浙江省杭州市市青春中學(xué)高三數(shù)學(xué)文月考試題含解析

浙江省杭州市市青春中學(xué)高三數(shù)學(xué)文月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.如圖，是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過的直線與雙曲線的左右兩支分別交于點(diǎn)、．若為等邊三角形，則雙曲線的離心率為（

）A．4

B．

C．

D．參考答案：B2.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的b值等于A.

B.

C.

D.參考答案：C略3.若橢圓+=1（a＞b＞0）的離心率為，則雙曲線﹣=1的漸近線方程為（）A．y=±x B．y=±x C．y=± D．y=±x參考答案：C【考點(diǎn)】雙曲線的簡單性質(zhì)．【分析】運(yùn)用橢圓的離心率公式可得a，b的關(guān)系，再由雙曲線的漸近線方程，即可得到．【解答】解：橢圓+=1（a＞b＞0）的離心率為，則=，即有=，則雙曲線﹣=1的漸近線方程為y=x，即有y=±x．故選：C．4.已知函數(shù)

,若數(shù)列滿足，且是遞減數(shù)列，則實(shí)數(shù)的取值范圍是

A．

B．

C．

D．參考答案：C略5.不等式的解集為，則函數(shù)的圖象大致為（

）

A

B C

D

參考答案：

答案：C6.的展開式的系數(shù)是

（

）

A.

B.

C.0

D.3參考答案：A7.已知函數(shù)f（x）的部分圖象如圖所示，向圖中的矩形區(qū)域隨機(jī)投出200粒豆子，記下落入陰影區(qū)域的豆子數(shù)，通過100次這樣的試驗(yàn)，算得落入陰影區(qū)域的豆子的平均數(shù)為66，由此可估計(jì)的值約為（）A． B． C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】CE：模擬方法估計(jì)概率．【分析】根據(jù)幾何概型的概率計(jì)算公式得出陰影部分的面積，再根據(jù)定積分的幾何意義得出答案．【解答】解：矩形部分的面積為S矩形=2×3=6，由題意可知：==，∴S陰影==．∴=S陰影=．故選B．8.定義區(qū)間（a，b），，的長度均為d=b﹣a．用表示不超過x的最大整數(shù)，記{x}=x﹣，其中x∈R．設(shè)f（x）={x}，g（x）=x﹣1，若用d表示不等式f（x）＜g（x）解集區(qū)間的長度，則當(dāng)0≤x≤3時(shí)，有(

)A．d=1 B．d=2 C．d=3 D．d=4參考答案：A【考點(diǎn)】進(jìn)行簡單的合情推理．【專題】新定義．【分析】先化簡f（x）=?{x}=?（x﹣）=x﹣2，再化簡f（x）＜（x），再分類討論：①當(dāng)x∈時(shí)，求出f（x）＜g（x）在0≤x≤3時(shí)的解集的長度．【解答】解：f（x）=?{x}=?（x﹣）=x﹣2，g（x）=x﹣1f（x）＜g（x）?x﹣2＜x﹣1即（﹣1）x＜2﹣1當(dāng)x∈=0，上式可化為x＞1，∴x∈?；當(dāng)x∈=1，上式可化為0＞0，∴x∈?；當(dāng)x∈時(shí)，﹣1＞0，上式可化為x＜+1，∴x∈；∴f（x）＜g（x）在0≤x≤3時(shí)的解集為，故d=1．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了抽象函數(shù)及其應(yīng)用，同時(shí)考查了創(chuàng)新能力，以及分類討論的思想和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題9.已知過橢圓的焦點(diǎn)的兩條互相垂直的直線的交點(diǎn)在橢圓內(nèi)部，則此橢圓的離心率的取值范圍是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：B10.已知函數(shù)f（x）=且f（a2）=，若當(dāng)0＜x1＜x2＜1時(shí)，f（x1）=f（x2），則x1f（x2）的取值范圍為（） A．(，] B．(，1]C．[，)D．[，1)參考答案：B【考點(diǎn)】分段函數(shù)的應(yīng)用． 【分析】先根據(jù)函數(shù)的解析式和f（a2）=，求出a的值，再畫出f（x）的圖象，結(jié)合圖象和f（x1）=f（x2），求出x1的范圍和f（x2）的范圍，問題得以解決． 【解答】解：∵0＜a＜1， ∴a2＜a ∵f（a2）=， ∴12aa2+1= 解得a=， ∴f（x）=， 畫出函數(shù)f（x）的圖象，如圖所示， ∵0＜x1＜x2＜1時(shí)，f（x1）=f（x2）， ∴當(dāng)x=1時(shí)，f（1）=log1+2=2， ∴6x+1=2，解得x=， 當(dāng)x=時(shí)，f（）=log+2=3， ∴6x+1=3，解得x=， ∴＜x1＜≤，2＜f（x2）≤3， ∴＜x1f（x2）≤1， 故選：B 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分段函數(shù)和函數(shù)圖象應(yīng)用以及不等式的性質(zhì)，關(guān)鍵是求出a的值，畫出函數(shù)的圖象，屬于中檔題 二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若一個(gè)圓錐的底面半徑為，側(cè)面積是底面積的倍，則該圓錐的體積為__________．參考答案：設(shè)圓錐的母線長為，∵，∴，∴，∴圓錐的高，∴圓錐的體積.12.已知正實(shí)數(shù)a，b滿足a+3b=7，則+的最小值為

