第1章 直角三角形（B卷·能力提升練）-【單元測試】2022-2023學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊分層訓(xùn)練AB卷（湘教版）（解析版）

班級(jí)姓名學(xué)號(hào)分?jǐn)?shù)第1章直角三角形（B卷·能力提升練）（時(shí)間：120分鐘，滿分：150分）一、單選題(共40分)1．(本題4分)（2022春·江蘇·八年級(jí)期中）下列條件中，不能判定為直角三角形的是（）A． B．C． D．，，【答案】D【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理判斷A和D即可；根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理判斷B和C即可．【詳解】解：A．∵，∴，∴是直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；B．∵，∴，∴是直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；C．∵，，∴最大角，∴是直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；D．∵，∴，∴以a，b，c為邊不能組成直角三角形，故本選項(xiàng)符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的逆定理，三角形的內(nèi)角和定理等知識(shí)點(diǎn)，能熟記勾股定理的逆定理的內(nèi)容和三角形的內(nèi)角和定理等于180°是解此題的關(guān)鍵，注意：如果一個(gè)三角形的兩條邊a、b的平方和等于第三邊c的平方，即，那么這個(gè)三角形是直角三角形．2．(本題4分)（2022春·河北張家口·八年級(jí)張家口市第一中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在中，，，，，則的長為（

）A．1.5 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出，然后根據(jù)角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半求出，再求出，然后求出，從而得到，根據(jù)等角對(duì)等邊可得，從而得解．【詳解】解：，，，，，，，，，．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)，等角對(duì)等邊的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握相應(yīng)的性質(zhì)定理．3．(本題4分)（2022春·河北保定·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，點(diǎn)在的延長線上，于點(diǎn)，交于點(diǎn)．若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用直角三角形的性質(zhì)求得的度數(shù)，再利用三角形外角的性質(zhì)，求解即可．【詳解】解：由題意可得：，∴，∴，∴，故選：C【點(diǎn)睛】此題考查了直角三角形的性質(zhì)以及三角形外角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)基礎(chǔ)性質(zhì)．4．(本題4分)（2022春·浙江寧波·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，在等邊的，邊上各取一點(diǎn)，，使，，相交于，若，則點(diǎn)到的距離等于（

）A．1 B．2 C． D．【答案】C【分析】作于點(diǎn)，則，先證明，得，再推導(dǎo)出，則，而，得，即可根據(jù)勾股定理求得，于是得到問題的答案．【詳解】解：作于點(diǎn)，則，是等邊三角形，，，在和中，，，，，，，，，點(diǎn)到的距離等于，故選：C．【點(diǎn)睛】此題重點(diǎn)考查等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和、直角三角形中角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半、勾股定理等知識(shí)，證明是解題的關(guān)鍵．5．(本題4分)（2022春·廣西河池·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在等邊中，平分交于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作于點(diǎn)E，且，則的長為（

