高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)(知識(shí)點(diǎn)歸納與總結(jié))指數(shù)與指數(shù)函數(shù)

x屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（知識(shí)點(diǎn)歸納與總結(jié)）指數(shù)與指數(shù)函數(shù)第六節(jié)指數(shù)與指數(shù)函數(shù)[備考方向要明了]考什么怎么考1.了解指數(shù)函數(shù)模型的實(shí)際背景,2.理解有理指數(shù)冪的含義,了解實(shí)數(shù)指數(shù)1.主要以選擇題或填空題的形式考查指數(shù)函冪的意義,掌握冪的運(yùn)算,數(shù)的值域以及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、圖象三個(gè)方面的問題，如x年上海T7.3.理解指數(shù)函數(shù)的概念,理解指數(shù)函數(shù)的2.常與其他問題相結(jié)合進(jìn)行綜合考查，如與單調(diào)性,掌握指數(shù)函數(shù)圖象通過的特殊對(duì)數(shù)的運(yùn)算、數(shù)值的大小比較等相結(jié)合.點(diǎn),4.知道指數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型.[歸納?知識(shí)整合]1(根式(1)根式的概念:根式的概念符號(hào)表示備注n*如果x,a，那么x叫做a的n次方根n,1且n?N當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，正數(shù)的n次方根是一個(gè)正數(shù)，n零的n次方根是零a負(fù)數(shù)的n次方根是一個(gè)負(fù)數(shù)當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，正數(shù)的n次方根有兩個(gè)，這兩n負(fù)數(shù)沒有偶次方根?a(a>0)個(gè)數(shù)互為相反數(shù)(2)兩個(gè)重要公式:a，n為奇數(shù)，,nn,a，a?0，，?a,,,,|a|,n為偶數(shù);,,a，a,0，，,,nnn?(a),a(注意a必須使a有意義)(nn[探究]1.a,a成立的條件是什么,提示:當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)～a?R,當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)～a?0.2(有理數(shù)指數(shù)冪(1)冪的有關(guān)概念:mnm*n?正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪:a,a(a,0，m，n?N，且n,1);m,11*n?負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪:a,,(a,0，m，n?N，且n,1);mnnmaa?0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0,0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪無意義((2)有理數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì):rsr，s?aa,a(a,0，r，s?Q);rsrs?(a),a(a,0，r，s?Q);rrr?(ab),ab(a,0，b,0，r?Q)((指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)3xy,aa,10,a,1圖象定義域R值域(0，，?)(1)過定點(diǎn)(0,1)(2)當(dāng)x,0時(shí)，y,1;x,0時(shí)，0,性質(zhì)(2)當(dāng)x,0時(shí)，0,y,1;x,0時(shí)，y,1y,1(3)在R上是增函數(shù)(3)在R上是減函數(shù)xxxx[探究]2(如圖是指數(shù)函數(shù)(1)y,a，(2)y,b，(3)y,c，(4)y,d的圖象，底數(shù)a，b，c，d與1之間的大小關(guān)系如何,你能得到什么規(guī)律,提示:圖中直線x,1與它們圖象交點(diǎn)的縱坐標(biāo)即為它們各自底數(shù)的值～1111即c>d>1>a>b～所以～c>d>1>a>b～即無論在y軸的左側(cè)還是右側(cè)～底數(shù)按逆時(shí)針方向變大(1x|x|xx,,3(函數(shù)y,a，y,a，y,|a|(a>0，a?1)，y,之間有何關(guān)系,,,axx|x|x提示:y,a與y,|a|是同一個(gè)函數(shù)的不同表現(xiàn)形式,函數(shù)y,a與y,a不同～前者1xx,,是一個(gè)偶函數(shù)～其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱～當(dāng)x?0時(shí)兩函數(shù)圖象相同,y,a與y,的圖象,,a關(guān)于y軸對(duì)稱([自測?牛刀小試]16021((教材習(xí)題改編)化簡[(,2)],(,1)的結(jié)果為()A(,9B(,10C(9D(71106622解析:選D[(,2)],(,1),(2),1,8,1,7.3322abab2(化簡(a>0，b>0)的結(jié)果是()113b442，ab，abA.B(abaa2C(abD.b11082,,335412ab,,323333ab?ababa,1,,解析:選D原式,,,,ab,.12727bb2,,33333ababab,,a|x,1|3(函數(shù)f(x),2的圖象是()x,12～x?1～,,解析:選B?f(x),,1x,1,,～x<1～,,,,2?根據(jù)分段函數(shù)即可畫出函數(shù)圖象(1x,,4((教材習(xí)題改編)函數(shù)y,1,的定義域?yàn)開_______(,,211xx,,,,解析:要使函數(shù)有意義～需1,?0～即?1～,,,,22?x?0～即定義域?yàn)閇0～，?)(答案:[0，，?)x5(若函數(shù)f(x),a,1(a>0，a?1)的定義域和值域都是[0,2]，則實(shí)數(shù)a,________.x解析:當(dāng)a>1時(shí)～f(x),a,1在[0,2]上為增函數(shù)～2則a,1,2～?a,?3.又?a>1～?a,3.x當(dāng)0<a<1時(shí)～f(x),a,1在[0,2]上為減函數(shù)又?f(0),0?2～?0<a<1不成立(綜上可知～a,3.答案:3指數(shù)冪的運(yùn)算[例1]求值與化簡:121,4337206,,,,,,334(1)×,，8×2，(2×3),,,________;,,,,,,2633533ab(2)?,________;5423ba4133,,3aab,83b(3)?,,?a,________.221,2,,a333aabb，，24113111226,,,,,,4433[自主解答](1)原式,×1，2×2，,,2，4×27,x0.232×3,,,,,,33353233533,,4ab15102124(2)?,a?b,a,aa.5423ba1133(3)令a,m～b,n～43m,8mn2n,,則原式,?1,?m22,,m，2mn，4nm332m，m,8n，m,?22m，2mn，4nm,2n322m，m,2n，，m，2mn，4n，,22，m，2mn，4n，，m,2n，3,m,a.4[答案](1)x0(2)aa(3)a———————————————————指數(shù)冪的運(yùn)算規(guī)律指數(shù)式的化簡求值問題，要注意與其他代數(shù)式的化簡規(guī)則相結(jié)合，遇到同底數(shù)冪相乘或相除，可依據(jù)同底數(shù)冪的運(yùn)算規(guī)則進(jìn)行化簡，一般情況下，宜化負(fù)指數(shù)為正指數(shù)，化根式為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪(對(duì)于化簡結(jié)果，形式力求統(tǒng)一(1(化簡下列各式(其中各字母均為正數(shù))(1,2112,,,,1332abab???,,,,(1);65ab?11215,2,,,,,23,1,3(2)a?b??.32,3ab4a?b,,,,61111,,1111153322,,,，,abab?1326236解:(1)原式,,,a?b,.15a66ab11,25,3,,62,3(2)原式,,ab?34a?b,,21,135,3,6,,,,a?b?23,,ab413,,522,,a?b.4515ab,,?,,.2344abab指數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用[例2](1)已知函數(shù)f(x),(x,a)?(x,b)(其中a>b)，若f(x)的圖象如圖所x示，則函數(shù)g(x),a，b的圖象是()x(2)若曲線|y|,2，1與直線y,b沒有公共點(diǎn)，則b的取值范圍是________([自主解答](1)由已知并結(jié)合圖象可知0<a<1～b<,1.x對(duì)于函數(shù)g(x),a，b～它一定是單調(diào)遞減的(0且當(dāng)x,0時(shí)g(0),a，b,1，b<0～即圖象與y軸交點(diǎn)在負(fù)半軸上(xx(2)曲線|y|,2，1與直線y,b的圖象如圖所示～由圖象可得:如果|y|,2，1與直線y,b沒有公共點(diǎn)～則b應(yīng)滿足的條件是b?