貨物的支持力最小，則要求貨物向下的加速度最大，由振動(dòng)圖象可知在t＝eq\f(T,4)時(shí)，貨物向下的加速度最大，所以選項(xiàng)B、D錯(cuò)誤?！敬鸢浮緾7．(多選)如圖所示，輕質(zhì)彈簧下掛重為300N的物體A時(shí)伸長(zhǎng)了3cm，再掛上重為200N的物體B時(shí)又伸長(zhǎng)了2cm，現(xiàn)將A、B間的細(xì)線燒斷，使A在豎直平面內(nèi)振動(dòng)，則()A．最大回復(fù)力為500N，振幅為5cmB．最大回復(fù)力為200N，振幅為2cmC．只減小A的質(zhì)量，振動(dòng)的振幅變小，周期不變D．只減小B的質(zhì)量，振動(dòng)的振幅變小，周期不變【解析】輕質(zhì)彈簧下掛重為300N的物體A時(shí)伸長(zhǎng)了3cm，再掛上重為200N的物體B時(shí)又伸長(zhǎng)了2cm，故勁度系數(shù)為k＝eq\f(F,x)＝eq\f(300N,0.03m)＝10000N/m，若將連接A、B兩物體的細(xì)線燒斷，物體A將做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，燒斷瞬間，合力充當(dāng)回復(fù)力；由于細(xì)線燒斷前是平衡狀態(tài)，燒斷后細(xì)線對(duì)A的拉力減小了200N，而彈力不變，故合力為200N，故最大回復(fù)力為200N，剛剪斷細(xì)線時(shí)物體的加速度最大，此處相當(dāng)于是物體A到達(dá)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的最大位移處，故振幅為2cm，故A錯(cuò)B對(duì)；只減小A的質(zhì)量，A振動(dòng)的平衡位置上移，振動(dòng)的幅度變大，而周期與振幅無(wú)關(guān)，所以周期不變，故C錯(cuò)誤；只減小B的質(zhì)量，振動(dòng)的幅度變小，而周期與振幅無(wú)關(guān)，所以周期不變，故D正確?！敬鸢浮緽D8．一質(zhì)點(diǎn)做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，其位移和時(shí)間的關(guān)系如圖所示．(1)求t＝0.25×10－2s時(shí)質(zhì)點(diǎn)的位移；(2)在t＝1.5×10－2s到t＝2×10－2s的振動(dòng)過(guò)程中，質(zhì)點(diǎn)的位移、回復(fù)力、速度、動(dòng)能、勢(shì)能如何變化？(3)在t＝0到t＝8.5×10－2s時(shí)間內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)的路程、位移各多大？【解析】(1)由題圖可知A＝2cm，T＝2×10－2s，振動(dòng)方程為x＝Asin(ωt－eq\f(π,2))＝－Acosωt＝－2coseq\f(2π,2×10－2)tcm＝－2cos100πtcm當(dāng)t＝0.25×10－2s時(shí)，x＝－2coseq\f(π,4)cm＝－eq\r(2)cm.(2)由題圖可知在1.5×10－2s到2×10－2s的振動(dòng)過(guò)程中，質(zhì)點(diǎn)的位移變大，回復(fù)力變大，速度變小，動(dòng)能變小，勢(shì)能變大．(3)在t＝0到t＝8.5×10－2s時(shí)間內(nèi)經(jīng)歷eq\f(17,4)個(gè)周期，質(zhì)點(diǎn)的路程為s＝17A＝34cm，位移為2cm.【答案】(1)－eq\r(2)cm(2)變大變大變小變小變大(3)34cm2cm9．測(cè)物體的質(zhì)量可以有很多方法，可以用天平直接測(cè)出，也可以利用所學(xué)的彈簧振子的知識(shí)來(lái)測(cè)量．如圖所示是一個(gè)測(cè)物體質(zhì)量的裝置，其中彈簧是輕質(zhì)彈簧，P是水平面，A是質(zhì)量為M的帶夾子的標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量的物體，Q是待測(cè)物體．已知該裝置的彈簧振子做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)時(shí)的周期為T＝πeq\r(\f(2m,k))，其中m是振子的質(zhì)量，k是彈簧的勁度系數(shù)．當(dāng)只有A物體振動(dòng)時(shí)，測(cè)得其振動(dòng)周期為T1，將待測(cè)物體Q固定在A上后，測(cè)得振動(dòng)周期為T2，則待測(cè)物體的質(zhì)量為多少？