）A．4 B．5 C．6 D．8【答案】D【分析】由，可求得，則可求得的長，由平分，根據(jù)三線合一的知識(shí)，即可求得答案．【詳解】解：∵是等邊三角形，∴，∵DE⊥BC，∴∠CDE=90°，在中，，∵，∴，∵平分交于點(diǎn)D，且，∴，∴．故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查了等邊三角形的性質(zhì)，含角的直角三角形的性質(zhì)．此題難度不大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．6．(本題4分)（2022春·遼寧葫蘆島·統(tǒng)考期中）如圖，是正方形內(nèi)一點(diǎn)，將繞點(diǎn)按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到，若，則的長是（

）A．1 B． C． D．6【答案】B【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可得，，然后利用勾股定理即可得答案．【詳解】解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可得，，在中，由勾股定理，可得．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及勾股定理的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是利用勾股定理計(jì)算的長．7．(本題4分)（2022春·重慶北碚·八年級(jí)西南大學(xué)附中?？计谥校┤鐖D，的內(nèi)部作射線，過點(diǎn)M分別作于點(diǎn)A，于點(diǎn)B，，連接，若，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得的度數(shù)，再證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得的度數(shù)，進(jìn)一步即可求出的度數(shù)．【詳解】解：∵，，∴，∴，∵于點(diǎn)A，于點(diǎn)B，∴，在和中，，∴,∴，∴，∴，故B正確．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理等，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．(本題4分)（2022春·江蘇·八年級(jí)期中）如圖，在中，，以頂點(diǎn)為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交，于點(diǎn)，，再分別以點(diǎn)，，為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)，作射線交邊于點(diǎn)，點(diǎn)在上．若，，，當(dāng)最小時(shí)，的面積是（）A．2 B．1 C．6 D．7【答案】B【分析】過點(diǎn)作于，由角平分線的作法可知，是的角平分線，利用角平分線的性質(zhì)得出，根據(jù)過直線外一點(diǎn)到直線的垂線段最短，最短為2，由直角三角形全等的判定和性質(zhì)可得出，利用線段間的數(shù)量關(guān)系及三角形面積公式即可求解．【詳解】解：如圖，由角平分線的作法可知，是的角平分線，點(diǎn)為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，最短，，，，，，，，，，的面積．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查的是作圖基本操作，角平分線的性質(zhì)，直角三角形全等的判定和性質(zhì)，過直線外一點(diǎn)到直線的垂線段最短等，理解題意，然后熟練掌握運(yùn)用角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9．(本題4分)（2022春·浙江衢州·八年級(jí)校聯(lián)考期中）我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出的“趙爽弦圖”，它是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個(gè)大正方形，連接，交于點(diǎn)，如圖所示，若正方形的面積為，，則的值是（）A．3 B．3.5 C．4 D．7【答案】B【分析】先證明，則，所以兩三角形面積的差是中間正方形面積的一半，設(shè)，，根據(jù)勾股定理得：，，則，整體代入計(jì)算即可；【詳解】∵正方形的面積為，∴，設(shè)，∵，∴，中，由勾股定理得：，∴，∴，∵，，∴，∴，∵“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個(gè)大正方形，∴，∴，∴，∴，，∴，∵，則的值是；故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了“趙爽弦圖”，多邊形面積，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，首先要求學(xué)生正確理解題意，然后利用勾股定理和三角形全等的性質(zhì)解題．10．(本題4分)（2022春·山東德州·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在中，，平分交與點(diǎn)G，平分交于點(diǎn)D，、相交于點(diǎn)F，交的延長線于點(diǎn)E，連接，下列結(jié)論中正確的是（

