2024年高考數學二輪復習【舉一反三】系列專題1

熱點題型梳理熱點題型梳理【題型1集合中元素個數問題】 3 5【題型3集合的交、并、補集運算】 6 7【題型5集合的新定義問題】 8【題型6充分條件與必要條件】 9【題型7全稱量詞與存在量詞命題】 集合是高考數學的必考考點，常見以一元一次、常用邏輯用語是高考數學的重要考點，常見于考查真假命題的判斷；全稱量詞命題、存在量詞命題以及命題的否定；偶爾涉及充分條件與必要條件以及根據描述進行邏輯推理等，中等偏易難度。但一般很少單獨考查，常常與函數、不等式、數列、三角【知識點1集合】1.集合與元素(2)元素與集合的關系是屬于或不屬于，用符號∈或表示.正整數集符號N*(或N+)文字語言集合語言圖形語言交集{x|x∈A,且x∈BABAB并集屬于A或屬于B的元素組成的xlx∈A,或x∈B}的集合稱為集合A相對于集合 “若p,則q”是真命題"若p,則g"是假命題由p通過推理可得出q由條件p不能推出結論q,條件關系p不是q的充分條件一般地，數學中的每一條判定定理都給出了相應數學結論成立的一個充分條件.數學中的每一條性質定理都給出了相應數學結論成立的一個必要條件.如果“若p,則q”和它的逆命題“若q,則p”均是真命題，即既有p→q,又有q→p,記作p?q.此時p既是q的充分條件，也是q的必要條件.我們說p是q的充分必要條件，簡稱為充要條件.如果p是q的充要條件，那么q也是p的充要條件，即如果p?q,那么p與q互為充要條件.全稱量詞符號V全稱量詞含有全稱量詞的命題“對M中任意一個x,有p(x)成立”,可用符號簡記為存在量詞存在一個、至少有一個、有一個、有些、有的3存在量詞含有存在量詞的命題“存在M中的一個x,使p(x)成立”可用符號簡記為“3x∈M,p(x)”??舉一反三A.30B.28C.26此時xy=5,15,25,35,45,55,65,75,85,95,有重復數字15,45,去掉，共有8個元素.綜上T={xy|x∈P,y∈Q}中元素的個數為10+10+8=28個.解方程求m,再去驗證是否符合集合中元素性質即可.【解答過程】因為集合A是由0,m,m2-3m+2所以A={0,m,m2-3m+2},又2∈A,A.0A.0,符合題意【變式1-3】(2023·河北·河北衡水中學?？寄M預測)若集合U有71個元素，S,T∈U且各有14,28個元素，則Csur(SnT)的元素個數最少是()【解題思路】根據集合中的元素以及交并補運算的性質即可求解.所以SUT中的元素個數為14+28-x=42-x,因此Csur(SnT)中的元素個數為SUT中的元素減去SnT中的元素個數，即為42-x-x=42-2x,由于0≤x≤14,x∈N,所以42-2x∈[14,42],故當x=14時，有最小值14【題型2【題型2子集的個數問題】A.3B.4【解題思路】解不等式可求得集合A,由集合元素個數與子集個數的關系直接求解即可.:集合A的子集個數為23=8.【解題思路】根據子集的定義即可得解.A.1B.3【解題思路】首先列出集合A的非空子集，即可得到方程，解得A.{-1,3,5,8}B.{-3,0,2,6}C.{4,8,10,13}【解題思路】不妨設a?<a?<a?<a?,由題意可得,即可得解【解答過程】不妨設a?<a?<a?<a?因此集合A={-3,0,2,6}.【題型3【題型3集合的交、并、補集運算】【例3】(2023·全國·模擬預測)已知集合A={x|-3<x≤4},B={x|x>-1},則AnB=()A.(-1,4)B.(-1,4)C.(-3,-1)【解題思路】根據交集概念進行計算.【解答過程】因為A={x|-3<x≤4},B={x|x>-1},集合B={x|x≥-1},則AUB=(A.(-o,-1)U[2,+o)B.[-1,2]【解題思路】利用并集定義即可求得AUB.【解答過程】A={x|x-1≤1}={x|x≤2},則AUB={x|x≤2}U{x|x≥-1}=R【變式3-2】(2023·海南省直轄縣級A={1,2,3,4},B={1,3,5A.{6}B.{1,6}C.{2,4,5,6}【解題思路】根據集合的并集運算求得AUB,再根據補集的定義即可求得答案.【解答過程】由題意知U={1,2,3,4,5,6},AUB={1,2,3,4,5}所以Cu(AUB)={6},【變式3-3】(2023下·河南新鄉(xiāng)·高二統(tǒng)考期末)設全集U=R,集合M={x|x>-1},N={x|-2<x<3},A.Cu(MnN)C.Mn(CuN)【解題思路】根據集合的交并補運算即可結合選項逐一求解.【解答過程】由題意可得MnN={x|-1<x<3}MUN={x|-2<x},對于D,NU(C?M)={x|x<3},【題型4集合中的含參問題】【題型4集合中的含參問題】若An【例4】(2023·陜西咸陽·武功縣校考模擬預測)已知集合若AnB=0,則實數a的取值范圍為()【解題思路】先求出集合B,再利用A∩B=0可得實數a的取值范圍.【解答過程】由x-2a<0,得x<2a,所以B={x|x<2a},若BA,則若BA,則【解題思路】先求得合A={0,1},再分a=0和a≠0,兩種情況討論，結合題意，即可求解.【解答過程】解：由集合A={x∈N*||x|<2}={0,1},對于方程ax-1=0,當a=0時，此時方程無解，可得集合B=0,滿足BA;要使得BA,則滿).,可得a=1,要使得BA,則滿).,可得a=1,所以實數a的值為0或1.