奧數(shù)第10講加法原理和乘法原理綜合運(yùn)用例題和詳解

嬴趣味故事

加乘原理與干支紀(jì)年

大家都知道20XX年是乙丑年，就是我們的“干支紀(jì)年”法.那同學(xué)們知道它是怎

么算出來的嗎？我們把天干分成十個(gè)，即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛'壬、癸.地

支共十二個(gè)：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.那年份是通過怎樣

的排列得到的呢？下面就是排列的方法：甲子、乙丑、丙寅、丁卯、戊辰、己巳、庚午、

辛未、壬申、癸酉；甲戌、乙亥

從“甲子”重新開始，直到“癸亥”結(jié)束.以

此紀(jì)年，一個(gè)循環(huán)60年.稱為“六十甲子”，

或者“六十花甲”.根據(jù)這種推算，我們可以

算出任意一年是什么組合嘍，讀完這個(gè)故事，

講給你的父母聽，告訴他們我們祖輩的紀(jì)年其

實(shí)是利用了奧數(shù)知識(shí)啊.

P能力培養(yǎng)

思維/能力例1例2例3例4例5例6例7例8例9

思

維求異思維

differentialthinking?

分析彩熊力

analysisability?

氣

能概括「能力

generalizationability?

力判斷,能力

judgementability?

解決問題個(gè)能力

problemsolvingability?

與教學(xué)目標(biāo)

本講的兩個(gè)教學(xué)要點(diǎn)：

1.復(fù)習(xí)乘法原理和加法原理；

2.培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用加法原理和乘法原理的能力；

在分類討論中結(jié)合分步分析，在分步分析中結(jié)合分類討論；教師應(yīng)該明確并強(qiáng)調(diào)哪些是分類，哪些是

分步.并了解與加、乘原理的常見題型：數(shù)論類問題、染色問題、圖形組合.

界經(jīng)典精講

生活中常有這樣的情況：在做一件事時(shí)，有幾類不同的方法，在具體做的時(shí)候，只要采用其

中某一類中的一種方法就可以完成，并且這幾類方法是互不影響的.那么考慮完成這件事所有可

能的做法，就要用到加法原理來解決.

還有這樣的一種情況：就是在做一件事時(shí)，要分幾步才能完成，而在完成每一步時(shí)，又有幾

種不同的方法.要知道完成這件事情共有多少種方法，就要用到乘法原理來解決.

n

n

n匚

n應(yīng)用加法原理和乘法原理時(shí)要注意下面幾點(diǎn)：

n

n⑴加法原理是把完成一件事的方法分成幾類，每一類中的任何一種方法都能完成任務(wù)，所以

n

n完成任務(wù)的不同方法數(shù)等于各類方法數(shù)之和.

n

n⑵乘法原理是把一件事分幾步完成，這幾步缺一不可，所以完成任務(wù)的不同方法數(shù)等于各步

r

m方法數(shù)的乘積.

n

l⑶在很多題目中，加法原理和乘法原理都不是單獨(dú)出現(xiàn)的，這就需要我們能夠熟練的運(yùn)用好

n

n這兩大原理，綜合分析，正確作出分類和分步.

n

tr

簡(jiǎn)單加乘原學(xué)9運(yùn)用

惹寸、紅'黃、藍(lán)'白四種顏色不同的小旗，各有2,2,3,3面，任意取出三面按順序排成一

Q（）行，表示一種信號(hào)，問：共可以表示多少種不同的信號(hào)？如果白旗不能打頭又有多少種？

【分析】（一）取出的3面旗子，可以是一種顏色、兩種顏色、三種顏色，應(yīng)按此進(jìn)行分類

第一類，一種顏色：都是藍(lán)色的或者都是白色的，2種可能；

第二類，兩種顏色：（4x3）x3=36

第三類，三種顏色：4x3x2=24

所以，根據(jù)加法原理，一共可以表示2+36+24=62種不同的信號(hào).

（二）白棋打頭的信號(hào)，后兩面旗有4x4=16種情況.所以白棋不打頭的信號(hào)有62-16=46種.

