江西省宜春市宜豐縣宜豐中學2023-2024學年高二上學期開學考試數(shù)學試題【含答案】

2023-2024（上）江西省宜豐中學高二開學考數(shù)學試卷一、單選題（每小題5分，共40分）1.下列函數(shù)中定義域為R的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】逐個求解函數(shù)的定義域判斷即可【詳解】對于A，由，得函數(shù)的定義域為，所以A錯誤，對于B，由，得，所以函數(shù)的定義域為，所以B錯誤，對于C，定義域為R，所以C正確，對于D，的定義域為，所以D錯誤，故選：C2.已知向量滿足，，則A.4 B.3 C.2 D.0【答案】B【解析】【詳解】分析：根據向量模的性質以及向量乘法得結果.詳解：因所以選B點睛：向量加減乘：3.直線的傾斜角及在y軸上的截距分別是（）A.，2 B.， C.， D.，2【答案】C【解析】【分析】將直線方程化成斜截式方程，即可求解.【詳解】直線化成斜截式，可知直線的斜率，故傾斜角為，直線在y軸上的截距為，故選：C4.已知直線：，：，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】當時，根據斜率的乘積等于可得；當時，根據求出，再根據必要不充分條件的概念可得答案.【詳解】當時，，，，所以；當時，可得，解得或，所以“”是“”的必要不充分條件．故選：B．5.已知，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】已知條件利用誘導公式化簡，由同角三角函數(shù)的關系求出，構造成正余弦的齊次式，代入求值即可.【詳解】由，可得，即，所以．故選：C．6.如圖，平行四邊形中，點E為BC的中點，點F在線段AE上，且，記，，則（）A. B.C D.【答案】D【解析】【分析】利用平面向量基本定理，結合平行四邊形的性質求解即可.【詳解】因為平行四邊形中，是的中點，，，所以.故選：D．7.八一廣場是南昌市的心臟地帶，八一南昌起義紀念塔是八一廣場的標志性建筑，塔座正面鐫刻“八一南昌起義簡介”碑文，東、西、南三門各有一副反映武裝起義的人物浮雕，塔身正面為“八一起義紀念塔”銅胎鎏金大字，塔頂由一支直立的巨型“漢陽造”步槍和一面八一軍旗組成．現(xiàn)某興趣小組準備在八一廣場上對八一南昌起義紀念塔的高度進行測量，并繪制出測量方案示意圖，A為紀念塔最頂端，B為紀念塔的基座（B在A的正下方），在廣場內（與B在同一水平面內）選取C、D兩點，測得的長為m．已知興趣小組利用測角儀可測得的角有，則根據下列各組中的測量數(shù)據，不能計算出紀念塔高度的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】依據解三角形的條件，逐項判斷可解三角形求出塔高度的選項即可.【詳解】對于A，由可以解，又，可求塔高度，故選項A能計算出紀念塔高度；對于B，在中，由，無法解三角形，在中，由，無法解三角形，在中，已知兩角無法解三角形，所以無法解出任意三角形，故選項B不能計算出紀念塔高度；對于C，由，，可以解，可求，又，即可求塔高度，故選項C能計算出紀念塔高度；對于D，如圖，過點作于點，連接，由題意知，平面，平面，所以，因為，平面，所以平面，

平面，所以，則，由，知,，故可知的大小，由，，可解，可求，又，可求塔高度，故選項D能計算出紀念塔高度；故選：B.8.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且對任意的，都有，且，則不等式的解集為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據題意得到在單調遞減，結合奇函數(shù)性質得到在單調遞減，，結合奇函數(shù)性質將不等式轉化為，再結合已知條件列出不等式組求解即可.【詳解】因為對任意的，都有，此時，則，所以在單調遞減，因為函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，所以在單調遞減，，所以當和時，；當和時，.由，即，所以或或或，所以或或或無解，所以原不等式解集為故選：D二、多選題（每小題5分，共20分）9.下列式子表示正確的是：（）A. B.C. D.為第二象限的角，則【答案】ABD【解析】【分析】對于A，利用弧度與角度的互化方法分析判斷，對于BC，利用誘導公式分析判斷，對于D，由三角函數(shù)在各象限的符號判斷【詳解】對于A，，所以A正確，對于B，，所以B正確，對于C，，所以C錯誤，對于D，為第二象限的角，則，所以D正確，故選：ABD10.下列說法正確的是（）A.過兩點的直線方程為B.直線與兩坐標軸圍成的三角形的面積是C.點關于直線的對稱點為D.