2021年高考理數(shù)真題試卷（全國(guó)乙卷）含答案及解析

2021年高考理數(shù)真題試卷(全國(guó)乙卷)

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的。(共12題；共60分)

1.設(shè)2(z+z)+3(z-z)=4+6i,則z=().

A.l-2iB.l+2iC.1+iD.1-i

2.已知集合S={s|s=2n+l,nGZ},T={t|t=4n+l,nGZ},則SnT=()

A.0B.SC.TD.Z

3.已知命題p：3x￡R,sinx<l；命題q：VxER,eIH21，則下列命題中為真命題的是()

A.pAqB.-ipAqC.pA-1qD.-?(pVq)

4.設(shè)函數(shù)f(x)=w，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是()

A.f(x-l)-lB.f(x-l)+lC.f(x+l)-lD.f(x+l)+l

5.在正方體ABCD-AiBiCiDi中，P為BiDi的中點(diǎn)，則直線PB與ADi所成的角為()

.nnnn

A-7b-7c.1D.-

6.將5名北京冬奧會(huì)志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個(gè)項(xiàng)目進(jìn)行培訓(xùn)，每名志愿者只分

到1個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有()

A.60種B.120種C.240種D.480種

7.把函數(shù)y=f(x)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的|倍，縱坐標(biāo)不變，再把所得曲線向右平移g個(gè)單位

長(zhǎng)度，得到函數(shù)丫=5而僅-?)的圖像，則f(x)=()

A.sin(尹工)B.sin(1+)C.sin(2%-^)D.sin(2x+^)

8.在區(qū)間(0,1)與(1,2)中各隨機(jī)取1個(gè)數(shù)，則兩數(shù)之和大于\的概率為()

4

A7c23七9c2

A.-B.-C.-D.-

432329

9.魏晉時(shí)期劉徽撰寫(xiě)的《海島算經(jīng)》是關(guān)于測(cè)量的數(shù)學(xué)著作，其中第一題是測(cè)量海盜的高。如圖，點(diǎn)E,H,

G在水平線AC上，DE和FG是兩個(gè)垂直于水平面且等高的測(cè)量標(biāo)桿的高度，稱(chēng)為“表高”，EG稱(chēng)為"表距”，

GC和EH都稱(chēng)為"表目距"，GC與EH的差稱(chēng)為“表目距的差"。則海島的高AB=().

友高義表距

A.事表高

表目距的差

表高又表距主吉

&D而麗一表同

表高義表距

C.+表距

表目距的差

表高X表距

”表目距的差

.設(shè)若二為函數(shù)2的極大值點(diǎn)，則()

10axo,Xaf(x)=a(x-a)(x-b)

A.a<bB.a>bC.ab<a2D.ab>a2

22

.設(shè)是橢圓的上頂點(diǎn)，若上的任意一點(diǎn)都滿(mǎn)足則的

11BC：,+%=1（a>b>0）CP|pB|<2b,C

ab

離心率的取值范圍是（）

A.白,1)B.[i,1)C.(0,爭(zhēng)D.(0,i]

.設(shè)=，則()

12a2lnl.01,b=lnl.02,c=VfO4-1

A.a<b<cB.b<c<aC.b<a<cD.c<a<b

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。（共4題；共20分）

2

13.已知雙曲線C：工_2=i（m>0）的一條漸近線為國(guó)+my=0,則C的焦距為_(kāi)_____.

my

14.已知向量2=（1,3）,b=（3,4）,若（d-入B）工石，貝1」入=。

15.記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,面積為g,B=60。，a2+c2=3ac,則b=.

16.以圖①為正視圖，在圖②③④⑤中選兩個(gè)分別作為側(cè)視圖和俯視圖，組成某個(gè)三棱錐的三視圖，則

所選側(cè)視圖和俯視圖的編號(hào)依次為（寫(xiě)出符合要求的一組答案即可）.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。第17-21題為必考題,

每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（共5題；共60分）

17.某廠研究了一種生產(chǎn)高精產(chǎn)品的設(shè)備，為檢驗(yàn)新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的某項(xiàng)指標(biāo)有無(wú)提高，用一臺(tái)舊設(shè)備和一

臺(tái)新設(shè)備各生產(chǎn)了10件產(chǎn)品，得到各件產(chǎn)品該項(xiàng)指標(biāo)數(shù)據(jù)如下：

舊設(shè)備9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7

新設(shè)備10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5

舊設(shè)備和新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的樣本平均數(shù)分別記為元和夕，樣本方差分別記為sj和S2?