［鋪墊］某信號(hào)兵用紅，黃，藍(lán)，綠四面旗中的三面從上到下掛在旗桿上的三個(gè)位置表示信號(hào).每次可掛

一面，二面或三面，并且不同的順序，不同的位置表示不同的信號(hào).一共可以表示出多少種不同

的信號(hào)？

［分析］由于每次可掛一面、二面或三面旗子，我們可以根據(jù)旗桿上旗子的面數(shù)分三類考慮：

第一類第二類第三類

第一類，可以從四種顏色中任選一種，有4種表示法；

第二類，要分兩步完成：第一步，第一面旗子可以從四種顏色中選一種，有4種選法；第二步，

第二面旗子可從剩下的三種中選一種，有3種選法.根據(jù)乘法原理，共有4x3=12種表示法；

第三類，要分三步完成：第一步，第一面旗子可以從四種顏色中選一種，有4種選法：第二步，

第二面旗子可從剩下的三種中選一種，有3種選法；第三步，第三面旗子可從剩下的兩種顏色中

選一種，有2種選法.根據(jù)乘法原理，共有4x3x2=24種表示法.

根據(jù)加法原理，一共可以表示出4+12+24=40種不同的信號(hào).

（走進(jìn)美妙數(shù)學(xué)花園少年數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽）

如圖，將1,2,3,4,5分別填入圖中1x5的格子中，要求填在黑格里的數(shù)比它旁邊的

兩個(gè)數(shù)都大.共有_____種不同的填法.

?K______________________________________________________________________________）

【分析】因?yàn)橐蟆疤钤诤诟窭锏臄?shù)比它旁邊的兩個(gè)數(shù)都大”，所以填入黑格中的數(shù)不能夠太小，否則就

不滿足條件.通過枚舉法可知填入黑格里的數(shù)只有兩類：第一類，填在黑格里的數(shù)是5和4;第

二類，填在黑格里的數(shù)是5和3.接下來就根據(jù)這兩類進(jìn)行計(jì)數(shù)：

第一類，填在黑格里的數(shù)是5和4時(shí)，分為以下幾步：第一步，第一個(gè)黑格可從5和4中任選一

個(gè)，有2種選法：第二步，第二個(gè)黑格可從5和4中剩下的一個(gè)數(shù)選擇，只有1種選法；第三步，

第一個(gè)白格可從1,2,3中任意選一個(gè)，有3種選法.第四步，第二個(gè)白格從1,2,3剩下的兩

個(gè)數(shù)中任選一個(gè)，有2種選法；第五步，最后一個(gè)白格只有1種選法.根據(jù)乘法原理，一共有

(2xl)x(3x2xl)=12種.

第二類，填在黑格里的數(shù)是5和3時(shí)，黑格中有兩種填法，此時(shí)白格也有兩種埴法，根據(jù)乘法原

理，不同的填法有2x2=4種.

所以，根據(jù)加法原理，不同的填法共有12+4=16種.

用0~9這十個(gè)數(shù)字可組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)?

【分析】無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)的千位、百位、十位、個(gè)位的限制條件：千位上不能排0,或說千位上只能

排1?9這九個(gè)數(shù)字中的一個(gè).而且其他位置上數(shù)碼都不相同，下面分別介紹三種解法.

方法一：分兩步完成：

第一步：從1?9這九個(gè)數(shù)中任選一個(gè)占據(jù)千位，有9種方法.

第二步：從余下的9個(gè)數(shù)(包括數(shù)字0)中任選3個(gè)占據(jù)百位、十位、個(gè)位，百位有9種.十位有

8種，個(gè)位有7種方法.

由乘法原理，共有滿足條件的四位數(shù)9x9x8x7=4536個(gè).

方法二：組成的四位數(shù)分為兩類：

第一類：不含0的四位數(shù)有9x8x7x6=3024個(gè).

第二類：含()的四位數(shù)的組成分為兩步：第一步讓()占一個(gè)位有3種占法，(讓()占住只能在百、

十、個(gè)位上，所以有3種)第二步讓其余9個(gè)數(shù)占位有9x8x7種占法.所以含0的四位數(shù)有

3x9x8x7=1512個(gè).

由加法原理，共有滿足條件的四位數(shù)3024+1512=4536個(gè).

