5、不等式2024年高考數(shù)專項(xiàng)復(fù)習(xí)

不等式2024年高考數(shù)專項(xiàng)復(fù)習(xí)一、學(xué)習(xí)指導(dǎo)不等式的性質(zhì)是解(證)不等式的基礎(chǔ)，關(guān)鍵是正確理解和運(yùn)用，要弄清條件和結(jié)論，考試中多以小題出現(xiàn)，題目難度不大，學(xué)習(xí)時，應(yīng)抓好基本概念，少做偏難題．二、基礎(chǔ)梳理1．不等式的定義在客觀世界中，量與量之間的不等關(guān)系是普遍存在的，我們用數(shù)學(xué)符號連接兩個數(shù)或代數(shù)式以表示它們之間的不等關(guān)系，含有這些不等號的式子，叫做不等式．2．比較兩個實(shí)數(shù)的大小兩個實(shí)數(shù)的大小是用實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)來定義的，有a－b＞0?；a－b＝0?；a－b＜0?.另外，若b＞0，則有eq\f(a,b)＞1?a＞b；eq\f(a,b)＝1?a＝b；eq\f(a,b)＜1?a＜b.3．不等式的性質(zhì)(1)對稱性：a＞b?b＜a；(2)傳遞性：a＞b，b＞c?；(3)可加性：a＞b?a＋cb＋c，a＞b，c＞d?a＋c＞b＋d；(4)可乘性：a＞b，c＞0?ac＞bc；a＞b＞0，c＞d＞0?ac＞bd；(5)可乘方：a＞b＞0?an＞bn(n∈N，n≥2)；(6)可開方：a＞b＞0?eq\r(n,a)＞eq\r(n,b)(n∈N，n≥2)．三、典型題型題型一比較大小【例1】已知a，b，c是實(shí)數(shù)，試比較a2＋b2＋c2與ab＋bc＋ca的大?。猓骸遖2＋b2＋c2－(ab＋bc＋ca)＝eq\f(1,2)[(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2]≥0，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時取等號．∴a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.【訓(xùn)練1】已知a，b∈R且a＞b，則下列不等式中一定成立的是()．A.eq\f(a,b)＞1 B．a(chǎn)2＞b2C．lg(a－b)＞0 D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))a＜eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))b題型二不等式的性質(zhì)【例2】若a＞0＞b＞－a，c＜d＜0，則下列命題：(1)ad＞bc；(2)eq\f(a,d)＋eq\f(b,c)＜0；(3)a－c＞b－d；(4)a·(d－c)＞b(d－c)中能成立的個數(shù)是()．A．1B．2C．3D．4方法總結(jié)：在判斷一個關(guān)于不等式的命題真假時，先把要判斷的命題和不等式性質(zhì)聯(lián)系起來考慮，找到與命題相近的性質(zhì)，并應(yīng)用性質(zhì)判斷命題真假，當(dāng)然判斷的同時還要用到其他知識，比如對數(shù)函數(shù)，指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)等．題型三不等式性質(zhì)的應(yīng)用【例3】已知函數(shù)f(x)＝ax2＋bx，且1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4.求f(－2)的取值范圍．[審題視點(diǎn)]可利用待定系數(shù)法尋找目標(biāo)式f(－2)與已知式f(－1)，f(1)之間的關(guān)系，即用f(－1)，f(1)整體表示f(－2)，再利用不等式的性質(zhì)求f(－2)的范圍．解：f(－1)＝a－b，f(1)＝a＋b.f(－2)＝4a－2b.設(shè)m(a＋b)＋n(a－b)＝4a－2b.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋n＝4，,m－n＝－2，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝1，,n＝3.))∴f(－2)＝(a＋b)＋3(a－b)＝f(1)＋3f(－1)．∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，∴5≤f(－2)≤10.題型四利用不等式的性質(zhì)證明簡單不等式【例4】設(shè)a＞b＞c，求證：eq\f(1,a－b)＋eq\f(1,b－c)＋eq\f(1,c－a)＞0.證明：∵a＞b＞c，∴－c＞－b.∴a－c＞a－b＞0，∴eq\f(1,a－b)＞eq\f(1,a－c)＞0.∴eq\f(1,a－b)＋eq\f(1,c－a)＞0.