人教出版八年級數(shù)學(xué)分式典型例題

分式的知識點及典型例題分析

1、分式的定義：

方15c各9a5a-b3a2-b2°215xy11x2+13xy

例：下列式子中，-----、8a?b、-一、-------、---------、2-一、—>——、一、------、—>

x+y232x-y4am6x227i

31

——、。+—中分式的個數(shù)為()(A)2(B)3(C)4(D)5

x+ym

練習(xí)題：（1）下列式子中，是分式的有,

在工⑵￡,1;⑶M⑷02；(5)2上⑹

x+523a7ib2x2+y2

（2）下列式子，哪些是分式？

a3y3lxx-^xy1h

5無2+4y8+乃x—2y45

2、分式有，無意義，總有意義：

2r+1

例1：當(dāng)X_________時，分式」一有意義；例2：分式「一中，當(dāng)》=—時，分式?jīng)]有意義

x-52-x

例3：當(dāng)x時，分式一一有意義。x

例4：當(dāng)x時，分式有意義

-----------X2-1X2+1

1

例5：尤，y滿足關(guān)系時，分式口無意義;

%+y

例6：無論x取什么數(shù)時，總是有意義的分式是（)

2xx3xx—5

A.——B.------C.——D.

x+12x4-1x3+lX2

X

例7：使分式有意義的x的取值范圍為（)A.xw2B.x豐—2C.x>—2D.x<2

x+2

x—2

例8：要是分式?jīng)]有意義，則x的值為)A.2B.-1或-3C.-1D.3

(x+l)(x-3)

3、分式的值為零:

1—2。X2-1

例1：當(dāng)X________時，分式L衛(wèi)的值為0例2：當(dāng)x________時，分式^—的值為0

Q+1X+1

例3：如果分式@二的值為為零，則a的值為（）A.±2B.2

C.-2D.以上全不對

。+2

2

Y—Y

例4：能使分式F—的值為零的所有X的值是（）

x--1

Ax=0Bx=1Cx=O或x=lDx=O或1=±1

x-9

例5：要使分式f--------的值為。，則x的值為（）4.3或-3B.3C.-3D2

-5x+6

例6：若：+1=0,則@是（）A.正數(shù)B.負(fù)數(shù)C.零D.任意有理數(shù)

回

4、分式的基本性質(zhì)的應(yīng)用：

例1：身=一；6x（.V+z?=——；如果5（3"+1）=*成立,則a的取值范圍是________

aaby3（y+z）2y+z7（3tz+l）7

,.ab~1—b+cb—c

例2：=-----------------=--------------

曲（）?（）

例3：如果把分式竺學(xué)中的a和b都擴大10倍，那么分式的值（）

a+b

A、擴大10倍B、縮小10倍C、是原來的20倍D、不變

例4：如果把分式」1匕0x中的x,y都擴大10倍，則分式的值（）

x+y

A.擴大100倍B.擴大10倍C,不變D.縮小到原來的

10

例5：如果把分式一壬二中的x和y都擴大2倍，即分式的值（）

x+y

A、擴大2倍；B、擴大4倍；C、不變；D縮小2倍

例6：如果把分式工二工中的x和y都擴大2倍，即分式的值（）

x+y

A、擴大2倍；B、擴大4倍；C、不變；D縮小2倍

例7：如果把分式二二上中的x和y都擴大2倍，即分式的值（）

xy

A、擴大2倍；B、擴大4倍；C、不變；D縮小,倍

2

例8：若把分式土色的x、y同時縮小12倍，則分式的值（）

2x

A.擴大12倍B.縮小12倍C.不變D.縮小6倍

例9：若x、y的值均擴大為原來的2倍，則下列分式的值保持不變的是（)