(1)求元，y,si2,S22；

(2)判斷新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備是否有顯著提高(如果y-x>2J苧，則認(rèn)為

新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高，否則不認(rèn)為有顯著提高).

18.如圖，四棱錐P-ABCD的底面是矩形，PD_L底面ABCD,PD=DC=1,M為BC的中點(diǎn)，且PB_LAM,

(1)求BC；

(2)求二面角A-PM-B的正弦值。

21

19.IBSn為數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和，bn為數(shù)列｛Sn｝的前n項(xiàng)和，已知—+—=2.

3n°n

(1)證明：數(shù)列｛bn｝是等差數(shù)列；

(2)求｛an｝的通項(xiàng)公式.

20.設(shè)函數(shù)f(x)=ln(a-x),已知x=0是函數(shù)y=xf(x)的極值點(diǎn)。

(1)求a；

(2)設(shè)函數(shù)g(x)="義，證明：g(x)<1.

xf(X，

21.己知拋物線Cx2=2py(p>0)的焦點(diǎn)為F,且F與圓M：x?+(y+4)2=1上點(diǎn)的距離的最小值為4.

(1)求P;

(2)若點(diǎn)P在M上，PA,PB是C的兩條切線，A,B是切點(diǎn)，求△PAB的最大值.

四、［選修4一4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］(共1題；共10分)

22.在直角坐標(biāo)系xOy中，?C的圓心為C(2,1),半徑為1.

(1)寫(xiě)出。C的一個(gè)參數(shù)方程；

(2)過(guò)點(diǎn)F(4,1)作OC的兩條切線，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求這兩

條直線的極坐標(biāo)方程.

五、［選修4—5：不等式選講］(共1題；共10分)

23.已知函數(shù)f(x)=|x-a|+1x+31.

(1)當(dāng)a=l時(shí)，求不等式f(x)26的解集;

(2)若f(x)>-a,求a的取值范圍.

答案解析部分

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目

要求的。

1.C

【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運(yùn)算

設(shè)2=a—bi,2(z+z)+3(z—z)=5z—z=4a+6bi=4+6i,所以a=b=l,所以z=l+i?

故答案為：C

【分析】先設(shè)z的代數(shù)式，代入運(yùn)算后由復(fù)數(shù)相等的條件，即可求得結(jié)果。

2.C

【考點(diǎn)】交集及其運(yùn)算

當(dāng)n=2k(kGZ)時(shí),S={s|s=4k+l,kez},

當(dāng)n=2k+l(k6Z)時(shí),S={s|s=4k+3,fc6z}

所以7uS,所以SCT=T,

故答案為：C.

【分析】分n的奇偶討論集合S。

3.A

【考點(diǎn)】全稱(chēng)量詞命題，存在量詞命題，命題的否定，命題的真假判斷與應(yīng)用

因?yàn)槊}P是真命題，命題q也是真命題，

故答案為：A

【分析】先判斷命題p,q的真假，然后判斷選項(xiàng)的真假。

4.B

【考點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的判斷，函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

因?yàn)榭韶?霍=-1+京，所以函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心是(-1,；)，所以函數(shù)f(x)向右平移1個(gè)單位，再向上平

移1個(gè)單位后關(guān)于(0,0)中心對(duì)稱(chēng)，而四個(gè)選項(xiàng)中只有B滿(mǎn)足條件，

故答案為：B。

【分析】將函數(shù)變形為f(x)==—1+等后，判斷。

5.D

【考點(diǎn)】直線與平面所成的角

如圖，連接AC,設(shè)AC與BD交于0,連接ODi,ADi,BP,設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為x,

因?yàn)镈iP||0B||BD,且DiP=BC）WBD,所以四邊形ODiPB是平行四邊形，所以BP||ODi,所以N4D1。

11TT

即為所求的角，易證401平面BDDiBi,故4。lODj,又力。==#劣,所以

故答案為：D

【分析】在正方體中，作輔助線，通過(guò)平移線，作出所要求的角。

6.C

【考點(diǎn)】排列、組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問(wèn)題

由題意知，必須有2個(gè)人一組，其他各組只有1個(gè)人，所以分配方法是：量程展=240,

故答案為：C.