又b－c＞0，∴eq\f(1,b－c)＞0.eq\f(1,a－b)＋eq\f(1,b－c)＋eq\f(1,c－a)＞0.四、小結(jié)一元二次不等式及其解法一、學(xué)習(xí)指導(dǎo)1．結(jié)合“三個二次”之間的聯(lián)系，掌握一元二次不等式的解法．2．以函數(shù)為載體，考查不等式的參數(shù)范圍問題．二、基礎(chǔ)梳理1．一元二次不等式的解法(1)將不等式的右邊化為零，左邊化為二次項(xiàng)系數(shù)大于零的不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)．(2)求出相應(yīng)的一元二次方程的根．(3)利用二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)確定一元二次不等式的解集．2．一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)及一元二次方程的關(guān)系如下表：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根有兩相異實(shí)根x1，x2(x1＜x2)有兩相等實(shí)根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)沒有實(shí)數(shù)根ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集{x|x＞x2或x＜x1}eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x≠－\f(b,2a)))Rax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集{x|x1＜x＜x2}??一個技巧一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0(a≠0)的解集的確定受a的符號、b2－4ac的符號的影響，且與相應(yīng)的二次函數(shù)、一元二次方程有密切聯(lián)系，可結(jié)合相應(yīng)的函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象，數(shù)形結(jié)合求得不等式的解集．若一元二次不等式經(jīng)過不等式的同解變形后，化為ax2＋bx＋c＞0(或＜0)(其中a＞0)的形式，其對應(yīng)的方程ax2＋bx＋c＝0有兩個不等實(shí)根x1，x2，(x1＜x2)(此時Δ＝b2－4ac＞0)，則可根據(jù)“大于取兩邊，小于夾中間”求解集．兩個防范(1)二次項(xiàng)系數(shù)中含有參數(shù)時，參數(shù)的符號影響不等式的解集；不要忘了二次項(xiàng)系數(shù)是否為零的情況；(2)解含參數(shù)的一元二次不等式，可先考慮因式分解，再對根的大小進(jìn)行分類討論；若不能因式分解，則可對判別式進(jìn)行分類討論，分類要不重不漏．三、典型題型題型一一元二次不等式的解法【例1】已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋2x，x≥0，,－x2＋2x，x＜0，))解不等式f(x)＞3.解：由題意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥0，,x2＋2x＞3))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＜0，,－x2＋2x＞3，))解得：x＞1.故原不等式的解集為{x|x＞1}．小結(jié)：解一元二次不等式的一般步驟是：(1)化為標(biāo)準(zhǔn)形式；(2)確定判別式Δ的符號；(3)若Δ≥0，則求出該不等式對應(yīng)的二次方程的根，若Δ＜0，則對應(yīng)的二次方程無根；(4)結(jié)合二次函數(shù)的圖象得出不等式的解集．特別地，若一元二次不等式的左邊的二次三項(xiàng)式能分解因式，則可立即寫出不等式的解集．【訓(xùn)練1】函數(shù)f(x)＝eq\r(2x2＋x－3)＋log3(3＋2x－x2)的定義域?yàn)開_______．解析：依題意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x2＋x－3≥0，,3＋2x－x2＞0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤－\f(3,2)或x≥1，,－1＜x＜3.))∴1≤x＜3.故函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇1,3)．題型二含參數(shù)的一元二次不等式的解法【例2】求不等式12x2－ax＞a2(a∈R)的解集．解：∵12x2－ax＞a2，∴12x2－ax－a2＞0，即(4x＋a)(3x－a)＞0，令(4x＋a)(3x－a)＝0，得：x1＝－eq\f(a,4)，x2＝eq\f(a,3).