[,1,1]([答案](1)A(2)[,1,1]xx若將本例(2)中“|y|,2，1”改為“y,|2,1|”，且與直線y,b有兩個(gè)公共點(diǎn)，求b的取值范圍(x解:曲線y,|2,1|與直線y,b的圖象如圖所示～由圖象可得～如x果曲線y,|2,1|與直線y,b有兩個(gè)公共點(diǎn)～則b的取值范圍是(0,1)(———————————————————指數(shù)函數(shù)圖象的畫法及應(yīng)用1x,,(1)畫指數(shù)函數(shù)y,a(a>0，a?1)的圖象，應(yīng)抓住三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn):(1，a)，(0,1)，,1，.,,a，2，與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的圖象的研究，往往利用相應(yīng)指數(shù)函數(shù)的圖象，通過平移、對(duì)稱變換得到其圖象.，3，一些指數(shù)方程、不等式問題的求解，往往利用相應(yīng)的指數(shù)型函數(shù)圖象數(shù)形結(jié)合求解.x2((x?四川高考)函數(shù)y,a,a(a>0，且a?1)的圖象可能是()1解析:選C當(dāng)x,1時(shí)～y,a,a,0～x?函數(shù)y,a,a的圖象過定點(diǎn)(1,0)～結(jié)合圖象可知選C.x3((x?x模擬)已知過點(diǎn)O的直線與函數(shù)y,3的圖象交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在線段OBx上，過A作y軸的平行線交函數(shù)y,9的圖象于C點(diǎn)，當(dāng)BC平行于x軸時(shí)，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)是________(xy,3～11,,xy,3～解析:設(shè)A(x～y)～B(x～y)～由題意可得～C(x～y)～所以有又A～O～22,112212x,y,9.,21xxyy3x13112111B三點(diǎn)共線～所以k,k～即,～代入可得～,,～即,～所以x,log2.AOBOx2x13xx3x32212221答案:log23指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用21ax,4x，3,,[例3]已知函數(shù)f(x),,,3(1)若a,,1，求f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)若f(x)有最大值3，求a的值;(3)若f(x)的值域是(0，，?)，求a的值([自主解答](1)當(dāng)a,,1時(shí)～21,x,4x，3,,f(x),～,,32令g(x),,x,4x，3～1t,,由于g(x)在(,?～,2)上單調(diào)遞增～在(,2～，?)上單調(diào)遞減～而y,在R上單,,3調(diào)遞減～所以f(x)在(,?～,2)上單調(diào)遞減～在(,2～，?)上單調(diào)遞增～即函數(shù)f(x)的單調(diào)遞2～，?)～單調(diào)遞減區(qū)間是(,?～,2)(增區(qū)間是(,12h(x),,(2)令h(x),ax,4x，3～f(x),～,,3由于f(x)有最大值3～所以h(x)應(yīng)有最小值,1～a>0～,,因此必有解得a,1～,3a,4,,1～,,a即當(dāng)f(x)有最大值3時(shí)～a的值等于1.1h(x)2,,(3)由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知～要使y,的值域?yàn)?0～，?)(應(yīng)使h(x),ax,4x，3的,,3值域?yàn)镽～因此只能a,0(因?yàn)槿鬭?0～則h(x)為二次函數(shù)～其值域不可能為R)(故a的值為0.———————————————————利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解決問題的方法求解與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)問題，首先要熟知指數(shù)函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性等相關(guān)性質(zhì)，其次要明確復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成，涉及值域、單調(diào)區(qū)間、最值等問題時(shí)，都要借助“同增異減”這一性質(zhì)分析判斷，最終將問題歸結(jié)為內(nèi)層函數(shù)相關(guān)的問題加以解決(2xx4(設(shè)a>0且a?1，函數(shù)y,a，2a,1在[,1,1]上的最大值是14，求a的值(x解:令t,a(a>0且a?1)～2則原函數(shù)化為y,(t，1),2(t>0)(?當(dāng)0<a<1時(shí)～1x，，x?[,1,1]～t,a?a～～，，a1，，此時(shí)f(t)在a～上為增函數(shù)(，，a112,,,,所以f(t),f,，1,2,14.max,,,,aa12,,所以，1,16～,,a11即a,,或a,.531又因?yàn)閍>0～所以a,.31x，，?當(dāng)a>1時(shí)～x?[,1,1]～t,a～a～?，，a1，，此時(shí)f(t)在～a上是增函數(shù)(，，a2所以f(t),f(a),(a，1),2,14～max1解得a,3(a,,5舍去)(綜上得a,或a,3.31個(gè)關(guān)系——分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與根式的關(guān)系根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的實(shí)質(zhì)是相同的，分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與根式可以互化，通常利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪進(jìn)行根式的化簡運(yùn)算(2個(gè)應(yīng)用——指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用(1)比較指數(shù)式的大小若兩個(gè)指數(shù)式的底數(shù)相同、指數(shù)不同，則根據(jù)底數(shù)與1的大小，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，通過自變量的大小關(guān)系判斷相應(yīng)函數(shù)值的大小;若兩個(gè)指數(shù)式的底數(shù)不同、指數(shù)也不同，則常借助1,0等中間量進(jìn)行比較((2)解指數(shù)不等式xbx形如a>a的不等式，借助于函數(shù)y,a的單調(diào)性求解，如果a的取值不確定，需分xa>1與0<a<1兩種情況討論，而形如a>b的不等式，需先將b轉(zhuǎn)化為以a為底的指數(shù)冪的形式(3個(gè)注意——指數(shù)式的化簡及指數(shù)函數(shù)的應(yīng)用需注意的問題(1)在進(jìn)行指數(shù)冪的運(yùn)算時(shí)，一般用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式表示，并且結(jié)果不能同時(shí)含有根號(hào)和分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，也不能既有分母又含有負(fù)指數(shù)(x(2)指數(shù)函數(shù)y,a(a>0，a?1)的圖象和性質(zhì)跟a的取值有關(guān)，要特別注意區(qū)分a>1與0<a<1來研究(2xx2xx(3)對(duì)可化為a，b?a，c,0或a，b?a，c?0(?0)的指數(shù)方程或不等式，常借助換元法解決，但應(yīng)注意換元后“新元”的范圍.創(chuàng)新交匯—指數(shù)函數(shù)與不等式的交匯問題1(高考對(duì)指數(shù)函數(shù)的考查多以指數(shù)與指數(shù)函數(shù)為載體，考查指數(shù)的運(yùn)算和函數(shù)圖象的應(yīng)用，且常與函數(shù)性質(zhì)、二次函數(shù)、方程、不等式等內(nèi)容交匯命題(2(解決此類問題的關(guān)鍵是根據(jù)已知(或構(gòu)造)指數(shù)函數(shù)或指數(shù)型函數(shù)的圖象或性質(zhì)建立相關(guān)關(guān)系式求解([典例](x?浙江高考)設(shè)a,0，b,0()abA(若2，2a,2，3b，則a,babB(若2，2a,2，3b，則a,babC(若2,2a,2,3b，則a,babD(若2,2a,2,3b，則a,b[解析]?a>0～b>0～abb?2，2a,2，3b>2，2b.x令f(x),2，2x(x>0)～則函數(shù)f(x)為單調(diào)增函數(shù)(?a>b.[答案]A[名師點(diǎn)評(píng)]1(本題有以下創(chuàng)新點(diǎn)(1)命題方式的創(chuàng)新:本題沒有直接給出指數(shù)函數(shù)模型，而是通過觀察題目特點(diǎn)構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式((2)考查內(nèi)容的創(chuàng)新:本題將指數(shù)函數(shù)、一次函數(shù)的單調(diào)性與放縮法、導(dǎo)數(shù)法的應(yīng)用巧妙結(jié)合，考查了考生觀察分析問題的能力及轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想(2(解決本題的關(guān)鍵有以下兩點(diǎn)(1)通過放縮，將等式問題轉(zhuǎn)化為不等式問題((2)構(gòu)造函數(shù)，并利用其單調(diào)性解決問題([變式訓(xùn)練]1，x<0，,x111(若函數(shù)f(x),則不等式,?f(x)?的解集為(),331x,,，x?0，,,,3A([,1,2)?[3，，?)B((,?，,3]?[1，，?)3，,C.，，?D((1，3]?[3，，?)，,21～x<0～,x1解析:選B函數(shù)f(x),和函數(shù)g(x),?的圖象如圖所示～從圖象上可,31x,,～x?0,,,3以看出不等式的解集是兩個(gè)無限區(qū)間(當(dāng)x<0時(shí)～是區(qū)間(,?