方法三：從0?9十個(gè)數(shù)中任取4個(gè)數(shù)的排列總數(shù)為10x9x8x7,其中0在千位的排列數(shù)有9x8x7

個(gè)，所以共有滿足條件的四位數(shù)：10x9x8x7-9x8x7=9x8x7x(10-1)=4536個(gè).

［拓展］用。，b2,3四個(gè)數(shù)碼可以組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)？

［分析J分為兩類：個(gè)位數(shù)字為0的有3x2=6個(gè)，個(gè)位數(shù)字為2的有2x2=4個(gè)，由加法原理，一共有:

6+4=10個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù).

［拓展］用數(shù)碼0,1,2,3,4,可以組成多少個(gè)小于1000的沒有重復(fù)數(shù)字的自然數(shù)?

［分析1分為三類，一位數(shù)時(shí)，0和一位數(shù)共有5個(gè)；二位數(shù)時(shí)，為4x4=16個(gè)，三位數(shù)時(shí)，為：4x4x3=48

個(gè)，由加法原理，一共可以組成5+16+48=69個(gè)小于1000的沒有重復(fù)數(shù)字的自然數(shù).

?從1到500的所有自然數(shù)中，不含有數(shù)字4的自然數(shù)有多少個(gè)?

【分析】從1到500的所有自然數(shù)可分為三大類，即一位數(shù)，兩位數(shù)，三位數(shù).

一位數(shù)中，不含4的有8個(gè)，它們是1、2、3、5、6、7、8、9;

兩位數(shù)中，不含4的可以這樣考慮：十位上，不含4的有I、2、3、5、6、7、8、9這八種情況.個(gè)

位上，不含4的有()、1、2、3、5、6、7、8、9這九種情況，要確定一個(gè)兩位數(shù)，可以先取十位

數(shù)，再取個(gè)位數(shù)，應(yīng)用乘法原理，這時(shí)共有8X9=72個(gè)數(shù)不含4.

三位數(shù)中，小于500并且不含數(shù)字4的可以這樣考慮：百位上，不含4的有1、2、3、這三種情

況.十位上，不含4的有()、1、2、3、5、6、7、8、9這九種情況，個(gè)位上，不含4的也有九種

情況.要確定一個(gè)三位數(shù)，可以先取百位數(shù)，再取十位數(shù)，最后取個(gè)位數(shù)，應(yīng)用乘法原理，這時(shí)

共有3x9x9=243個(gè)三位數(shù).由于500也是一個(gè)不含4的三位數(shù).所以，1?500中，不含4的三

位數(shù)共有3x9x9+1=244個(gè).

所以一共有8+8x9+3x9x9+1=324個(gè)不含4的自然數(shù).

［鞏固］從1至I100的所有自然數(shù)中，不含有數(shù)字4的自然數(shù)有多少個(gè)？

［分析］從1到100的所有自然數(shù)可分為三大類，即一位數(shù)，兩位數(shù)，三位數(shù).

一位數(shù)中，不含4的有8個(gè)，它們是1、2、3、5、6、7、8、9;

兩位數(shù)中，不含4的可以這樣考慮：十位上，不含4的有I、2、3、5、6、7、8、9這八種情況.個(gè)

位上，不含4的有0、1、2、3、5、6、7、8、9這九種情況，要確定一個(gè)兩位數(shù)，可以先取十位

數(shù),再取個(gè)位數(shù)，應(yīng)用乘法原理，這時(shí)共有8x9=72個(gè)數(shù)不含4.

三位數(shù)只有100.

所以一共有8+8x9+1=81個(gè)不含4的自然數(shù).

?在1~100的自然數(shù)中取出兩個(gè)不同的數(shù)相加，其和是3的倍數(shù)的共有多少種不同的取法?

【分析】將1?100按照除以3的余數(shù)分為3類：第一類，余數(shù)為1的有1,4,7,-100,一共有34個(gè)；

第二類，余數(shù)為2的一共有33個(gè)；第三類，可以被3整除的一共有33個(gè).取出兩個(gè)不同的數(shù)其

和是3的倍數(shù)只有兩種情況：第一種，從第一、二類中各取一個(gè)數(shù)，有34x33=1122種取法；第

二種，從第三類中取兩個(gè)數(shù)，有33x32+2=528種取法.根據(jù)加法原理，不同取法共有：

1122+528=1650種.

