函數(shù)的零點與方程的解7種常見考法歸類（原卷版）

4.5.1函數(shù)的零點與方程的解7種常見考法歸類1、函數(shù)的零點（1）概念：對于一般函數(shù)y＝f(x)，我們把使f(x)＝0的實數(shù)x叫做函數(shù)y＝f(x)的零點．（2）函數(shù)的零點、函數(shù)的圖象與x軸的交點、對應(yīng)方程的根的關(guān)系：注：函數(shù)的零點不是函數(shù)與x軸的交點，函數(shù)的零點不是一個點，而是一個數(shù)，該數(shù)是函數(shù)圖象與x軸交點的橫坐標．2、函數(shù)零點存在定理如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且有f(a)f(b)<0，那么，函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)至少有一個零點，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，這個c也就是方程f(x)＝0的解．注：（1）函數(shù)零點存在定理的條件有哪些？定理要求具備兩條：①函數(shù)在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線；②f(a)·f(b)<0.（2）在函數(shù)零點存在定理中，若f(a)·f(b)<0，則函數(shù)f(x)在(a，b)內(nèi)存在零點．則滿足f(x)在(a，b)內(nèi)連續(xù)且單調(diào)，且f(a)·f(b)<0.3、求函數(shù)y＝f(x)的零點的方法(1)代數(shù)法：根據(jù)零點的定義，解方程f(x)＝0，它的實數(shù)根就是函數(shù)y＝f(x)的零點．(2)幾何法或性質(zhì)法：若方程f(x)＝0的解不易求出，可以根據(jù)函數(shù)y＝f(x)的性質(zhì)及圖象求出零點．例如，已知f(x)是定義在R上的減函數(shù)，且f(x)為奇函數(shù)，求f(x)的零點：因為f(x)是奇函數(shù)，那么由奇函數(shù)的性質(zhì)可知f(0)＝0，因為f(x)是定義在R上的減函數(shù)，所以不存在其他的x使f(x)＝0，從而y＝f(x)的零點是0.4、判斷函數(shù)零點個數(shù)的六種常用方法(1)分解因式法：可轉(zhuǎn)化為一元n次方程根的個數(shù)問題，一般采用分解因式法來解決．(2)判別式法：可轉(zhuǎn)化為一元二次方程根的問題，通常用判別式法來判斷根的個數(shù)．(3)利用方程根，轉(zhuǎn)化為解方程，有幾個不同的實數(shù)根就有幾個零點．(4)畫出函數(shù)y＝f(x)的圖象，判定它與x軸的交點個數(shù)，從而判定零點的個數(shù)．(5)結(jié)合單調(diào)性，利用函數(shù)零點存在定理，可判定y＝f(x)在(a，b)上零點的個數(shù)．(6)轉(zhuǎn)化成兩個函數(shù)圖象的交點個數(shù)問題．5、確定函數(shù)f(x)零點所在區(qū)間的常用方法(1)解方程法：當(dāng)對應(yīng)方程f(x)＝0易解時，可先解方程，再看求得的根是否落在給定區(qū)間上．(2)利用函數(shù)零點存在定理：首先看函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是否連續(xù)，再看是否有f(a)·f(bf(a)·f(b)<0，則函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)必有零點．(3)數(shù)形結(jié)合法：通過畫函數(shù)圖象，觀察圖象與x軸在給定區(qū)間上是否有交點來判斷．6、根據(jù)函數(shù)零點個數(shù)求參數(shù)值(范圍)的方法已知函數(shù)有零點(方程有根)求參數(shù)取值范圍的方法：(1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，通過解不等式確定參數(shù)的取值范圍．(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，然后轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決．(3)數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，在同一直角坐標系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解．考點一求函數(shù)的零點考點二零點的個數(shù)問題考點三判斷零點所在的區(qū)間考點四根據(jù)函數(shù)零點所在的區(qū)間求參數(shù)范圍考點五已知零點個數(shù)求參數(shù)范圍考點六比較零點大小考點七求零點的和考點一求函數(shù)的零點1．（2023秋·安徽·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）函數(shù)的零點是（

）A． B．C． D．2．（2023秋·陜西西安·高一交大附中校考階段練習(xí)）已知二次函數(shù)圖象如圖所示，那么二次函數(shù)的零點是．3．（2023秋·內(nèi)蒙古通遼·高三校考階段練習(xí)）函數(shù)的零點為．4．（2023·全國·高一專題練習(xí)）判斷下列函數(shù)是否存在零點，如果存在，請求出．(1)；(2)；(3)；(4).5．（2023·全國·高一專題練習(xí)）判斷下列函數(shù)是否存在零點，如果存在，請求出零點.(1)；(2)；(3)；(4)6．（2023秋·江蘇南京·高一南京市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)是函數(shù)的兩個零點，則的值為（

）A．2 B． C． D．7．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若是奇函數(shù)，且是函數(shù)的一個零點，則一定是下列哪個函數(shù)的零點（）A． B．C． D．8．（2023·全國·高一專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)，則方程的解集為.9．（2023秋·甘肅白銀·高二?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)則函數(shù)的所有零點構(gòu)成的集合為．考點二零點的個數(shù)問題10．（2023·全國·高一專題練習(xí)）方程解的個數(shù)為.11．（2023秋·福建漳州·高三校考階段練習(xí)）函數(shù)的零點個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．412．（2023·全國·高一課堂例題）討論方程的解的個數(shù)與分布情況．13．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）設(shè)是定義在上的周期為5的奇函數(shù)，，則在內(nèi)的零點個數(shù)最少是（

