專題08 二次函數(shù)（講義）（解析版）

專題08二次函數(shù)核心知識點精講1．二次函數(shù)的概念常為中檔題．主要考查點的坐標、確定解析式、自變量的取值范圍等；2．二次函數(shù)的解析式、開口方向、對稱軸、頂點坐標等是中考命題的熱點；3．拋物線的性質(zhì)、平移、最值等在選擇題、填空題中都出現(xiàn)過，覆蓋面較廣，而且這些內(nèi)容的綜合題一般較難，在解答題中出現(xiàn)．【知識網(wǎng)絡(luò)】考點一：二次函數(shù)的定義一般地，如果（a、b、c是常數(shù)，a≠0），那么y叫做x的二次函數(shù)．要點詮釋：二次函數(shù)(a≠0)的結(jié)構(gòu)特征是：(1)等號左邊是函數(shù)，右邊是關(guān)于自變量x的二次式，x的最高次數(shù)是2．(2)二次項系數(shù)a≠0．考點二：二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)1.二次函數(shù)(a≠0)的圖象是一條拋物線，頂點為．2.當a＞0時，拋物線的開口向上；當a＜0時，拋物線的開口向下．3.①|(zhì)a|的大小決定拋物線的開口大?。畖a|越大，拋物線的開口越小，|a|越小，拋物線的開口越大．②c的大小決定拋物線與y軸的交點位置．c＝0時，拋物線過原點；c＞0時，拋物線與y軸交于正半軸；c＜0時，拋物線與y軸交于負半軸．③ab的符號決定拋物線的對稱軸的位置．當ab＝0時，對稱軸為y軸；當ab＞0時，對稱軸在y軸左側(cè)；當ab＜0時，對稱軸在y軸的右側(cè)．4.拋物線的圖象，可以由的圖象移動而得到．將向上移動k個單位得：．將向左移動h個單位得：．將先向上移動k(k＞0)個單位，再向右移動h(h＞0)個單位，即得函數(shù)的圖象．要點詮釋：求拋物線（a≠0）的對稱軸和頂點坐標通常用三種方法：配方法、公式法、代入法，這三種方法都有各自的優(yōu)缺點，應根據(jù)實際靈活選擇和運用．考點三：二次函數(shù)的解析式1.一般式：(a≠0)．若已知條件是圖象上的三個點，則設(shè)所求二次函數(shù)為，將已知條件代入，求出a、b、c的值．2.交點式（雙根式）：．若已知二次函數(shù)圖象與x軸的兩個交點的坐標為(x1，0)，(x2，0)，設(shè)所求二次函數(shù)為，將第三點(m，n)的坐標(其中m、n為已知數(shù))或其他已知條件代入，求出待定系數(shù)，最后將解析式化為一般形式．3.頂點式：．若已知二次函數(shù)圖象的頂點坐標或?qū)ΨQ軸方程與最大值(或最小值)，設(shè)所求二次函數(shù)為，將已知條件代入，求出待定系數(shù)，最后將解析式化為一般形式．4.對稱點式：．若已知二次函數(shù)圖象上兩對稱點(x1，m)，(x2，m)，則可設(shè)所求二次函數(shù)為，將已知條件代入，求得待定系數(shù)，最后將解析式化為一般形式．要點詮釋：已知圖象上三點或三對、的值，通常選擇一般式.已知圖象的頂點或?qū)ΨQ軸，通常選擇頂點式.

(可以看成的圖象平移后所對應的函數(shù)).已知圖象與軸的交點坐標、，通常選用交點式：（a≠0）.(由此得根與系數(shù)的關(guān)系：).考點四、二次函數(shù)(a≠0)的圖象的位置與系數(shù)a、b、c的關(guān)系1.開口方向：a＞0時，開口向上，否則開口向下．2.對稱軸：時，對稱軸在y軸的右側(cè)；當時，對稱軸在y軸的左側(cè)．3.與x軸交點：時，有兩個交點；時，有一個交點；時，沒有交點．要點詮釋：當x＝1時，函數(shù)y＝a+b+c；當x＝-1時，函數(shù)y＝a-b+c；當a+b+c＞0時，x＝1與函數(shù)圖象的交點在x軸上方，否則在下方；當a-b+c＞0時，x＝-1與函數(shù)圖象的交點在x軸的上方，否則在下方．考點五、二次函數(shù)的最值1.當a＞0時，拋物線有最低點，函數(shù)有最小值，當時，．2.當a＜0時，拋物線有最高點，函數(shù)有最大值，當時，．要點詮釋：在求應用問題的最值時，除求二次函數(shù)的最值，還應考慮實際問題的自變量的取值范圍．【題型1：二次函數(shù)的概念】【典例1】已知函數(shù)是二次函數(shù)，則等于（