［鋪墊］在1~10這10個(gè)自然數(shù)中，每次取出兩個(gè)不同的數(shù)，使它們的和是3的倍數(shù)，共有多少種不同的

取法？

［分析］兩個(gè)數(shù)的和是3的倍數(shù)有兩種情況，或者兩個(gè)數(shù)都是3的倍數(shù)，或有1個(gè)除以3余1,另一個(gè)除

以3余2.1?10中能被3整除的有3個(gè)數(shù)，取兩個(gè)有3種取法；除以3余1的有4個(gè)數(shù)，除以3

余2的有3個(gè)數(shù)，各取1個(gè)有3x4=12種取法.根據(jù)加法原理，共有取法：3+12=15種.

［拓展］在1~10這1（）個(gè)自然數(shù)中，每次取出三個(gè)不同的數(shù)，使它們的和是3的倍數(shù)有多少種不同的取法？

［分析］三個(gè)不同的數(shù)和為3的倍數(shù)有四種情況：三個(gè)數(shù)同余1,三個(gè)數(shù)同余2,三個(gè)數(shù)都被3整除，余1

余2余（）的數(shù)各有1個(gè)，四類情況分別有4種、1種、1種、4x3x3=36種，所以一共有

4+1+1+36=42種.

府補(bǔ)\有兩個(gè)骰子，每個(gè)骰子的六個(gè)面分別有1、2、3、4、5、6個(gè)點(diǎn).隨意擲這兩個(gè)骰子，

Q6］向上一面點(diǎn)數(shù)之和為偶數(shù)的情形有多少種？

【分析】方法一：要使兩個(gè)骰子的點(diǎn)數(shù)之和為偶數(shù)，只要這兩個(gè)點(diǎn)數(shù)的奇偶性相同，可以分為兩步：第一

步第一個(gè)骰子隨意擲有6種可能的點(diǎn)數(shù)；第二步當(dāng)?shù)谝粋€(gè)骰子的點(diǎn)數(shù)確定了以后，第二

個(gè)骰子的點(diǎn)數(shù)只能是與第一個(gè)骰子的點(diǎn)數(shù)相同奇偶性的3種可能的點(diǎn)數(shù).

根據(jù)乘法原理，向上一面的點(diǎn)數(shù)之和為偶數(shù)的情形有6x3=18（種）.

方法二：要使兩個(gè)骰子點(diǎn)數(shù)之和為偶數(shù)，只要這兩個(gè)點(diǎn)數(shù)的奇偶性相同，所以，可以分為兩類：

第一類：兩個(gè)數(shù)字同為奇數(shù).有3x3=9（種）不同的情形.

第二類：兩個(gè)數(shù)字同為偶數(shù).類似第一類，也有3x3=9（種）不同的情形.

根據(jù)加法原理，向上一面點(diǎn)數(shù)之和為偶數(shù)的情形共有9+9=18（種）.

方法三：隨意擲兩個(gè)骰子，總共有6x6=36（種）不同的情形.因?yàn)閮蓚€(gè)骰子點(diǎn)數(shù)之和為奇數(shù)與

偶數(shù)的可能性是一樣的，所以，點(diǎn)數(shù)之和為偶數(shù)的情形有36+2=18（種）.

［拓展］有三個(gè)骰子，每個(gè)骰子的六個(gè)面分別有1、2、3、4、5、6個(gè)點(diǎn).隨意擲這三個(gè)骰子，向上一面

點(diǎn)數(shù)之和為偶數(shù)的情形有多少種？

［分析］方法一：要使三個(gè)點(diǎn)數(shù)之和為偶數(shù)，有兩種情況，三個(gè)點(diǎn)數(shù)都為偶數(shù)，或者一個(gè)點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)另外

兩個(gè)點(diǎn)數(shù)為奇數(shù).可以分為三步：第一步，第一個(gè)骰子隨意擲有6種可能的點(diǎn)數(shù)；第二

步，當(dāng)?shù)谝粋€(gè)骰子的點(diǎn)數(shù)確定了以后，第二個(gè)骰子的點(diǎn)數(shù)還是奇數(shù)偶數(shù)都有可能所有也

有6種可能的點(diǎn)數(shù)；第三步，當(dāng)前兩個(gè)骰子的點(diǎn)數(shù)即奇偶性都確定了之后第三個(gè)骰子點(diǎn)

數(shù)的奇偶性就確定了所以只有3種可能的點(diǎn)數(shù).