直線必過定點【答案】BD【解析】【分析】對于A,根據兩點式直線方程的使用條件判斷即可;對于B,求出直線分別在軸和軸上的截距,再用三角形面積公式求解即可;對于C,設點關于直線的對稱點為,列方程組求解即可;對于D,將直線可轉化為即可進行判斷.【詳解】對于A,當或時,不存在選項中的兩點式直線方程,故A錯誤;對于B,直線在軸上的截距為,在軸上的截距為,所以直線與兩坐標軸圍成的三角形的面積是,故B正確;對于C,設點關于直線的對稱點為,則,解得,即點關于直線的對稱點為,故C錯誤;對于D,直線可轉化,過定點,故D正確.故選:BD.11.已知函數(shù)，則（）A.的最小正周期為B.函數(shù)的圖象關于對稱C.是函數(shù)圖象的一條對稱軸D.將函數(shù)的圖象向右平移個單位后得到函數(shù)的圖象【答案】BCD【解析】【分析】將函數(shù)化為，根據周期公式求出周期可知不正確；根據可知正確；根據可知正確；化簡，利用平移變換和誘導公式可知正確.【詳解】,的最小正周期，故不正確；因為，所以函數(shù)的圖象關于對稱，故正確；因為，所以是函數(shù)圖象的一條對稱軸，故正確；，的圖象向右平移后得到，故正確.故選：BCD【點睛】關鍵點點睛：掌握正弦函數(shù)的周期性、對稱中心、對稱軸以及圖象的平移變換是解題關鍵.12.《九章算術》中將底面為直角三角形且側棱垂直于底面的三棱柱稱為“塹堵”；底面為矩形，一條側棱垂直于底面的四棱錐稱為“陽馬”，四個面均為直角三角形的四面體稱為“鱉臑”，如圖在塹堵中，AC⊥BC，且．下列說法正確的是（）A.四棱錐為“陽馬”B.四面體的頂點都在同一個球面上，且球的表面積為C.四棱錐體積最大值為D.四面體為“鱉臑”【答案】AD【解析】【分析】根據“陽馬”和“鱉臑”的定義，可判斷A，D的正誤；當且僅當時，四棱錐體積有最大值，求值可判斷C的正誤；根據題意找到四面體的外接球的球心位置，求出外接球半徑，利用球的表面積公式即可得到判斷B.【詳解】底面為直角三角形且側棱垂直于底面的三棱柱稱為“塹堵”，∴在塹堵中，，側棱面，A：面，則，又，且，則面，∴四棱錐為“陽馬”，對；C：在底面有，即，當且僅當時取等號，，錯；D：由，即，又且，面，∴面，面,∴，則為直角三角形，由面，面，，則為直角三角形，由“塹堵”的定義得為直角三角形，為直角三角形．∴四面體為“鱉臑”，對；B：由C知為直角三角形，側棱面，易知,為直角三角形，而為直角三角形，則外接球球心位于的中點，則外接球半徑，則球的表面積為，錯.故選：AD．三、填空題（每小題5分，共20分）13.若復數(shù)是純虛數(shù)，則實數(shù)的值為___________.【答案】【解析】【分析】根據復數(shù)的乘法，結合純虛數(shù)的定義求解即可.【詳解】是純虛數(shù)，則且，解得.故答案為：14.已知函數(shù)，則___________.【答案】【解析】【分析】求得，結合函數(shù)解析式以及對數(shù)的運算可求得的值.【詳解】因為，所以，，則，所以，.故答案為：.15.函數(shù)，若對于任意的有恒成立，則實數(shù)的最小值是__________.【答案】【解析】【分析】利用三角恒等變換得到，由得到，從而求出最小值為，列出不等式，求出答案.【詳解】，，，∵在上的最小值為，最小值為，令，解得則實數(shù)的最小值是.故答案為：16.已知函數(shù)，有下列四個結論：①圖象關于直線x=1對稱；②f（x）的最大值是2；③f（x）的最大值是﹣1，；④f（x）在區(qū)間[﹣2015，2015]上有2015個零點．其中正確的結論是_____（寫出所有正確的結論序號）．【答案】①②【解析】【分析】根據函數(shù)的性質一一判斷即可，第④個命題，通過轉化為確定函數(shù)和的圖象的交點個數(shù)來判斷．【詳解】對于①，∵的圖象關于x=1對稱，的圖象關于x=1對稱，∴的圖象關于直線x=1對稱，故①正確，對于②，∵﹣1≤≤1，0＜|≤1，∴時，f（x）的最大值是2，故②正確，③不正確，對于④，∵的周期為T==4，時，，函數(shù)圖象關于直線對稱，函數(shù)的圖象關于直線對稱，且時，取得最大值1，時，，作出函數(shù)和的圖象，如圖，在不含的每個周期區(qū)間上，它們都有兩個交點，因此在上有1006個交點，在上有1006個交點，時，，不是交點，而在區(qū)間上，由圖可知它們有4個交點，所以在上這兩個圖象有2016個交點，即原函數(shù)有2016個零點．故④錯．故答案為：①②四、解答題（70分）17.已知直線：.（1）若直線在軸上的截距為2，求實數(shù)的值；（2）若直線與直線：平行，求兩平行線之間的距離.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據直線方程求得截距的表達式，解方程得出實數(shù)的值.