2

、生n3%3x3/

AB、—7C、D、

2y2y22/

例10：根據(jù)分式的基本性質(zhì)，分式二^可變形為（

)

a-b

a

A---B—^―C———D

-a-ba+ha-ba+b

0.2x—0.012

例11:不改變分式的值，使分式的分子、分母中各項系數(shù)都為整數(shù),

—x—0.05

I—Y

例12：不改變分式的值，使分子、分母最高次項的系數(shù)為正數(shù)，---------_

1+九一廠-

5、分式的約分及最簡分式：

\b-a\

b-aa-bJ1=-i；(4)=±z=q中

例1:下列式子（1）;一）',—；(2)(3)----

x--yc-aaa-b-x-yy

正確的是（）A、1個B、2個C、3個D、4個

例2：下列約分正確的是（)

x+yx+y_12xy21

A、I,；B、=0；C、D、

x+yx2+xyx4/y2

例3：下列式子正確的是（)

AOB.qJ八c-dc+dc-d-c+d八

3=c._Z+￡=2±￡D.------------=------------=0

2x+ya-yXX-xa

例4：下列運算正確的是)

a241a2_aJ__J__J_

A、----=-------B、C、D、

a-ha+bxx22mmm

例5：下列式子正確的是)

2

bba+b八—cibiO.ltz-0.3/?a-3b

A.-=—B.-----=0C.-----------------二-1D.

aaa+ha-h0.2a+h2a+b

mmmm

例6：化簡-----『的結(jié)果是（)A、B、C、D、

9-m2m+3"2+3m-33-m

11

—x+-y

-4x2y_3-x13x+5y

例7：約分:53

22:r

6xyX2-93xyxy0.6x-y

a2-441ya(a+b)

例8：約分:

6+4a+416x2yb(a+b)

ax+ayf-16x2-9-\4a2hc3

x2-y2x"+8x+162i+62\a3bc

9-m2_5ab_x2-9

m+320a2bx2-6x+9

a+2a-b4a」一中，最簡分式有（

例9：分式)

a2+3a2-b212(a-b)x-2

A.1個B.2個C.3個D.4個

6、分式的乘，除，乘方:

26V-25/16x3y456x4

計算:(1)15/.39y7(2)(3)一

125ai°10O?13a

a-ba2b~a4x-2x2-25a~—1。+1

計算:(4)(5)-------?------------(6)

a2+abab-a1x+5x~~4ci~+4。+4Q+2

<22-4x

計算:(7)6xy?歹(8)-6ab^—(9)(所辦言

2a

2/5y.10yx2-lx+3/—1/八Q+2

計算：(10)(11)+(1)?2(12)—~~-——；+(Q+l)--------

3/J+6x+9+X6r+4Q+4a-\

計算幺ci—」\1/一、2a-6/々、3—a

：(13)~9-----------；(14)--------------------------------------------------

Q+2a~—2。+1ci4—4。+。~一6

222

X3分%-y孫+y

求值題：(1)已知:一，求的值。

y4x2—2xy+y2x2-xy

22

求\的值。

(2)已知:x+9y=y-3x9

x+y

---=3,求2x+3xy—2.y的值。

(3)已知:

x-2xy-y

3

計算:

計算:

與w求…的值。

求值題：(1)已知:

2

(2)已知:一—10工+25+卜-3|=0求---------的值。

2xy+2y

22

例題：計算(x2+y)+上上2?的結(jié)果是()A_211

+yC-D

xx+yx+yyi+y

例題：化簡X十三?二-的結(jié)果是（

)A.1B.xyC.2D.土

:yxx)'

2元3-8xx+2x~—2x+12—2x2a+2.〃+1

計算：（1）---------X------(2)(3)(一一1)?

x+4x+42x-4x2-1x+1—2。+12。-2

7、分式的通分及最簡公分母：

112

例1：分式-----—r,---------的最簡公分母是（）

m+nm—〃m-n

A.（m+?）（m2—n2）B.（m2—n2）2C.（m+n）2（m-n）D.m2-n2

例2：對分式上，三，一匚通分時，最簡公分母是（）

2x3y24xy

A.24ry3B.12x2y2C.24xy2D.12A-y2

2[[22

例3：下面各分式：牛工，孚斗，二口，之二，其中最簡分式有（）個。

jr+xx-yx+1x-y

A.4B.3C.2D.1

例4：分式二一,'—的最簡公分母是

a2-42。-4

例5：分式a與!的最簡公分母為________________：

b

1-1

例6：分式工一——的最簡公分母為__________

x-y尤+孫

8、分式的加減:

22〃2a2-1-3a2-4

例1：—例2：

mma2-1a2-1

gVxgx+2yy2x

例3：-^―+-----=__________________例4：—^+―r1r一一o——7=__________________

x-yy-xx-yy-xx-y

4m—1ba2b2

計算：(1)——十--(2)」一十(3)

m+3m+3a-bb-a(a—b)2(b-a)2

5。%+33a2h-58+。％

ab1ab1ab~

13115

iii—

例5：化簡一+「-+」-等于（）A.2xB.2xc.6xD.6x

x2x3x

bca2a1例8：--3---—

例6：+—例7

abC,a2-4Q—2(x—3)2)-x

Xx+612〃+lci—2

例9：+一例11:4+1...-

222

x-3x-3xX例10：a+a-2a-4-a-\

X2

例12：-x-1

X—1

hah14x-1122

練習(xí)題!：(1)-----十(2)i)i——-(3)——+——.

a+bb--a22-xx-42+xci—93—u

b2

(4)----+a+b(5)2--—____2L

a-bx-)，y-x

a11a2—a—\

例13：計算。+1———的結(jié)果是（)A----B-----CDQ1

a一1a-1a-1a-\

I2x

例14：請先化簡：-.....F-,然后選擇一個使原式有意義而又喜歡的數(shù)代入求值.

x-2X2-4

Y1—2丫

例15：已知：X2+4X-3=0求-------,的值。

x+2x+4x+4

9、分式的混合運算:

42xx+3x~-2x+1

例1：-A--------------5-------------------1---------------例2：-----?------------

x~-16x-4x+4x+1x~-1x~+4x+3

.x—2x+2一2%4x

例3：例4：

x+2~x-2x+3jx+1

例5：|1j4———x-y.一一)，2

例6：

(1—XJX-1x+2y%2+4xy+4y2

(」一--L)+&J

x+lxV1

例7x-yx+yx-2xy+y例8：

x~~x尤2—2x+1/x

x+2x-\、x-4

---------;--------)+-----

x-2xx-4JC+4x

練習(xí)題:

10、分式求值問題：

?72丫+18

例1：己知x為整數(shù)，且^+^+1上為整數(shù)，求所有符合條件的“值的和.

x+33-xx-9

24111

例2：已知x=2,y=—,求----+----的值.

2(x-y)2x+yx-y)

例3：已知實數(shù)x滿足4X2-4X+1=0,則代數(shù)式2x+'-的值為

2x

例4：已知實數(shù)a滿足/+2a—8=0,求-----的值.

。+1u~-1〃~+4/z+3

例5：若x+'=3x2

求的值是（).A.一B.——C.D.-

x/+/+181024

13,求代數(shù)式2x二147二2.丫的值

例6：已知---

xyx-2xy-y

Q+1a—3以~—6。+9

例7：先化簡，再對〃取一個合適的數(shù)，代入求值

(2-3Q+2a2-4

練習(xí)題:

x2-4x_,ci~-8。+16a2+ab

(1)—z---------,其中x=5.(2)，其中3=5⑶/，其中a=-3,b=2

x~—8x+16a2-\6+2ab+b?

a2-l。+1甘+-OC%+2x-1x—4

(4)4------；其中a-85；(5)()---,其中x=-1

ci~+4a+4a+2—2xx"—4x+4X

先化簡，再求值：工二二+（戶2

(6)3).其中X=-2.

2九一4x—2

aa2a22

(7))X)+1,其中々=—,/?=-3

a-ha2-lab-^-b2a+ha2-b2

、x2—1

(8)先化簡,14--―再選擇一個你喜歡的數(shù)代入求值.