～,3]～當(dāng)x?0時(shí)～是區(qū)間11[1～，?)～故不等式,?f(x)?的解集為(,?～,3]?[1～，?)(332(設(shè)函數(shù)y,f(x)在(,?，，?)內(nèi)有定義，對(duì)于給定的正數(shù)K，定義函數(shù):f(x),k,f，x，，f，x，?K，,1,|x|,取函數(shù)f(x),a(a>1)(當(dāng)K,時(shí)，函數(shù)f(x)在下列區(qū)間上單調(diào)遞減的KaK，f，x，>K.,,是()A((,?，0)B((,a，，?)C((,?，,1)D((1，，?),|x|解析:選D函數(shù)f(x),a(a>1)的圖象為右圖中實(shí)線部分～y,K1,的圖象為右圖中虛線部分～由圖象知f(x)在(1～，?)上為減函Ka數(shù).3,x1(化簡的結(jié)果是()xA(,,xB.xC(,xD.,x33,x,x解析:選A依題意知x<0～?,,,x.,,2xx1x,0.5,,2((x?天津高考)已知a,2，b,，c,2log2，則a，b，c的大小關(guān)系為()5,,2A(c<b<aB(c<a<bC(b<a<cD(b<c<ax解析:選A?a,2～b,2～c,log4～5?1<b<2,0<c<1～?a>b>c.21x,,3(函數(shù)y,的值域是(),,3A((0，，?)B((0,1)C((0,1]D([1，，?)212x,,解析:選C?x?0～??1～即值域是(0,1](,,3,a，a?b，,x,x,4((x?廣州模擬)定義運(yùn)算a?b,，則f(x),2?2的圖象是()b，a>b，,,x,x解析:選Cx?0時(shí)～2?1?2>0,x,xx<0時(shí)～0<2<1<2.,x2～x?0～,x,x?f(x),2?2,,x2～x<0.,x5(設(shè)函數(shù)f(x)定義在實(shí)數(shù)集上，它的圖象關(guān)于直線x,1對(duì)稱，且當(dāng)x?1時(shí)，f(x),3,1，則有()132,,,,,,A(f<f<f,,,,,,323231,,,,,,B(f<f<f,,,,,,323213,,,,,,C(f<f<f,,,,,,332321,,,,,,D(f<f<f,,,,,,233x解析:選B由題設(shè)知～當(dāng)x?1時(shí)～f(x),3,1單調(diào)遞增～因其圖象關(guān)于直線x,133121123,,,,,,,,,,,,,,,,對(duì)稱～?當(dāng)x?1時(shí)～f(x)單調(diào)遞減(?f,f2,,f.?f<f<f～即f<f,,,,,,,,,,,,,,,,222323321,,<f.,,31x,,2,，x?0，,,,36((x?四平模擬)已知直線y,mx與函數(shù)f(x),的圖象恰好有3個(gè),12x，1，x>0,2不同的公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A((3，4)B((2，，?)C((2，5)D((3，22)1x,,2,～x?0～,,,3解析:選B作出函數(shù)f(x),的圖象～如圖所,12x，1～x>0,2示(直線y,mx的圖象是繞坐標(biāo)原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的動(dòng)直線(當(dāng)斜率m?0時(shí)～直線y,mx與函數(shù)f(x)的圖象只有一個(gè)公共點(diǎn),當(dāng)m>0時(shí)～直線y,mx1x,,始終與函數(shù)y,2,(x?0)的圖象有一個(gè)公共點(diǎn)～故要使直線y,mx與,,312函數(shù)f(x)的圖象有三個(gè)公共點(diǎn)～必須使直線y,mx與函數(shù)y,x，1(x>0)的圖象有兩個(gè)公共2122點(diǎn)～即方程mx,x，1在x>0時(shí)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根～即方程x,2mx，2,0的判別式22Δ,4m,4×2>0～解得m>2.故所求實(shí)數(shù)m的取值范圍是(2～，?)(二、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分)x,17(已知函數(shù)f(x),4，a的圖象恒過定點(diǎn)P，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是________(解析:令x,1,0～即x,1～則f(1),5.?圖象恒過定點(diǎn)P(1,5)(答案:(1,5)1xx,,8(函數(shù)y,,3在區(qū)間[,1,1]上的最大值等于________(,,51xx,,解析:由y,是減函數(shù)～y,3是增函數(shù)～可知,,5114xx,,y,,3是減函數(shù)～故當(dāng)x,,1時(shí)函數(shù)有最大值.,,5314答案:39(對(duì)于函數(shù)f(x)，如果存在函數(shù)g(x),ax，b(a，b為常數(shù))，使得對(duì)于區(qū)間D上的一切實(shí)數(shù)x都有f(x)?g(x)成立，則稱函數(shù)g(x)為函數(shù)f(x)在區(qū)間D上的一個(gè)“覆蓋函數(shù)”，設(shè)xf(x),2，g(x),2x，若函數(shù)g(x)為函數(shù)f(x)在區(qū)間[m，n]上的一個(gè)“覆蓋函數(shù)”，則|m,n|的最大值為________(x解析:因?yàn)楹瘮?shù)f(x),2與g(x),2x的圖象相交于點(diǎn)A(1,2)～B(2,4)～由圖可知～[m～n]?[1,2]～故|m,n|,2,1,1.max答案:1三、解答題(本大題共3小題，每小題x分，共36分)x,xx,x10(已知f(x),e,e，g(x),e，e(e,2.71828?)(22(1)求[f(x)],[g(x)]的值;g，x，y，(2)若f(x)f(y),4，g(x)g(y),8，求的值(g，x,y，22x,x2x,x2解:(1)[f(x)],[g(x)],(e,e),(e，e)2x,2x2x,2x,(e,2，e),(e，2，e),,4.x,xy,y(2)f(x)f(y),(e,e)(e,e)x，y,x,yx,y,x，y,e，e,e,ex，y,(x，y)x,y,(x,y),[e，e],[e，e]g(x，y),g(x,y)～,?g(x，y),g(x,y),4.?同理～由g(x)g(y),8～可得g(x，y)，g(x,y),8.?g，x，y，由??解得g(x，y),6～g(x,y),2～?,3.g，x,y，2x，2xx(若函數(shù)y,lg(3,4x，x)的定義域?yàn)镸.當(dāng)x?M時(shí)，求f(x),2,3×4的最值及相應(yīng)的x的值(22解:y,lg(3,4x，x)～?3,4x，x>0～解得x<1或x>3.?M,{x|x<1～或x>3}(x，2xxx2f(x),2,3×4,4×2,3×(2).x令2,t～?x<1或x>3～?t>8或0<t<2.2422,,y,4t,3t?,,3t,，(t>8或0<t<2)(,,33由二次函數(shù)性質(zhì)可知:4,，當(dāng)0<t<2時(shí)～f(t)?,4～～,，3當(dāng)t>8時(shí)～f(t)?(,?～,160)～224x?當(dāng)2,t,～即x,log時(shí)～f(x),.2max33324綜上可知～當(dāng)x,log時(shí)～f(x)取到最大值為～無最小值(2331xx(已知函數(shù)f(x),3,.|x|3(1)若f(x),2，求x的值;(2)判斷x>0時(shí)，f(x)的單調(diào)性;1t，，(3)若3f(2t)，mf(t)?0對(duì)于t?，1恒成立，求m的取值范圍(，，2xx解:(1)當(dāng)x?0時(shí)～f(x),3,3,0～?f(x),2無解(11xx當(dāng)x>0時(shí)～f(x),3,～令3,,2.xx33x2xx?(3),2?3,1,0～解得3,1?2.xx?3>0～?3,1，2.?x,log(1，2)(311xx(2)?y,3在(0～，?)上單調(diào)遞增～y,在(0～，?)上單調(diào)遞減～?f(x),3,在(0～xx33，?)上單調(diào)遞增(11t，，～1～?f(t),3,>0.(3)?t?t，，32t?3f(2t)，mf(t)?0化為11t2tt,,,,33,，m3,?0～2tt,,,,331tt2t,,即33，，m?0～即m?,3,1.t,,312t，，令g(t),,3,1～則g(t)在～1上遞減～，，2?g(x),,4.max?所求實(shí)數(shù)m的取值范圍是[,4～，?)(1x,,(函數(shù)y,1，1的圖象關(guān)于直線y,x對(duì)稱的圖象大致是(),,21x,,解析:選A先通過平移變換作出函數(shù)y,，1的圖象～再作關(guān)于直線y,x對(duì)稱的,,2圖象即可(112,2,，x,2x222(已知x，x,3，求的值(33,22x，x,311,,122解:?x，x,3～?x，x,7.2,2,122?x，x,(x，x),2,7,2,47.331111,,,3222222又x，x,(x，x),3(x，x),27,9,18.47,2?原式,,3.18,33(比較下列各題中兩個(gè)值的大小:2.5,3,0.1,,0.20.3,3.1(1)1.71.7;(2)0.80.8;(3)1.70.9.xx解:(1)考察函數(shù)y,1.7～因?yàn)?.7>1～所以指數(shù)函數(shù)y,1.7在R上是增函數(shù)(因?yàn)?.532.5<3～所以1.7<1.7.xx(2)考察函數(shù)y,0.8～因?yàn)?