【分析】利用排列與組合來(lái)求解。

7.B

【考點(diǎn)】由丫=人5沿（3X+巾）的部分圖象確定其解析式

根據(jù)圖象平移的規(guī)律可知，將y=y=sin（x-3）的圖像上所有的點(diǎn)向左平移平移三個(gè)單位，縱坐標(biāo)不變，得到

y=sin（x+卷）,再把所得到的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來(lái)的2倍，即函數(shù)的周期變?cè)瓉?lái)的2倍，就

得到函數(shù)丫=$也（|+勺，故答案為：B。

【分析】根據(jù)三角函數(shù)圖象的相位，周期變化規(guī)律來(lái)解題。

8.B

【考點(diǎn)】幾何概型

不妨設(shè)這兩個(gè)數(shù)為a,b且0<a<l,l<b<2,在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，a,b的取值，

表示為一個(gè)正方四個(gè)頂點(diǎn)：(0,1),(1,0),Q2),(0,2),且包括邊界在內(nèi)的正方形區(qū)域。作直線a+b=-,

滿(mǎn)足a+b>:的a,b取值的可行域如圖中陰影部分表示，

4

直線a+b=彳與正方形的兩個(gè)交點(diǎn)分別為?1),(0,今,則可計(jì)算事件(a+b>:R人svyf概率為P=1一

1_23

2—32，

故選B。

【分析】利用幾何概型解答。

9.A

【考點(diǎn)】解三角形的實(shí)際應(yīng)用

如圖，連接DF,直線DF交AB于M,

則AB=AM+BM,設(shè)=a,ZBFM=￡,則

黑一磊="F—MD=°F，因?yàn)閠an°=g,tana=靠所以黑一噩="B（高一高）=MB燔

散=.（普），所以48=簫瞿+表高。

故答案為：A.

【分析】通過(guò)作輔助線，（如圖），然后利用解直角形的知識(shí)來(lái)解答。

10.D

【考點(diǎn)】二次函數(shù)的圖象，二次函數(shù)的性質(zhì)

當(dāng)a>0時(shí)，若a為極大值點(diǎn),則（如圖1）,必有a<b,ab<a2.故B,C項(xiàng)錯(cuò);

圖①

當(dāng)a<0時(shí)，若a為極大值點(diǎn)，則(如圖2),必有a>b>a2,故A錯(cuò)。

故答案為：D.

【分析】對(duì)a的正負(fù)進(jìn)行討論，根據(jù)極值點(diǎn)的意義，作圖分析，得到正確選項(xiàng)。

11.C

【考點(diǎn)】橢圓的定義，橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

2222

依題意，點(diǎn)BOb),設(shè)P(x0,yo),則有|PBr=尤。2+(y0-f?)=a(l-號(hào))+y0-2by0+b

—￡加2-2by0+c2+2b2<4爐,移項(xiàng)并用十字相乘法得到：(%+Z))(-gy0+宅更)<0,

因?yàn)橐籦W%Wb,故+bN0,我一黃y()+W0怛成立，即一夕(―b)+，?-0怛成立，

據(jù)此解得Q2N2c2,給6(0,寺,

故答案為：Co

【分析】由兩點(diǎn)間的距離公式，表示出|PB『,再根據(jù)橢圓上任意點(diǎn)的縱坐標(biāo)yo的取值范圍，解相關(guān)

不等式得到結(jié)果。

12.B

【考點(diǎn)】指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)

構(gòu)造函數(shù)f(x)=ln(l+x)-Vl4-2x+1,則b-c=f(0.02),則f/(x)=*-肅系當(dāng)x>0時(shí)，1+

x=個(gè)(1+獷=J(i+2%+/>J(i+2x,

所以f?x)<0,所以f(x)在(0,+叼單調(diào)遞減，所以f(0.02)<f(0),即b-c<0,所以b<c;

再構(gòu)造函數(shù)g(x)=21n(l+%)-V1T4X+1,則a-c=g(0.01),而g/(x)=^-品衣=?需能?