根據(jù)乘法原理，向上一面的點(diǎn)數(shù)之和為偶數(shù)的情形有6x6x3=108（種）.

方法二：要使三個(gè)點(diǎn)數(shù)之和為偶數(shù)，有兩種情況，三個(gè)點(diǎn)數(shù)都為偶數(shù)，或者一個(gè)點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)另外

兩個(gè)點(diǎn)數(shù)為奇數(shù).所以，要分兩大類來考慮：

第一類：三個(gè)點(diǎn)數(shù)同為偶數(shù).由于擲骰子可認(rèn)為是一個(gè)一個(gè)地?cái)S.每擲一個(gè)骰子出現(xiàn)偶

數(shù)點(diǎn)數(shù)都有3種可能.由乘法原理，這類共有3x3x3=27（種）不同的情形.

第二類：一個(gè)點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)另外兩個(gè)點(diǎn)數(shù)為奇數(shù).先選一個(gè)骰子作為偶數(shù)點(diǎn)數(shù)的骰子有3

種選法，然后類似第一類的討論方法，共有3x（3x3x3）=81（種）不同情形.

根據(jù)加法原理，三個(gè)骰子向上一面點(diǎn)數(shù)之和為偶數(shù)的情形共有3x3x3+3x3x3x3=108（種）.

加乘原理與圖論

惹飛、用四種顏色對(duì)右圖的五個(gè)字染色，要求相鄰的區(qū)域的字染不同的顏色，但不是每種顏色

Q7）都必須要用.問：共有多少種不同的染色方法？

【分析】第一步給“而”上色，有4種選擇；

然后對(duì)“學(xué)”染色，“學(xué)”有3種顏色可選；

當(dāng)“奧”，"數(shù)”取相同的顏色時(shí)，有2種顏色可選，此時(shí)“思”也有2種顏色可選，不同的涂法

<3x2x2=12種；

當(dāng)“奧”，“數(shù)”取不同的顏色時(shí)，“奧”有2種顏色可選，“數(shù)”剩僅1種顏色可選，此時(shí)“思”

也只有1種顏色可選（與“學(xué)”相同），不同的涂法有3x2xlxl=6種.

所以，根據(jù)加法原理，共有4x3x（2x2+2）=72種不同的涂法

［鋪墊］地圖上有A,B,C,。四個(gè)國(guó)家（如下圖），現(xiàn)有紅、黃、藍(lán)三種顏色給地圖染色，使相鄰國(guó)

家的顏色不同，但不是每種顏色都必須要用，問有多少種染色方法？

［分析］4有3種顏色可選；

當(dāng)B,C取相同的顏色時(shí)，有2種顏色可選，此時(shí)。也有2種顏色可選.根據(jù)乘法原理，不同的

涂法有3x2x2=12種；

當(dāng)B,C取不同的顏色時(shí)，8有2種顏色可選，C僅剩1種顏色可選，此時(shí)。也只有1種顏色可

選（與A相同）.根據(jù)乘法原理，不同的涂法有3x2xlxl=6種.

綜上，根據(jù)加法原理，共有12+6=18種不同的涂法.

［注意］給地圖染色問題中有的可以直接用乘法原理解決，有的需要分類解決，前者分類做也可以解決問題.

［拓展］將圖中的。分別涂成紅色、黃色或綠色，要求有線段相連的兩個(gè)相鄰。涂不同的顏色，共有多少

種不同涂法?

［分析］如右上圖，當(dāng)A,B,C,。的顏色確定后，大正方形四個(gè)角上的。的顏色就確定了，所以只需

求A,B,C,。有多少種不同涂法.按先A,再B,D,后C的順序涂色.

按A-8-。-C的順序涂顏色:

A有3種顏色可選；

當(dāng)B,。取相同的顏色時(shí)，有2種顏色可選，此時(shí)C也有2種顏色可選，不同的涂法有3x2x2=12種;

當(dāng)B,。取不同的顏色時(shí)，B有2種顏色可選，。僅剩I種顏色可選，此時(shí)C也只有1種顏色可

選（與A相同），不同的涂法有3x2xlxl=6（種）.