．參考答案：．【分析】構(gòu)造基本不等式的性質(zhì)即可求解．利用“乘1法”與基本不等式的性質(zhì)即可得出．【解答】解：正實(shí)數(shù)a，b，即a＞0，b＞0；∵a+3b=7，∴a+1+3（b+2）=14則，那么：（+）（）=≥=當(dāng)且僅當(dāng)2（a+1）=（b+2）時(shí)，即取等號(hào)．∴+的最小值為：，故答案為：．13.．已知x,y∈Z,n∈N*，設(shè)f（n）是不等式組表示的平面區(qū)域內(nèi)可行解的個(gè)數(shù)，則f（1）=_______；f（2）=_______；f（n）=_______．參考答案：1

3

畫出可行域：當(dāng)n=1時(shí)，可行域內(nèi)的整點(diǎn)為（1,0）,∴f（1）=1,當(dāng)n=2時(shí)，可行域內(nèi)的整點(diǎn)為（1,0）、（2,0）、（1,1），∴f（2）=3,由此可歸納出f（n）=1+2+3+…+n=14.設(shè)函數(shù)f（x）對(duì)任意實(shí)數(shù)x滿足f（x）=﹣f（x+2），且當(dāng)0≤x≤2時(shí)，f（x）=x（x﹣2），則f（﹣2017）=．參考答案：1【考點(diǎn)】函數(shù)的周期性．【分析】據(jù)函數(shù)f（x）對(duì)任意實(shí)數(shù)x滿足f（x）=﹣f（x+2），得出函數(shù)的周期性，再進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可得到結(jié)論．【解答】解：∵f（x）=﹣f（x+2），∴f（x+2）=﹣f（x），∴f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），∴f（x）是周期函數(shù)，周期為4．∴f（﹣2017）=f（﹣504×4﹣1）=f（﹣1）=﹣f（1）=1，故答案為1．15.已知為實(shí)數(shù)，為虛數(shù)單位，若為實(shí)數(shù)，則________．參考答案：-2

16.設(shè)，若是的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_______________。參考答案：17.曲線與坐標(biāo)軸所圍成的圖形的面積是_________________.參考答案：3三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.

已知二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋1(a>0)，F(xiàn)(x)＝若f(－1)＝0，且對(duì)任意實(shí)數(shù)x均有f(x)≥0成立．(1)求F(x)的表達(dá)式；(2)當(dāng)x∈－2,2時(shí)，g(x)＝f(x)－kx是單調(diào)函數(shù)，求k的取值范圍．參考答案：(1)∵f(－1)＝0，∴a－b＋1＝0，∴b＝a＋1，∴f(x)＝ax2＋(a＋1)x＋1.∵f(x)≥0恒成立，∴∴∴a＝1，從而b＝2，∴f(x)＝x2＋2x＋1，∴F(x)＝(2)g(x)＝x2＋2x＋1－kx＝x2＋(2－k)x＋1.∵g(x)在－2,2上是單調(diào)函數(shù)，∴≤－2，或≥2，解得k≤－2，或k≥6.所以k的取值范圍為k≤－2，或k≥6.19.在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知2ccosB+b=2a，b=6，a=4．（1）求角C的大?。唬?）若點(diǎn)D在AB邊上，AD=CD，求CD的長．參考答案：【考點(diǎn)】HT：三角形中的幾何計(jì)算．【分析】（1）根據(jù)正弦定理及兩角和的正弦公式，求得sinB=2sinBcosC，求得cosC=，根據(jù)C的取值范圍，即可求得角C的大??；（2）由余弦定理求得c=2，設(shè)CD=x，在△ABC和△ACD中，分別應(yīng)用余弦定理求得cosA=，cosA=，聯(lián)立即可求得CD的長．【解答】解：（1）由正弦定理可知：===2R，（R為外接圓半徑），a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，由2ccosB+b=2a，2sinCcosB+sinB=2sinA=2sin（B+C）=2sinBcosC+2cosBsinC，∴sinB=2sinBcosC，由B∈（0，π），則sinB≠0，則cosC=，由C∈（0，π），則C=，∴角C為；（2）由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC=28，則c=2，設(shè)CD=x，則在△ABC中，cosA===，在△ACD中，cosA==，∴=，解得：x=，∴CD的長．20.（本題滿分12分）已知函數(shù).（Ⅰ）若，求函數(shù)的極值，并指出是極大值還是極小值；（Ⅱ）若，求證：在區(qū)間上，函數(shù)的圖像在函數(shù)的圖像的下方.參考答案：（Ⅰ）解由于函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，