①a＞0時，－eq\f(a,4)＜eq\f(a,3)，解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＜－\f(a,4)或x＞\f(a,3)))；②a＝0時，x2＞0，解集為{x|x∈R且x≠0}；③a＜0時，－eq\f(a,4)＞eq\f(a,3)，解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＜\f(a,3)或x＞－\f(a,4))).綜上所述：當(dāng)a＞0時，不等式的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＜－\f(a,4)或x＞\f(a,3)))；當(dāng)a＝0時，不等式的解集為{x|x∈R且x≠0}；當(dāng)a＜0時，不等式的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＜\f(a,3)或x＞－\f(a,4))).【訓(xùn)練2】解關(guān)于x的不等式(1－ax)2＜1.方法一：方法二：由(1－ax)2＜1，得a2x2－2ax＜0，即ax(ax－2)＜0，當(dāng)a＝0時，x∈?.當(dāng)a＞0時，由ax(ax－2)＜0，得a2xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(2,a)))＜0，即0＜x＜eq\f(2,a).當(dāng)a＜0時，eq\f(2,a)＜x＜0.綜上所述：當(dāng)a＝0時，不等式解集為空集；當(dāng)a＞0時，不等式解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(0＜x＜\f(2,a)))))；當(dāng)a＜0時，不等式解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)))＜x＜0)).題型三不等式恒成立問題【例3】已知不等式ax2＋4x＋a＞1－2x2對一切實(shí)數(shù)x恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解：原不等式等價(jià)于(a＋2)x2＋4x＋a－1＞0對一切實(shí)數(shù)恒成立，顯然a＝－2時，解集不是R，因此a≠－2，從而有整理，得所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＞－2，,a＜－3或a＞2，))所以a＞2.故a的取值范圍是(2，＋∞)．【訓(xùn)練3】已知f(x)＝x2－2ax＋2(a∈R)，當(dāng)x∈[－1，＋∞)時，f(x)≥a恒成立，求a的取值范圍．解法一：f(x)＝(x－a)2＋2－a2，此二次函數(shù)圖象的對稱軸為x＝a.①當(dāng)a∈(－∞，－1)時，f(x)在[－1，＋∞)上單調(diào)遞增，f(x)min＝f(－1)＝2a＋3.要使f(x)≥a恒成立，只需f(x)min≥a，即2a＋3≥a，解得－3≤a＜－1；②當(dāng)a∈[－1，＋∞)時，f(x)min＝f(a)＝2－a2，由2－a2≥a，解得－1≤a≤1.綜上所述，所求a的取值范圍為[－3,1]．法二：令g(x)＝x2－2ax＋2－a，由已知，得x2－2ax＋2－a≥0在[－1，＋∞)上恒成立，即Δ＝4a2－4(2－a)≤0或解得－3≤a≤1.所求a的取值范圍是[－3,1]．法三：四、小結(jié)二元一次不等式（組）與平面區(qū)域一、基礎(chǔ)梳理1．二元一次不等式表示的平面區(qū)域(1)一般地，直線l：ax＋by＋c＝0把直角坐標(biāo)平面分成了三個部分：①直線l上的點(diǎn)(x，y)的坐標(biāo)滿足；②直線l一側(cè)的平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)(x，y)的坐標(biāo)滿足ax＋by＋c＞0；③直線l另一側(cè)的平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)(x，y)的坐標(biāo)滿足ax＋by＋c＜0.所以，只需在直線l的某一側(cè)的平面區(qū)域內(nèi)，任取一特殊點(diǎn)(x0，y0)，從ax0＋by0＋c值的正負(fù)，即可判斷不等式表示的平面區(qū)域．(2)由于對直線Ax＋By＋C＝0同一側(cè)的所有點(diǎn)(x，y)，把它的坐標(biāo)(x，y)代入Ax＋By＋C所得到實(shí)數(shù)的符號都，所以只需在此直線的某一側(cè)取一個特殊點(diǎn)(x0，y0)，由Ax0＋By0＋C的即可判斷Ax＋By＋C＞0表示直線Ax＋By＋C＝0哪一側(cè)的平面區(qū)域．一種方法確定二元一次不等式表示的平面區(qū)域時，經(jīng)常采用“直線定界，特殊點(diǎn)定域”的方法．