）A． B．2 C． D．6【答案】B【分析】本題考查了二次函數(shù)的定義，一般地，形如（a、b、c是常數(shù)，）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)．其中x、y是變量，a、b、c是常量，a是二次項系數(shù)，b是一次項系數(shù)，c是常數(shù)項．（a、b、c是常數(shù)，）也叫做二次函數(shù)的一般形式．根據(jù)二次函數(shù)的定義，令且，即可求出m的取值范圍．【詳解】解：∵是二次函數(shù)，∴且，且，．故選：B．1．若函數(shù)是二次函數(shù)，則的值為（

）A．1 B．2 C． D．0【答案】B【分析】本題考查的是二次函數(shù)的定義，熟知一般地，形如、、是常數(shù)，的函數(shù)，叫做二次函數(shù)是解答此題的關(guān)鍵．根據(jù)二次函數(shù)的定義列出關(guān)于的方程，求出的值即可．【詳解】∵函數(shù)是二次函數(shù)，∴，解得，故選：B．2．下列關(guān)于的函數(shù)解析式中，一定為二次函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】形如，這樣的函數(shù)叫做二次函數(shù)，據(jù)此進行判斷即可．【詳解】解：A、是正比例函數(shù)，不是二次函數(shù)；B、當時，不是二次函數(shù)；C、整理后不含項，是一次函數(shù)，不是二次函數(shù)；D、是二次函數(shù)；故選：D．3．關(guān)于x的函數(shù)是二次函數(shù)，則m的值為（

）A．1 B． C．1或 D．0【答案】B【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義求解即可．【詳解】解：∵函數(shù)是二次函數(shù)，∴且，解得：．故選B．【點睛】本題考查二次函數(shù)的定義．一般地，我們把形如（其中是常數(shù)，）的函數(shù)叫做二次函數(shù)．【題型2：二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)的應用】【典例2】已知，則二次函數(shù)的圖象可能是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的圖形和性質(zhì)，熟練運用a的正負性及對稱軸的正負性對圖像進行判定是解本題關(guān)鍵．通過，可排除選項A和選項B；再討論和時，對稱軸與y軸的位置關(guān)系，進而確定正確的選項．【詳解】解：二次函數(shù)的對稱軸，，，，選項A和選項B中圖像的對稱軸都是y軸，即，故不符合題意；當時，，拋物線開口向上，且對稱軸在y軸右側(cè)，選項C中拋物線開口向上，且對稱軸在y軸右側(cè)，故符合題意；當時，拋物線開口向下，且對稱軸在y軸左側(cè)，選項D中拋物線開口向下，但對稱軸在y軸右側(cè)，故不符合題意；故答案選：C．1．二次函數(shù)的圖象可能是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了二次函數(shù)法圖象和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系．根據(jù)題意得出該拋物線與y軸相交于，即與y軸交于正半軸，再求出該二次函數(shù)的對稱軸，得出對稱軸在y軸右側(cè)，即可得出結(jié)論．【詳解】解：當時，，∴該拋物線與y軸相交于，即與y軸交于正半軸，∵，∴該二次函數(shù)對稱軸為直線，即對稱軸在y軸右側(cè)，綜上：A、C、D不符合題意；B符合題意；故選：B．2．當時，二次函數(shù)的最大值是1，則實數(shù)m的值為（

）A．0或1 B．或0 C．2或 D．或3【答案】C【分析】本題主要考查二次函數(shù)的最值，掌握二次函數(shù)的頂點式是解題的關(guān)鍵，即在中，頂點坐標為，對稱軸為．由二次函數(shù)解析式可知其開口方向、對稱軸，分在對稱軸左側(cè)和右側(cè)兩種情況分別求其最值，可得到關(guān)于m的方程，可求得答案．【詳解】解：∵，∴二次函數(shù)開口向下，對稱軸為，當時，則在對稱軸左側(cè)，y隨x的增大而增大，當x＝1時，y有最大值，∴，解得（舍去）或，當時，則在對稱軸右側(cè)，y隨x的增大而減小，當時，y有最大值，∴，解得（舍去）或，綜上可知m的值為2或，故選：C．3．二次函數(shù)，在的范圍內(nèi)有最小值，則的值是（

）A．3 B．4 C．5 D．7【答案】A【分析】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，求出二次函數(shù)的對稱軸是解題的關(guān)鍵．找出二次函數(shù)的對稱軸，根據(jù)在的范圍內(nèi)有最小值得出答案．【詳解】解：函數(shù)對稱軸，開口向下，由于在的范圍內(nèi)有最小值，故當時有最小值，故，解得．故選A．4．如圖，拋物線經(jīng)過等腰直角三角形的兩個頂點A，B，點A在y軸上，則的值為(

