6.3.1平面向量基本定理課件高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版

單/擊/此/處/添/加/副/標(biāo)/題/內(nèi)/容6.3.1平面向量基本定理平面向量的概念平面向量的運算向量的加法向量的減法向量的數(shù)乘向量共線定理回顧導(dǎo)思提出問題如果一個非零向量a與向量b共線，存在唯一的實數(shù)λ，使得b=λa.問題1：平面內(nèi)任一向量是否可以由同一平面內(nèi)的兩個不共線

向量表示呢？將平面內(nèi)任意兩個向量線性運算得到一個新的向量.

我們知道，已知兩個力，可以求出它們的合力；反過來，一個力可以分解為兩個力．我們可以根據(jù)解決實際問題的需要，通過作平行四邊形，將力F分解為多組大小、方向不同的合力.

類似地，我們能否通過作平行四邊形，將向量a分解為兩個向量，使向量a是這兩個向量的和呢？情境導(dǎo)思提出問題探究1

如圖，設(shè)e1，e2是同一平面內(nèi)兩個不共線的向量，a是這一平面內(nèi)與e1，e2都不共線的向量.將a按e1，e2的方向分解，你有什么發(fā)現(xiàn)？OMNBAC發(fā)現(xiàn):存在實數(shù)λ1和λ2使得向量a可以表示為：a=λ1e1+λ2e2.

新知定思建構(gòu)數(shù)學(xué)探究1

如圖，設(shè)e1，e2是同一平面內(nèi)兩個不共線的向量，a是這一平面內(nèi)與e1，e2都不共線的向量.將a按e1，e2的方向分解，你有什么發(fā)現(xiàn)？思考1給出另一個與e1，e2都不共線的a，還能這樣表示嗎？發(fā)現(xiàn):存在實數(shù)λ1和λ2使得向量a可以表示為：a=λ1e1+λ2e2新知定思建構(gòu)數(shù)學(xué)OMN思考1給出另一個與e1，e2都不共線的a，還能這樣表示嗎？BAC新知定思建構(gòu)數(shù)學(xué)探究1

如圖，設(shè)e1，e2是同一平面內(nèi)兩個不共線的向量，a是這一平面內(nèi)與e1，e2都不共線的向量.將a按e1，e2的方向分解，你有什么發(fā)現(xiàn)？思考1給出另一個與e1，e2都不共線的a，還能這樣表示嗎？思考2當(dāng)a是與e1或e2共線的非零向量時

，能這樣表示嗎？發(fā)現(xiàn):存在實數(shù)λ1和λ2使得向量a可以表示為：a=λ1e1+λ2e2新知定思建構(gòu)數(shù)學(xué)O取λ2=0取λ1=0（1）a與e1共線（2）a與e2共線思考2當(dāng)a是與e1或e2共線的非零向量時

，a能表示為嗎？O新知定思建構(gòu)數(shù)學(xué)探究1

如圖，設(shè)e1，e2是同一平面內(nèi)兩個不共線的向量，a是這一平面內(nèi)與e1，e2都不共線的向量.將a按e1，e2的方向分解，你有什么發(fā)現(xiàn)？思考1給出另一個與e1，e2都不共線的a，還能這樣表示嗎？思考2當(dāng)a是與e1或e2共線的非零向量時

，能這樣表示嗎？思考3當(dāng)a是零向量，也能這樣表示嗎？能，取λ1=λ2=0.即a=0e1+0e2結(jié)論1：平面上任意一個向量a都可以表示為：a=λ1e1+λ2e2發(fā)現(xiàn):存在實數(shù)λ1和λ2使得向量a可以表示為：a=λ1e1+λ2e2新知定思建構(gòu)數(shù)學(xué)探究2

如果給定的兩向量e1，e2共線，還能用來表示這平面內(nèi)

的任何一個向量嗎？

當(dāng)e1，e2共線，λ1e1+λ2e2一定也與e1，e2共線，

若向量a與它們不共線時，則無法表示.結(jié)論2：只有e1，e2不共線，才可以用來表示平面內(nèi)的任意向量.新知定思建構(gòu)數(shù)學(xué)探究3

現(xiàn)在我們知道，平面內(nèi)任何一個向量a，都可以用兩個不共線的向量e1，e2表示為a=λ1e1+λ2e2.這種表示方法中，這樣的實數(shù)λ1，λ2是唯一的嗎？如何證明？結(jié)論3：有且只有一對實數(shù)λ1，λ2，使a=λ1e1+λ2e2成立.若還存在實數(shù)μ1、μ2使得a=μ1e1+μ2e2，則λ1e1+λ2e2=μ1e1+μ2e2,得（λ1－μ1）e1+（λ2－μ2）e2=0．則λ1－μ1，λ2－μ2全為0，即λ1=μ1，λ2=μ2．假設(shè)λ1－μ1，λ2－μ2不全為0，不妨假設(shè)λ1－μ1≠0，則

由此可得e1，e2共線，與已知e1，e2不共線矛盾．新知定思建構(gòu)數(shù)學(xué)反證法問題2你能把上述探究發(fā)現(xiàn)的結(jié)果，用數(shù)學(xué)語言描述出來嗎？結(jié)論1：平面上任意一個向量a都可以表示為：a=λ1e1+λ2e2.結(jié)論2：只有e1，e2不共線，才可以用來表示平面內(nèi)的任意向量.結(jié)論3：有且只有一對實數(shù)λ1，λ2，使a=λ1e1+λ2e2成立.新知定思建構(gòu)數(shù)學(xué)任意性、確定性平面向量基本定理

如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對實數(shù)λ1，λ2，使a=λ1e1+λ2e2．若e1，e2不共線，我們把{e1，e2}叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個基底.新知定思建構(gòu)數(shù)學(xué)思考1零向量可以作為基底嗎？零向量與任意向量共線，因此零向量不能作為基底.思考2一個平面內(nèi)可以做基底的向量有多少對？無數(shù)多對，只要是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量都可以作為基底.若e1，e2不共線，我們把{e1，e2}叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個基底.思考3若基底選取不同，則表示同一向量的實數(shù)λ1，λ2是否相同？可能不同，也可能相同，對于確定的基底λ1，λ2一定是唯一確定的.新知定思建構(gòu)數(shù)學(xué)平面向量基本定理

如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對實數(shù)λ1，λ2，使a=λ1e1+λ2e2．問題3這個定理與向量共線定理有什么聯(lián)系？新知定思建構(gòu)數(shù)學(xué)向量共線定理平面向量基本定理一維二維a=λ1e1+λ2e2b=λa例1如圖，不共線，且，用表示.解:因為，所以觀察，你有什么發(fā)現(xiàn)？結(jié)論：若A，B，P三點共線，O為直線外一點，則且x+y=1

.反之，成立嗎？典例深思運用數(shù)學(xué)例2如圖，CD是△ABC的中線，且CD＝

AB，用向量方法證明△ABC是直角三角形．CADB證明:如圖，設(shè)因為，所以CD＝DA．所以.

因此CA⊥CB．則因為于是△ABC是直角三角形．方法提煉：向量的數(shù)量積是否為零，是判斷相應(yīng)的兩條線段

（或直線）是否垂直的重要方法之一.典例深思運用數(shù)學(xué)向量共線定理平面向量基本定理平面向量的概念平面向量的運算向量的加法向量的減法向量的數(shù)乘歸納反思理解數(shù)學(xué)一維二維？轉(zhuǎn)化化歸類比課后延思提升能力（一）平面內(nèi)的任一向量都可以用一組不共線的向量做基底來線性表示，通過化未知