(1)直線定界，即若不等式不含等號，則應(yīng)把直線畫成虛線；若不等式含有等號，把直線畫成實(shí)線．(2)特殊點(diǎn)定域，即在直線Ax＋By＋C＝0的某一側(cè)取一個特殊點(diǎn)(x0，y0)作為測試點(diǎn)代入不等式檢驗(yàn)，若滿足不等式，則表示的就是包括該點(diǎn)的這一側(cè)，否則就表示直線的另一側(cè)．特別地，當(dāng)C≠0時，常把原點(diǎn)作為測試點(diǎn)；當(dāng)C＝0時，常選點(diǎn)(1,0)或者(0,1)作為測試點(diǎn)．2．注意事項(xiàng)（1）作不等式所表示的平面區(qū)域時應(yīng)注意區(qū)分邊界的虛實(shí)；（2）不等式組所表示的平面區(qū)域是組中各個不等式所表示平面區(qū)域的公共部分。典型例題分析例1：求不等式組表示的平面區(qū)域的面積。解析：【法1】（特殊三角形）顯然為等腰直角三角形，，，易得B點(diǎn)坐標(biāo)為，C點(diǎn)坐標(biāo)為，則∴?！痉?】（面積公式）易得A點(diǎn)坐標(biāo)為，B點(diǎn)坐標(biāo)為，C點(diǎn)坐標(biāo)為，則由點(diǎn)到直線的距離公式得高∴?！痉?】（向量法）易得A點(diǎn)坐標(biāo)為，B點(diǎn)坐標(biāo)為，C點(diǎn)坐標(biāo)為，則，∴。故不等式組表示的平面區(qū)域的面積等于36。例2：求不等式表示的平面區(qū)域的面積。解析：不等式可化為或或或其平面區(qū)域是對角線為4的正方形（如圖），∴面積S=×4×4=8。例3：若不等式組所表示的平面區(qū)域被直線分為面積相等的兩部分，則值是()A、eq\f(7,3)B、eq\f(3,7)C、eq\f(4,3)D、eq\f(3,4)解析：不等式組表示的平面區(qū)域是及其內(nèi)部（如圖），其頂點(diǎn)分別為、、∵直線必過定點(diǎn)，∴只有直線過的中點(diǎn)時，直線才能平分平面區(qū)域則，即。故選（A）【思考】若將“直線”改為“直線”，則值又是多少？若將“直線”改為“直線”，則值又是多少？例4.某人準(zhǔn)備投資1200萬元興辦一所完全中學(xué)，對教育市場進(jìn)行調(diào)查后，他得到了下面的數(shù)據(jù)表格(以班級為單位)(注：初、高中的教育周期均為三年，辦學(xué)規(guī)模以20～30個班為宜，老師實(shí)行聘任制).學(xué)段班級學(xué)生數(shù)配備教師數(shù)硬件建設(shè)教師年薪初中45226萬元/班2萬元/人高中40354萬元/班2萬元/人分別用數(shù)學(xué)關(guān)系式和圖形表示上述限制條件．【解析】設(shè)開設(shè)初中班x個，高中班y個．根據(jù)題意，總共招生班數(shù)應(yīng)限制在20～30之間，所以有20≤x＋y≤30.考慮到所投資金的限制，得到26x＋54y＋2×2x＋2×3y≤1200，即x＋2y≤40.另外，開設(shè)的班數(shù)不能為負(fù)且為整數(shù)，即，把上面四個不等式合在一起，得到：用圖形表示這個限制條件，得到如圖中的平面區(qū)域(陰影部分)中的整數(shù)點(diǎn)．簡單的線性規(guī)劃問題一、基礎(chǔ)梳理線性規(guī)劃相關(guān)概念名稱意義目標(biāo)函數(shù)欲求或的函數(shù)約束條件目標(biāo)函數(shù)中的變量所要滿足的不等式組線性約束條件由x，y的一次不等式(或方程)組成的不等式組線性目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù)是關(guān)于變量的一次函數(shù)可行解滿足的解可行域所有組成的集合最優(yōu)解使目標(biāo)函數(shù)取得或的點(diǎn)的坐標(biāo)線性規(guī)劃問題在線性約束條件下，求線性目標(biāo)函數(shù)的或問題一個步驟利用線性規(guī)劃求最值，一般用圖解法求解，其步驟是：(1)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出可行域；(2)考慮目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，將目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行變形；(3)確定最優(yōu)解：在可行域內(nèi)平行移動目標(biāo)函數(shù)變形后的直線，從而確定最優(yōu)解；(4)求最值：將最優(yōu)解代入目標(biāo)函數(shù)即可求出最大值或最小值．線性規(guī)劃的兩類重要實(shí)際問題：第一種類型是給定一定數(shù)量的人力、物力資源，問怎樣安排運(yùn)用這些資源，能使完成的任務(wù)量最大，收到的效益最大；第二種類型是給定一項(xiàng)任務(wù)，問怎樣統(tǒng)籌安排，能使完成這項(xiàng)任務(wù)的人力、物力資源量最?。?）