)A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查二次函數(shù)的綜合應用，過點作于點，得到點坐標為，將點代入解析式進行求解即可．解題的關(guān)鍵是求得點的坐標．【詳解】解：∵，當時，，∴，∴，過點作于點，∵等腰直角三角形，∴，∴點坐標為，∵點在拋物線上，∴，∴，∴；故選C．【題型3：求二次函數(shù)的解析式】【典例3】在一個邊長為5的正方形中挖去一個邊長為的小正方形，如果設(shè)剩余部分的面積為y，那么y關(guān)于x的函數(shù)解析式是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了根據(jù)實際問題列二次函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)剩下部分的面積=大正方形的面積-小正方形的面積得出y與x的函數(shù)關(guān)系式即可．【詳解】解：設(shè)剩下部分的面積為y，則：，故選：B．1．將拋物線向左平移2個單位長度，再向下平移3個單位長度，所得到的拋物線的表達式為（

）A．B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了二次函數(shù)的平移．根據(jù)“左加右減、上加下減”的平移原則進行解答即可．【詳解】解：拋物線向左平移2個單位長度，再向下平移3個單位長度，得到的拋物線的解析式為．故選：D．2．已知拋物線經(jīng)過，兩點，則該拋物線的解析式為(

)A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)已知條件得出對稱軸為直線，求得，即可求解．【詳解】解：∵拋物線經(jīng)過，兩點，∴拋物線的對稱軸為直線，又∴,∴解析式為，故選：B．3．中條山隧道位于山西省運城市鹽湖區(qū)，這一隧道的建設(shè)開創(chuàng)了全省普通公路特長隧道工程建設(shè)的先河，也是全國單洞里程最長的隧道工程．如圖1是中條山隧道，其截面近似為拋物線型，如圖2為截面示意圖，線段表示水平的路面，以O(shè)為坐標原點所在直線為x軸，以過點O垂直于x軸的直線為y軸，建立平面直角坐標系．經(jīng)測量，拋物線的頂點P到的距離為，則拋物線的函數(shù)表達式為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意得出，，設(shè)拋物線的表達式為，把代入得，再把代入求出a的值，即可得出拋物線表達式．本題主要考查了求拋物線的表達式，解題的關(guān)鍵是掌握用待定系數(shù)法求函數(shù)表達式的方法和步驟，以及二次函數(shù)的頂點式．【詳解】解：∵，拋物線的頂點P到的距離為，∴，，設(shè)拋物線的表達式為，把代入得：，把代入得：，解得：，∴拋物線表達式為，故選：D．4．如圖1是拋物線形拱橋的剖面圖，拱頂離水面，水面寬．以拋物線的頂點為原點，以拋物線的對稱軸為軸建立直角坐標系，如圖所示，則拋物線的二次函數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查二次函數(shù)的應用，根據(jù)題意設(shè)出函數(shù)解析式，用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意建立合適的平面直角坐標系及熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式．【詳解】解：由題意得：二次函數(shù)經(jīng)過點，設(shè)二次函數(shù)的解析式為，把代入得，解得：，∴二次函數(shù)的解析式為，故選：．【題型4：二次函數(shù)圖象的位置與a、b、c的關(guān)系】【典例4】二次函數(shù)的圖像如圖，給出下列四個結(jié)論：①；②；③；④，其中正確結(jié)論的個數(shù)是（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，由圖可知，二次函數(shù)開口向下，，與軸兩個交點，對稱軸，進而逐項分析判斷，即可求解．【詳解】解：由圖可知，二次函數(shù)開口向下，，對稱軸，∴，則，則①錯誤；與軸兩個交點，，即，②正確；函數(shù)對稱軸，當或時，，即，③錯誤；當時，，，④正確；故選B．1．如圖，函數(shù)的圖象過點和，下列結(jié)論：①；②關(guān)于x的方程有兩個不相等的實數(shù)根；③；④．正確的個數(shù)是（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D【分析】本題主要考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)與一元二次方程之間的關(guān)系，二次函數(shù)圖象的性質(zhì)等等，根據(jù)二次函數(shù)開口向下，與y軸交于正半軸，得到，由對稱軸在y軸右側(cè)，得到，即可判斷①；根據(jù)二次函數(shù)與x軸有兩個不同的交點，即可判斷②；根據(jù)時，，即可判斷③；根據(jù)函數(shù)的圖象過點和，得到，進而推出，則，即可判斷④．【詳解】解：∵二次函數(shù)開口向下，與y軸交于正半軸，∴，∵對稱軸在y軸右側(cè)，∴，∴，∴，故①正確；∵二次函數(shù)與x軸有兩個不同的交點，∴關(guān)于x的方程有兩個不相等的實數(shù)根，故②正確；∵時，，∴，即，故③正確；∵函數(shù)的圖象過點和，∴，∴，∴，∴，∴，∴，即，故④正確；故選：D．2．如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，且對稱軸為直線，點B坐標為，則下面的五個結(jié)論：①②；③當時，或；

