第一節(jié)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念和性質(zhì)

一、數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)及其收斂性二、數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)三、數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的必要條件第十二章無窮級(jí)數(shù)第一節(jié)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念和性質(zhì)1由于式中的每一項(xiàng)都是常數(shù)，

定義1設(shè)給定一個(gè)數(shù)列

u1,u2,…,un,…，則表達(dá)式u1+u2+···+un+···稱為無窮級(jí)數(shù).其中u1,u2,·

·

·叫做該級(jí)數(shù)的項(xiàng)，un稱為一般項(xiàng)或通項(xiàng).所以又叫數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，簡稱級(jí)數(shù)，一、數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)及其收斂性稱u1+u2+···+un+···=為部分和數(shù)列，記作Sn.2即

級(jí)數(shù)的和.

S稱為

這時(shí)也稱該級(jí)數(shù)收斂于

S.若部分和數(shù)列的極限不存在，發(fā)散.定義2若級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列的極限存在，3例2試討論等比級(jí)數(shù)

a+ar+ar2+···+arn-1+···(a

0)的收斂性.當(dāng)r

1時(shí)，所給級(jí)數(shù)的部分和為根據(jù)等比數(shù)列前

n

項(xiàng)的求和公式可知，解4由定義2

知，該等比級(jí)數(shù)收斂，即5所以這時(shí)該等比級(jí)數(shù)發(fā)散.當(dāng)r=1時(shí)，因此該等比級(jí)數(shù)發(fā)散.6部分和數(shù)列極限不存在，故該等比級(jí)數(shù)發(fā)散.

當(dāng)n為奇數(shù)，當(dāng)n為偶數(shù)，≥7試證明其發(fā)散.由此知

f(x)

為增函數(shù).例3級(jí)數(shù)稱為調(diào)和級(jí)數(shù)，證≥≥≥8≥≥≥≥≥9相加得≥10解

注意到

因此，

例4求級(jí)數(shù)的和.11

所以該級(jí)數(shù)的和為即12不影響級(jí)數(shù)的收斂性.1.在級(jí)數(shù)的前面加上或去掉有限項(xiàng)，但一般將會(huì)改變收斂級(jí)數(shù)的和.

2.

用一個(gè)非零的常數(shù)

c二、數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)13所得級(jí)數(shù)收斂且其和等于兩個(gè)級(jí)數(shù)和的相加.3.兩個(gè)收斂級(jí)數(shù)的對應(yīng)項(xiàng)相加，即14這是能借助級(jí)數(shù)作近似計(jì)算的基本依據(jù).這是因?yàn)樗a(chǎn)生的誤差.15就有于是因此這時(shí)必有這就是級(jí)數(shù)收斂的必要條件.三、數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的必要條件16事實(shí)上，定理則17例

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