）A．4 B．6 C．7 D．914．（2023秋·北京大興·高三北京市大興區(qū)第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）函數(shù)的零點個數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．315．（2023·全國·高一專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，則的零點個數(shù)為.16．（2023秋·貴州遵義·高三?？茧A段練習(xí)）已知是定義在上的偶函數(shù)，且在上的圖象如圖所示.(1)在答題卡中作出在上的圖象；(2)求函數(shù)的零點的個數(shù).17．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)，則函數(shù)的零點個數(shù)是（

）A．6 B．5 C．4 D．3考點三判斷零點所在的區(qū)間18．（2023秋·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）函數(shù)的零點所在區(qū)間是（

）A． B． C． D．19．（2023·全國·高一專題練習(xí)）的零點所在區(qū)間為（

）A． B． C． D．20．（2023·全國·高一專題練習(xí)）函數(shù)的零點所在的區(qū)間是（

）A． B． C． D．21．（2023秋·北京豐臺·高三北京市第十二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）函數(shù)的零點所在區(qū)間是（

）A． B． C． D．22．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)的零點為，則所在的區(qū)間是（）A． B．C． D．23．（2023·全國·高一專題練習(xí)）函數(shù)零點所在的區(qū)間是（）A． B．C． D．24．（2024秋·四川廣安·高三四川省廣安友誼中學(xué)?？茧A段練習(xí)）函數(shù)的一個零點在內(nèi)，另一個零點在（

）內(nèi).A． B． C． D．25．（2023·全國·高一專題練習(xí)）方程的根所在區(qū)間是（

）A． B． C． D．26．（2023·吉林長春·東北師大附中?？家荒＃┓匠痰母趨^(qū)間是（

）A． B． C． D．27．【多選】（2023秋·新疆·高一校聯(lián)考期末）已知函數(shù)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且有如下對應(yīng)值表：135724131則一定包含的零點的區(qū)間是（

）A． B． C． D．28．【多選】（2023·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)圖象是連續(xù)不斷的，且，，則下列命題不正確的是（

）A．函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點B．函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點C．函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點D．函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點考點四根據(jù)函數(shù)零點所在的區(qū)間求參數(shù)范圍29．（2023·全國·高一專題練習(xí)）函數(shù)的零點為，且，，則k的值為（

）A．1 B．2 C．0 D．330．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)的零點位于區(qū)間內(nèi)，則.31．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的一個零點在區(qū)間內(nèi)，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．32．（2023·全國·高一專題練習(xí)）函數(shù)的一個零點在區(qū)間內(nèi)，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．33．（2023·全國·高一專題練習(xí)）若函數(shù)存在1個零點位于內(nèi)，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．34．（2024·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)在區(qū)間上存在零點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．35．（2023秋·山東棗莊·高一棗莊市第三中學(xué)?？计谥校┖瘮?shù)在上存在零點，則的取值范圍是．36．（2023春·江蘇宿遷·高一統(tǒng)考期中）函數(shù)在上存在零點，則整數(shù)t的值為．37．（2024·全國·高三專題練習(xí)）方程在區(qū)間上有解，則實數(shù)a的取值范圍為．38．（2023·全國·高一專題練習(xí)）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)恰有一個零點，其中，則的值為．考點五已知零點個數(shù)求參數(shù)范圍39．（2023秋·江蘇南京·高一南京市第九中學(xué)校考階段練習(xí)）函數(shù)只有一個零點，則的取值集合為40．（2023秋·山東德州·高三?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，.若有且只有1個零點，則a的取值范圍是.41．（2023秋·江蘇鎮(zhèn)江·高一江蘇省鎮(zhèn)江第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）若二次函數(shù)在區(qū)間有且僅有一個零點，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．42．（2023秋·北京海淀·高三?？茧A段練習(xí)）函數(shù)有兩個不同的零點，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．43．（2023秋·河北石家莊·高三校考階段練習(xí)）已知函數(shù)，．若有2個零點，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．44．【多選】（2023·江蘇連云港·?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)，若關(guān)于的方程恰有兩個不同的實數(shù)解，則下列選項中可以作為實數(shù)取值范圍的有（

）A． B．C． D．45．（2023秋·北京·高三北京四中校考階段練習(xí)）已知函數(shù)．①若，則函數(shù)的值域為；②若函數(shù)有三個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍是．46．（2023秋·福建福州·高二?？茧A段練習(xí)）設(shè)，若方程有三個不同的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是.47．（2023秋·江蘇連云港·高三東?？h第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有個不同的實根，則實數(shù)的取值范圍是．考點六比較零點大小48．（2023秋·高一課時練習(xí)）已知：的零點，那么a，b，大小關(guān)系可能是（

）A． B．C． D．49．【多選】（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)，的零點分別為，，則（

）A． B． C． D．50．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知，，的零點分別是，，，則，，的大小順序是（

）A． B． C． D．51．（2023·全國·高一專題練習(xí)）函數(shù)，，的零點分別為a，b，c，則（

）A． B．C． D．52．（2024·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)，，，則、、的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．53．【多選】（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)的兩個零點分別為，且，則（

）A． B．C． D．考點七求零點的和54．（2023秋·四川涼山·高一統(tǒng)考期末）函數(shù)，則函數(shù)的所有零點之和為（

）A．0 B．3 C．10 D．1355．（2023秋·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知定義域為的函數(shù)滿足，且曲線與曲線有且只有兩個交點，則函數(shù)的零點之和是（

）A．2 B．－2 C．4 D．－456．（2023秋·遼寧沈陽·高三沈陽二十中?？奸_學(xué)考試）函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，則函數(shù)在上的所有零點之和為（

）A． B．32 C．16 D．857．【多選】（2023秋·廣西南寧·