④；⑤（m為實數(shù)），其中正確的結(jié)論有（

）個A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象與系數(shù)之間的關(guān)系．開口方向，對稱軸，與軸的交點坐標判斷①，特殊點判斷②，圖象法解不等式，判斷③，特殊點結(jié)合對稱軸，判斷④，最值判斷⑤；掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵拋物線的開口向下，∴，∵對稱軸為，∴，∵拋物線與軸交于正半軸，∴，∴，故①正確；∵對稱軸為，∴與的函數(shù)值相等，即：，故②正確；∵點關(guān)于的對稱點為，∴當時，或；故③正確；∵圖象過點，，∴，∴；故④錯誤；∵拋物線的開口向下，∴當時，函數(shù)值最大，即：，∴；故⑤正確；綜上，正確的有4個；故選：C．3．拋物線的對稱軸是直線，且過點，頂點位于第二象限，其部分圖像如圖所示，給出以下判斷：①；②；③；④；其中正確的個數(shù)有（

）A．2個 B．3個 C．4個 D．1個【答案】B【分析】本題考查二次函數(shù)與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)與一元二次方程之間的關(guān)系，二次函數(shù)圖象的性質(zhì)等等，根據(jù)拋物線對稱軸，經(jīng)過點得到，再由開口向下，得到，則，據(jù)此可判斷①；根據(jù)時，，即可判斷②；根據(jù)時，，得到，進而得到，即可判斷③；根據(jù)函數(shù)圖象可知二次函數(shù)與x軸有兩個不同的交點即可判斷④．【詳解】解：∵拋物線對稱軸，經(jīng)過點，∴，，∵開口向下，∴，，∴，故①正確，∵拋物線對稱軸，∴和關(guān)于對稱軸對稱，時，，∴，故②正確，∵拋物線與x軸交于，拋物線對稱軸，拋物線與x軸的另外一個交點為，時，，，，，即，故③錯誤，拋物線與x軸有兩個交點，方程有兩個不相等的實數(shù)根，，故④正確；故選：B．【題型5：二次函數(shù)綜合題】【典例5】如圖，在平面直角坐標系中，將拋物線先向右平移2個單位長度，再向下平移4個單位長度，得到拋物線，則拋物線的表達式為；拋物線的對稱軸與分別相交于點M，N，則的面積為．【答案】6【分析】本題考查了圖象的平移，二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)與三角形面積，根據(jù)圖象的平移“上加下減，左加右減”得拋物線的表達式，拋物線的對稱軸，點N的坐標為，在拋物線中，令，則，可得，即可得；掌握圖象的平移，二次函數(shù)的性質(zhì)，三角形面積公式是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：根據(jù)題意得，拋物線的表達式為：，∴拋物線的對稱軸，點N的坐標為，在拋物線中，令，則，∴，∴的高為2，底為，∴的面積為：，故答案為：，6．1．如圖，拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點，將拋物線向右平移個單位，點平移到點，點平移到點，連接，，若，則．【答案】【分析】由平移得，平移距離，證明，根據(jù)，可得，進而即可求解．【詳解】如圖：令，解得：，則，令，解得：，則由平移得，平移距離，，，，，，在中，；在中，∴解得：∴即故答案為：．2．如圖，已知拋物線與x軸交于A，B兩點，頂點M的縱坐標為，現(xiàn)將拋物線向右平移3個單位長度得到拋物線，則陰影部分的面積是．【答案】6【分析】本題主要考查了二次函數(shù)圖象的平移，理解并掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．根據(jù)平移的性質(zhì)及拋物線的性質(zhì)得出陰影部分的面積即可．【詳解】解：∵拋物線的頂點的縱坐標為，∴陰影部分的高為2，又∵拋物線向右平移了3個單位，∴陰影部分的面積．故答案為：6．3．如圖，將一個含的直角三角板放在平面直角坐標系的第一象限，使直角頂點的坐標為，點在軸上，過點，作拋物線，且點為拋物線的頂點.要使這條拋物線經(jīng)過點，那么拋物線要沿對稱軸向下平移個單位．【答案】【分析】本題考查的是等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，求解平移后的拋物線解析式是解題的關(guān)鍵．如圖，過作軸于，由拋物線的頂點為，求出拋物線的解析式，再利用等腰直角三角形的性質(zhì)證明，從而得到的坐標，再寫出向下平移個單位后的拋物線的解析式，代入的坐標即可得到答案．【詳解】解：如圖，過作軸于，拋物線的頂點為，對稱軸為：，，，解得：，拋物線為：，點，，，，，，，，，，設(shè)拋物線向下平移個單位后過點，過點，，解得：，故答案為：．3．如圖，將一個含的直角三角板放在平面直角坐標系的第一象限，使直角頂點的坐標為，點在軸上，過點，作拋物線，且點為拋物線的頂點.