專題06 解答基礎(chǔ)題：幾何證明與求值（解析版）

專題06解答基礎(chǔ)題：幾何證明與求值1．（2023?上海）如圖，在中，弦的長為8，點(diǎn)在延長線上，且，．（1）求的半徑；（2）求的正切值．【答案】（1）5；（2）【詳解】（1）過點(diǎn)作，垂足為，，，在中，，，的半徑為5；（2）過點(diǎn)作，垂足為，，，，，，，，，，在中，，在中，，的正切值為．2．（2021?上海）如圖，在圓中，弦等于弦，且相交于點(diǎn)，其中、為、中點(diǎn)．（1）證明：；（2）連接、、，若，證明：四邊形為矩形．【答案】見解析【詳解】（1）證明：連接，，，，．，，，，，，，，，，，，，，，．（2）證明：連接，設(shè)交于．，，，，，，，，，垂直平分線段，，，，，，四邊形是平行四邊形，，四邊形是矩形．3．（2021?上海）如圖，已知中，，，，，為邊上的中線．（1）求的長；（2）求的值．【答案】（1）6；（2）【詳解】（1），，，，在中，由勾股定理得，，即的長為6；（2）如圖，連接，過點(diǎn)作的垂線，垂足，為邊上的中線，即為的中點(diǎn)，，在中，由勾股定理得，，三角形為等腰三角形，，，在中，，．解法二：為邊上的中線，是中點(diǎn)，，，，是△的中位線，，，在△中，．4．（2020?上海）如圖，在直角梯形中，，，，，．（1）求梯形的面積；（2）連接，求的正切值．【答案】（1）39；（2）【詳解】（1）過作于，，，，，四邊形是矩形，，，，，，梯形的面積；（2）過作于，，，，，，，，，，的正切值．5．（2019?上海）已知：如圖，、是的兩條弦，且，是延長線上一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)并延長交于點(diǎn)，聯(lián)結(jié)并延長交于點(diǎn)．（1）求證：；（2）如果，求證：四邊形是菱形．【答案】（1）見解析【詳解】證明：（1）如圖1，連接，，，、是的兩條弦，且，在的垂直平分線上，，在的垂直平分線上，垂直平分，；（2）如圖2，連接，，，，，，，，，，，，，四邊形是菱形．6．（2023?徐匯區(qū)二模）如圖，、分別是邊上的高和中線，已知，．（1）求的長；（2）求的值．【答案】（1）2；（2）【詳解】（1）是邊上中線，，．是邊上的高，，是等腰直角三角形，，，設(shè)，則，．，，解得，的長為2；（2）如圖，作于．由（1）知，，，．在中，，可設(shè)，則．，，解得，，．7．（2023?楊浦區(qū)二模）已知：在直角梯形中，，，沿直線翻折，點(diǎn)恰好落在腰上的點(diǎn)處．（1）如圖，當(dāng)點(diǎn)是腰的中點(diǎn)時(shí)，求證：是等邊三角形；（2）延長交線段的延長線于點(diǎn)，聯(lián)結(jié)，如果，求證：四邊形是矩形．【答案】見解析【詳解】證明：（1）由折疊得：，，點(diǎn)是腰的中點(diǎn)，是的垂直平分線，，，，，，，，是等邊三角形；（2）過點(diǎn)作，垂足為，，，，，四邊形是矩形，，，由折疊得：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，四邊形是平行四邊形，，四邊形是矩形．8．（2023?浦東新區(qū)二模）已知：如圖，是的外接圓，平分的外角，，，垂足分別是點(diǎn)、，且．（1）求的度數(shù)；（2）如果，，求的半徑長．【答案】（1）見解析；（2）【詳解】（1）證明：平分的外角，，，，且．，；；（2）解：延長交于，連接，，，且．，，，，，，，，解得，故的半徑長為．9．（2023?黃浦區(qū)二模）已知，如圖，的半徑為2，半徑被弦垂直平分，交點(diǎn)為，點(diǎn)在圓上，且．（1）求弦的長；（2）求圖中陰影部分面積（結(jié)果保留．【答案】（1）；（2）【詳解】（1）垂直平分，，，是等邊三角形，，，，，；（2），，，是等邊三角形，，，，的面積的面積，陰影的面積扇形的面積，扇形的面積，陰影的面積．10．（2023?虹口區(qū)一模）如圖，在中，，，，點(diǎn)在邊上，且，過點(diǎn)作交邊于點(diǎn)，的平分線交線段于點(diǎn)，求的長．【答案】4【詳解】，，，，，解得，，，，，，，，，，，平分，，，，．11．（2023?嘉定區(qū)二模）如圖，在中，，，圓經(jīng)過、兩點(diǎn)，圓心在線段上，點(diǎn)在圓內(nèi)，且．（1）求圓的半徑長；（2）求的長．【答案】（1）5；（2）【詳解】（1）作于點(diǎn)，則，，，，，，，，，解得，的半徑長為5．（2）作于點(diǎn)，則，，，，，，，，的長是．12．（2023?嘉定區(qū)二模）如圖，已知、分別是和它的鄰補(bǔ)角的角平分線，，垂足為點(diǎn)，，聯(lián)結(jié)，分別交、于點(diǎn)、．（1）求證：四邊形是矩形；（2）試猜想與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【答案】（1）見解析；（2）【詳解】證明：（1）如圖所示，、分別是和它的鄰補(bǔ)角的角平分線，，，，，，，，又，四邊形是矩形；（2）．