<0.8<1～所以指數(shù)函數(shù)y,0.8在R上是減函數(shù)(因?yàn)?,0.1,0.20.1>,0.2～所以0.8<0.8.0.3,3.1(3)1.70.9不能看作同一個(gè)指數(shù)函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)值～因此在這兩個(gè)數(shù)中間找一個(gè)量(0.303.100.33.1由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知1.7>1.7,1,0.9<0.9,1～所以1.7>0.9.x,2，b4(已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x),是奇函數(shù)(x，12，a(1)求a，b的值;22(2)若對(duì)任意的t?R，不等式f(t,2t)，f(2t,k)<0恒成立，求k的取值范圍(解:(1)因?yàn)閒(x)是R上的奇函數(shù)～,1，b所以f(0),0～即,0～解得b,1.2，ax,2，1從而有f(x),.x，12，a1,，1,2，12又由f(1),,f(,1)知,,～4，aa1，解得a,2.x,2，111(2)由(1)知f(x),,,，，x，1x2，222，122由上式易知f(x)在R上為減函數(shù)，又因?yàn)閒(x)是奇函數(shù)，從而不等式f(t,2t)，f(2t,222k)<0等價(jià)于f(t,2t)<,f(2t,k),f(,2t，k)(22因?yàn)閒(x)是R上的減函數(shù)，由上式推得t,2t>,2t，k.2即對(duì)一切t?R有3t,2t,k>0，1從而Δ,4，xk<0，解得k<,.3第二節(jié)排列與組合[備考方向要明了]考什么怎么考1.排列組合概念及排列數(shù)、組合數(shù)公式一1.理解排列組合的概念,般不單獨(dú)考查,2.能利用計(jì)數(shù)原理推導(dǎo)排列數(shù)公式、組合2.排列組合的應(yīng)用問題是高考的熱點(diǎn)內(nèi)容，數(shù)公式,獨(dú)立命題，題多為選擇、填空題，如x年3.能利用排列組合知識(shí)解決簡單的實(shí)際問題.xT8，xT10，xT5等.[歸納?知識(shí)整合]1(排列與排列數(shù)公式(1)排列與排列數(shù)(2)排列數(shù)公式n～m*A,n(n,1)(n,2)?(n,m，1),(m，n?N，m?n)(n，n,m，～(3)排列數(shù)的性質(zhì)n0A,n～;A,1;0～,1.nn[探究]1.排列與排列數(shù)有什么區(qū)別,提示:排列與排列數(shù)是兩個(gè)不同的概念～排列是一個(gè)具體的排法～不是數(shù)～而排列數(shù)是所有排列的個(gè)數(shù)～是一個(gè)正整數(shù)(2(組合與組合數(shù)公式(1)組合與組合數(shù)(2)組合數(shù)公式n，n,1，，n,2，?，n,m，1，n～m*C,,(m，n?N，m?n)(nm～m～，n,m，～(3)組合數(shù)性質(zhì)0mn,mmmm,1?C,1;?C,C;?C,C，C.，nnnn1nn[探究]2.如何區(qū)分一個(gè)問題是排列問題還是組合問題,提示:看選出的元素與順序是否有關(guān)～若與順序有關(guān)～則是排列問題～若與順序無關(guān)～則是組合問題([自測?牛刀小試]1(x名選手參加校園歌手大獎(jiǎng)賽，大賽設(shè)一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)、三等獎(jiǎng)各一名，每人最多獲得一種獎(jiǎng)項(xiàng)，則不同的獲獎(jiǎng)種數(shù)是()3xA(xB(33AD(x，x，10C(123解析:選C從x名選手中選出3名獲獎(jiǎng)并安排獎(jiǎng)次～共有A種不同的獲獎(jiǎng)情況(122(異面直線a，b上分別有4個(gè)點(diǎn)和5個(gè)點(diǎn)，由這9個(gè)點(diǎn)可以確定的平面?zhèn)€數(shù)是()A(20B(932121C(CD(CC，CC945541解析:選B分兩類～x類在直線a上任取一點(diǎn)與直線b可確定C個(gè)平面,第二類在4111直線b上任取一點(diǎn)與直線a可確定C個(gè)平面(故可確定C，C,9個(gè)不同的平面(5453(將7名學(xué)生分配到甲、乙兩個(gè)宿舍中，每個(gè)宿舍至少安排兩名學(xué)生，那么互不相同的分配方案共有()A(252種B(x2種C(20種D(56種25344352解析:選B不同的分配方案共有CC，CC，CC，CC,x2種(757473724(從4名男生和3名女生中選出4人擔(dān)任奧運(yùn)志愿者，若選出的4人中既有男生又有女生，則不同的選法共有________種(44解析:(間接法)共有C,C,34種不同的選法(74答案:345(如圖M，N，P，Q為海上四個(gè)小島，現(xiàn)要建造三座橋，將這四個(gè)小島連接起來，則不同的建橋方法有________種(3解析:M～N～P～Q共有6條線段(橋抽象為線段)～任取3條有C,20種方法～減去6不合題意的4種(則不同的方法有16種(答案:16排列問題[例1]3名男生，4名女生，按照不同的要求排隊(duì)，求不同的排隊(duì)方案的方法種數(shù):(1)選其中5人排成一排;(2)排成前后兩排，前排3人，后排4人;(3)全體站成一排，男、女各站在一起;(4)全體站成一排，男生不能站在一起;(5)全體站成一排，甲不站排頭也不站排尾(5[自主解答](1)問題即為從7個(gè)元素中選出5個(gè)全排列～有A,2520種排法(77(2)前排3人～后排4人～相當(dāng)于排成一排～共有A,5040種排法(73(3)相鄰問題(捆綁法):男生必須站在一起～是男生的全排列～有A種排法,女生必須342站在一起～是女生的全排列～有A種排法,全體男生、女生各視為一個(gè)元素～有A種排42342法～由分步乘法計(jì)數(shù)原理知～共有N,A?A?A,288種(3424(4)不相鄰問題(插空法):先安排女生共有A種排法～男生在4個(gè)女生隔成的五個(gè)空中4343安排共有A種排法～故N,A?A,1440種(5451(5)先安排甲～從除去排頭和排尾的5個(gè)位中安排甲～有A,5種排法,再安排其他人～5616有A,720種排法(所以共有A?A,3600種排法(656本例中若全體站成一排，男生必須站在一起，有多少中排法,解:(捆綁法)即把所有男生視為一個(gè)元素～與4名女生組成5個(gè)元素全排～故有N,35A?A,720種(35———————————————————解決排列類應(yīng)用題的主要方法(1)直接法:把符合條件的排列數(shù)直接列式計(jì)算;(2)特殊元素(或位置)優(yōu)先安排的方法，即先排特殊元素或特殊位置;(3)捆綁法:相鄰問題捆綁處理的方法，即可以把相鄰元素看作一個(gè)整體參與其他元素排列，同時(shí)注意捆綁元素的內(nèi)部排列;(4)插空法:不相鄰問題插空處理的方法，即先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元素插在前面元素排列的空當(dāng)中;(5)分排問題直排處理的方法;(6)“小集團(tuán)”排列問題中先集體后局部的處理方法;(7)定序問題除法處理的方法，即可以先不考慮順序限制，排列后再除以定序元素的全排列(1(一位老師和5位同學(xué)站成一排照相，老師不站在兩端的排法()A(450B(460C(480D(5001515解析:選C先排老師有A種排法～剩下同學(xué)有A種排法(共有AA,480種排法(45452(排一張有5個(gè)歌唱節(jié)目和4個(gè)舞蹈節(jié)目的演出節(jié)目單((1)任何兩個(gè)舞蹈節(jié)目不相鄰的排法有多少種,(2)歌唱節(jié)目與舞蹈節(jié)目間隔排列的方法有多少種,5解:(1)先排歌唱節(jié)目有A種～歌唱節(jié)目之間以及兩端共有6個(gè)空位～從中選4個(gè)放入5454舞蹈節(jié)目～共有A種方法～所以任兩個(gè)舞蹈節(jié)目不相鄰的排法有A?A,43200種方法(6564(2)先排舞蹈節(jié)目有A種方法～在舞蹈節(jié)目之間以及兩端共有5個(gè)空位～恰好供5個(gè)歌445唱節(jié)目放入(所以歌唱節(jié)目與舞蹈節(jié)目間隔排列的排法有A?A,2880種方法.45組合問題[例2]要從5名女生，7名男生中選出5名代表，按下列要求，分別有多少種不同的選法,(1)至少有1名女生入選;(2)至多有2名女生入選;(3)男生甲和女生乙入選;(4)男生甲和女生乙不能同時(shí)入選;(5)男生甲、女生乙至少有一個(gè)人入選([自主解答](1)法一:至少有1名女生入選包括以下幾種情況:1女4男～2女3男～3女2男～4女1男～5女(由分類加法計(jì)數(shù)原理知總選法數(shù)為142332415CC，CC，CC，CC，C,771種(575757575法二:“至少有1名女生入選”的反面是“全是男代表”～可用間接法求解(從x名55人中任選5人有C種選法～其中全是男代表的選法有C種(12755所以“至少有1名女生入選”的選法有C,C,771種,127(2)至多有2名女生入選包括如下幾種情況:0女5男～1女4男～2女3男～51423由分類加法計(jì)數(shù)原理知總選法數(shù)為C，CC，CC,546種(75757(3)男生甲和女生乙入選～即只要再從除男生甲和女生乙外的10人任選3名即可～共23有CC,x0種選法,210(4)法一:男生甲和女生乙不能同時(shí)入選包括以下幾種情況:男生甲入選女生乙不入選,男生甲不入選女生乙入選,男生甲和女生乙都不入選(445由分類加法計(jì)數(shù)原理知總選法數(shù)為C，C，C,672種(1010105法二:間接法:從x人中選出5人～有C種選法～從除去男生甲和女生乙外的10人123523中任選3人有C種選法～所以“男生甲和女生乙不能同時(shí)入選”的選法有C,CC,1012210672種,(5)間接法:“男生甲、女生乙至少有一個(gè)人入選”的反面是“兩人都不入選”～即從5其余10人中任選5人有C種選法～所以“男生甲、女生乙至少有一個(gè)人入選”的選法數(shù)1055為C,C,540種(1210———————————————————組合兩類問題的解法(1)“含”與“不含”的問題:“含”，則先將這些元素取出，再由另外元素補(bǔ)足;“不含”，則先將這些元素剔除，再從剩下的元素中去選取((2)“至少”、“最多”的問題:解這類題必須十分重視“至少”與“最多”這兩個(gè)關(guān)鍵詞的含義，謹(jǐn)防重復(fù)與漏解(用直接法或間接法都可以求解(通常用直接法分類復(fù)雜時(shí)，考慮逆向思維，用間接法處理(3(某校開設(shè)A類選修課3門，B類選修課4門，一位同學(xué)從中選3門(若要求