要使這條拋物線經(jīng)過點，那么拋物線要沿對稱軸向下平移個單位．1．將拋物線向上平移4個單位長度，再向左平移3個單位長度，得到的拋物線為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本題考查的是二次函數(shù)的圖象與幾何變換，解題的關(guān)鍵是要求熟練掌握平移的規(guī)律：左加右減，上加下減．【詳解】解：拋物線向上平移4個單位長度，再向左平移3個單位長度，得到的拋物線為，故選C．2．將拋物線向右平移1個單位，再向上平移2個單位，所得拋物線的解析式為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了二次函數(shù)圖象的平移，熟知“左加右減，上加下減”的平移規(guī)律是解題的關(guān)鍵．【詳解】解；將拋物線向右平移1個單位，再向上平移2個單位，所得拋物線的解析式為，即，故選：C．3．將拋物線向上平移2個單位長度，再向右平移1個單位長度，能得到的拋物線解析式是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象的平移，熟練掌握平移規(guī)律是解答本題的關(guān)鍵．按“左加右減括號內(nèi)，上加下減括號外”的規(guī)律平移即可得出所求函數(shù)的解析式．【詳解】解：拋物線向上平移2個單位長度，再向右平移1個單位長度，得．故選：A．4．若是y關(guān)于x的二次函數(shù)，則．【答案】2【分析】該題主要考查了二次函數(shù)的定義；牢固掌握定義是解題的關(guān)鍵．根據(jù)（a是不為0的常數(shù)）是二次函數(shù)，可得答案．【詳解】解：∵是y關(guān)于x的二次函數(shù)，∴且，解得：．故答案為：2．5．如果函數(shù)（是常數(shù)）是二次函數(shù)，那么的取值范圍是．【答案】【分析】根據(jù)：“形如，這樣的函數(shù)叫做二次函數(shù)”，得到，即可．【詳解】解：由題意，得：，∴；故答案為：．6．某件商品原價為100元，經(jīng)過兩次漲價后的價格為元，如果每次漲價的百分率都是，那么關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式為．【答案】【分析】本題考查了根據(jù)實際問題列函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)現(xiàn)在的價格等于原價乘以（1+漲價的百分率）的平方，即可得解．【詳解】由題意得：，故答案為：．7．相框邊的寬窄影響可放入相片的大?。鐖D，相框長，寬，相框邊的寬為，相框內(nèi)的面積是，則y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為．【答案】【分析】本題主要考查二次函數(shù)的實際應用，根據(jù)題意列出函數(shù)整理并求出的取值范圍即可．【詳解】解：根據(jù)題意，得展開得：整理得：根據(jù)題意，得解得：．∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為，故答案為：8．用長為的繩子圍成一個長方形，設(shè)長方形的面積為y，一邊長為，用含有x的代數(shù)式表示y為，自變量x的取值范圍是．【答案】【分析】先求出另一邊長，再根據(jù)長方形的面積公式即可得出y與x的關(guān)系式．【詳解】解：①由題意可知，這個長方形的周長為又因為一邊長為，所以另一邊長為又∵長方形面積長寬，，所以．②∵，∴∴自變量x的取值范圍是．故答案為：①；②．【點睛】本題主要考查了列函數(shù)關(guān)系式，準確分析列式是解題的關(guān)鍵．一、單選題1．如圖，用一段長為米的籬笆圍成一個一邊靠墻（墻長不限）的矩形花園，設(shè)該矩形花園的一邊長為，另一邊的長為，矩形的面積為．當在一定范圍內(nèi)變化時，與，與滿足的函數(shù)關(guān)系分別是（）A．一次函數(shù)關(guān)系，二次函數(shù)關(guān)系 B．正例函數(shù)關(guān)系，二次函數(shù)關(guān)系C．二次函數(shù)關(guān)系，正例函數(shù)關(guān)系 D．二次函數(shù)關(guān)系，一次函數(shù)關(guān)系【答案】A【分析】分別列出與的關(guān)系式，與的關(guān)系式判斷即可；【詳解】解：由題意可得：，∴與成一次函數(shù)關(guān)系；與成二次函數(shù)關(guān)系；故選：A．【點睛】本題考查了一次函數(shù)與二次函數(shù)的表達形式；熟練根據(jù)題意列出相對應的函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．2．二次函數(shù)的圖象如圖所示，對稱軸為，則下列結(jié)論：①，②，③，④，⑤（其中m為任意實數(shù)）．中正確的個數(shù)是（