理由如下：四邊形是矩形，，，，，，又平分，，，，，．13．（2023?閔行區(qū)二模）如圖，在中，，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，過點(diǎn)作的垂線，交的延長線于點(diǎn)．（1）求線段的長；（2）求的值．【答案】（1）；（2）【詳解】（1），中，代入，，得，為的中點(diǎn)，，，（2）解法為的中點(diǎn)，，，，又，，，，，，中，．解法與中，設(shè)得，解得，．14．（2023?閔行區(qū)二模）如圖，在扇形中，點(diǎn)、在上，，點(diǎn)、分別在半徑、上，，聯(lián)結(jié)、．（1）求證：；（2）設(shè)點(diǎn)為的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)、、，線段交于點(diǎn)、交于點(diǎn)．如果，求證：四邊形是矩形．【答案】見解析【詳解】證明：（1），，，，在和中，，，；（2）連接，如圖，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，，，，，，，，，，，，四邊形為平行四邊形，，四邊形為矩形．15．（2023?寶山區(qū)一模）如圖，已知圓的弦與直徑交于點(diǎn)，且平分．（1）已知，，求圓的半徑；（2）如果，求弦所對的圓心角的度數(shù)．【答案】（1）；（2）【詳解】（1）連接，如圖，設(shè)的半徑為，則，，平分，，，在中，，解得，即的半徑為；（2）連接，如圖，，，即，，，在中，，，，，，即弦所對的圓心角的度數(shù)為．16．（2023?靜安區(qū)二模）如圖，已知、分別是平行四邊形的邊、上的高，對角線、相交于點(diǎn)，且．（1）求證：四邊形是菱形；（2）當(dāng)，時(shí)，求的余切值．【答案】（1）見解析；（2）【詳解】（1）證明：，，，，四邊形是平行四邊形，，，，，四邊形是菱形；（2）在菱形中，，，設(shè)，則，，在中，根據(jù)勾股定理，得，即，解得或（舍去），，，，．17．（2023?靜安區(qū)二模）如圖，在矩形中，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，是的外接圓，交邊與于點(diǎn)．（1）求證：；（2）當(dāng)是以點(diǎn)為中心的正六邊形的一邊時(shí)，求證：．【答案】見解析【詳解】證明：（1）四邊形是矩形，，，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，，在與中，，，；（2）連接，，是以點(diǎn)為中心的正六邊形的一邊，，，是等邊三角形，，連接并延長交于，連接，．，，，，，．18．（2023?崇明區(qū)二模）如圖，已知在中，，，經(jīng)過的頂點(diǎn)、，交邊于點(diǎn)，，點(diǎn)是的中點(diǎn)．（1）求的半徑長；（2）聯(lián)結(jié)，求．【答案】（1）；（2）【詳解】（1）連接，，交于點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，在中，，，設(shè)的半徑長為，在中，，，解得：，的半徑長為；（2）連接，過點(diǎn)作，垂足為，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，在中，，，，，，的面積，，，，在中，，的值為．19．（2023?崇明區(qū)二模）已知：如圖，在平行四邊形中，對角線、交于，是邊延長線上的一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)，與邊交于，與對角線交于點(diǎn)．（1）求證：；（2）聯(lián)結(jié)，如果，求證：平行四邊形是菱形．【答案】見解析【詳解】證明：（1）四邊形是平行四邊形，，．，．，．．．（2），．，．，．，即．，．．四邊形是平行四邊形，．，即．平行四邊形是菱形．20．（2023?楊浦區(qū)三模）如圖，已知是的直徑，弦與相交于點(diǎn)，，，．（1）求的值；（2）求點(diǎn)到弦的距離．【答案】（1）；（2）6【詳解】（1）如圖，過點(diǎn)作直徑，連接，是直徑，，在中，，，，是直徑，，，，又，，，即，解得，，；（2）過點(diǎn)作于點(diǎn)，在中，，由于，即，，即點(diǎn)到弦的距離是6．21．（2023?金山區(qū)一模）如圖，已知在四邊形中，，，，，是對角線，．（1）求證：；（2）求的長．【答案】（1）見解析；（2）【詳解】（1）證明：，，，，，；（2）解：由（1）知：，，，，，解得，，，即，解得．22．（2023?松江區(qū)一模）如圖，已知中，，，是的中點(diǎn)，于點(diǎn)，、的延長線交于點(diǎn)．（1）求的正切值；（2）求的值．