【解析】設(shè)待測(cè)物體的質(zhì)量為m′，由周期公式T＝πeq\r(\f(2m,k))知T1＝πeq\r(\f(2M,k))①T2＝πeq\r(\f(2M＋\a\vs4\al(m′),k))②由①②解得m′＝eq\f(MT22－T12,T12).【答案】eq\f(MT22－T12,T12)題組B能力提升練1．(多選)如圖所示，一豎直放置的輕彈簧下端固定在水平地面上，質(zhì)量為m，可視為質(zhì)點(diǎn)的小球從彈簧正上方h處自由下落到彈簧上端A點(diǎn)處，然后壓縮彈簧到最低點(diǎn)C，若小球放在彈簧上可靜止在B點(diǎn)(B點(diǎn)未畫出)．小球運(yùn)動(dòng)過(guò)程中空氣阻力忽略不計(jì)，則下列說(shuō)法正確的是(g為重力加速度)()A．B點(diǎn)位于AC連線中點(diǎn)的上方B．B點(diǎn)位于AC連線中點(diǎn)的下方C．小球在A點(diǎn)的回復(fù)力等于mgD．小球在C點(diǎn)的回復(fù)力大于mg【解析】小球放在彈簧上，可以靜止于B點(diǎn)，知B點(diǎn)為平衡位置，若小球從A點(diǎn)靜止釋放，平衡位置在A點(diǎn)和最低點(diǎn)的中點(diǎn)，而小球從彈簧正上方下落，在A點(diǎn)有向下的速度，故最低點(diǎn)需下移，但平衡位置不變，所以B在AC連線中點(diǎn)的上方，故A正確，B錯(cuò)誤；小球在A點(diǎn)彈力為零，則小球在A點(diǎn)所受的合力為mg，即回復(fù)力為mg，故C正確；由振動(dòng)的對(duì)稱性可知，小球在C點(diǎn)的回復(fù)力大于mg，故D正確．【答案】ACD2．(多選)如圖所示，物體m系在兩彈簧之間，彈簧勁度系數(shù)分別為k1和k2，且k1＝k，k2＝2k，兩彈簧均處于自然狀態(tài)，今向右拉動(dòng)m，然后釋放，物體在B、C間振動(dòng)，O為平衡位置(不計(jì)阻力)，則下列判斷正確的是()A．m做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，OC＝OBB．m做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，OC≠OBC．回復(fù)力F＝－kxD．回復(fù)力F＝－3kx【解析】m在平衡位置O處兩彈簧均處于原長(zhǎng)狀態(tài)，則m振動(dòng)后任取一位置A，如圖．設(shè)在A處m的位移為x，則在A處m在水平方向的合力F＝k2x＋k1x＝(k2＋k1)x，考慮到回復(fù)力F與x方向關(guān)系有F＝－(k2＋k1)x＝－3kx，選項(xiàng)D正確，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；可見m做的是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，由簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱性可得OC＝OB，選項(xiàng)A正確，B項(xiàng)錯(cuò)誤．【答案】AD3．(多選)一個(gè)彈簧振子，做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期為T，設(shè)t1時(shí)刻振子不在平衡位置，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間到t2時(shí)刻，振子的速度與t1時(shí)刻的速度大小相等、方向相同，若t2－t1<eq\f(T,2)，則()A．t2時(shí)刻振子的加速度一定跟t1時(shí)刻大小相等、方向相反B．在t1～t2的中間時(shí)刻，振子處在平衡位置C．從t1到t2時(shí)間內(nèi)，振子的運(yùn)動(dòng)方向不變D．從t1到t2時(shí)間內(nèi)，振子所受回復(fù)力的方向不變【解析】彈簧振子在t1、t2兩個(gè)不同時(shí)刻的振動(dòng)圖象如圖所示，由圖可知t1、t2時(shí)刻的加速度大小相等、方向相反，A正確；且在t1～t2的中間時(shí)刻，振子處于平衡位置，B正確；在t1～t2時(shí)間內(nèi)，振子的運(yùn)動(dòng)方向都沿y軸的正方向，故運(yùn)動(dòng)方向不變，C正確；從t1到t2時(shí)間內(nèi)，位移方向發(fā)生了變化，振子所受回復(fù)力的方向發(fā)生了變化，D錯(cuò)誤．