建立線性規(guī)劃模型；（2）求出最優(yōu)解；（3）作出實(shí)際問題答案。三、典型題型題型一二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域【例1】直線2x＋y－10＝0與不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥0,y≥0，,x－y≥－2，,4x＋3y≤20))表示的平面區(qū)域的公共點(diǎn)有()．A．0個B．1個C．2個D．無數(shù)個解析：由不等式組畫出平面區(qū)域如圖(陰影部分)．直線2x＋y－10＝0恰過點(diǎn)A(5,0)，且斜率k＝－2＜kAB＝－eq\f(4,3)，即直線2x＋y－10＝0與平面區(qū)域僅有一個公共點(diǎn)A(5,0)．答案：B方法總結(jié)：不等式組表示的平面區(qū)域是各個不等式所表示的平面區(qū)域點(diǎn)集的交集，因而是各個不等式所表示的平面區(qū)域的公共部分．【訓(xùn)練1】已知關(guān)于x，y的不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤2，,x＋y－2≥0，,kx－y＋2≥0))所表示的平面區(qū)域的面積為4，則k的值為()．A．1B．－3C．1或－3D．0解析：其中平面區(qū)域kx－y＋2≥0是含有坐標(biāo)原點(diǎn)的半平面．直線kx－y＋2＝0又過定點(diǎn)(0,2)，這樣就可以根據(jù)平面區(qū)域的面積為4，確定一個封閉的區(qū)域，作出平面區(qū)域即可求解．平面區(qū)域如圖所示，根據(jù)區(qū)域面積為4，得A(2,4)，代入直線方程，得k＝1.答案：A題型二求線性目標(biāo)函數(shù)的最值【例2】已知平面直角坐標(biāo)系xOy上的區(qū)域D由不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤\r(2)，,y≤2，,x≤\r(2)y))給定．若M(x，y)為D上的動點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(eq\r(2)，1)，則z＝Oeq\o(M,\s\up6(→))·Oeq\o(A,\s\up6(→))的最大值為()．A．3B．4C．3eq\r(2)D．4eq\r(2)解析：畫出區(qū)域D，如圖中陰影部分所示，而z＝Oeq\o(M,\s\up6(→))·Oeq\o(A,\s\up6(→))＝eq\r(2)x＋y，∴y＝－eq\r(2)x＋z，令l0：y＝－eq\r(2)x，將l0平移到過點(diǎn)(eq\r(2)，2)時，截距z有最大值，故zmax＝eq\r(2)×eq\r(2)＋2＝4.答案：B方法總結(jié)：求目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值，必須先求出準(zhǔn)確的可行域，令目標(biāo)函數(shù)等于0，將其對應(yīng)的直線平行移動，最先通過或最后通過的頂點(diǎn)便是最優(yōu)解．【訓(xùn)練2】已知變量x，y滿足條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y－3≤0，,x＋3y－3≥0，,y－1≤0，))若目標(biāo)函數(shù)z＝ax＋y(其中a＞0)僅在點(diǎn)(3,0)處取得最大值，則a的取值范圍是()．A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2)))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))解析：畫出x、y滿足條件的可行域如圖所示，要使目標(biāo)函數(shù)z＝ax＋y僅在點(diǎn)(3,0)處取得最大值，則直線y＝－ax＋z的斜率應(yīng)小于直線x＋2y－3＝0的斜率，即－a＜－eq\f(1,2)，∴a＞eq\f(1,2).答案：D題型三求非線性目標(biāo)函數(shù)的最值【例3】變量x、y滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－4y＋3≤0，,3x＋5y－25≤0，,x≥1.))(1)設(shè)z＝eq\f(y,x)，求z的最小值；(2)設(shè)z＝x2＋y2，求z的取值范圍．解析：由約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－4y＋3≤0，,3x＋5y－25≤0，,x≥1.))作出(x，y)的可行域如圖所示．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,3x＋5y－25＝0，))解得Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(22,5))).