2024屆福建省長(zhǎng)樂(lè)中學(xué)高考考前模擬數(shù)學(xué)試題含解析

2024屆福建省長(zhǎng)樂(lè)中學(xué)高考考前模擬數(shù)學(xué)試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若復(fù)數(shù)滿足，則的虛部為（）A．5 B． C． D．-52．拋物線C:y2=2px的焦點(diǎn)F是雙曲線C2:x2m-y21-m=1A．2+1 B．22+3 C．3．若，則函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增的概率是（）A．B．C．D．4．已知復(fù)數(shù)滿足，(為虛數(shù)單位)，則()A． B． C． D．35．已知是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)，是它們的-一個(gè)公共點(diǎn)，且，設(shè)橢圓和雙曲線的離心率分別為，則的關(guān)系為（）A． B．C． D．6．已知三棱柱的所有棱長(zhǎng)均相等，側(cè)棱平面，過(guò)作平面與平行，設(shè)平面與平面的交線為，記直線與直線所成銳角分別為，則這三個(gè)角的大小關(guān)系為()A． B．C． D．7．復(fù)數(shù)的虛部是()A． B． C． D．8．已知函數(shù)，，，，則，，的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．9．已知，，由程序框圖輸出的為（）A．1 B．0 C． D．10．已知不重合的平面和直線，則“”的充分不必要條件是（）A．內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線與平行 B．且C．且 D．內(nèi)的任何直線都與平行11．已知F為拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F且斜率為1的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，則||FA|﹣|FB||的值等于（）A． B．8 C． D．412．甲、乙、丙、丁四位同學(xué)利用暑假游玩某風(fēng)景名勝大峽谷，四人各自去景區(qū)的百里絕壁、千丈瀑布、原始森林、遠(yuǎn)古村寨四大景點(diǎn)中的一個(gè)，每個(gè)景點(diǎn)去一人．已知：①甲不在遠(yuǎn)古村寨，也不在百里絕壁；②乙不在原始森林，也不在遠(yuǎn)古村寨；③“丙在遠(yuǎn)古村寨”是“甲在原始森林”的充分條件；④丁不在百里絕壁，也不在遠(yuǎn)古村寨．若以上語(yǔ)句都正確，則游玩千丈瀑布景點(diǎn)的同學(xué)是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若點(diǎn)為點(diǎn)在平面上的正投影，則記.如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，記平面為，平面為，點(diǎn)是線段上一動(dòng)點(diǎn)，.給出下列四個(gè)結(jié)論：①為的重心；②；③當(dāng)時(shí)，平面；④當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，三棱錐外接球的表面積為.其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是________________.14．連續(xù)擲兩次骰子，分別得到的點(diǎn)數(shù)作為點(diǎn)的坐標(biāo)，則點(diǎn)落在圓內(nèi)的概率為_(kāi)_____________．15．已知函數(shù)若關(guān)于的不等式的解集為，則實(shí)數(shù)的所有可能值之和為_(kāi)______.16．已知關(guān)于空間兩條不同直線m、n，兩個(gè)不同平面、，有下列四個(gè)命題：①若且，則；②若且，則；③若且，則；④若，且，則.其中正確命題的序號(hào)為_(kāi)_____.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知數(shù)列{an}滿足條件，且an+2＝（﹣1）n（an﹣1）+2an+1，n∈N*．（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)bn＝，Sn為數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和，求證：Sn．18．（12分）已知函數(shù)（是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，）.（1）求函數(shù)的圖象在處的切線方程；（2）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)極值點(diǎn)，且恒成立，求滿足條件的的最小值（極值點(diǎn)是指函數(shù)取極值時(shí)對(duì)應(yīng)的自變量的值）.19．（12分）已知．（1）已知關(guān)于的不等式有實(shí)數(shù)解，求的取值范圍；（2）求不等式的解集．20．（12分）P是圓上的動(dòng)點(diǎn)，P點(diǎn)在x軸上的射影是D，點(diǎn)M滿足．（1）求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C的方程，并說(shuō)明軌跡是什么圖形；（2）過(guò)點(diǎn)的直線l與動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C交于不同的兩點(diǎn)A，B，求以O(shè)A，OB為鄰邊的平行四邊形OAEB的頂點(diǎn)E的軌跡方程．21．（12分）某社區(qū)服務(wù)中心計(jì)劃按月訂購(gòu)一種酸奶，每天進(jìn)貨量相同，進(jìn)貨成本每瓶5元，售價(jià)每瓶7元，未售出的酸奶降價(jià)處理，以每瓶2元的價(jià)格當(dāng)天全部處理完.根據(jù)往年銷售經(jīng)驗(yàn)，每天需求量與當(dāng)天最高氣溫（單位：攝氏度℃）有關(guān).如果最高氣溫不低于25，需求量為600瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間，需求量為500瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為300瓶.為了確定六月份的訂購(gòu)計(jì)劃，統(tǒng)計(jì)了前三年六月份各天的最高氣溫?cái)?shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表：最高氣溫天數(shù)414362763以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率.（1）求六月份這種酸奶一天的需求量（單位：瓶）的分布列；（2）設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤(rùn)為（單位：元），當(dāng)六月份這種酸奶一天的進(jìn)貨量為（單位：瓶）時(shí)，的數(shù)學(xué)期望的取值范圍？22．（10分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，，為等邊三角形，平面平面ABCD，M，N分別是線段PD和BC的中點(diǎn).（1）求直線CM與平面PAB所成角的正弦值；（2）求二面角D-AP-B的余弦值；（3）試判斷直線MN與平面PAB的位置關(guān)系，并給出證明.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】