所以，根據(jù)加法原理，共有12+6=18種不同的涂法.

惹分別用五種顏色中的某一種對(duì)下圖的A,B,C,D,E,F六個(gè)區(qū)域染色，要求相

Pg］鄰的區(qū)域染不同的顏色，但不是每種顏色都必須要用.問：有多少種不同的染法？

【分析】先按A,B,D,C,E的次序染色，可供選擇的顏色依次有5,4,3,2,3種，注意E與。的

顏色搭配有3x3=9（種），其中有3種E和。同色，有6種E和。異色.最后染尸，當(dāng)E與。同

色時(shí)有3種顏色可選，當(dāng)E與。異色時(shí)有2種顏色可選，所以共有5x4x2x（3x3+6x2）=840種

染法.

在一個(gè)圓周上均勻分布10個(gè)點(diǎn)，以這些點(diǎn)為頂點(diǎn)，可以畫出多少不同的鈍角三角形？

（補(bǔ)充知識(shí)：由直徑和圓周上的一點(diǎn)構(gòu)成的三角形一定是直角三角形，其中直徑的邊所

對(duì)的角是直角，所以如果圓周上三點(diǎn)在同一段半圓周上，則這三點(diǎn)構(gòu)成鈍角三角形）.

\_____________________________________________________________________y

【分析】由于10個(gè)點(diǎn)全在圓周上，所以這1()個(gè)點(diǎn)沒有三點(diǎn)共線，故只要在10個(gè)點(diǎn)中取3個(gè)點(diǎn)，就可以

畫出一個(gè)三角形，如果這三個(gè)點(diǎn)其中兩點(diǎn)構(gòu)成的線段小于直徑，并且第三個(gè)點(diǎn)在被其余兩點(diǎn)分割

的較小的圓周上，則這三個(gè)點(diǎn)構(gòu)成鈍角三角形，這樣所有的鈍南三角形可分為三類，第一類是

長(zhǎng)邊端點(diǎn)之間僅相隔一個(gè)點(diǎn)，這樣的三角形有10x1=10個(gè)，第二類是長(zhǎng)邊端點(diǎn)之間相隔兩個(gè)點(diǎn)，

這樣的三角形有10x2=20個(gè)，第三類是長(zhǎng)邊端點(diǎn)之間相隔三個(gè)點(diǎn)，這樣的三角形有10x3=30個(gè),

所以一共可以畫出10+20+30=60個(gè)鈍角三角形.

［鋪墊］在一個(gè)圓周上均勻分布10個(gè)點(diǎn)，以這些點(diǎn)再加上圓心一共11個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)，可以畫出多少長(zhǎng)度小

于直徑的線段.

［分析］由于10個(gè)點(diǎn)全在圓周上，所以這10個(gè)點(diǎn)沒有三點(diǎn)共線，故只要在10個(gè)點(diǎn)中取2個(gè)點(diǎn)，就可以

畫出一條線段一共有45種方法，其中包括5條直徑，應(yīng)當(dāng)舍去，其余線段的長(zhǎng)都小于直徑，-

共有40種方法.以圓心為端點(diǎn)的線段一共有10條，所以一共可以畫出40+10=50條線段.

［鋪墊］一個(gè)半圓周上共有12個(gè)點(diǎn)，直徑上5個(gè)，圓周上7個(gè)，以這些點(diǎn)為頂點(diǎn)，可以畫出多少個(gè)三角形?

［分析］第一類：三角形三個(gè)頂點(diǎn)都在圓周上，這樣的三角形一共有7x6x5+Gx2xD=35種;

第二類：三角形兩個(gè)頂點(diǎn)在圓周上，這樣的三角形一共有7x6+(2xDx5=105種；

第三類：三角形一個(gè)頂點(diǎn)在圓周上，這樣的三角形一共有7x5x4+QxD=70種；

根據(jù)加法原理，一共可以畫出35+105+70=210種.