）①若，則；②；③；④．A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【答案】B【分析】由角平分線的定義和三角形內(nèi)角和定理可求，由外角的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)可求，故①正確；先求出，由直角三角形的性質(zhì)可得，故②正確；先證明可得，得到，由直角三角形的性質(zhì)可得只有當(dāng)時(shí)，，與已知條件可得③錯(cuò)誤；在上截取，連接，先證明，進(jìn)而證明，，即可得到，從得到④正確，問題得解．【詳解】解：①∵，∴，∵平分，平分，∴，∴，∵，∴，∴，故①正確；②∵，∴，∵平分，平分，∴，∴，∵，∴，∴，故②正確；③如圖，延長，交于點(diǎn)H，∵，∴，∴，∴點(diǎn)E為線段中點(diǎn)，∴只有當(dāng)時(shí)，，由題意得，∴,故③錯(cuò)誤；④如圖，在上截取，連接，∵，∴，∴，∴，又∵，∴，∴，∴，故④正確．故選：B【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．二、填空題(共32分)11．(本題4分)（2022春·廣東江門·八年級(jí)臺(tái)山市新寧中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在中，，的平分線交于點(diǎn)D，，，則點(diǎn)D到的距離為______．【答案】【分析】過D作于E，根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等可得．【詳解】解：如圖所示，過D作于E，∵的平分線交于點(diǎn)D，，，∴，∴點(diǎn)D到的距離為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題本題考查角平分線的性質(zhì)和點(diǎn)到直線的距離，掌握角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．12．(本題4分)（2022春·浙江·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，中，，，，D是的中點(diǎn)，則的面積等于______．【答案】【分析】，，，得到，由勾股定理求出，是的中點(diǎn)，則的面積等于的面積一半，即可得到答案．【詳解】解：∵，，，∴，∴，∵D是的中點(diǎn)，∴的面積等于的面積一半，即的面積，即的面積等于，故答案為：【點(diǎn)睛】此題考查了勾股定理、含角的直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握三角形的中線平分三角形的面積是解題的關(guān)鍵．13．(本題4分)（2022春·浙江·八年級(jí)校聯(lián)考期中）有一架秋千，當(dāng)它靜止時(shí)，踏板離地垂直高度，將它往前推送水平距離時(shí)，秋千踏板離地的垂直高度，秋千的繩索始終拉得很直，則繩索長為______．【答案】【分析】設(shè)秋千的繩索長為，根據(jù)題意可得，利用勾股定理可得，再解方程即可得出答案．【詳解】解：在中，，設(shè)秋千的繩索長為，則，故，解得：，答：繩索AD的長度是．故答案為：．【點(diǎn)睛】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是正確理解題意，表示出的長，掌握直角三角形中兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．14．(本題4分)如圖中，，點(diǎn)D在上，，，延長至點(diǎn)E，使，過點(diǎn)E作于點(diǎn)F，交于點(diǎn)G，若，則______．【答案】【分析】過點(diǎn)C作于H，證明，得到，由直角三角形的性質(zhì)可得，由線段的數(shù)量關(guān)系可求出答案．【詳解】解：過點(diǎn)C作于H，∵，，，∴，在和中，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，添加恰當(dāng)?shù)妮o助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．15．(本題4分)（2022春·廣東陽江·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在中，，D為的中點(diǎn)，，點(diǎn)P為邊上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E為邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為_____．【答案】【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理得到，得到點(diǎn)B，點(diǎn)C關(guān)于直線對(duì)稱，當(dāng)交于P時(shí)的值最小，根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論．