兩類課程中各至少選一門，則不同的選法共有()A(30種B(35種C(42種D(48種解析:選A法一:可分兩種互斥情況:A類選1門～B類選2門或A類選2門～B類1221選1門～共有CC，CC,18，x,30種選法(3434333法二:總共有C,35種選法～減去只選A類的C,1種～再減去只選B類的C,4種～734共有30種選法(排列、組合的綜合應(yīng)用[例3]有5個(gè)男生和3個(gè)女生，從中選出5人擔(dān)任5門不同學(xué)科的科代表，求分別符合下列的選法數(shù):(1)有女生但人數(shù)必須少于男生;(2)某女生一定擔(dān)任語文科代表;(3)某男生必須包括在內(nèi)，但不擔(dān)任數(shù)學(xué)科代表;(4)某女生一定要擔(dān)任語文科代表，某男生必須擔(dān)任科代表，但不擔(dān)任數(shù)學(xué)科代表(32[自主解答](1)先選后排～先選可以是2女3男～也可以是1女4男～先取有CC，5341532415CC種～后排有A種～共有(CC，CC)?A,5400種(5355353544(2)除去該女生后～先取后排～有C?A,840種(74414(3)先選后排～但先安排該男生～有C?C?A,3360種(74431(4)先從除去該男生該女生的6人中選3人有C種～再安排該男生有C種～選出的3人633313全排有A種～共C?C?A,360種(3633———————————————————求解排列、組合綜合題的一般思路排列、組合的綜合問題，一般是將符合要求的元素取出(組合)或進(jìn)行分組，再對(duì)取出的元素或分好的組進(jìn)行排列(其中分組時(shí)，要注意“平均分組”與“不平均分組”的差異及分類的標(biāo)準(zhǔn)(4(4個(gè)不同的球，4個(gè)不同的盒子，把球全部放入盒內(nèi)((1)恰有1個(gè)盒不放球，共有幾種放法,(2)恰有1個(gè)盒內(nèi)有2個(gè)球，共有幾種放法,(3)恰有2個(gè)盒不放球，共有幾種放法,解:(1)為保證“恰有1個(gè)盒不放球”～先從4個(gè)盒子中任意取出去一個(gè)～問題轉(zhuǎn)化為“4個(gè)球～3個(gè)盒子～每個(gè)盒子都要放入球～共有幾種放法,”～即把4個(gè)球分成2,1,1的三組～然后再從3個(gè)盒子中選1個(gè)放2個(gè)球～其余2個(gè)球放在另外2個(gè)盒子內(nèi)～由分步乘1212法計(jì)數(shù)原理～共有CCC×A,144種(4432(2)“恰有1個(gè)盒內(nèi)有2個(gè)球”～即另外3個(gè)盒子放2個(gè)球～每個(gè)盒子至多放1個(gè)球～也即另外3個(gè)盒子中恰有一個(gè)空盒～因此～“恰有1個(gè)盒內(nèi)有2個(gè)球”與“恰有1個(gè)盒不放球”是同一件事～所以共有144種放法(2(3)確定2個(gè)空盒有C種方法～4個(gè)球放進(jìn)2個(gè)盒子可分成(3,1)～(2,2)兩類～x類有序不422CC312422均勻分組有CCA種方法,第二類有序均勻分組有?A種方法(41222A222CC2312422,,故共有CCCA，?A,84種(441222,,A21個(gè)識(shí)別——排列問題與組合問題的識(shí)別方法識(shí)別方法若交換某兩個(gè)元素的位置對(duì)結(jié)果產(chǎn)生影響，則是排列問題，即排列問題與選取元素排列順序有關(guān)若交換某兩個(gè)元素的位置對(duì)結(jié)果沒有影響，則是組合問題，即組合問題與選取元素組合順序無關(guān)3點(diǎn)注意——求解排列、組合問題的三個(gè)注意點(diǎn)(1)解排列、組合綜合題一般是先選后排，或充分利用元素的性質(zhì)進(jìn)行分類、分步，再利用兩個(gè)原理作最后處理((2)解受條件限制的組合題，通常用直接法(合理分類)和間接法(排除法)來解決(分類標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)統(tǒng)一，避免出現(xiàn)重復(fù)或遺漏((3)對(duì)于選擇題要謹(jǐn)慎處理，注意等價(jià)答案的不同形式，處理這類選擇題可采用排除法分析選項(xiàng)，錯(cuò)誤的答案都是犯有重復(fù)或遺漏.創(chuàng)新交匯——幾何圖形中的排列組合問題1(排列、組合問題的應(yīng)用一直是高考的熱點(diǎn)內(nèi)容之一，高考中除了以實(shí)際生活為背景命題外，還經(jīng)常與其他知識(shí)結(jié)合交匯命題(2(解答此類問題應(yīng)注意以下問題:(1)仔細(xì)審題，判斷是排列問題還是組合問題;(2)對(duì)限制條件較為復(fù)雜的排列組合問題，可分解為若干個(gè)簡單的基本問題后再用兩個(gè)原理來解決;(3)由于排列組合問題的答案一般數(shù)目較大，不易直接驗(yàn)證，可采用多種不同的方法求解，看結(jié)果是否相同來檢驗(yàn)([典例](x?湖北高考)給n個(gè)自上而下相連的正方形著黑色或白色(當(dāng)n?4時(shí)，在所有不同的著色方案中，黑色正方形互不相鄰的著色方案如下圖所示:由此推斷，當(dāng)n,6時(shí)，黑色正方形互不相鄰的著色方案共有________種，至少有兩個(gè)黑色正方形相鄰的著色方案共有________種(結(jié)果用數(shù)值表示)([解析](1)當(dāng)n,6時(shí)～如果沒有黑色正方形有1種方案～當(dāng)有1個(gè)黑色正方形時(shí)～有6種方案～當(dāng)有兩個(gè)黑色正方形時(shí)～采用插空法～即兩個(gè)黑色正方形插入四個(gè)白色正方形23形成的5個(gè)空內(nèi)～有C,10種方案～當(dāng)有三個(gè)黑色正方形時(shí)～同上方法有C,4種方案～54由圖可知不可能有4個(gè)～5個(gè)～6個(gè)黑色正方形～綜上可知共有21種方案((2)將6個(gè)正方形空格涂有黑白兩種顏色～每個(gè)空格都有兩種方案～由分步計(jì)數(shù)原理一6共有2種方案～本問所求事件為(1)的對(duì)立事件～故至少有兩個(gè)黑色正方形相鄰的方案6有2,21,43種([答案]2143[名師點(diǎn)評(píng)]1(本題有以下創(chuàng)新點(diǎn)(1)命題背景的創(chuàng)新:本題以平面幾何中的著色問題為背景，讓學(xué)生根據(jù)所給圖形，歸納探究著色問題((2)考查方式的創(chuàng)新:在切入點(diǎn)上一改往日直來直去的文字語言敘述，而是以圖形語言的形式呈現(xiàn)，考查了學(xué)生對(duì)圖形語言的理解能力及數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)與應(yīng)用能力(2(解決本題的關(guān)鍵點(diǎn)(1)由n,1,2,3,4時(shí)，黑色正方形互不相鄰的著色方案種數(shù)的規(guī)律，歸納n,6時(shí)的情況;(2)求至少有兩個(gè)黑色正方形相鄰的著色方案種數(shù)可考慮利用對(duì)立事件求解(3(解決與圖形有關(guān)的排列組合問題的注意事項(xiàng)需要強(qiáng)化對(duì)圖形語言的理解訓(xùn)練，強(qiáng)化常用方法的訓(xùn)練，理解體會(huì)解題中運(yùn)用的數(shù)學(xué)思想和方法，才能快速正確地解決排列組合問題([變式訓(xùn)練](x?x高考)6位同學(xué)在畢業(yè)聚會(huì)活動(dòng)中進(jìn)行紀(jì)念品的交換，任意兩位同學(xué)之間最多交換一次，進(jìn)行交換的兩位同學(xué)互贈(zèng)一份紀(jì)念品(已知6位同學(xué)之間共進(jìn)行了13次交換，則收到4份紀(jì)念品的同學(xué)人數(shù)為()A(1或3B(1或4C(2或3D(2或4解析:選D不妨設(shè)6位同學(xué)分別為A～B～C～D～E～F～列舉交換紀(jì)念品的所有情況為AB～AC～AD～AE～AF～BC～BD～BE～BF～CD～CE～CF～DE～DF～EF～共有15種(因?yàn)?位同學(xué)之間共進(jìn)行了13次交換～即缺少以上交換中的2種(x類～某人少交換2次～如DF～EF沒有交換～則A～B～C交換5次～D～E交換4次～F交換3次,第二類～4人少交換1次～如CD～EF沒有交換～則A～B交換5次～C～D～E～F交換4次(一、選擇題(本大題共6小題，每小題5分，共30分)1((x?x高考)一排9個(gè)座位坐了3個(gè)三口之家，若每家人坐在一起，則不同的坐法種數(shù)為()3A(3×3～B(3×(3～)4C((3～)D(9!解析:選C利用“捆綁法”求解(滿足題意的坐法種數(shù)為3334A(A),(3:).332((x?新課標(biāo)全國卷)將2名教師，4名學(xué)生分成2個(gè)小組，分別安排到甲、乙兩地參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，每個(gè)小組由1名教師和2名學(xué)生組成，不同的安排方案共有()x種B(10種A(C(9種D(8種解析:選A先安排1名教師和2名學(xué)生到甲地～再將剩下的1名教師和2名學(xué)生安12排到乙地～共有CC,x種安排方案(243(在“神九”航天員進(jìn)行的一項(xiàng)太空x中，先后要實(shí)施6個(gè)程序，其中程序A只能出現(xiàn)在x步或最后一步，程序B和C實(shí)施時(shí)必須相鄰，請(qǐng)問x順序的編排方法共有()A(24種B(48種C(96種D(144種3解析:選C當(dāng)A出現(xiàn)在x步時(shí)～再排A～B～C以外的三個(gè)程序～有A種～A與A～3312B～C以外的三個(gè)程序生成4個(gè)可以排列程序B、C的空檔～此時(shí)共有AAA種排法,當(dāng)A342312出現(xiàn)在最后一步時(shí)的排法與此相同～故共有2AAA,96種編排方法(3424.