（2）根據平行得出參數(shù)的值，進而求出兩平行線之間的距離【小問1詳解】由題意在直線：中，令，可得，∴直線在軸上的截距為，解得：；【小問2詳解】由題意及（1）得在直線：中，直線與直線：平行，∴，∴直線的方程可化為∴兩平行線之間的距離為：.18.設是定義在上的奇函數(shù)．（1）求b的值；（2）若在上單調遞增，且，求實數(shù)m的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據奇函數(shù)的定義與性質運算求解；（2）根據奇函數(shù)的性質可知在上是增函數(shù)，進而根據奇函數(shù)的定義結合單調性運算求解.【小問1詳解】因為函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，則，當時，，且，即是定義在上的奇函數(shù)，符合題意，所以.【小問2詳解】若在上單調遞增，且是奇函數(shù)，可知在上單調遞增，且在處連續(xù)不斷，所以在上是增函數(shù)，因為，則，可得，解得，所以實數(shù)m的取值范圍是.19.在中，角的對邊分別為，已知．（1）求；（2）若，求的面積．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理和二倍角公式得到，故，求出；（2）法一：由求出，結合（1）中，由余弦定理得到，結合（1）中所求得到，利用三角形面積公式求出答案；法二：由求出，結合（1）中所求得到，，利用，求出，利用三角形面積公式求出答案；法三：由求出，結合（1）中，由余弦定理得到或，排除，結合，求出三角形面積.【小問1詳解】由及正弦定理得：，由得：．，由知，，；【小問2詳解】法一：當時，代入得：，由（1）知，由余弦定理得：，整理得：，解得：，由（1）知：，．法二：當時，代入得：，由（1）得：，，由得，，．法三：當時，代入得：，由（1）得：，由余弦定理得：，整理得：，解得：或，若，則為等腰三角形，此時，由及內角和定理得：，與矛盾，不合題意，，∵，．20.如圖，中，，是正方形，平面平面，若、分別是、的中點．（1）求證：∥平面;（2）求證：平面平面．【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】【分析】（1）取的中點，連接，，則由三角形中位線定理得∥，∥，再結合正方形的性質可得∥，則∥平面，由理∥平面，從而可證得平面∥平面，進而可證得結論；（2）由已知面面垂直可得平面，則，再由結合勾股定理逆定理可得，再由面線垂直和面面垂直的判定定理可證得結論.【小問1詳解】證明：如圖，取的中點，連接，．，分別是和的中點，∥，∥．又四邊形為正方形，∥，從而∥．平面，平面，∥平面，同理∥平面，又，平面，平面∥平面，平面，則∥平面;【小問2詳解】為正方形，．又平面平面，且平面平面，面，平面，∵平面，∴，設，，，∴，∴．又，，平面，平面，而平面，∴平面平面．21.已知的三個內角A，B，C對應的三條邊分別為a，b，c，且有：．（1）求角B大??；（2）設，若點M是邊上一點，且，，求的面積．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用內角和定理與兩角和的正弦化簡等式即得；（2）用向量方法表示，兩邊平方并結合余弦定理建立的方程組，由三邊關系可得是直角三角形，最后利用與三角形面積比即可求解.【小問1詳解】依題意得，，則有，故：．即：，因為，所以，所以，又，所以．【小問2詳解】如圖，由，所以，，．在中，由余弦定理得，即．①又由于，所以，兩邊平方得，即，所以．②②－①得，所以，代入①得，在中，，所以是以為直角的三角形，所以的面積為，由于，知，故的面積為．22.已知如圖平面四邊形，，，，，現(xiàn)將沿邊折起，使得平面平面，點為線段的中點.（1）求證：平面；（2）若為的中點，求與平面所成角的正弦值；（3）在（2）的條件下，求二面角的平面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）（3）【解析】【分析】（1）根據等腰三角形的三線合一及線面垂直的性質定理，再利用線面垂直的判定定理即可得證；（2）根據線面垂直的性質及線面垂直的判定定理，再利用線面角的定義及勾股定理可求解；（3）根據線面垂直的性質及線面垂直的判定定理，再利用二面角平面角的定義，結合三角形等面積法即可求解.【小問1詳解】因為，，所以為等邊三角形，因為為的中點，所以，取的中點，連接，，則，因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，因為，，，平面，所以平面，因為平面，所以，又因為，，平面，所以平面.【小問2詳解】如圖所示，過點作，垂足為．由