附加題

假如電子計(jì)時(shí)器所顯示的十個(gè)數(shù)字是“0126（）93028”這樣一串?dāng)?shù)，它表示的是1月26

日9時(shí)30分28秒.在這串?dāng)?shù)里，“0”出現(xiàn)了3次，“2”出現(xiàn)了2次，“1”、"3”、"6”、

“8”、“9”各出現(xiàn)1次,而“4”、"5”、“7”沒有出現(xiàn).如果在電子計(jì)時(shí)器所顯示的這

串?dāng)?shù)里，“0"、"1"、"2"、"3"、"4"、“5"、"6"、"7"、"8"、"9”這十個(gè)數(shù)字都只能出

現(xiàn)一次,稱它所表示的時(shí)刻為“十全時(shí)”,那么20XX年一共有多少個(gè)這樣的“十全時(shí)”？

y

【分析】⑴容易驗(yàn)證在1、2、10、11、12月內(nèi)沒有“十全時(shí)

⑵3月里只有形式032_1_口_□_符合條件.

其中兩個(gè)方格中可以填4或5,四條橫線上可以填6或7或8或9,于是共有2x（4x3x2x1）=48

個(gè)“十全時(shí)”.

同理4、5月內(nèi)也分別各有48個(gè)''十全時(shí)”.

⑶6月里有兩種形式：061_23□—口—①或062_1□—口—②符合條件.

對(duì)于形式①兩個(gè)方格中可以填4或5;三條橫線上可以填7或8或9,

于是共有2x（3x2xl）=12個(gè)“十全時(shí)”.

②兩個(gè)方格中可以填3或4,或5中的任意兩個(gè)數(shù)，三條橫線上可以填7或8或9及3、4、5

中余下的某一個(gè)數(shù).

于是共有（3x2）x（4x3x2xl）=144個(gè)“十全時(shí)”.

所以6月里共有“十全時(shí)”12+144=156個(gè).

同理7、8、9月內(nèi)也分別各有156個(gè)“十全時(shí)

綜上所述，20XX年一共有48x3+156x4=768個(gè)“十全時(shí)”.

店玲、用紅、橙、黃、綠、藍(lán)5種顏色中的1種，或2種，或3種，或4種，分別涂在正四面

P2）體各個(gè)面上，一個(gè)面不能用兩色，也無一個(gè)面不涂色的，問共有幾種不同涂色方式？

【分析】我們來看正四面體四個(gè)面的相關(guān)位置，當(dāng)?shù)酌娲_定后，（從上面俯視）三個(gè)側(cè)面的順序有順時(shí)針

和逆時(shí)針兩種（當(dāng)三個(gè)側(cè)面的顏色只有一種或兩種時(shí)，順時(shí)針和逆時(shí)針的顏色分布是相同的）.

正四面體正四面體展開圖

按使用了的顏色種數(shù)分類：

第一類：用了4種顏色.第一步，選4種顏色，相當(dāng)于選1種不用，有5種選法.第二步，如果

取定4種顏色涂于4個(gè)面上，有2種方法.這一類有5x2=10（種）涂法；

第二類：用了3種顏色.第一步，選3種顏色，相當(dāng)于選2種不用，有5x4+2=10（種）選法；

第二步，取定3種顏色如紅、橙、黃3色，涂于4個(gè)面上，有6種方法，如下圖①②③

（圖中用數(shù)字1,2,3分別表示紅、橙、黃3色）.這一類有10x6=60（種）涂法；

第三類：用了2種顏色.第一步，選2種顏色，有5x4+2=10（種）選法；第二步，取定2種

顏色如紅、橙2色，涂于4個(gè)面上，有3種方法，如下圖④⑤⑥.這一類有10x3=30（種）

涂法；

第四類：用了一種顏色.第一步選1種顏色有5種方法；第二步，取定1種顏色涂于4個(gè)面上,

只有1種方法.這一類有5x1=5（種）涂法.

根據(jù)加法原理，共有10+60+30+5=105（種）不同的涂色方式.

惹"飛、三條平行線上分別有2,4,3個(gè)點(diǎn)（下圖）,已知在不同直線上的任意三個(gè)點(diǎn)都不共線.問:

Q）以這些點(diǎn)為頂點(diǎn)可以畫出多少個(gè)不同的三角形？

【分析】（方法一）本題分三角形的三個(gè)頂點(diǎn)在兩條直線上和三條直線上兩種情況

（1）三個(gè)頂點(diǎn)、在兩條直線上，一共有4x3+2x2+3x2+2x2+3x2+2x4+4x3+2x3+4+3=55個(gè)

⑵三個(gè)頂點(diǎn)在三條直線上，由于不同直線上的任意三個(gè)點(diǎn)都不共線，所以一共有：2x4x3=24個(gè)

根據(jù)加法原理，一共可以畫出55+24=79個(gè)三角形.