）

A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】B【分析】本題主要考查圖象與二次函數(shù)系數(shù)之間的關(guān)系，會利用對稱軸的范圍求與b的關(guān)系，以及二次函數(shù)與方程之間的轉(zhuǎn)換的熟練運用．根據(jù)拋物線開口方向，對稱軸以及與y軸的交點即可判斷①；根據(jù)時，即可判斷②；根據(jù)函數(shù)對稱，與時，的值相等，即，即可判斷③；由，即可判斷④；根據(jù)時，函數(shù)的值最大，即可判斷⑤．【詳解】解：∵開口向下，，∵拋物線和y軸的正半軸相交，，∵對稱軸為，，，故①正確；當時，，則，，故②正確；函數(shù)的對稱軸為，所以與時，的值相等，即，，故③正確；∵，，故④錯誤；∵當時，二次函數(shù)有最大值，當m為任意實數(shù)時，有，，故⑤錯誤；正確的有3個，故選：B．3．關(guān)于二次函數(shù)的圖象的對稱軸為軸，則函數(shù)的最小值為（

）A．2 B．3 C．5 D．－1【答案】D【分析】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)．由二次函數(shù)的圖象的對稱軸為軸求出值，進而求出函數(shù)最小值即可．【詳解】解：的對稱軸是y軸，，，二次函數(shù)解析式為，當時，．故選：D．4．如圖，直線與拋物線交于A、B兩點，點P是y軸上的一個動點，當?shù)闹荛L最小時，的面積是（）．A．3 B． C． D．2【答案】C【分析】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)、一次函數(shù)的性質(zhì)、三角函數(shù)、軸對稱-最短路徑等知識點，根據(jù)軸對稱可以確定得使得的周長最小時點P的坐標，然后求出點P到直線的距離和的長度，即可求得的面積即可解答．明確題意、靈活利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：聯(lián)立解析式得：，解得：或，∴點A的坐標為，點B的坐標為，∴，如圖：作點A關(guān)于y軸的對稱點，連接與y軸的交于P，則此時的周長最小，點的坐標為，點B的坐標為，設(shè)直線的函數(shù)解析式為,，解得：，∴直線的函數(shù)解析式為，當時，，即點P的坐標為，將代入直線中，得，∵直線與y軸的夾角是，∴點P到直線的距離是：，∴的面積是：．故選C．5．如圖，拋物線與軸交于、兩點，與軸交于點，在第三象限的拋物線上有一動點，連接、，點在運動過程中，若面積最大時，則點的坐標（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】此題考查了拋物線中三角形的面積，二次函數(shù)最值，過點作軸于點，設(shè)點，則面積，利用最值即可求解，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】如圖，過點作軸于點，設(shè)點，∴的面積，，，，，∵長度不變，∴當時，的面積最大，此時，故選：．6．將拋物線向左平移3個單位，再向上平移2個單位，得到的拋物線是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，利用平移規(guī)律：左加右減，上加下減是解題關(guān)鍵．按照“左加右減，上加下減”的規(guī)律即可求得．【詳解】解：將拋物線向左平移3個單位，再向上平移2個單位，得到的拋物線是，即．故選：D7．如圖①，某建筑物的屋頂設(shè)計成橫截面為拋物線形(曲線)的薄殼屋頂．已知它的拱寬為4米，拱高為0.8米．為了畫出符合要求的模板，通常要先建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼登蠼馕鍪剑畧D②是以所在的直線為x軸，所在的直線為y軸建立的平面直角坐標系，則圖②中的拋物線的解析式為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)圖形，設(shè)解析式為，根據(jù)，，構(gòu)建方程組求解即得．本題主要考查了二次函數(shù)的實際應用．熟練掌握待定系數(shù)法確定二次函數(shù)解析式，結(jié)合拋物線在坐標系的位置，將二次函數(shù)解析式設(shè)為適當?shù)男问?，是解題的關(guān)鍵．【詳解】∵拋物線關(guān)于y軸對稱，∴設(shè)解析式為，由題知，，得，解得，∴．故選：A．二、填空題8．如圖，在直線上方的雙曲線上有一個動點，過點作軸的垂線，交直線于點，連接，，則面積的最大值是．【答案】3【分析】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，將三角形面積用代數(shù)式形式表達出來是解本題的關(guān)鍵．設(shè)，則，將三角形面積用代數(shù)式形式表達出來，再根據(jù)二次函數(shù)最值解得出來即可．【詳解】解：設(shè)，則，線段，，，二次函數(shù)開口向下，有最大值，當時，有最大值，最大值是3．故答案為：3．9．如圖，矩形的頂點在拋物線上，將矩形繞點O順時針旋轉(zhuǎn)，得到四邊形，邊與拋物線交于點P，則點P的坐標為．【答案】/【分析】本題主要考查了二次函數(shù)與幾何綜合，矩形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，先根據(jù)矩形的性質(zhì)得到，再利用待定系數(shù)法求出拋物線解析式為，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，，進而推出點P的縱坐標為1，再求出當時x的值即可得到答案．【詳解】解：∵矩形的頂點的坐標為，∴，∵拋物線經(jīng)過，∴，∴拋物線解析式為，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，∴點F在y軸上，∴軸，∴點P的縱坐標為1，在中，當時，或（舍去），∴，故答案為：．10．已知過點的拋物線與兩坐標軸交于點A，C，如圖所示，連接，第一象限內(nèi)有一動點M在拋物線上運動，過點M作交y軸于點P．當點P在點A上方，且與相似時，點M的坐標為．【答案】或【分析】由兩點坐標公式可求，由勾股定理可證，分兩種情況討論，由相似三角形的判定和銳角三角函數(shù)可求解．【詳解】解：如圖，過點M作于E，