如圖所示2×2方格，在每一個(gè)方格中填入一個(gè)數(shù)字，數(shù)字可以是1、2、AB3、4中任何一個(gè)，允許重復(fù)(若填入A方格的數(shù)字大于B方格的數(shù)字，則不CD同的填法共有()A(192種B(x8種C(96種D(x種解析:選C可分三步:x步～填A(yù)、B方格的數(shù)字～填入A方格的數(shù)字大于B方格中的數(shù)字有6種方式(若方格A填入2～則方格B只能填入1,若方格A填入3～則方格B只能填入1或2～若方格A填入4～則方格B只能填入1或2或3),第二步～填方格C的數(shù)字～有4種不同的填法,x步～填方格D的數(shù)字～有4種不同的填法(由分步計(jì)數(shù)原理得～不同的填法總數(shù)為6×4×4,96.5(兩人進(jìn)行乒乓球比賽，先贏3局者獲勝，決出勝負(fù)為止，則所有可能出現(xiàn)的情形(各人輸贏局次的不同視為不同情形)共有()A(10種B(15種C(20種D(30種解析:選C分三種情況:恰好打3局～有2種情形,恰好打4局(一人前3局中贏22局～輸1局～第4局贏)～共有2C,6種情形,恰好打5局(一人前4局中贏2局～輸2局～32第5局贏)～共有2C,x種情形(所有可能出現(xiàn)的情形共有2，6，x,20種(46((x?x高考)現(xiàn)有16張不同的卡片，其中紅色、黃色、藍(lán)色、綠色卡片各4張(從中任取3張，要求這3張卡片不能是同一種顏色，且紅色卡片至多1張，不同取法的種數(shù)為()A(232B(252472D(484C(解析:選C若沒有紅色卡片～則需從黃、藍(lán)、綠三色卡片中選3張～若都不同色則1112121有C×C×C,64種～若2張同色～則有C×C×C×C,144種,若紅色卡片有1張～44432441211112剩余2張不同色～則有C×C×C×C,192種～剩余2張同色～則有C×C×C,72種～4344434所以共有64，144，192，72,472種不同的取法(二、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分)7(某公司計(jì)劃在x、上海、蘭州、銀川四個(gè)候選城市投資3個(gè)不同的項(xiàng)目，且在同一個(gè)城市投資的項(xiàng)目不超過2個(gè)，則該公司不同的投資方案種數(shù)是________(用數(shù)字作答)(3解析:由題意知按投資城市的個(gè)數(shù)分兩類:?投資3個(gè)城市即A種(?投資2個(gè)城市422322即CA種～共有不同的投資方案種數(shù)是A，CA,60.34434答案:608((x?武漢模擬)某車隊(duì)有7輛車，現(xiàn)要調(diào)出4輛按一定順序出去執(zhí)行任務(wù)(要求甲、乙兩車必須參加，且甲車要先于乙車開出有________種不同的調(diào)度方法(填數(shù)字)(2解析:先從除甲、乙外的5輛車任選2輛有C種選法～連同甲、乙共4輛車～排列在52一起～先從4個(gè)位置中選兩個(gè)位置安排甲、乙～甲在乙前共有C種～最后～安排其他兩輛42222車共有A種方法～故不同的調(diào)度方法為C?C?A,x0種(2542答案:x09((x?宜昌模擬)某省高中學(xué)校自實(shí)施素質(zhì)教育以來，學(xué)生社團(tuán)得到迅猛發(fā)展(某校高一新生中的五名同學(xué)打算參加“春暉文學(xué)社”、“舞者輪滑俱樂部”、“籃球之家”、“圍棋苑”四個(gè)社團(tuán)(若每個(gè)社團(tuán)至少有一名同學(xué)參加，每名同學(xué)至少參加一個(gè)社團(tuán)且只能參加一個(gè)社團(tuán)，且同學(xué)甲不參加“圍棋苑”，則不同的參加方法的種數(shù)為________(用數(shù)字作答)(解析:設(shè)五名同學(xué)分別為甲、乙、丙、丁、戊～由題意～如果甲不參加“圍棋苑”～有下列兩種情況:1(1)從乙、丙、丁、戊中選一人(如乙)參加“圍棋苑”～有C種方法～然后從甲與丙、423丁、戊共4人中選2人(如丙、丁)并成一組與甲、戊分配到其他三個(gè)社團(tuán)中～有CA種方43123法～這時(shí)共有CCA種參加方法(4432(2)從乙、丙、丁、戊中選2人(如乙、丙)參加“圍棋苑”～有C種方法～甲與丁、戊4323分配到其他三個(gè)社團(tuán)中有A種方法～這時(shí)共有CA種參加方法(34312323綜合(1)(2)～共有CCA，CA,180種參加方法(44343答案:180三、解答題(本大題共3小題，每小題x分，共36分)10(已知10件不同的產(chǎn)品中有4件是次品，現(xiàn)對(duì)它們進(jìn)行一一測試，直至找出所有4件次品為止((1)若恰在第5次測試，才測試到x件次品，第十次才找到最后一件次品，則這樣的不同測試方法數(shù)是多少,(2)若恰在第5次測試后，就找出了所有4件次品，則這樣的不同測試方法數(shù)是多少,4解:(1)先排前4次測試～只能取正品～有A種不同測試方法～再從4件次品中選2件6222排在第5和第10的位置上測試～有C?A,A種測試方法～再排余下4件的測試位置～有4244424A種測試方法(所以共有不同的測試方法A?A?A,103680種(4644(2)第5次測試恰為最后一件次品～另3件在前4次中出現(xiàn)～從而前4次有一件正品出114現(xiàn)～所以共有不同的測試方法A?C?A,576種(464x(從1到9的9個(gè)數(shù)字中取3個(gè)偶數(shù)4個(gè)奇數(shù)，試問:(1)能組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的七位數(shù),(2)上述七位數(shù)中，3個(gè)偶數(shù)排在一起的有幾個(gè),(3)(1)中的七位數(shù)中，偶數(shù)排在一起，奇數(shù)也排在一起的有幾個(gè),3解:(1)分三步完成:x步～在4個(gè)偶數(shù)中取3個(gè)～有C種情況,第二步～在5個(gè)奇數(shù)447中取4個(gè)～有C種情況,x步～3個(gè)偶數(shù)～4個(gè)奇數(shù)進(jìn)行排列～有A種情況(所以符合題57347意的七位數(shù)有CCA,100800個(gè)(4573453(2)上述七位數(shù)中～3個(gè)偶數(shù)排在一起的有CCAA,14400個(gè)(455334342(3)上述七位數(shù)中～3個(gè)偶數(shù)排在一起～4個(gè)奇數(shù)也排在一起的有CCAAA,5760個(gè)(45342x.編號(hào)為A，B，C，D，E的五個(gè)小球放在如圖所示的五個(gè)盒子里，要求每個(gè)盒子只能放一個(gè)小球，且A球不能放在1,2號(hào)，B球必須放在與A球相鄰的盒子中，不同的放法有多少種,解:根據(jù)A球所在位置分三類:(1)若A球放在3號(hào)盒子內(nèi)～則B球只能放在4號(hào)盒子內(nèi)～余下的三個(gè)盒子放球C～D～3E～則根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理得～此時(shí)有A,6種不同的放法,3(2)若A球放在5號(hào)盒子內(nèi)～則B球只能放在4號(hào)盒子內(nèi)～余下的三個(gè)盒子放球C～D～3E～則根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理得～此時(shí)有A,6種不同的放法,3(3)若A球放在4號(hào)盒子內(nèi)～則B球可以放在2號(hào)～3號(hào)～5號(hào)盒子中的任何一個(gè)～余3下的三個(gè)盒子放球C～D～E～有A,6種不同的放法～根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理得～此時(shí)有313AA,18種不同的放法(33綜上所述～由分類計(jì)數(shù)原理得不同的放法共有6，6，18,30種(1(甲、乙、丙3人站在共有7級(jí)的臺(tái)階上，若每級(jí)臺(tái)階最多站2人，同一級(jí)臺(tái)階上的人不區(qū)分站的位置，則不同的站法種數(shù)是________(用數(shù)字作答)(3321解析:當(dāng)每個(gè)臺(tái)階上各站1人時(shí)有AC種站法～當(dāng)兩個(gè)人站在同一個(gè)臺(tái)階上時(shí)有CC3737133211C種站法～因此不同的站法種數(shù)有AC，CCC,210，x6,336種(637376答案:3362(如圖所示的四棱錐中，頂點(diǎn)為P，從其他的頂點(diǎn)和各棱中點(diǎn)中取3個(gè)，使它們和點(diǎn)P在同一平面內(nèi)，不同的取法種數(shù)為()A(40B(48C(56D(62解析:選C滿足要求的點(diǎn)的取法可分為3類:3第1類～在四棱錐的每個(gè)側(cè)面上除點(diǎn)P外任取3點(diǎn)～有4C種取法,53第2類～在兩個(gè)對(duì)角面上除點(diǎn)P外任取3點(diǎn)～有2C種取法,4第3類～過點(diǎn)P的四條棱中～每一條棱上的兩點(diǎn)(除P外)和與這條棱異面的其中一條1棱的中點(diǎn)也共面～有4C種取法(2331所以～滿足題意的不同取法共有4C，2C，4C,56種(4253(某單位安排7位員工在10月1日至7日值班，每天安排1個(gè)，每人值班1天(若7位員工中的甲、乙排在相鄰兩天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，則不同的安排方案共有多少種,26解:依題意～滿足甲、乙兩人值班安排在相鄰兩天的方法共有AA,1440種～2625其中滿足甲、乙兩人值班安排在相鄰兩天且丙在10月1日值班的方法共有AA,24025種,25滿足甲、乙兩人值班安排在相鄰兩天且丁在10月7日值班的方法共有AA,240種,25滿足甲、乙兩人值班安排在相鄰兩天且丙在10月1日值班、丁在10月7日值班的方24法共有AA,48種(24因此滿足題意的方法共有1440,2×240，48,1008種(第四節(jié)數(shù)列求和[備考方向要明了]考什么怎么考1.以選擇題或填空題的形式考查可轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列的數(shù)列求和問題,如x年新課標(biāo)全國T16等,熟練掌握等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式.2.