當(dāng)0W%<2對(duì)，V1+4%>V1+2x+x2=1+%,

所以g/(x)20,所以g(x)在(0,2)上單調(diào)遞增，所以g(0.01)>g(0)=0,隴〉c,所以b<c<a,

故答案為：B

【分析】本題就在于構(gòu)造恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，從而解題。

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.4

【考點(diǎn)】雙曲線的定義，雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

因?yàn)橛智€方程C：—y2=l(m>0),一條漸近線是+my=0,見(jiàn)/m=3，

所以雙曲線方程是9-y2=1,2c=2VmTl=4,

故答案為：4

【分析】由雙曲線漸近線的斜率可得到m的值，再進(jìn)一步求得焦距的值。

141I

【考點(diǎn)】平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系

因?yàn)?=(1,3),6=(3,4),=々一比=(1-3；1,3—4；1),(￡1一勸)，6>所以(a-；lb)xb=0>

所以(3,4)x(1-34,3-42)=0=4=：,

故答案為：|-

【分析】先計(jì)算出展的坐標(biāo)式，再根據(jù)兩向量垂直，列式求解。

15.2V2

【考點(diǎn)】余弦定理，三角形中的幾何計(jì)算

11nV3t-

S&ABC=-acsinB=-acsin60u=—ac=V3=ac=4，

224

于是b=Va2+c2-2accosB—y/a2+c2—ac—T2ac=2>/2

【分析】根據(jù)面積的值，計(jì)算出ac,再由余弦定理求解.

16.②⑤或③④

【考點(diǎn)】由三視圖還原實(shí)物圖

當(dāng)俯視圖為④時(shí)，右側(cè)棱在左側(cè)，不可觀測(cè)到，所以為虛線，故選擇③為側(cè)視圖；

當(dāng)俯視圖為⑤時(shí)，左側(cè)棱在左側(cè)可觀測(cè)到，所以為實(shí)線，故選擇②為側(cè)視圖，

故答案為：②⑤或③④

【分析】分情況討論各種視圖的位置關(guān)系。

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。第17-21題為必考題，每個(gè)試題考生

都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。

17.(1)解：各項(xiàng)所求值如下所示

X=(9.8+10.3+10.0+10.2+9.9+9.8+10.0+10.1+10.2+9.7)=10.0

9=卷(10.1+10.4+10.1+10.0+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5)=10.3

s”2

X[(9.7-10.0)2+2X(9.8-10.0)2+(9.9-10.0)2+2X(10.0-10.0)2+(10.1-10,0)2+2X(10.2-10.0)2+(10.3-10.0)2]=0.36,

sf=X[(10.0-10.3)2+3X(10.1-10.3)2+(10.3-10.3)2+2X(10.4-10.3)2+2X(10.5-10.3)2+(10.6-10.3)2]=0.4.

(2)由(1)中數(shù)據(jù)得y-x=0.3,2=0.34

、10

顯然歹-元V2,所以不認(rèn)為新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高。

7io

【考點(diǎn)】眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)，極差、方差與標(biāo)準(zhǔn)差

【分析】(1)先計(jì)算新舊樣本平均數(shù)五歹，再直接用公式計(jì)算S12,S22;

(2)由(1)中的數(shù)據(jù)，計(jì)算得：y-x=0.3,2序1=0.34,顯然歹-￡<2鳥(niǎo)I,可得到答案。

18.⑴解：因?yàn)镻DJ_平面ABCD,且矩形ABCD中，AD_LDC,所以以萬(wàn)口DC，爐分別為x,y,

z軸正方向，D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系D-xyZo

設(shè)BC=t,A(t,0,0),B(t,1,0),M(1,1,0),P(0,0,1),所以~PB=(t,1,-1),AM=

(,1,0),

因?yàn)镻B±AM,所以PB?AM=-j+1=0，所以t=V2.所以BC=企。

(2)設(shè)平面APM的一個(gè)法向量為m=(x,y,z)由于=(-V2,0,1),則

meAP=一應(yīng)％+z=0

{一V2

zn*AM=-yx+3,=0

令x=&,得記=(&,1,2)o

設(shè)平面PMB的一個(gè)法向量為涇=(x「，yt,z9,貝lj

IneCB=夜工2—0

n*PB=+"—z，=0

令=1,得n=(0,1,1).