把已知等式變形，再由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)得答案．【詳解】由（1+i）z＝|3+4i|，得z，∴z的虛部為．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題．2、A【解析】

先由題和拋物線的性質(zhì)求得點(diǎn)P的坐標(biāo)和雙曲線的半焦距c的值，再利用雙曲線的定義可求得a的值，即可求得離心率.【詳解】由題意知，拋物線焦點(diǎn)F1,0，準(zhǔn)線與x軸交點(diǎn)F'(-1,0)，雙曲線半焦距c=1，設(shè)點(diǎn)Q(-1,y)ΔFPQ是以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，即PF所以PQ⊥拋物線的準(zhǔn)線，從而PF⊥x軸，所以P1,2∴2a=P即a=故雙曲線的離心率為e=故選A【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐曲線綜合，分析題目，畫(huà)出圖像，熟悉拋物線性質(zhì)以及雙曲線的定義是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.3、B【解析】函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，，在恒成立，在恒成立，，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增的概率是，故選B.4、A【解析】，故，故選A.5、A【解析】

設(shè)橢圓的半長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，雙曲線的半長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，根據(jù)橢圓和雙曲線的定義得：，解得，然后在中，由余弦定理得：，化簡(jiǎn)求解.【詳解】設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為，雙曲線的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為，由橢圓和雙曲線的定義得：，解得，設(shè)，在中，由余弦定理得：，化簡(jiǎn)得，即.故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓，雙曲線的定義和性質(zhì)以及余弦定理的應(yīng)用，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.6、B【解析】

利用圖形作出空間中兩直線所成的角，然后利用余弦定理求解即可.【詳解】如圖，，設(shè)為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，由圖可知過(guò)且與平行的平面為平面，所以直線即為直線，由題易知，的補(bǔ)角，分別為，設(shè)三棱柱的棱長(zhǎng)為2，在中，，；在中，，；在中，，，.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了空間中兩直線所成角的計(jì)算，考查了學(xué)生的作圖，用圖能力，體現(xiàn)了學(xué)生直觀想象的核心素養(yǎng).7、C【解析】因?yàn)?，所以的虛部是，故選C.8、B【解析】

可判斷函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，所以.【詳解】在上單調(diào)遞增，且，所以.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)單調(diào)性的判定，指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，利用單調(diào)性比大小等知識(shí)，考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力.9、D【解析】試題分析：，，所以，所以由程序框圖輸出的為.故選D．考點(diǎn)：1、程序框圖；2、定積分．10、B【解析】

根據(jù)充分不必要條件和直線和平面，平面和平面的位置關(guān)系，依次判斷每個(gè)選項(xiàng)得到答案.【詳解】A.內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線與平行，則相交或，排除；B.且，故，當(dāng)，不能得到且，滿足；C.且，，則相交或，排除；D.內(nèi)的任何直線都與平行，故，若，則內(nèi)的任何直線都與平行，充要條件，排除.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了充分不必要條件和直線和平面，平面和平面的位置關(guān)系，意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力.11、C【解析】