【答案】ABC4．如圖甲所示，懸掛在豎直方向上的彈簧振子，周期T＝2s，從最低點(diǎn)位置向上運(yùn)動(dòng)時(shí)開始計(jì)時(shí)，在一個(gè)周期內(nèi)的振動(dòng)圖象如圖乙所示．關(guān)于這個(gè)圖象，下列說(shuō)法正確的是()A．t＝1.25s，振子的加速度為正，速度也為正B．t＝1s，彈性勢(shì)能最大，重力勢(shì)能最小C．t＝0.5s，彈性勢(shì)能為零，重力勢(shì)能最小D．t＝2s，彈性勢(shì)能最大，重力勢(shì)能最小【解析】由題圖可知t＝1.25s時(shí)，位移為正，加速度為負(fù)，速度也為負(fù)，A不正確．豎直方向的彈簧振子，其振動(dòng)過(guò)程中機(jī)械能守恒，在最高點(diǎn)重力勢(shì)能最大，動(dòng)能為零；在最低點(diǎn)重力勢(shì)能最小，動(dòng)能為零，所以彈性勢(shì)能最大；在平衡位置，動(dòng)能最大，由于彈簧發(fā)生形變，彈性勢(shì)能不為零．由此可知D正確．【答案】D5．如圖所示，一底端有擋板的斜面體固定在水平面上，其斜面光滑，傾角為θ.一個(gè)勁度系數(shù)為k的輕彈簧下端固定在擋板上，上端與物塊A連接在一起，物塊B緊挨著物塊A靜止在斜面上．某時(shí)刻將B迅速移開，A將在斜面上做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)．已知物塊A、B的質(zhì)量分別為mA、mB，若取沿斜面向上為正方向，移開B的時(shí)刻為計(jì)時(shí)起點(diǎn)，則A的振動(dòng)位移隨時(shí)間變化的圖象是選項(xiàng)圖中的()【解析】剛移開B時(shí)應(yīng)為簡(jiǎn)諧振動(dòng)的最低點(diǎn)，此時(shí)彈簧的形變量x1＝eq\f(mA＋mBgsinθ,k)，簡(jiǎn)諧振動(dòng)處于平衡位置時(shí)，彈簧的形變量x2＝eq\f(mAgsinθ,k)，所以簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振幅為x1－x2＝eq\f(mBgsinθ,k)，B正確．【答案】B6．(多選)裝有一定量液體的玻璃管豎直漂浮在水中，水面足夠大，如圖甲所示．把玻璃管向下緩慢按壓4cm后放手，忽略運(yùn)動(dòng)阻力，玻璃管的運(yùn)動(dòng)可以視為豎直方向的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，測(cè)得振動(dòng)周期為0.5s．豎直向上為正方向，某時(shí)刻開始計(jì)時(shí)，其振動(dòng)圖象如圖乙所示，其中A為振幅．對(duì)于玻璃管，下列說(shuō)法正確的是()A．回復(fù)力等于重力和浮力的合力B．振動(dòng)過(guò)程中動(dòng)能和重力勢(shì)能相互轉(zhuǎn)化，玻璃管的機(jī)械能守恒C．位移滿足函數(shù)式x＝4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4πt－\f(5π,6)))cmD．振動(dòng)頻率與按壓的深度有關(guān)E．在t1～t2時(shí)間內(nèi)，位移減小，加速度減小，速度增大【解析】裝有一定量液體的玻璃管只受到重力和液體的浮力，所以裝有一定量液體的玻璃管做簡(jiǎn)諧振動(dòng)的回復(fù)力等于重力和浮力的合力，故A正確；玻璃管在做簡(jiǎn)諧振動(dòng)的過(guò)程中，液體的浮力對(duì)玻璃管做功，所以振動(dòng)的過(guò)程中玻璃管的機(jī)械能不守恒，故B錯(cuò)誤；振動(dòng)的周期為0.5s，則圓頻率ω＝eq\f(2π,T)＝eq\f(2π,0.5)＝4πrad/s，由圖可知振動(dòng)的振幅為A，由題可知，A＝4cm，t＝0時(shí)刻：x0＝－eq\f(1,2)A＝Asinφ0，結(jié)合t＝0時(shí)刻玻璃管振動(dòng)的方向向下，可知φ0＝eq\f(7,6)πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,6)π舍去))，則玻璃管的振動(dòng)方程為：x＝Asin(ωt＋φ0)＝4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4πt＋\f(7,6)π))cm＝4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4πt－\f(5,6)π))cm，故C正確；由于玻璃管做簡(jiǎn)諧振動(dòng)，與彈簧振子的振動(dòng)相似，結(jié)合簡(jiǎn)諧振動(dòng)的特點(diǎn)可知，該振動(dòng)的周期與振幅無(wú)關(guān)，故D錯(cuò)誤；由圖可知，在t1～t2時(shí)間內(nèi)，位移減小，回復(fù)力：f＝－kx，加速度a＝eq\f(f,m)＝－eq\f(kx,m)減??