∵拋物線過點，∴，∴，∴點，拋物線解析式為，當時，則，∴，∴點，∵點，點，點，∴，∵，∴，設(shè)點，∴，當時，，∴，∴，∴，∴點，當時，∴，∴，∴，∴點，綜上所述：點M坐標為或．故答案為：或．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合應用，相似三角形的判定，銳角三角函數(shù)，勾股定理的逆定理等知識，利用分類討論思想解決問題是解題的關(guān)鍵．11．如圖所示，拋物線與軸正半軸交于點．以為邊在軸上方作正方形，延長交拋物線于點，再以為邊向上作正方形，則點的坐標是．【答案】【分析】本題主要考查了二次函數(shù)與正方形的綜合應用，解題關(guān)鍵是運用數(shù)形結(jié)合的思想分析問題．先將點代入求出拋物線解析式，由正方形的性質(zhì)可知點的縱坐標是3，即可求出點的橫坐標，結(jié)合正方形的性質(zhì)可得答案．【詳解】解：將點代入拋物線，可得，解得，∴拋物線的解析式為，∵四邊形是正方形，∴，∴點的縱坐標是3，當時，可有，解得或（不合題意，舍去），∴點的橫坐標是，∵四邊形是正方形，∴，∴點的坐標是．故答案為：．12．如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點，把拋物線在x軸及其上方的部分記作，將向左平移得到，與x軸交于B，D兩點，若直線與，共有3個不同的交點，則m的取值范圍是．【答案】【分析】首先求出點A和點B的坐標，然后求出解析式，分別求出直線與拋物線相切時m的值以及直線過點B時m的值，結(jié)合圖形即可得到答案．【詳解】解：把代入得，解得或，則點，，拋物線：，，由于拋物線向左平移2個長度單位得拋物線，則拋物線解析式為，，令，即，解得或，則點，如圖，當與拋物線：相切時，令，即，根據(jù)相切可知方程有兩個相等的解，即，解得，當過點時，即：，解得：，結(jié)合圖象可知：直線與，共有3個不同的交點時，．故答案為：．【點睛】本題主要考查拋物線與x軸交點以及二次函數(shù)圖象與幾何交換的知識，解答本題的關(guān)鍵是正確畫出圖形，利用數(shù)形結(jié)合進行解題，此題有一定的難度．三、解答題13．已知拋物線的頂點坐標為，與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，其中B點坐標為．(1)求這條拋物線的函數(shù)解析式；(2)若拋物線的對稱軸交x軸于點D，則在線段上是否存在這樣的點Q使得為等腰三角形？若存在，請求出符合條件的點Q的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)存在，點，，【分析】（1）根據(jù)頂點坐標把拋物線設(shè)為頂點式形式，然后把點B的坐標代入解析式求出a的值，即可得解；（2）先根據(jù)頂點坐標求出點D的坐標，再根據(jù)拋物線解析式求出點A、C的坐標，從而得到的長度，根據(jù)勾股定理列式求出的長度，然后根據(jù)銳角三角函數(shù)求出的正弦值與余弦值，再分三種情況求解：①時，②時，③時．【詳解】（1）∵拋物線頂點坐標為，∴設(shè)拋物線解析式為，∵拋物線過點，∴，解得，所以，拋物線解析式為，即；（2）存在點，，．理由如下：∵拋物線頂點坐標為，∴點D的坐標為，令，則，令，則，整理得，，解得，，∴點，，∴，，，在中，根據(jù)勾股定理，，∴，，①時，過作軸于點，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)，，，，所以，，所以，點的坐標為；②時，過作軸于點，，，所以，，所以，點的坐標為；③時，過作軸于點，則，所以，，∵軸，，∴，∴，即，解得，所以，點的坐標為，綜上所述，在線段上存在點，，，使得為等腰三角形．【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，拋物線與坐標軸的交點，勾股定理，銳角三角函數(shù)，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，綜合性較強，數(shù)形結(jié)合是解答本題的關(guān)鍵．14．已知拋物線的圖像經(jīng)過點，點，且與y軸交于點C．(1)求出點B的坐標；(2)若點P為x軸上方的拋物線上任意一點．①如圖1，若點Q為線段上一點，連接，交x軸于點M，連接，當時，求點M的坐標；②如圖2，連接，若滿足，求此時點P的坐標．【答案】(1)(2)①；②【分析】本題主要考查了拋物線與x軸的交點問題、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識點，掌握數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵．（1）當時，可得，然后解方程即可；（2）①由可得、；再證，再運用相似三角形的性質(zhì)列比例式求得，進而求得的值，然后根據(jù)題意確定M的坐標即可；②如圖：過點P作軸，設(shè)，先證可得；設(shè)，則，運用勾股定理可求得，即；再代入求得m的值，進而確定點P的坐標．【詳解】（1）解：由，當時，即，解得：，∴．（2）解：①∵，∴,則,∴，∵∴，∵，∴，∴，即：，∴，∵M在x軸負半軸，∴；②如圖：過點P作軸，設(shè)，在線段上取點D，使得，則，∵，且，∴，∴，設(shè)，則，在中，由勾股定理得，a2+12＝（3﹣a）2，解得，即，∴，解得或（舍去），當時，，∴．一、單選題1．（2023·廣東·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線經(jīng)過正方形的三個頂點A，B，C，點B在軸上，則的值為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】連接，交y軸于點D，根據(jù)正方形的性質(zhì)可知，然后可得點，進而代入求解即可．【詳解】解：連接，交y軸于點D，如圖所示：