將直線方程代入拋物線方程，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系和拋物線的定義即可得出的值．【詳解】F（1，0），故直線AB的方程為y＝x﹣1，聯(lián)立方程組，可得x2﹣6x+1＝0，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），由根與系數(shù)的關(guān)系可知x1+x2＝6，x1x2＝1．由拋物線的定義可知：|FA|＝x1+1，|FB|＝x2+1，∴||FA|﹣|FB||＝|x1﹣x2|＝．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的定義，直線與拋物線的位置關(guān)系，屬于中檔題．12、D【解析】

根據(jù)演繹推理進(jìn)行判斷．【詳解】由①②④可知甲乙丁都不在遠(yuǎn)古村寨，必有丙同學(xué)去了遠(yuǎn)古村寨，由③可知必有甲去了原始森林，由④可知丁去了千丈瀑布，因此游玩千丈瀑布景點(diǎn)的同學(xué)是?。蔬x：D．【點(diǎn)睛】本題考查演繹推理，掌握演繹推理的定義是解題基礎(chǔ)．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①②③【解析】

①點(diǎn)在平面內(nèi)的正投影為點(diǎn)，而正方體的體對(duì)角線與和它不相交的的面對(duì)角線垂直，所以直線垂直于平面，而為正三角形，可得為正三角形的重心，所以①是正確的；②取的中點(diǎn)，連接，則點(diǎn)在平面的正投影在上，記為，而平面平面，所以，所以②正確；③若設(shè)，則由可得，然后對(duì)應(yīng)邊成比例，可解，所以③正確；④由于，而的面積是定值，所以當(dāng)點(diǎn)到平面的距離最大時(shí)，三棱錐的體積最大，而當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，點(diǎn)到平面的距離最大，此時(shí)為棱長(zhǎng)為的正四面體，其外接球半徑，則球，所以④錯(cuò)誤.【詳解】因?yàn)椋B接，則有平面平面為正三角形，所以為正三角形的中心，也是的重心，所以①正確；由平面，可知平面平面，記，由，可得平面平面，則，所以②正確；若平面，則，設(shè)由得，易得，由，則，由得，，解得，所以③正確；當(dāng)與重合時(shí)，最大，為棱長(zhǎng)為的正四面體，其外接球半徑，則球，所以④錯(cuò)誤.故答案為：①②③【點(diǎn)睛】此題考查立體幾何中的垂直、平行關(guān)系，求幾何體的體積，考查空間想象能力和推理能力，屬于難題.14、【解析】

連續(xù)擲兩次骰子共有種結(jié)果，列出滿足條件的結(jié)果有11種，利用古典概型即得解【詳解】由題意知，連續(xù)擲兩次骰子共有種結(jié)果，而滿足條件的結(jié)果為：共有11種結(jié)果，根據(jù)古典概型概率公式，可得所求概率．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了古典概型的應(yīng)用，考查了學(xué)生綜合分析，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】

由分段函數(shù)可得不滿足題意；時(shí)，，可得，即有，解方程可得，4，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的圖象即可得到所求和．【詳解】解：由函數(shù)，可得的增區(qū)間為，，時(shí)，，，時(shí)，，當(dāng)關(guān)于的不等式的解集為，，可得不成立，時(shí)，時(shí)，不成立；，即為，可得，即有，顯然，4成立；由和的圖象可得在僅有兩個(gè)交點(diǎn)．綜上可得的所有值的和為1．故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查不等式的解法，注意運(yùn)用分類討論思想方法，考查化簡(jiǎn)運(yùn)算能力，屬于中檔題．16、③④【解析】

由直線與直線的位置關(guān)系，直線與平面的位置關(guān)系，面面垂直的判定定理和線面垂直的定義判斷．【詳解】①若且，的位置關(guān)系是平行、相交或異面，①錯(cuò)；②若且，則或者，②錯(cuò)；③若，設(shè)過(guò)的平面與交于直線，則，又，則，∴，③正確；④若，且，由線面垂直的定義知，④正確．故答案為：③④．【點(diǎn)睛】本題考查直線與直線的位置關(guān)系，直線與平面的位置關(guān)系，面面垂直的判定定理和線面垂直的定義，考查空間線面間的位置關(guān)系，掌握空間線線、線面、面面位置關(guān)系是解題基礎(chǔ)．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（Ⅰ）（Ⅱ）證明見(jiàn)解析【解析】