；在t1～t2時(shí)間內(nèi)，玻璃管向著平衡位置做加速運(yùn)動(dòng)，所以速度增大，故E正確．【答案】ACE7．如圖所示，傾角為α的斜面體(斜面光滑且足夠長(zhǎng))固定在水平地面上，斜面頂端與勁度系數(shù)為k、自然長(zhǎng)度為L(zhǎng)的輕質(zhì)彈簧相連，彈簧的另一端連接著質(zhì)量為m的物塊。壓縮彈簧使其長(zhǎng)度為時(shí)將物塊由靜止開始釋放(物塊做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng))，重力加速度為g。(1)求物塊處于平衡位置時(shí)彈簧的長(zhǎng)度；(2)物塊做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的振幅是多少；(3)選物塊的平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，沿斜面向下為正方向建立坐標(biāo)系，用x表示物塊相對(duì)于平衡位置的位移，證明物塊做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。(已知做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的物體所受的回復(fù)力滿足)【解析】(1)物塊平衡時(shí)，受重力、支持力和彈簧的彈力。根據(jù)平衡條件，有mgsinα＝k·Δx，解得故彈簧的長(zhǎng)度為(2)物塊做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的振幅為(3)物塊到達(dá)平衡位置下方x位置時(shí)，彈力為k(x＋Δx)＝k(x＋)故合力為F＝mgsinα－k(x＋)＝－kx故物塊做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。【答案】(1)；(2)；(3)物塊做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)8．一輕質(zhì)彈簧直立在地面上，其勁度系數(shù)為k＝400N/m，彈簧的上端與盒子A連接在一起，盒子內(nèi)裝物體B，B的上、下表面恰與盒子接觸，如圖所示。A和B的質(zhì)量mA＝mB＝1kg，g取10m/s2，不計(jì)阻力。先將A向上抬高使彈簧伸長(zhǎng)5cm后從靜止釋放，A和B一起做上下方向的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。已知彈簧的彈性勢(shì)能取決于彈簧的形變大小，試求：(1)盒子A的振幅；(2)物體B的最大速率；(3)當(dāng)A、B的位移為正的最大和負(fù)的最大時(shí)，A對(duì)B的作用力的大小分別是多少？【解析】(1)振子在平衡位置時(shí)，所受合力為零，設(shè)此時(shí)彈簧被壓縮Δx，則kΔx＝(mA＋mB)g，Δx＝eq\f(mA＋mB,k)g＝5cm。開始釋放時(shí)振子處在最大位移處，故振幅A＝5cm＋5cm＝10cm。(2)由于開始時(shí)彈簧的伸長(zhǎng)量恰好等于振子在平衡位置時(shí)彈簧的壓縮量，故彈性勢(shì)能相等，設(shè)振子的最大速率為v，物體B從開始運(yùn)動(dòng)到達(dá)到平衡位置，應(yīng)用機(jī)械能守恒定律，得mBgA＝eq\f(1,2)mBv2，v＝eq\r(2gA)≈1.4m/s。(3)在最高點(diǎn)，振子受到的重力和彈力方向相同，由牛頓第二定律得(mA＋mB)a1＝kΔx＋(mA＋mB)g，a1＝20m/s2，方向向下，A對(duì)B的作用力方向向下，且F1＋mBg＝mBa1，得F1＝mB(a1－g)＝10N；在最低點(diǎn)由簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱性得a2＝20m/s2，方向向上，A對(duì)B的作用力方向向上，且F2－mBg＝mBa2，得F2＝mB(g＋a2)＝30N?！