【變式4-2】(2023-江蘇鎮(zhèn)江·揚中市?？寄M預則能使A≤B成立的所有a組成的集合為()A.{a|2≤a≤7}B.{a|6≤a≤7}C.{a|a≤7}D.{a|a<6}a<0},且An(CgB)={1,2},則a的取值范圍為()A.(0,4)B.(0,4)C.(0,3)【解答過程】由集合A={x∈Z|-1<x<3}={【題型5【題型5集合的新定義問題】【例5】(2023-湖南·校聯考模擬預測)定義集合{1,2,4},則A÷B的元素的個數為()【解題思路】根據題中條件，直接進行計算即可.所以A÷B={1,2,4,8},故A÷B的元素的個數為4.已知集合U={x|-3<x<7,x∈Z},E={-1,0,2,4,6},F={0,3,4,5},則Cu(E-F)=()A.{-2,0,1,3,4,5}B.{0,1,3,4,5}C.{-1,2,6}D.{-2,0,1,3,4]【解題思路】結合新定義可知E-F={-1,2,6},求得U,進而根據補集的定義求解即可.【解答過程】結合新定義可知E-F={-1,2,6},又U={-2,-1,0,1,2,3,4,5,6},【變式5-2】(2023·全國·校聯考三模)如圖所示的Venn圖中，A、B是非空集合，定義集合AB為陰影部分表示的集合.若A={x|x=2n+1,n∈N,n≤4},B={2,3,4,5,6,7},則A×B=()A.{2,4,6,1}B.{2,4,6,9}C.{2,3,4,5,6,7}D.{1,2,4,6【解題思路】分析可知A×B={x|x∈(AUB),x(A∩B)},求出集合A、AUB、A∩B,即可得集合AB.【解答過程】由韋恩圖可知，AB={x|x∈(AUB),x【變式5-3】(2023.安徽蚌埠.統(tǒng)考二模)對于數集A,B,B={1,2,4,6,9}.定義A+B={x|x=a+b,a∈A,,a∈A,b∈B),若集合A={1,2},則集合(A+A)÷A中所有元素之和為()【解題思路】由題意，理解新定義，可得(A+A)={2,3,4},通過A÷B的集定義與集合運算即可得出結論.【解答過程】試題分析：根據新定義，數集A,B,定義A+B={x|x=a+b,a∈A,b∈B},A÷B={x|x=,a∈A,b∈B),集合A={1,2},(A+A)={2,3,4},(A+A)÷A={1,2,3,4,1.5},則可知所有元素的和為11.5,【題型6充分條件與必要條件】【題型6充分條件與必要條件】A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件因為a>0,若O<a<-b,兩邊平方得a2<b2,必要性成立.【變式6-1】(2023-山西呂梁·統(tǒng)考二模)已知命題p:Vx∈[-4,2],,則p為真命題的一個充分不必要條件是()A.a≤-2B.a≤0C.a≤8集，即可得出答案.aA.{-1,0,1}B.{-1,1}C.{1}D.【解題思路】由題意，對集合B分等于空集和不等于空集兩種情況討論，分別求出符合題意的a的值即可.A.必要不充分條件B.充分不必要條件【解題思路】利用充分條件必要條件之間的關系進行推理判斷即可.【解答過程】因為A是B的必要不充分條件，所以B所以由D→B,B→A,A→C可得D→C,【題型7【題型7全稱量詞與存在量詞命題】【變式7-1】(2023-河北·模擬預測)命題p:Vx>1,Vx+2x-3>0,命題q:【解題思路】對于命題p:根據特稱命題結合二次函數分析判斷；對于命題q:根據存在命題結合二次函數所以Vx>1,Vx+2x-3>0,即命題p為真命題；中正確的是()B.命題P為“Vx∈R,x2+1>1”C.命題P為“Vx∈R,x2+1>1”D.命題P為“3x∈R,x2+1≥1”且為假命題【解題思路】根據特稱命題的否定為全稱命題排除AD,再舉出反例即可得到答案.∴P:Vx∈R,x2+1>1,排除AD;【變式7-3】(2022上-河南·高三校聯考階段練習)已知命題p:Vx∈R,x2+1≥a,若-p為真命題，則a的取值范圍是().A.(-o,1)B.(-o,1)C.(1,+o)D.(1,+)所以(x2+1)min<a,即a>1.1.(2023-北京·統(tǒng)考高考真題)已知集合M={x|x+2≥0},N={x|x-1<0},則MnN=()A.{xl-2≤x<1}B.{xl-2<x≤1}C.{x|x≥-2}【解題思路】先化簡集合M,N,然后根據交集的定義計算.【解答過程】由題意，M={xlx+2≥0}={x|x≥-2},N={x|x-1<0}=2.(2023·全國·統(tǒng)考高考真題)設全集U={0,1,2,4,6,8},集合M={0,4,6},N={0,1,6},則MUCuN=()A.{0,2,4,6,8}B.{0,1,4,6,8}C.{1,2,4,6,8}【解題思路】由題意可得CuN的值，然后計算MUCμN即可.【解答過程】由題意可得CuN={2,4,8},則MUCuN=[0,2,4,6,8].A.{2}B.{1,2}C.{2,4,6}D.{1,2,4,6}【解題思路】利用并集的定義可得正確的選項.A.Cu(MUN)B.NUCuMC.Cu(MnN)【解答過程】由題意可得MUN={x|x<2},CuM={x|x≥1},則NUCuM={x|x>-1},選項B錯誤；M∩N=