當時，則，即，∵四邊形是正方形，∴，，∴點，∴，解得：，故選B．【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)及正方形的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)及正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2023·四川樂山·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線經(jīng)過點，且，有下列結(jié)論：①；②；③；④若點在拋物線上，則．其中，正確的結(jié)論有（

）

A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【答案】B【分析】拋物線經(jīng)過點，且，，可以得到，，從而可以得到b的正負情況，從而可以判斷①；繼而可得出，則，即可判斷②；由圖象可知，當時，，即，所以有，從而可得出，即可判斷③；利用，再根據(jù)，所以，從而可得，即可判斷④．【詳解】解：∵拋物線的圖象開口向上，∴，∵拋物線經(jīng)過點，且，∴，∴，故①正確；∵，，∴∴，故②正確；由圖象可知，當時，，即，∴∵，，∴，故③正確；∵，又∵，∴，∵拋物線的圖象開口向上，∴，故④錯誤．∴正確的有①②③共3個，故選：B．【點睛】本題考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握根據(jù)二次函數(shù)圖象性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2023·四川涼山·統(tǒng)考中考真題）已知拋物線的部分圖象如圖所示，則下列結(jié)論中正確的是（

）

A． B． C． D．（為實數(shù)）【答案】C【分析】根據(jù)開口方向，與y軸交于負半軸和對稱軸為直線可得，，由此即可判斷A；根據(jù)對稱性可得當時，，當時，，由此即可判斷B、C；根據(jù)拋物線開口向上，對稱軸為直線，可得拋物線的最小值為，由此即可判斷D．【詳解】解：∵拋物線開口向上，與y軸交于負半軸，∴，∵拋物線對稱軸為直線，∴，∴，∴，故A中結(jié)論錯誤，不符合題意；∵當時，，拋物線對稱軸為直線，∴當時，，∴，故B中結(jié)論錯誤，不符合題意；∵當時，，拋物線對稱軸為直線，∴當時，，∴，又∵，∴，故C中結(jié)論正確，符合題意；∵拋物線對稱軸為直線，且拋物線開口向上，∴拋物線的最小值為，∴，∴，故D中結(jié)論錯誤，不符合題意；故選C．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)圖象的性質(zhì)等等，熟練掌握二次函數(shù)的相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．4．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考中考真題）拋物線經(jīng)過點、，且與y軸交于點，則當時，y的值為（

）A． B． C． D．5【答案】A【分析】解法一：先利用待定系數(shù)法求出拋物線解析式，再求函數(shù)值即可．解法二：利用二次函數(shù)圖象的對稱性可知：和對應的函數(shù)值相等，從而得解．【詳解】解