易錯(cuò)模型03 最值模型（八大易錯(cuò)分析、變式訓(xùn)練、易錯(cuò)題通關(guān)）（原卷版）

③當(dāng)一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)以某個(gè)字母的代數(shù)式表示時(shí)，若可化為一次函數(shù)，則點(diǎn)的軌跡為直線；④觀察動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到特殊位置時(shí)，如中點(diǎn)，端點(diǎn)等特殊位置考慮；⑤若動(dòng)點(diǎn)軌跡用上述方法不都合適，則可以將所求線段轉(zhuǎn)化（常用中位線、矩形對(duì)角線、全等、相似）為其他已知軌跡的線段求最值。例1．（2022·湖南湘西·統(tǒng)考中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，M為BC的中點(diǎn)，H為AB上一點(diǎn)，過點(diǎn)C作CG∥AB，交HM的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，若AC＝8，AB＝6，則四邊形ACGH周長(zhǎng)的最小值是（）

A．24 B．22 C．20 D．18例2．（2023·黑龍江綏化·統(tǒng)考中考真題）如圖，是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，點(diǎn)為高上的動(dòng)點(diǎn)．連接，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到．連接，，，則周長(zhǎng)的最小值是．

練習(xí)1．（2021·四川廣元·中考真題）如圖，在中，，，點(diǎn)D是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P是邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，以為邊在的下方作等邊三角形，連接．則的最小值是（

）A． B．1 C． D．練習(xí)2．（2023上·福建廈門·九年級(jí)校考期中）如圖，長(zhǎng)方形中，，，E為上一點(diǎn)．且，F(xiàn)為邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．連接，將繞著點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到的位置，其中點(diǎn)B、點(diǎn)F的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)H、點(diǎn)G，連接和，則的最小值為（

）．

A． B．3 C． D．練習(xí)3.（2023上·江蘇揚(yáng)州·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)是正方形對(duì)角線所在直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，以為斜邊作等腰（點(diǎn)，，按逆時(shí)針排序），則長(zhǎng)的最小值為（）

A． B． C．4 D．1．（2023上·山西臨汾·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在中，，，點(diǎn)，分別是，邊上的動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)，，分別是，的中點(diǎn)，則的最小值為（

）

A．12 B．10 C．9.6 D．4.82．（2023上·廣東廣州·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，正方形的邊長(zhǎng)為4，，點(diǎn)E是直線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，線段繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，則線段長(zhǎng)度的最小值等于（）

A． B． C． D．3．（2022·河南南陽(yáng)·二模）如圖所示，，，于點(diǎn)B，點(diǎn)D是線段BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且于點(diǎn)D，，連接CE，則CE長(zhǎng)的最小值是______．易錯(cuò)模型七：瓜豆模型（圓）【模型解讀】模型1、運(yùn)動(dòng)軌跡為圓弧模型1-1.如圖，P是圓O上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，A為定點(diǎn)，連接AP，Q為AP中點(diǎn)．Q點(diǎn)軌跡是？如圖，連接AO，取AO中點(diǎn)M，任意時(shí)刻，均有△AMQ∽△AOP，QM:PO=AQ:AP=1:2．則動(dòng)點(diǎn)Q是以M為圓心，MQ為半徑的圓。模型1-2.如圖，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=kAQ，當(dāng)P在圓O運(yùn)動(dòng)時(shí)，Q點(diǎn)軌跡是？如圖，連結(jié)AO，作AM⊥AO，AO:AM=k:1；任意時(shí)刻均有△APO∽△AQM，且相似比為k。則動(dòng)點(diǎn)Q是以M為圓心，MQ為半徑的圓。模型1-3.定義型：若動(dòng)點(diǎn)到平面內(nèi)某定點(diǎn)的距離始終為定值，則其軌跡是圓或圓弧。（常見于動(dòng)態(tài)翻折中）如圖，若P為動(dòng)點(diǎn)，但AB=AC=AP，則B、C、P三點(diǎn)共圓，則動(dòng)點(diǎn)P是以A圓心，AB半徑的圓或圓弧。模型1-4.定邊對(duì)定角（或直角）模型1）一條定邊所對(duì)的角始終為直角，則直角頂點(diǎn)軌跡是以定邊為直徑的圓或圓?。鐖D，若P為動(dòng)點(diǎn)，AB為定值，∠APB=90°，則動(dòng)點(diǎn)P是以AB為直徑的圓或圓弧。2）一條定邊所對(duì)的角始終為定角，則定角頂點(diǎn)軌跡是圓?。鐖D，若P為動(dòng)點(diǎn)，AB為定值，∠APB為定值，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為圓弧。【模型原理】動(dòng)點(diǎn)的軌跡為定圓時(shí)，可利用：“一定點(diǎn)與圓上的動(dòng)點(diǎn)距離最大值為定點(diǎn)到圓心的距離與半徑之和，最小值為定點(diǎn)到圓心的距離與半徑之差”的性質(zhì)求解。例1．（2023·四川廣元·統(tǒng)考一模）如圖，線段為的直徑，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，，，點(diǎn)是上一動(dòng)點(diǎn)，連接，以為斜邊在的上方作Rt，且使，連接，則長(zhǎng)的最大值為．例2．（2023·四川宜賓·統(tǒng)考中考真題）如圖，是正方形邊的中點(diǎn)，是正方形內(nèi)一點(diǎn)，連接，線段以為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接．若，，則的最小值為．