（Ⅰ）由an+2＝（﹣1）n（an﹣1）+2an+1，對(duì)分奇偶討論，即可得；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，用錯(cuò)位相減法求出，運(yùn)用分析法證明即可.【詳解】（Ⅰ），當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，又由，得，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，又由a2＝3，得，；（Ⅱ）由（1）得，則①②①-②可得：，，若證明Sn，則需要證明，又，即證明，即證，又顯然成立，故Sn得證.【點(diǎn)睛】本題主要考查了由遞推公式求通項(xiàng)公式，錯(cuò)位相減法求前項(xiàng)和，分析法證明不等式，考查了分類討論的思想，考查了學(xué)生的運(yùn)算求解與邏輯推理能力.18、（1）；（2）；（3）.【解析】

（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義計(jì)算即可；（2）在上恒成立，只需，注意到；（3）在上有兩根，令，求導(dǎo)可得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以且，，，求出的范圍即可.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，所以切線方程為，即.（2），.因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，且恒成立，即，所以，即，又，故，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.（3）.因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上有兩個(gè)極值點(diǎn)，所以方程在上有兩不等實(shí)根，即.令，則，由，得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，解得且.又由，所以，且當(dāng)和時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，是極值點(diǎn)，此時(shí)令，則，所以在上單調(diào)遞減，所以.因?yàn)楹愠闪?，所?若，取，則，所以.令，則，.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以，所以在上單調(diào)遞增，所以，即存在使得，不合題意.滿足條件的的最小值為-4.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及到導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值點(diǎn)，不等式恒成立等知識(shí)，是一道難題.19、（1）；（2）.【解析】

（1）依據(jù)能成立問(wèn)題知，，然后利用絕對(duì)值三角不等式求出的最小值，即求得的取值范圍；（2）按照零點(diǎn)分段法解含有兩個(gè)絕對(duì)值的不等式即可。【詳解】因?yàn)椴坏仁接袑?shí)數(shù)解，所以因?yàn)椋怨?。①?dāng)時(shí)，，所以，故②當(dāng)時(shí)，，所以，故③當(dāng)時(shí)，，所以，故綜上，原不等式的解集為?！军c(diǎn)睛】本題主要考查不等式有解問(wèn)題的解法以及含有兩個(gè)絕對(duì)值的不等式問(wèn)題的解法，意在考查零點(diǎn)分段法、絕對(duì)值三角不等式和轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想的應(yīng)用。20、（1）點(diǎn)M的軌跡C的方程為，軌跡C是以，為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓（2）【解析】

（1）設(shè)，根據(jù)可求得，代入圓的方程可得所求軌跡方程；根據(jù)軌跡方程可知軌跡是以，為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓；（2）設(shè)，與橢圓方程聯(lián)立，利用求得；利用韋達(dá)定理表示出與，根據(jù)平行四邊形和向量的坐標(biāo)運(yùn)算求得，消去后得到軌跡方程；根據(jù)求得的取值范圍，進(jìn)而得到最終結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)，則由知：點(diǎn)在圓上點(diǎn)的軌跡的方程為：軌跡是以，為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓（2）設(shè)，由題意知的斜率存在設(shè)，代入得：則，解得：設(shè)，，則四邊形為平行四邊形又∴，消去得：頂點(diǎn)的軌跡方程為【點(diǎn)睛】本題考查圓錐曲線中的軌跡方程的求解問(wèn)題，關(guān)鍵是能夠利用已知中所給的等量關(guān)系建立起動(dòng)點(diǎn)橫縱坐標(biāo)滿足的關(guān)系式，進(jìn)而通過(guò)化簡(jiǎn)整理得到結(jié)果；易錯(cuò)點(diǎn)是求得軌跡方程后，忽略的取值范圍.21、（1）見(jiàn)解析；（2）【解析】

（1）X的可能取值為300,500,600，結(jié)合題意及表格數(shù)據(jù)計(jì)算對(duì)應(yīng)概