1分當(dāng)a＝－1時(shí)，f′(x)＝x－

2分令f′(x)＝0得x＝1或x＝－1(舍去)，

3分當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，f′(x)<0，

因此函數(shù)f(x)在(0,1)上是單調(diào)遞減的，

4分當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，f′(x)>0，因此函數(shù)f(x)在(1，＋∞)上是單調(diào)遞增的，

5分則x＝1是f(x)極小值點(diǎn)，所以f(x)在x＝1處取得極小值為f(1)=

6分（Ⅱ）證明

設(shè)F(x)＝f(x)－g(x)＝x2＋lnx－x3，則F′(x)＝x＋－2x2＝，

8分當(dāng)x>1時(shí)，F(xiàn)′(x)<0，

9分故f(x)在區(qū)間[1，＋∞)上是單調(diào)遞減的，

10分又F(1)＝－<0，

11分∴在區(qū)間[1，＋∞)上，F(xiàn)(x)<0恒成立．即f(x)—g(x)<0恒成立即f(x)<g(x)恒成立.因此，當(dāng)a＝1時(shí)，在區(qū)間[1，＋∞)上，函數(shù)f(x)的圖像在函數(shù)g(x)圖像的下方．12分21.已知圓E：經(jīng)過橢圓C：的左右焦點(diǎn)F1、F2，且與橢圓C在第一象限的交點(diǎn)為A，且三點(diǎn)共線，直線交橢圓C于M、N兩點(diǎn)，且（）.（1）求橢圓C的方程；（2）當(dāng)三角形的面積取得最大值時(shí)，求直線l的方程.參考答案：（1）；（2）．試題分析：（1）求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，由圓與軸的交點(diǎn)，可求得，利用三點(diǎn)共線，由是圓的直徑，從而，利用勾股定理可求得，從而由橢圓的定義可求得，于是得，橢圓方程即得；（2）是確定的，，說明，于是直線斜率已知，設(shè)出其方程為，代入橢圓方程，消去得的二次方程，從而有（分別是的橫坐標(biāo)），由直線與圓錐曲線相交的弦長公式可求得弦長，再由點(diǎn)到直線距離公式求出到直線的距離，可計(jì)算出的面積，最后利用基本不等式可求得面積的最大值，及此時(shí)的值，得直線方程．解析：（1）如圖，圓經(jīng)過橢圓的左、右焦點(diǎn)，，所以，解得,因?yàn)?，，三點(diǎn)共線，所以為圓的直徑，所以,因?yàn)?，所?所以,由，得．所以橢圓的方程為.（2）由（1）得，點(diǎn)的坐標(biāo)為，因?yàn)?所以直線的斜率為，設(shè)直線的方程為,聯(lián)立，得,設(shè)，由，得．因?yàn)?/p>

所以,又點(diǎn)到直線的距離為，.當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立,所以直線的方程為或.點(diǎn)睛：本題考查橢圓中的三角形面積的最值問題，解題時(shí)，一般設(shè)出直線方程，如直線方程為，設(shè)出交點(diǎn)坐標(biāo)，由直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消元后可得，再由圓錐曲線中的弦長公式表示出弦長，再求點(diǎn)到直線的距離，這樣可把三角形的面積用參數(shù)表示出來，最后可利用基本不等式求最值，并求出取最大值時(shí)參數(shù)的值，得直線方程.“設(shè)而不求”思想是解決