練習(xí)1．（2023上·江蘇連云港·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知矩形為矩形內(nèi)一點(diǎn)，且，若點(diǎn)繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)，則的最小值為．

練習(xí)2．（2023下·陜西西安·九年級(jí)校考階段練習(xí)）問題提出：（1）如圖①，在中，，，，則的長(zhǎng)為__________；問題探究：（2）如圖②，已知矩形，，，點(diǎn)P是矩形內(nèi)一點(diǎn)，且滿足，連接，求線段的最小值；問題解決：（3）如圖③所示，我市城市綠化工程計(jì)劃打造一片四邊形綠地，其中，，，點(diǎn)E為邊上一點(diǎn)，且，，為了美化環(huán)境，要求四邊形的面積盡可能大，求綠化區(qū)域面積的最大值．1．（2022秋·江蘇揚(yáng)州·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，A是上任意一點(diǎn)，點(diǎn)C在外，已知是等邊三角形，則的面積的最大值為（）A． B．4 C． D．62．（2023·山東濟(jì)南·一模）正方形ABCD中，AB=4，點(diǎn)E、F分別是CD、BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，且始終滿足DE=CF，DF、AE相交于點(diǎn)G.以AG為斜邊在AG下方作等腰直角△AHG使得∠AHG=90°，連接BH．則BH的最小值為（

）A． B． C． D．3．（2023·陜西渭南·三模）如圖，在矩形ABCD中，，，點(diǎn)E在BC上，且，點(diǎn)M為矩形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，使得，連接AM，則線段AM的最小值為______．4．（2023·福建泉州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)是正方形的內(nèi)部一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（含邊界），且，點(diǎn)在上，，則以下結(jié)論：①的最小值為；②的最小值為；③；④的最小值為；正確的是．

易錯(cuò)模型八：隱圓模型模型1、動(dòng)點(diǎn)定長(zhǎng)模型（圓的定義）若P為動(dòng)點(diǎn)，且AB=AC=AP，則B、C、P三點(diǎn)共圓，A圓心，AB半徑圓的定義：平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定值的所有點(diǎn)構(gòu)成的集合．尋找隱圓技巧：若動(dòng)點(diǎn)到平面內(nèi)某定點(diǎn)的距離始終為定值，則其軌跡是圓或圓?。Ｐ?、定邊對(duì)直角模型（直角對(duì)直徑）固定線段AB所對(duì)動(dòng)角∠C恒為90°，則A、B、C三點(diǎn)共圓，AB為直徑尋找隱圓技巧：一條定邊所對(duì)的角始終為直角，則直角頂點(diǎn)軌跡是以定邊為直徑的圓或圓弧．模型3、定邊對(duì)定角模型（定弦定角模型）固定線段AB所對(duì)同側(cè)動(dòng)角∠P=∠C，則A、B、C、P四點(diǎn)共圓根據(jù)圓周角定理：同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角都相．尋找隱圓技巧：AB為定值，∠P為定角，則P點(diǎn)軌跡是一個(gè)圓．模型4、四點(diǎn)共圓模型四點(diǎn)共圓模型我們?cè)谏弦粚ｎ}中已經(jīng)詳細(xì)講解了，本專題就不在贅述了。在此就針對(duì)幾類考查頻率高的模型作相應(yīng)練習(xí)即可。1）若平面上A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)滿足，則A、B、C、D四點(diǎn)共圓．條件：1）四邊形對(duì)角互補(bǔ)；2）四邊形外角等于內(nèi)對(duì)角．2）若平面上A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)滿足，則A、B、C、D四點(diǎn)共圓．條件：線段同側(cè)張角相等．例1．（2023·廣東清遠(yuǎn)·統(tǒng)考三模）如圖，在，，E為邊上的任意一點(diǎn)，把沿折疊，得到，連接．若，，則的最小值為．例2．（2022·北京市·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，四邊形中，、分別是，的中垂線，，，則___，___．練習(xí)1．（2023上·浙江杭州·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，點(diǎn)在線段上，，以為圓心，為半徑作，點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)，連接，以為一邊作等邊，連接，則長(zhǎng)度的最小值為（）

A． B． C． D．練習(xí)2．（2023上·浙江麗水·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，是半圓的直徑，點(diǎn)在半圓上，是弧上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)，過點(diǎn)點(diǎn)作于點(diǎn)，連結(jié)，在點(diǎn)移動(dòng)的過程中．（1）；（2）的最小值是．練習(xí)3．（2023上·江蘇連云港·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在等腰直角三角形中，，，點(diǎn)是邊上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)，以為直徑的圓交于點(diǎn)，則長(zhǎng)度的最小值是．

1．如圖，四邊形為矩形，，．點(diǎn)P是線段上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M為線段上一點(diǎn)．，則的最小值為（

）A． B． C． D．2．如圖，中，，，，P是內(nèi)部的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足，則線段CP長(zhǎng)的最小值為（

）A． B．2 C． D．3．如圖，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為為坐標(biāo)平面內(nèi)一