所以cos(記，記)=箭=萬(wàn)片=史更，所以二面角A-PM-B的正弦值為回.

\m\\n\V7XV21414

【考點(diǎn)】向量方法證明線、面的位置關(guān)系定理，用空間向量求直線與平面的夾角

【分析】(1)建立空間直角坐標(biāo)系，定義相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，通過(guò)計(jì)算求解；

(2)呈上，分別求二面角的兩個(gè)平面的法向量，用法向量的夾角計(jì)算。

19.(1)由已知￡+V=2,則#-=Sn(n>2)

Snbnbn+1

=用尸+V=2=2bn-i+2=2bn=bn-bn-i=7(n>2),bi=1

DnDn2Z

故｛bn)是以|為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列。

(2)由(1)知bn=5+(n-1)3=手，貝VW=2=Sn=哼

222n+2n+1

3

n=l時(shí),ai=Si=-

2Lcn+2n+11

nN2H寸,a=S-Sn-i=——-------=一小二；

nnn+1nn(n+l)

【考點(diǎn)】等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，數(shù)列遞推式

【分析】(1)根據(jù)等差數(shù)列及前n項(xiàng)和的定義，由遞推關(guān)系，求證。

(2)呈上，先寫(xiě)出bn,再求｛bn｝前n磺的和Sn,再由與Sn的關(guān)系，進(jìn)一步求得結(jié)果。

20.(1)[xf(x)]'=x'f(x)+xf'(x)

當(dāng)x=0時(shí),[xf(x)]z=f(0)=lna=0,所以a二l

(2)由f(x)=ln(l?x),得xVl

當(dāng)OVxVl時(shí),f(x)=ln(l-x)<0,xf(x)<0；當(dāng)x<0時(shí)，f(x)=ln(l-x)>0,xf(x)<0

故即證x+f(x)>xf(x),x+ln(l-x)-xln(l-x)>0

令l-x=t(t>0且t^l),x=l-t,即證l-t+lnt-(l-t)lnt>0

令f(t)=l-t+lnt-(l-t)lnt,

則f(t)=-l-1-[(-l)lnt+平]=-l+|+lnt-半=lnt

所以f(t)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增，故f(t)>f(1)=0,得證。

【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用

【分析】⑴先對(duì)函數(shù)y=xf(x)求導(dǎo)：[xf(x)/=x，f(x)+xF(x),因?yàn)閤=0是方程的根，代入求得a值。

(2)首先由(1)寫(xiě)出函數(shù)f(x),并求其定義域，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明x+f(x)>xf(x),即證：x+ln(l-x)-xln(l-x)

>0,然后通過(guò)換元，構(gòu)造函數(shù)，用導(dǎo)數(shù)研究相關(guān)函數(shù)的單調(diào)性，從而證明命題成立。

22

21.(1)解：焦點(diǎn)F(0,p到x+(y+4)=1的最短距離為號(hào)+3=4,所以p=2.

2

(2)拋物線y=^x,設(shè)A(xi,yi),B(X2,y2),P(xo,yo),貝U

XXxx

\PA=y=jXl(X-X1)+yi=\1=ll-y-i,

\PB-y=lx2x-y2，且益=一,一8丫0—15.

_1

xx

\PA，\PB都過(guò)點(diǎn)P(xo，yo),則嚴(yán)_產(chǎn)，°y"故[AB-yo=lo-y>即y=|xox-yo.

y°=.x2x?！獃2,

_1_

y16

聯(lián)立｛_-y°,得x?—2xOx+4yo=0,=^xo~yo.

x=4y

I2___________I瑤fol

所以lABl=Jl+*J4xA16yo=7T^.4-4y。，dP*B一百所以

-4-4-4=-

SN4B=?dP-48二1lX0yol,V