以解答題的形式考查利用錯(cuò)位相減法、裂項(xiàng)相消法或分組求和法等求數(shù)列的前n項(xiàng)和，如x年xT16，湖北T18等.[歸納?知識(shí)整合]數(shù)列求和的常用方法1(公式法直接利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求和(1)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式:n，a，a，n，n,1，1nS,,na，d;n122(2)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式:na，q,1，1,,nS,,a,aqa，1,q，n1n1,，q?1.,1,q1,q,2(倒序相加法如果一個(gè)數(shù)列{a}的前n項(xiàng)中首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)的和相等或等于同一個(gè)常數(shù)，n那么求這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用倒序相加法，如等差數(shù)列的前n項(xiàng)和即是用此法推導(dǎo)的(3(錯(cuò)位相減法如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，那么這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用此法來求，如等比數(shù)列的前n項(xiàng)和就是用此法推導(dǎo)的(4(裂項(xiàng)相消法把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)中間的一些項(xiàng)可以相互抵消，從而求得其和([探究]1.應(yīng)用裂項(xiàng)相消法求和的前提條件是什么,提示:應(yīng)用裂項(xiàng)相消法求和的前提條件是數(shù)列中的每一項(xiàng)均可分裂成一正一負(fù)兩項(xiàng)～且在求和過程中能夠前后抵消(2(利用裂項(xiàng)相消法求和時(shí)應(yīng)注意哪些問題,提示:(1)在把通項(xiàng)裂開后～是否恰好等于相應(yīng)的兩項(xiàng)之差,(2)在正負(fù)項(xiàng)抵消后～是否只剩下了x項(xiàng)和最后一項(xiàng)～或前面剩下兩項(xiàng)～后面也剩下兩項(xiàng)((分組求和法5一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是由若干個(gè)等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的數(shù)列組成，則求和時(shí)可用分組求和法，分別求和后再相加減(6(并項(xiàng)求和法n一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和，可兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項(xiàng)求和(形如a,(,1)f(n)類型，n可采用兩項(xiàng)合并求解(22222例如，S,100,99，98,97，?，2,xn,(100，99)，(98，97)，?，(2，1),5050.[自測?牛刀小試]11111.，，，?，等于()1×44×77×10，3n,2，，3n，1，n3nA.B.3n，13n，111C(1,D(3,n，13n，11111,,,解析:選A?,～,,3n,23n，1，3n,2，，3n，1，31111?，，，?，1×44×77×10，3n,2，，3n，1，111111，,,,,,,,1,，,，,，?，，,,,,,,34477101111n,,，,,,1,,,.,,，,,3n,23n，13n，133n，1n,123212(已知數(shù)列{a}的通項(xiàng)公式是a,，其前n項(xiàng)和S,，則項(xiàng)數(shù)n等于()nnnn264A(13B(10C(9D(6n,121解析:選D?a,,1,～nnn22111,,,,,,?S,1,，1,，?，1,n2n,,,,,,222111,,,n,，，?，2n,,22211,,1,n,,2211,,,n,1,,n,1，.,n,nn,,2211,213211?n,1，,,5～解得n,6.n26464,1,2,n3((教材習(xí)題改編)(2,3×5)，(4,3×5)，?，(2n,3×5),________.,1,2,n解析:(2,)3×5)，(4,3×5)，?，(2n,3×5,1,2,n,(2，4，?，2n),3(5，5，?，5)1,1,,51,n,,，2，2n，n5,3×,211,531332,n,,,n(n，1),1,,n，n，?5,.n,,4544332,n答案:n，n，?5,44n,14(若S,1,2，3,4，?，(,1)?n，則S,________.n100解析:S,1,2，3,4，5,6，?，99,100100,(1,2)，(3,4)，(5,6)，?，(99,100),,50.答案:,50n5(已知數(shù)列{a}的前n項(xiàng)和為S且a,n?2，則S,________.nnnnn解析:?a,n?2～n123n?S,1?2，2?2，3?2，?，n?2.?n23nn，1?2S,1?2，2?2，?，(n,1)?2，n?2.?n23nn，1?,?得,S,2，2，2，?，2,n?2nn2，1,2，n，1n，1n，1,,n?2,2,2,n?21,2n，1,(1,n)2,2.n，1?S,2(n,1)，2.nn，1答案:(n,1)?2，2分組轉(zhuǎn)化求和[例1](x?x高考)在等差數(shù)列{a}中，a，a，a,84，a,73.n3459(1)求數(shù)列{a}的通項(xiàng)公式;n*m,2m(2)對(duì)任意m?N，將數(shù)列{a}中落入?yún)^(qū)間(99)內(nèi)的項(xiàng)的個(gè)數(shù)記為b，求數(shù)列的nmm前m項(xiàng)和S.m[自主解答](1)因?yàn)閧a}是一個(gè)等差數(shù)列，n所以a，a，a,3a,84，a,28.34544設(shè)數(shù)列{a}的公差為d，n則5d,a,a,73,28,45，94故d,9.由a,a，3d，得28,a，3×9，即a,1.4111*)(所以a,a，(n,1)d,1，9(n,1),9n,8(n?Nn1*m2m(2)對(duì)m?N，若9<a<9，nm2m則9，8<9n<9，8.m,12m,1因此9，1?n?9.2m,1m,1故得b,9,9.m于是S,b，b，b，?，bm123m32m,1m,1,(9，9，?，9),(1，9，?，9)mm9×，1,81，，1,9，,,1,811,92m，1m9,10×9，1,.80———————————————————分組轉(zhuǎn)化求和的通法數(shù)列求和應(yīng)從通項(xiàng)入手，若無通項(xiàng)，則先求通項(xiàng)，然后通過對(duì)通項(xiàng)變形，轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求數(shù)列的前n項(xiàng)和的數(shù)列求和(11,,1(已知{a}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且a，a,2，，a，a，a,n12345,,aa12111,,64，，.,,aaa345(1)求{a}的通項(xiàng)公式;n12,,(2)設(shè)b,a，，求數(shù)列的前n項(xiàng)和T.nnnn,,ann,1解:(1)設(shè)公比為q～則a,aq～且q>0～a>0.n1111,,a，aq,2，～11,,,qaa11由已知有,111234,,aq，aq，aq,64，，～111234,,,aqaqaq1112,aq,2～1,,化簡得>0～故q,2～a,1.又a1126aq,64.,,1n,1所以a,2.n11122n,1,,(2)由(1)知～b,a，,a，，2,4，，2.nnn2n,1,,aa4nn11n,1,,1，，?，因此T,(1，4，?，4)，，2nn,1n,,4411,nn4,141n1,n,，,4)，2n，1.，2n,(44,1131,4裂項(xiàng)相消法求和[例2]設(shè)數(shù)列{a}的前n項(xiàng)和為S，已知a,1，S,na,n(n,1)(n,1,2,3，?)(nn1nn(1)求證:數(shù)列{a}為等差數(shù)列，并寫出a關(guān)于n的表達(dá)式;nn,,1100,,(2)若數(shù)列的前n項(xiàng)和為T，問滿足T>的最小正整數(shù)n是多少,nn,aa,，209nn1[自主解答](1)當(dāng)n?2時(shí)～a,S,S,na,(n,1)a,2(n,1)～得a,a,,,,nnn1nn1nn12(n,2,3,4～?)(所以數(shù)列{a}是以1為首項(xiàng)～2為公差的等差數(shù)列(n所以a,2n,1.n1111(2)T,，，?，，naaaaaaaa,，1223n1nnn1111,，，?，1×33×5，2n,1，，2n，1，1111111，,,，,,,,,,,，,，?，，,,,,,,，2n,12n，12133511n,,1,,,～,,2n，122n，1n100100100由T,>～得n>～所以滿足T>的最小正整數(shù)n為x.nn2n，12099209———————————————————用裂項(xiàng)相消法求和應(yīng)注意的問題利用裂項(xiàng)相消法求和時(shí)，應(yīng)注意抵消后并不一定只剩下x項(xiàng)和最后一項(xiàng)，也有可能前面剩兩項(xiàng)，后面也剩兩項(xiàng)，再就是將通項(xiàng)公式裂項(xiàng)后，有時(shí)候需要調(diào)整前面的系數(shù)，使裂開的兩項(xiàng)之差與系數(shù)相乘后與原項(xiàng)相等(22(等比數(shù)列{a}的各項(xiàng)均為正數(shù)，且2a，3a,1，a,9aa.n12326(1)求數(shù)列{a}的通項(xiàng)公式;n1,,,,(2)設(shè)b,loga，loga，?