【詳解】連接,∵，∴，∴，∵D為的中點(diǎn)，，∴垂直平分，，∴點(diǎn)B，點(diǎn)C關(guān)于直線對(duì)稱，∴∴當(dāng)點(diǎn)C、P、E三點(diǎn)共線時(shí)，最小當(dāng)時(shí)，最小，即的值最小，∵，∴，∴，∴的最小值為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱-最短路線問題，勾股定理的逆定理，兩點(diǎn)這間線段最短，線段垂直平分線的性質(zhì)，三角形的面積公式，利用兩點(diǎn)之間線段最短來解答本題．16．(本題4分)（2022春·江蘇淮安·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在四邊形中，，分別以四邊形的四條邊為邊長，向外作四個(gè)正方形，面積分別為和．若，則的值是___________．【答案】3【分析】連接，根據(jù)勾股定理即可進(jìn)行解答．【詳解】解：如圖：連接，∵，∴，∴，∵，∴，解得：，故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．17．(本題4分)（2022春·山東煙臺(tái)·統(tǒng)考期中）我國古代有這樣一道數(shù)學(xué)問題：“枯木一根直立地上，高三丈，周八尺，有葛藤自根纏繞而上，五周而達(dá)其頂，問葛藤之長幾何？”題意是：如圖所示，把枯木看作一個(gè)圓柱體，因一丈是十尺，則該圓柱的高為3丈，底面周長為8尺，有葛藤自點(diǎn)A處纏繞而上，繞五周后其末端恰好到達(dá)點(diǎn)B處，則問題中葛藤的最短長度是___________丈．【答案】5【分析】根據(jù)題意畫出圖形，在Rt中，再根據(jù)勾股定理求解即可．【詳解】如圖所示：表示葛藤的最短長度，由題意可知：（丈），（丈），在Rt中，（丈）．故答案為：5.【點(diǎn)睛】本題考查了平面展開—最短路徑問題，能夠根據(jù)題意畫出圖形，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．18．(本題4分)（2022春·山東棗莊·八年級(jí)統(tǒng)考期中）課本中有這樣一句話：“利用勾股定理可以作出，，…線段（如圖所示）．”即：，過A作且，根據(jù)勾股定理，得；再過作且，得；…以此類推，得________．【答案】【分析】利用勾股定理求出，觀察、、，找出規(guī)律：，進(jìn)而求出．【詳解】解：……∴故答案為：．【點(diǎn)睛】本題為考查勾股定理和數(shù)字規(guī)律綜合題，難度不大，熟練掌握勾股定理以及找到數(shù)字規(guī)律是解題關(guān)鍵．三、解答題(共78分)19．(本題8分)（2022春·浙江·八年級(jí)期中）如圖，，相交于點(diǎn)，，．(1)求證：；(2)若，求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）由“HL”可證RtRt，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得解；（2）由全等三角形的性質(zhì)可得，再根據(jù)角的和差即可求解．【詳解】（1）∵，∴和都是直角三角形，在Rt和Rt中，，∴RtRt（HL），∴（2）在Rt中，，∴，由（1）可知RtRt，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，利用HL證明RtRt是本題的關(guān)鍵．20．(本題8分)（2022春·遼寧撫順·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，有兩個(gè)長度相等的滑梯與（即），滑梯的高與滑梯的水平方向EF的長度相等（即），且，問兩個(gè)滑梯的傾斜角與的大小有什么關(guān)系？請(qǐng)說明理由．【答案】兩滑梯的傾斜角與互余，理由見解析【分析】已知和中，利用“”可判斷兩三角形全等，根據(jù)確定找對(duì)應(yīng)角相等，根據(jù)直角三角形兩銳角的互余關(guān)系，確定與的大小關(guān)系．【詳解】解：與互余，理由如下：在和中，，∴，∴，又∵，∴，即兩滑梯的傾斜角與互余．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，通?？勺C明這兩角所在的三角形全等，根據(jù)對(duì)應(yīng)角相等進(jìn)行證明．21．(本題8分)（2022春·山東濟(jì)南·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，四邊形中，，，，，．(1)判斷是否是直角，并說明理由．(2)求四邊形的面積．【答案】(1)是直角．理由見解析(2)234【分析】（1）連接，根據(jù)勾股定理可知，再根據(jù)即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：是直角．理由：連接，，，，，是直角三角形，即是直角；（2）解：，．【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理的逆定理，解題的關(guān)鍵是掌握熟知如果三角形的三邊長，，滿足，那么這個(gè)三角形就是直角三角形．22．(本題10分)（2022春·浙江·八年級(jí)期中）如圖，在中，．點(diǎn)D為邊上一點(diǎn)，平分，于點(diǎn)E，點(diǎn)G為上一點(diǎn)．