X7x

11、分式其他類型試題:

234_5__6_

例1:觀察下面一列有規(guī)律的數(shù):根據(jù)其規(guī)律可知第〃個數(shù)應(yīng)

381524)35，48

是.（〃為正整數(shù)）

1248與,…，根據(jù)你的發(fā)現(xiàn)，它的第8項是

例2：觀察下面一列分式:2'3，4，，第n項

xXXXX

是。

例3：按圖示的程序計算，若開始輸入的n值為4,則最后輸出的結(jié)果m是()

A10B20C55D50

例4：當(dāng)乂=_______時，分式」一與一絲一互為相反數(shù).

5-x2—3x

113

例5：在正數(shù)范圍內(nèi)定義一種運算☆,其規(guī)則為。☆匕=一+7，根據(jù)這個規(guī)則^^(九+1)=—的解為

ab2

222

()A.x=—B.x=1C.x=——或1D.x=一或一1

333

例6：已知一士一二4+"K,則4=______B=____c=_______；

x(x+4)xx+4

3y+7

例7：已知土+“，則()

(y-l)(y-2)y-1y-2

A.A=_10,B=13B.A=10,B=13C.A=10,B=-13D.A=—10,B=—13

2

例8：已知2x=3y,求y的值;

x2+y2x2-y2

例9：設(shè)加一〃=則'一』的值是()A.」一B.0

C.1D.-1

mnmn

例10：請從下列三個代數(shù)式中任選兩個構(gòu)成一個分式，并化簡該分式

x2Txy+4y2x-24y~2x—2y

例11：先填空后計算:

xiy-____________O—_____________O—______________o

n〃+l1〃+2〃+2〃+3

②(本小題4分)計算：一?—+-----]------+------?------+…+----------]---------

〃(〃+1)(〃+1)(〃+2)(〃+2)(〃+3)("+2003(〃+200&

,1111

解：-------1---------------1--------------F???H---------------------

〃(〃+1)(n+l)(72+2)(〃+2)(〃+3)(〃+200為(〃+2008

12、化為一元一次的分式方程：

x—1

例1：如果分式-----的值為一1,則X的值是

2x+l

例2：要使二5一與——4的值相等，則產(chǎn)__________o

x—1x—2

例3：當(dāng)0)=_____時，方程y=2的根為一.

m-x2

2

例4：如果方程-------=3的解是x=5,則a=,,

../、23/仆2—x1

例5：(1)—=——(2)-----+-----=1

x1+1x-33-x

X—216_x+2

例6:解方程：

x+2%2-4x-2

nY—4-

例7：已知：關(guān)于x的方程1+——=上二無解，求a的值。

x—33-x

y4-

例8：已知關(guān)于x的方程——=-1的根是正數(shù)，求a的取值范圍。

x-2

例9：若分式」I一與上Y-」2的2倍互為相反數(shù)，則所列方程為____________________________

x+2x-3

例10：當(dāng)ni為何值時間？關(guān)于X的方程12—=———土土的解為負(fù)數(shù)?

x-x—2x+1x—2

h—xx-b

例11：解關(guān)于x的方程-----+2=------(awO)

aa

例12：解關(guān)于x的方程：士=+==一^虧3*0)

a+bci—hci~-u

v__1y__OOYI"

例13：當(dāng)a為何值時，---=—竺二一的解是負(fù)數(shù)?