由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,x－4y＋3＝0，))解得C(1,1)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－4y＋3＝0，,3x＋5y－25＝0，))解得B(5,2)．(1)∵z＝eq\f(y,x)＝eq\f(y－0,x－0).∴z的值即是可行域中的點(diǎn)與原點(diǎn)O連線的斜率．觀察圖形可知zmin＝kOB＝eq\f(2,5).(2)z＝x2＋y2的幾何意義是可行域上的點(diǎn)到原點(diǎn)O的距離的平方．結(jié)合圖形可知，可行域上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離中，dmin＝|OC|＝eq\r(2)，dmax＝|OB|＝eq\r(29).∴2≤z≤29.方法總結(jié)：求目標(biāo)函數(shù)的最值，必須先準(zhǔn)確地作出線性約束條件表示的可行域，再根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的幾何意義確定取得最優(yōu)解的點(diǎn)，進(jìn)而求出目標(biāo)函數(shù)的最值．【訓(xùn)練3】設(shè)實(shí)數(shù)滿足不等式組，則的最大值為。解析：作出可行域（如圖）即所圍區(qū)域(包括邊界)，其頂點(diǎn)、、法1：∵可行域內(nèi)的點(diǎn)都在直線上方，∴則目標(biāo)函數(shù)等價(jià)于易得當(dāng)直線在點(diǎn)處，目標(biāo)函數(shù)取得最大值為。法2：令為可行域內(nèi)一動點(diǎn)、定直線，則，其中為到直線的距離由圖可知∴。，【訓(xùn)練4】已知不等式組，則的取值范圍為。解析：作出可行域（如圖）即所圍區(qū)域(包括邊界)，其頂點(diǎn)、、∵，∴，令，為可行域內(nèi)一動點(diǎn)、則，∵，∴，∴，即的取值范圍為。題型四線性規(guī)劃的實(shí)際應(yīng)用【例4】某企業(yè)生產(chǎn)A，B兩種產(chǎn)品，生產(chǎn)每一噸產(chǎn)品所需的勞動力、煤和電耗如下表：已知生產(chǎn)每噸A產(chǎn)品的利潤是7萬元，生產(chǎn)每噸B產(chǎn)品的利潤是12萬元，現(xiàn)因條件限制，該企業(yè)僅有勞動力300個，煤360噸，并且供電局只能供電200千瓦，試問該企業(yè)如何安排生產(chǎn)，才能獲得最大利潤？解析：設(shè)生產(chǎn)A，B兩種產(chǎn)品分別為x噸，y噸，利潤為z萬元，依題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋10y≤300，,9x＋4y≤360，,4x＋5y≤200，,x≥0，y≥0.))目標(biāo)函數(shù)為z＝7x＋12y.作出可行域，如圖陰影所示．當(dāng)直線7x＋12y＝0向右上方平行移動時，經(jīng)過M(20,24)時z取最大值．∴該企業(yè)生產(chǎn)A，B兩種產(chǎn)品分別為20噸和24噸時，才能獲得最大利潤．方法總結(jié)：線性規(guī)劃的實(shí)際應(yīng)用問題，需要通過審題理解題意，找出各量之間的關(guān)系，最好是列成表格，找出線性約束條件，寫出所研究的目標(biāo)函數(shù)，轉(zhuǎn)化為簡單的線性規(guī)劃問題．四、小結(jié)基本不等式一、基礎(chǔ)梳理1．基本不等式：eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)(1)基本不等式成立的條件：.(2)等號成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)時取等號．2．幾個重要的不等式(1)a2＋b2≥(a，b∈R)；(2)eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2(a，b同號)；(3)ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2(a，b∈R)；(4)eq\f(a2＋b2,2)≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2(a，b∈R)．3．算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)設(shè)a＞0，b＞0，則a，b的算術(shù)平均數(shù)為eq\f(a＋b,2)，幾何平均數(shù)為eq\r(ab)，基本不等式可敘述為．4．利用基本不等式求最值問題已知x＞0，y＞0，則(1)如果積xy是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)時，x＋y有