，loga，求數(shù)列的前n項(xiàng)和(n31323n,,bn解:(1)設(shè)數(shù)列{a}的公比為q.n12222由a,9aa得a,9a～所以q,.3263491由條件可知q>0～故q,.31,1得2a，3aq,1～所以a,.由2a，3a2111131故數(shù)列{a}的通項(xiàng)公式為a,.nnn3n，n，1，(2)b,loga，loga，?，loga,,(1，2，?，n),,.n31323n21112,,,故,,,,2.,,nn，1bn，n，1，n111，，?，bbb12n11111，,,，,,,,,,,2,，?，1,，，,,,,,,，nn，12322n,,.n，112n,,,,所以數(shù)列的前n項(xiàng)和為,.,,bn，1n錯(cuò)位相減法求和[例3](x?天津高考)已知{a}是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為S，是等比數(shù)列，且a,nnn1b,2，a，b,27，S,b,10.14444(1)求數(shù)列{a}與的通項(xiàng)公式;nn**(2)記T,ab，ab，?，ab，n?N，證明T,8,ab(n?N，n?2)(,，n1122nnnn1n1[自主解答](1)設(shè)等差數(shù)列{a}的公差為d～等比數(shù)列的公比為q.由a,b,2～nn113得a,2，3d～b,2q～S,8，6d.4443,,2，3d，2q,27～d,3～,,,,由條件～得方程組解得3,8，6d,2q,10～q,2.,,,n*所以a,3n,1～b,2～n?N.nn(2)證明:由(1)得23nT,2×2，5×2，8×2，?，(3n,1)×2～?n23nn，12T,2×2，5×2，?，(3n,4)×2，(3n,1)×2.?n由?,?～得23nn，1,T,2×2，3×2，3×2，?，3×2,(3n,1)×2nn6×，1,2，n，1,,(3n,1)×2,21,2n，1,,(3n,4)×2,8～n，1即T,8,(3n,4)×2.nn，1而當(dāng)n?2時(shí)～ab,(3n,4)×2～,，n1n1*所以T,8,ab～n?N～n?2.,，nn1n1**若本例(2)中T,ab，ab，?，ab，n?N，求證:T，x,,2a，10b(n?N)(,nn1n121nnnn證明:由(1)得23nT,2a，2a，2a，?，2a～?,,nnn1n2123nn，12T,2a，2a，?，2a，2a.?,nnn121?,?～得n,112，1,2，23nn，2n，2nT,,2(3n,1)，3×2，3×2，?，3×2，2,，2,6n，2,10×2n1,2,6n,10.nn而,2a，10b,x,,2(3n,1)，10×2,x,10×2,6n,10～故T，x,,2a，10b～nnnnn*n?N.———————————————————用錯(cuò)位相減法求和應(yīng)注意的問題(1)要善于識(shí)別題目類型，特別是等比數(shù)列公比為負(fù)數(shù)的情形;(2)在寫出“S”與“qS”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”以便下一步準(zhǔn)確寫出nn“S,qS”的表達(dá)式;nn(3)在應(yīng)用錯(cuò)位相減法求和時(shí)，若等比數(shù)列的公比為參數(shù)，應(yīng)分公比等于1和不等于1兩種情況求解(3(已知等差數(shù)列{a}的前3項(xiàng)和為6，前8項(xiàng)和為,4.n(1)求數(shù)列{a}的通項(xiàng)公式;nn,1*(2)設(shè)b,(4,a)q(q?0，n?N)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和S.nnnn解:(1)設(shè){a}的公差為d.n,3a，3d,6～1,,由已知得8a，28d,,4～,,1解得a,3～d,,1.1故a,3，(n,1)?(,1),4,n.nn,1(2)由(1)得～b,n?q～于是n012n,1S,1?q，2?q，3?q，?，n?q.n12n,1n若q?1～將上式兩邊同乘以q有qS,1?q，2?q，?，(n,1)?q，n?q.nn12n,1兩式相減得到(q,1)S,nq,1,q,q,?,qnn,1qn,nq,q,1n，1n，1nq,，n，1，q.,q,1n，1n,，n，1，q，1nq于是～S,.n2，q,1，n，n，1，若q,1～則S,1，2，3，?，n,.n2n，n，1，，q,1，～,2所以S,nn，1n,nq,，n，1，q，1，q?1，.2,，q,1，1種思想——轉(zhuǎn)化與化歸思想數(shù)列求和把數(shù)列通過分組、變換通項(xiàng)、變換次序、乘以常數(shù)等方法，把數(shù)列的求和轉(zhuǎn)化為能使用公式求解或者能通過基本運(yùn)算求解的形式，達(dá)到求和的目的(2個(gè)注意——“裂項(xiàng)相消法求和”與“錯(cuò)位相減法求和”應(yīng)注意的問題(1)使用裂項(xiàng)相消法求和時(shí)，要注意正負(fù)項(xiàng)相消時(shí)，消去了哪些項(xiàng)，保留了哪些項(xiàng)，切不可漏寫未被消去的項(xiàng)，未被消去的項(xiàng)有前后對(duì)稱的特點(diǎn)((2)在應(yīng)用錯(cuò)位相減法求和時(shí)，若等比數(shù)列的公比為參數(shù)，應(yīng)分公比等于1和不等于1兩種情況求解(4個(gè)公式——常見的拆項(xiàng)公式1111,,,(1),;,,nn，kn，n，k，k1111,,,(2),;,,2n,12n，1，2n,1，，2n，1，21111，，,(3),;，，n，n，n，1，，1，，n，2，n，n，1，，n，2，211(4),(n，k,n).kn，n，k答題模板——利用錯(cuò)位相減法解決數(shù)列求和12[典例](x?x高考)(本小題滿分x分)已知數(shù)列{a}的前n項(xiàng)和S,,，nkn(其中k?Nnn2)，且S的最大值為8.，n,,9,2an,,的前n項(xiàng)和T.(1)確定常數(shù)k，求a;(2)求數(shù)列nnn,,2[快速規(guī)范審題]第(1)問1(審條件，挖解題信息S是關(guān)于n的二次函數(shù)1n2觀察條件:S,,n，kn及S的最大值為8――――――――――――?當(dāng)n,k時(shí)，Snnn2取得最大值(2(審結(jié)論，明確解題方向應(yīng)建立關(guān)于k的方程觀察所求結(jié)論:求k的值及a――――――――――――?S的最大值為8，即S,8，knnk可求S的表達(dá)式1n2,4.――――――――――――?S,,n，4n.n23(建聯(lián)系，找解題突破口根據(jù)已知條件，可利用a與S的關(guān)系求通項(xiàng)公式:nn注意公式的使用條件97求通項(xiàng)公式――――――――――――?a,S,S,,n(n?2)，a,S,,nnn11122驗(yàn)證n,1時(shí)，a是否成立9n――――――――――――?a,,n.n2(2)問第1(審條件，挖解題信息92,a,,n可化簡數(shù)列,,,,n9,2a9,2a9nnn2,,,,觀察條件:a,,n及數(shù)列,,,,,,,,.nnnn,1,,22222(審結(jié)論，明確解題方向n分析通項(xiàng)的特點(diǎn),,9,2ann，12,,觀察所求結(jié)論:求數(shù)列的前n項(xiàng)和T可利用錯(cuò)位相減法求,,,,,,,nn,,2和(3(建聯(lián)系，找解題突破口n,123n等式兩邊同乘以2條件具備～代入求和:T,1，，，?，，?――――――――?2T,2，2n2n,2n,1n2222n,13錯(cuò)位相減n11n，，?，，?――――――??,?:2T,T,2，1，，?，,,4,n,3n,2nnn,2n,1222222n，21n,,4,.n,2n,1n,1222[準(zhǔn)確規(guī)范答題]1112222(1)當(dāng)n,k?N時(shí)～S,,n，kn取得最大值～即8,S,,k，k,k～?(2分)，nk2222故k,16～因此k,4～?(3分)利用a,S,Snnn9從而a,S,S,,n(n?2)(?(4分),nnn1時(shí)，易忽視條,21件n?2.7又a,S,，?(5分)1129所以a,,n.?(6分)n29,2ann(2)因?yàn)?，n,n122n,123n所以T,1，，，?，，，??(7分)n2n,2n,1錯(cuò)位相減2222時(shí)～易漏項(xiàng).n,13n所以2T,2，2，，?，，，??(8分)nn,3n,2222n，211n1n?,?:2T,T,2，1，，?，,,4,,,4,.?(11分)nnn,2n,1n,2n,1n,1222222n，2所以T,4,.?(12分)nn,12[答題模板速成]用錯(cuò)位相減法解決數(shù)列求和的步驟:第二步乘公第三步錯(cuò)位第四步求第一步判斷結(jié)構(gòu)比相減和若數(shù)列{a?b}是由乘以公比qnn等差數(shù)列{a}與等后，向后錯(cuò)開n將作差后的???設(shè){a?b}的前nnn比數(shù)列(公比q)的一位，使含有結(jié)果求和，項(xiàng)和為T，然nk*對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成q(k?N)的項(xiàng)從而表示出后兩邊同乘以q的，則可用此法求對(duì)應(yīng)，然后兩Tn和邊同時(shí)作差一、選擇題(本大題共6小題，每小題5分，共30分),1,,,(已知{a1}是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，S是{a}的前n項(xiàng)和，且9S,S，則數(shù)列的nnn36,,an前5項(xiàng)和為()1531A.或5B.或58163115C.D.168369，1,q，1,q解析:選C設(shè)數(shù)列{a}的公比為q.由題意可知q?1～且,～解得q,2～n1,q1,q1,,131,,所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)～為公比的等比數(shù)列～由求和公式可得S,.5,,a216n111112(數(shù)列1，3，5，7，?，(2n,1)，，?的前n項(xiàng)和S的值等于(