chp3-兩自由度系統(tǒng)的振動(dòng)-1(振動(dòng)微分方程的建立)

機(jī)械工程學(xué)院機(jī)械裝備與控制工程系緒論單自由度線性系統(tǒng)的振動(dòng)兩自由度線性系統(tǒng)的振動(dòng)多自由度線性系統(tǒng)的振動(dòng)連續(xù)體振動(dòng)工程振動(dòng)及應(yīng)用《振動(dòng)理論及應(yīng)用》講授內(nèi)容第3章兩自由度系統(tǒng)的振動(dòng)在工程實(shí)際中，有許多振動(dòng)問(wèn)題是非常復(fù)雜的，無(wú)法用單自由度的模型和方法進(jìn)行分析，需要簡(jiǎn)化成多自由度系統(tǒng)才能反映實(shí)際問(wèn)題的物理本質(zhì)。兩自由度系統(tǒng)是多自由度系統(tǒng)最簡(jiǎn)單的特例，與單自由度相比較，具有一些新的概念，需要新的分析方法；而從兩自由度到更多自由度系統(tǒng)，則主要是量的擴(kuò)充，在問(wèn)題的表述、求解方法及振動(dòng)特性上沒(méi)有本質(zhì)的區(qū)別。TheoryofVibrationwithApplications

第3章兩自由度系統(tǒng)的振動(dòng)3.1振動(dòng)微分方程的建立

3.2自由振動(dòng)的求解

3.3拍振

3.4坐標(biāo)耦聯(lián)與主坐標(biāo)

3.5強(qiáng)迫振動(dòng)的求解3.1振動(dòng)微分方程的建立TheoryofVibrationwithApplications第3章兩自由度系統(tǒng)的振動(dòng)3.1振動(dòng)微分方程的建立TheoryofVibrationwithApplications第3章兩自由度系統(tǒng)的振動(dòng)m1m2k3k1k2x1x2P1(t)P2(t)例3-1：雙質(zhì)量彈簧系統(tǒng)，兩質(zhì)量分別受到激振力,不計(jì)摩擦和其他形式的阻尼.試建立系統(tǒng)的振動(dòng)微分方程。3.1振動(dòng)微分方程的建立TheoryofVibrationwithApplications第3章兩自由度系統(tǒng)的振動(dòng)m1m2k3k1k2x1x2P1(t)P2(t)解：受力分析：P1(t)k1x1k2(x1-x2)m1P2(t)k2(x1-x2)m2k3x23.1振動(dòng)微分方程的建立TheoryofVibrationwithApplications第3章兩自由度系統(tǒng)的振動(dòng)解：P1(t)k1x1k2(x1-x2)m1P2(t)k2(x1-x2)m2k3x2建立方程：矩陣形式：坐標(biāo)間的耦合項(xiàng)

3.1振動(dòng)微分方程的建立TheoryofVibrationwithApplications第3章兩自由度系統(tǒng)的振動(dòng)例3-2：雙轉(zhuǎn)盤系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)振動(dòng)微分方程的建立。兩圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)慣量軸的三個(gè)段的扭轉(zhuǎn)剛度外力矩3.1振動(dòng)微分方程的建立TheoryofVibrationwithApplications第3章兩自由度系統(tǒng)的振動(dòng)解：受力分析：3.1振動(dòng)微分方程的建立TheoryofVibrationwithApplications第3章兩自由度系統(tǒng)的振動(dòng)解：建立方程：矩陣形式：坐標(biāo)間的耦合項(xiàng)

3.1振動(dòng)微分方程的建立TheoryofVibrationwithApplications第3章兩自由度系統(tǒng)的振動(dòng)m1m2k3k1k2P1(t)P2(t)多自由度系統(tǒng)的角振動(dòng)與直線振動(dòng)在數(shù)學(xué)描述上相同。

如同在單自由度系統(tǒng)中所定義的，在多自由度系統(tǒng)中也將質(zhì)量、剛度、位移、加速度及力都理解為廣義的。例3-1：例3-2：3.1振動(dòng)微分方程的建立TheoryofVibrationwithApplications第3章兩自由度系統(tǒng)的振動(dòng)例3-3：梁的彎曲振動(dòng)微分方程的建立x1x2l/3l/3l/3m1m2P1P23.1振動(dòng)微分方程的建立TheoryofVibrationwithApplications第3章兩自由度系統(tǒng)的振動(dòng)解：m1