敬鸢浮?1)10cm(2)1.4m/s(3)10N30N題組C培優(yōu)拔尖練1．(2020-2021學(xué)年北京四中高二(下)期中)如圖所示，用質(zhì)量不計(jì)的彈簧把質(zhì)量為3m的木板A與質(zhì)量為m的木板B連接組成如圖所示的裝置，B板置于水平地面上，現(xiàn)用一豎直向下的力F向下壓木板A，撤消F后，B板恰好被提離地面，由此可知力F的大小是()A．7mg B．4mg C．3mg D．2mg【解析】撤銷F后，A板做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)在最高點(diǎn)，B恰好被提離地面，彈簧伸長(zhǎng)，拉力等于物體B的重力mg，即F彈=mg彈簧對(duì)A、B的拉力相等，故對(duì)物體A的拉力也等于mg最高點(diǎn)物體A的回復(fù)力：F回=3mg+F彈=3mg+mg=4mg根據(jù)對(duì)稱性可知：物體A壓縮到最低點(diǎn)釋放瞬間的回復(fù)力也為4mg，此時(shí)：F回=FN-3mg=4mg，故FN=7mg沒有撤去推力F時(shí)，物體A受重力、支持力和推力，根據(jù)三力平衡條件，有：F+3mg=FN故F=FN-3mg=4mg【答案】B2．(多選)如圖所示，在傾角為θ的固定光滑斜面上，有兩個(gè)用輕質(zhì)彈簧相連的物體A和B，它們的質(zhì)量均為m，彈簧的勁度系數(shù)為k，C為一固定的擋板．現(xiàn)讓一質(zhì)量為m的物體D從距A為L(zhǎng)的位置由靜止釋放，D和A相碰后立即粘為一體，之后在斜面上做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，在簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，物體B對(duì)C的最小彈力為eq\f(1,2)mgsinθ，則()A．簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的振幅為eq\f(3mgsinθ,2k)B．簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的振幅為eq\f(5mgsinθ,2k)C．B對(duì)C的最大彈力為eq\f(7mgsinθ,2)D．B對(duì)C的最大彈力為eq\f(11mgsinθ,2)【解析】當(dāng)彈簧彈力等于A、D的重力沿斜面方向的分力時(shí)A、D處于平衡狀態(tài)，由kx0＝2mgsinθ可知，平衡時(shí)彈簧的形變量為x0＝eq\f(2mgsinθ,k)，彈簧處于壓縮狀態(tài)；當(dāng)B對(duì)C的彈力最小時(shí)，對(duì)B受力分析，則有mgsinθ＝kx＋eq\f(1,2)mgsinθ，此時(shí)彈簧伸長(zhǎng)達(dá)最大位移處，形變量為x＝eq\f(mgsinθ,2k)，故簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的振幅為A＝x0＋x＝eq\f(5mgsinθ,2k)，A錯(cuò)誤，B正確；當(dāng)A、D運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)，B對(duì)C的彈力最大，此時(shí)彈簧的形變量為x′＝A＋x0＝eq\f(9mgsinθ,2k)，此時(shí)彈簧的彈力最大，為F＝k(A＋x0)＝eq\f(9mgsinθ,2)，此時(shí)B對(duì)C的彈力F′＝F＋mgsinθ＝eq\f(11mgsinθ,2)，C錯(cuò)誤，D正確．【答案】BD3．如圖所示，一輕質(zhì)彈簧上端固定在天花板上，下端連接一物塊，物塊沿豎直方向以O(shè)點(diǎn)為平衡位置，在C、D兩點(diǎn)之間做周期為T的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng).已知在t1時(shí)刻物塊的速度大小為v、方向向下，動(dòng)能為Ek.下列說(shuō)法正確的是()A.如果在t2時(shí)刻物塊的速度大小也為v，方向向下，則t2－t1的最小值小于eq\f(T,2)B.如果在t2時(shí)刻物塊的動(dòng)能也為Ek，則t2－t1的最小值為eq\f(T,2)C.當(dāng)物塊通過(guò)O點(diǎn)時(shí)，其加速度