連接并延長與相交于點(diǎn)F，連接．已知．(1)證明：．(2)若，求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）利用角平分線的定義及定理證明三角形全等；（2）先求出，再求出，最后利用三角形的內(nèi)角和即可求解．【詳解】（1）解：，，，，平分，，在和中，，；（2），，，，，，，，，，，，，，，，，．【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，三角形的外角，三角形的內(nèi)角和，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．23．(本題10分)（2022春·江蘇揚(yáng)州·八年級(jí)校聯(lián)考期中）一架梯子長25米，如圖斜靠在一面墻上，梯子底端B離墻7米．(1)這個(gè)梯子的頂端距地面有多高？(2)如果梯子的頂端下滑了4米，那么梯子底部在水平方向滑動(dòng)了4米嗎？為什么？【答案】(1)米(2)不是4米，是米，見解析【分析】（1）直接利用勾股定理計(jì)算即可；（2）先求出的長度，再利用勾股定理求出的長度即可得到．【詳解】（1）解：由題意得：米，米，∴（米），答：這個(gè)梯子的頂端距地面有24米；（2）梯子底部不是水平方向滑動(dòng)了4米，由題意得：米，∴米，∴（米），則：（米），答：梯子的底端在水平方向滑動(dòng)了8米．【點(diǎn)睛】此題考查了勾股定理的實(shí)際應(yīng)用，正確理解題意確定直角三角形，利用勾股定理解決問題是解題的關(guān)鍵．24．(本題10分)（2022秋·山東臨沂·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，已知射線MN表示一艘輪船東西方向的航行路線，在M的北偏東60°方向上有一燈塔A，燈塔A到M處的距離為100海里．(1)求燈塔A到航線MN的距離；(2)在航線MN上有一點(diǎn)B，且∠MAB＝15°，若輪船的航速為50海里/時(shí)，求輪船從M到B處所用的時(shí)間為多少小時(shí)？（結(jié)果保留根號(hào)）【答案】(1)50海里(2)（）小時(shí)【分析】（1）由題意得到∠FMA=60°，AM=100海里，求得∠AMB=30°，過點(diǎn)A作AT⊥MN于T，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)得到∠ABT=∠AMB+∠BAM=45°，求得AT=BT=50（海里），根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．（1）解：由題意可得：∠FMA=60°，AM=100海里，∴∠AMB=30°，過點(diǎn)A作AT⊥MN于T，∴∠ATM=90°，∴AT=AM=50，∴燈塔A到航線MN的距離是50海里；（2）∵∠AMB=30°，∠BAM=15°，∴∠ABT=∠AMB+∠BAM=45°，∵∠ATM=90°，∴∠ABT=∠BAT，∴AT=BT=50（海里），在Rt△AMT中，∠ATM=90°，根據(jù)勾股定理得，MT==（海里），∴BM=MT-BT=（）海里，∴小時(shí)；∴輪船從M到B處所用的時(shí)間為小時(shí)．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，方向角問題，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)，準(zhǔn)確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．25．(本題12分)（2020春·江蘇無錫·八年級(jí)統(tǒng)考期中）課間，小明拿著王老師的等腰直角三角板玩，三角板不小心掉到墻縫中．我們知道兩堵墻都是與地面垂直的，如圖．王老師沒有批評(píng)他，但要求他完成如下兩個(gè)問題：（1）試說明；（2）從三角板的刻度知AC＝25cm，算算一塊磚的厚度．（每塊磚的厚度均相等）小明先將問題所給條件做了如下整理：如圖，中，CA＝CB，∠ACB＝90°，AD⊥DE于D，BE⊥DE于E．請(qǐng)你幫他完成上述問題．【答案】（1）證明見解析；（2）5cm【分析】（1）根據(jù)題意可得AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，進(jìn)而得到∠ADC＝∠CEB＝90°，再根據(jù)等角的余角相等可得∠BCE＝∠DAC，再證明△ADC≌△CEB即可．（2）利用（1）中全等三角形的性質(zhì)進(jìn)行解答．【詳解】證明：（1）如圖：∵AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC＝∠BEC＝90°，∴∠1+∠2＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠2+∠3＝180°﹣90°＝90°，∵∠ADC＝∠BEC＝90°，∴∠1＝∠3，由∠ADC＝∠BEC＝90°，∠1＝∠3，CA＝CB，∴△ADC≌△CEB；（2）設(shè)每塊磚厚度為xcm，由①得，DC＝BE＝3xcm，AD＝4xcm，∵∠ADC＝90°，∴AD2+CD2＝AC2，即（4x）2+（3x）