位移：m2位移：時(shí)（1）f11f21P1=1時(shí)（2）m1

位移：m2位移：f12f22P2=1x1m1x2m2P1P2

同時(shí)作用（3）m1

位移：m2位移：3.1振動(dòng)微分方程的建立TheoryofVibrationwithApplications第3章兩自由度系統(tǒng)的振動(dòng)解：由材料力學(xué)可知當(dāng)B點(diǎn)作用有單位力時(shí)，A點(diǎn)的撓度為：

labABP=1柔度影響系數(shù)3.1振動(dòng)微分方程的建立TheoryofVibrationwithApplications第3章兩自由度系統(tǒng)的振動(dòng)解：柔度矩陣3.1振動(dòng)微分方程的建立TheoryofVibrationwithApplications第3章兩自由度系統(tǒng)的振動(dòng)例3-4：試建立如圖所示系統(tǒng)的振動(dòng)微分方程。（擺長(zhǎng)

l，無(wú)質(zhì)量，微擺動(dòng)）xMk/2k/2l3.1振動(dòng)微分方程的建立TheoryofVibrationwithApplications第3章兩自由度系統(tǒng)的振動(dòng)Lagrange方程式中：L為L(zhǎng)agrange函數(shù)，它是系統(tǒng)動(dòng)能T和勢(shì)能V之差，L=T-V

。而和(i=1,2,…,n)是系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)和廣義速度；是耗散函數(shù)，其中cij為系統(tǒng)在廣義坐標(biāo)qj方向有單位廣義速度時(shí)，在廣義坐標(biāo)qi方向產(chǎn)生的阻尼力；Qi是在廣義坐標(biāo)方向qi的廣義力，，其中W是除阻尼力外的其他非保守力所作的功。和分別是對(duì)廣義坐標(biāo)和對(duì)廣義速度求偏導(dǎo)數(shù)，是對(duì)時(shí)間求一次導(dǎo)數(shù)。拉格朗日方程利用廣義坐標(biāo)來(lái)描述非自由質(zhì)點(diǎn)系的運(yùn)動(dòng)，這組方程以系統(tǒng)的動(dòng)能、勢(shì)能、耗散函數(shù)和廣義力的形式出現(xiàn)，具有以下形式：3.1振動(dòng)微分方程的建立TheoryofVibrationwithApplications第3章兩自由度系統(tǒng)的振動(dòng)解：xMk/2k/2l建立廣義坐標(biāo)x和θ，坐標(biāo)x的原點(diǎn)在系統(tǒng)靜平衡位置，方向向右為正。θ為擺桿轉(zhuǎn)角，逆時(shí)針?lè)较驗(yàn)檎瑪[桿處于鉛垂位置時(shí)θ為零。系統(tǒng)靜平衡時(shí)勢(shì)能為零。

質(zhì)量M的速度：質(zhì)量m的速度：

3.1振動(dòng)微分方程的建立TheoryofVibrationwithApplications第3章兩自由度系統(tǒng)的振動(dòng)解：系統(tǒng)的動(dòng)能:系統(tǒng)的勢(shì)能:Lagrange函數(shù):

對(duì)廣義坐標(biāo)分別運(yùn)用lagrange方程得

3.1振動(dòng)微分方程的建立TheoryofVibrationwithApplications第3章兩自由度系統(tǒng)的振動(dòng)解：當(dāng)θ很小時(shí)，有4.1微分方程的建立TheoryofVibrationwithApplications第4章兩自由度線性系統(tǒng)的振動(dòng)

牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律m1m2k3k1k2x1x2P1(t)P2(t)4.1微分方程的建立TheoryofVibrationwithApplications第4章兩自由度線性系統(tǒng)的振動(dòng)柔度影響系數(shù)法x1x2l/3l/3l/3m1m2P1P2xMk/2k/2l4.1微分方程的建立TheoryofVibrationwith