（方法二）9個(gè)點(diǎn)任取三個(gè)點(diǎn)有9x8x7+（3x2xl）=84種取法，其中三個(gè)點(diǎn)都在第二條直線上有4

種，都在第三條直線上有1種，所以一共可以畫出84-4-1=79個(gè)三角形.

翻魔幻數(shù)學(xué)一一頁碼中的數(shù)學(xué)

小空最近迷上了小說，每天除了護(hù)送師傅，空閑時(shí)都要捧著一本挺厚的書讀.一天，豬堅(jiān)強(qiáng)看到正在

看書的小空就走過去問道：“你看的這本書好像很長(zhǎng)啊，有多少頁？”

“一共是186頁呢!”小空的回答里都帶著自豪，“是很長(zhǎng)，不過我每天都讀，肯定能讀完的!”

"就怕你這只猴子沒耐心啊……”豬堅(jiān)強(qiáng)想著.

“對(duì)了，最近怎么沒見你和師傅討論奧數(shù)題呢？”

“說到奧數(shù)題，我今天就給你出一道，就以你看的這本書出題豬堅(jiān)強(qiáng)回應(yīng)道，“你剛才說這本書一

共有186頁，那么我的問題是，所有這些頁碼的各位數(shù)字里面，一共有多少個(gè)1、3、5、7、9呢？”

那么，同學(xué)們也一起來幫小空算算吧！這也是對(duì)我們剛學(xué)會(huì)的加乘原理的綜合應(yīng)用哦.

答案：

把頁碼看成000到186,也就是說在不足三位的頁碼前面補(bǔ)上0,直到補(bǔ)足三位.在000到199中，偶

數(shù)和奇數(shù)出現(xiàn)的次數(shù)是一樣的，所以1、3、5、7、9出現(xiàn)的次數(shù)總共是200x3+2=300（次）.而1、3、

5、7、9在187至IJ189中出現(xiàn)5次，從190至I」199出現(xiàn)25次.因此，1、3、5、7、9在所有頁碼中一共

出現(xiàn)300-5-25=270（次）.

我與競(jìng)賽零距離

（20XX年第二屆兩岸四地“華羅庚金杯”少年數(shù)學(xué)精英邀請(qǐng)賽）

由數(shù)字0、2、8（既可全用也可不全用）組成的非零自然數(shù)，按照從小到大排列.2008排在第

__________個(gè).

【分析】比2008小的4位數(shù)有2000和2002,比2008小的3位數(shù)有2x3x3=18（種），比2008小

翁家庭作業(yè)

/X

*練習(xí)1*

如右圖，從甲地到乙地有2條路，從乙地到丙地有4條路，從甲地到丁地有3條路可走，從丁地到丙

地也有3條路，請(qǐng)問從甲地到丙地共有多少種不同走法？

【分析】從甲地到丙地有兩種方法：第一類，從甲地經(jīng)過乙地到丙地，根據(jù)乘法原理，走法一共有4x2=8

種方法，；第二類，從甲地經(jīng)過丁地到丙地，一共有3x3=9種方法.根據(jù)加法原理，一共有8+9=17

種走法.

*練習(xí)2*

商店里有2種巧克力糖：牛奶味'榛仁味；有3種水果糖：蘋果味、梨味'橙味.小明想買一些糖送

給他的小朋友.

⑴如果小明只買一種糖，他有幾種選法？

⑵如果小明想買水果糖、巧克力糖各1種，他有幾種選法？

【分析】⑴小明只買一種糖，完成這件事一步即可完成，有兩類辦法：第一類是從2種巧克力糖中選一種

有2種辦法；第二類是從3種水果糖中選一種，有3種辦法.因此，小明有2+3=5種選糖的方法.

(2)小明完成這件事要分兩步，每步分別有2種、3種方法，因此有3x2=6種方法.

*練習(xí)3*

用數(shù)字0,1,2,3,4,可以組成多