【答案】（1）；（2）2【詳解】（1）過作于，如圖：，，，在中，，；（2）由（1）知，，，是的中點(diǎn)，，，，，，，，，，．23．（2023?虹口區(qū)二模）如圖，在中，，，．小明根據(jù)下列步驟作圖：①以點(diǎn)為圓心，的長為半徑作弧，交的延長線于點(diǎn)；②以點(diǎn)為圓心，取定長為半徑作弧分別交的兩邊于點(diǎn)、；③以點(diǎn)為圓心，為半徑作弧，交于點(diǎn)；④以點(diǎn)為圓心，的長為半徑作弧，交前弧于點(diǎn)，聯(lián)結(jié)并延長交的延長線于點(diǎn)．（1）填空：由作圖步驟①可得，由作圖步驟②③④可得，又因?yàn)?，所以，理由是．?）聯(lián)結(jié)，求的值．【答案】（1），，；（2）【詳解】（1）由作圖步驟①可得，由作圖步驟②③④可得，又因?yàn)?，所以，理由是，故答案為：，，．?）作于點(diǎn)，則，由（1）得，，，，，，，，，，，的值是．24．（2023?松江區(qū)二模）如圖．四邊形中，，，，．（1）如果，求的值；（2）如果，求四邊形的面積．【答案】（1）1；（2）【詳解】（1）解：過作于，，，，，，，，，；（2）解：設(shè)，則，，在中，由勾股定理可得：，解得：，四邊形的面積．25．（2023?松江區(qū)二模）如圖，已知正方形，、分別為邊、的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)，，垂足為點(diǎn)．（1）求證：；（2）聯(lián)結(jié)，求正弦值．【答案】（1）見解析；（2）【詳解】（1）證明：四邊形是正方形，，，、分別為邊、的中點(diǎn)，，在和中，，，，，，，，設(shè)，則，，，，，，，，；（2）解：，，，．26．（2023?青浦區(qū)一模）如圖，在中，，垂足為點(diǎn)，平分交于點(diǎn)，，，．（1）求的值；（2）求線段的長．【答案】（1）；（2）【詳解】（1），，，，解得，在中，，，，在中，，；（2），平分，，，，又，，，即．解得．27．（2023?長寧區(qū)二模）如圖1，點(diǎn)、分別在正方形的邊、上，與交于點(diǎn)．已知．（1）求證：；（2）以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓與線段交于點(diǎn)，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)，如圖2所示，求證：．【答案】見解析【詳解】證明：（1）四邊形是正方形，，，，，，，，，，，；（2）由（1）知，，垂直平分，，，，，為線段的中點(diǎn)，，，．28．（2023?寶山區(qū)二模）如圖，四邊形中，，、交于點(diǎn)，．（1）求證：；（2）是邊上一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)交于點(diǎn)，如果，求證：四邊形是平行四邊形．【答案】見解析【詳解】證明：（1），．，，．．．在和中，，．．（2），，，，即．，．．．又，四邊形是平行四邊形．29．（2023?金山區(qū)二模）如圖，已知在中，，，點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，聯(lián)結(jié)．（1）求的正弦值；（2）求線段的長．【答案】（1）；（2）【詳解】（1）如圖，過點(diǎn)作于，交于．，，，，；（2）點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，，，，，，即，，．，，四邊形是平行四邊形，，，．故線段的長為．30．（2023?崇明區(qū)一模）如圖，是邊上的一點(diǎn)，，，垂足為點(diǎn)，若，．（1）求的長；（2）若，求的值．【答案】（1）8；（2）【詳解】（1）作于點(diǎn)，，，，，，，，，解得，，，，解得；（2），，，由（1）知：，，，，，，，，，，．31．（2023?普陀區(qū)二模）如圖，在中，，垂足為點(diǎn)，，，，．（1）求的長；（2）求的面積．【答案】（1）16；（2）32【詳解】（1），，，，，，，又，，．（2）在中，由勾股定理得，，，．32．（2023?青浦區(qū)二模）如圖，在中，已知，，．（1）求邊的長；（2）已知點(diǎn)在邊上，且，連接，試說明與相等．【答案】（1）；（2）見解析【詳解】（1）過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，在中，，，，在中，，，設(shè)，那么，，，，解得，，，在中，，即的長為；（2）過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，，，，，由得，，，，是線段的垂直平分線，，．33．（2023?靜安區(qū)校級一模）如圖，已知在中，為銳角，是邊上的高，，，．（1）求的長；（2）求的正弦值．【答案】（1）20；（2）【詳解】（1），，，，，；（2）作于