X—2X4-1(X—2)(%4-1)

2_2

例14：先化簡，再求值：一J.上二^+W2x+2—2,其中x,y滿足方程組〈x+2y=3

（x-y）x+yx-y=-2

Y—1x_m

例15知關(guān)于X的方程d一的解為負(fù)值,求m的取值范圍。

x+2x—1(尤+2)(x—1)

1_4⑵3x+2_,、I35

練習(xí)題：（1）⑵X.10⑶—

x-4x2-16x(x-l)1-X2l-XI+X

x_x-2⑸？5%一-4_2x+51/、11

(4)\07-->

x-5x+62x—43x—621一1—1

-^-+3=-^-(8)1212（9）31一3

(7)

x-22-x犬+33-xx2-92x—21—x

13、分式方程的增根問題：

X）77

例1:分式方程一有增根，則＜11=_____

冗-3x—3

例2：當(dāng)k的值等于時，關(guān)于x的方程一k三+2=-4-JX不會產(chǎn)生增根;

x-3x-3

2m￥3

------1—;---=-----

例3：若解關(guān)于x的分式方程x-2X2-4x+2會產(chǎn)生增根，求m的值。

Xin

例4：機取_________時，方程一一-2=——會產(chǎn)生增根；

x—3x—3

Xvn~

例5：若關(guān)于x的分式方程一--2二上二無解，則勿的值為—

x—3x—3

例6：當(dāng)k取什么值時？分式方程一Y匚+-K----二Y=0有增根.

X—1X-1X+1

例7：若方程二二="一有增根，則m的值是（）A.4B.3C.-3D.1

x-4x-4

3a4

例8：若方程一---有增根，則增根可能為（）

x-2xx（x-2）

A、0B、2C、0或2I）、1

7722

)ABCD--

2277

例5：已知2x=3y,求一一上二的值;

f+/%--V

八Lhaca2—ab+h2

例6：如果——=2,貝U-----------

ba2+b2-------------

例7：已知-ci^―與h的和等于-4^x―，則a=,b=o

x+2x-2x2-4

例8：若xy=x—y#0,則分式----=()—B、y-xC>1D、—1

yxxy

Y-24x1li-

例9：有一道題“先化簡，再求值:土」+)十一一，其中X=-75?！毙×嶙鲱}時把“X=—G"

x+2X2-4X2-4

錯抄成了“x=口,但她的計算結(jié)果也是正確的，請你解釋這是怎么回事?

1-1

例10：有這樣一道數(shù)學(xué)題：“己知:a=2005,求代數(shù)式a（l+—）—^a—5■的值”，王東在計算時錯把“a=2005”

aa-1

抄成了“a=2050”，但他的計算結(jié)果仍然正確，請你說說這是怎么回事。

X2—2x+1—1

例11：有這樣一道題：“計算：，十口x一一X的值，其中x=2007”，某同學(xué)把x=2007錯抄

x~-1X~+X

成x=2008,但它的結(jié)果與正確答案相同，你說這是怎么回事？

例題：已知x+—=3,求丁J-的值。

XX+X+1

15、分式的應(yīng)用題:

（1）列方程應(yīng)用題的步驟是什么？（1）審；（2）設(shè)；（3）列；（4）解；（5）答.

（2）應(yīng)用題有幾種類型；基本公式是什么？基本上有四種：

a.行程問題：基本公式：路程=速度X時間而行程問題中又分相遇問題、追及問題.

b.數(shù)字問題：在數(shù)字問題中要掌握十進(jìn)制數(shù)的表示法.

c.工程問題：基本公式：工作量=工時乂工效.

dj順?biāo)嫠畣栴}：V頷水=V悔水+v水.VJJ!*=V*.

工程問題：

例1：一項工程，甲需x小時完成，乙需y小時完成，則兩人一起完成這項工程需要小時。

例2：小明和小張兩人練習(xí)電腦打字，小明每分鐘比小張少打6個字，小明打120個字所用的時間和小張

打180個字所用的時間相等。設(shè)小明打字速度為x個/分鐘，則列方程正確的是（）

,1201801201800120180八120180

A----=——Bn-------=——C——=-------D——=------

x+6xx-6xxx+6xx-6

例3：某工程需要在規(guī)定日期內(nèi)完成，如果甲工程隊獨做，恰好如期完成；如果乙工作隊獨做,則超過規(guī)定日

期3天，現(xiàn)在甲、乙兩隊合作2