隨機過程及其統(tǒng)計描述

隨機過程及其統(tǒng)計描述2

關(guān)鍵詞：

隨機過程 狀態(tài)和狀態(tài)空間 樣本函數(shù) 有限維分布函數(shù) 均值函數(shù) 方差函數(shù) 自相關(guān)函數(shù) 自協(xié)方差函數(shù) 互相關(guān)函數(shù) 互協(xié)方差函數(shù) 正態(tài)過程 獨立增量過程泊松過程維納過程第十章隨機過程及其統(tǒng)計描述第2頁,共52頁，2024年2月25日，星期天

信號是個隨時間、空間、或其它某個參量變化的，攜帶某種信息的物理量。通常遇到最多的是時間信號，是隨時間變化的物理量。因此，人們用統(tǒng)計學(xué)方法建立隨機信號的數(shù)學(xué)模型→隨機過程。第3頁,共52頁，2024年2月25日，星期天

下面由一個試驗實例來建立隨機過程的概念。舉例：在相同條件下，對同一雷達接收機的內(nèi)部噪聲電壓（或電流）經(jīng)過大量的重復(fù)測試后，設(shè)觀測到的所有的可能結(jié)果有m種，記錄下m個不相同的波形。S第4頁,共52頁，2024年2月25日，星期天定義：這里對每一個t

T,X(t)是一隨機變量.T叫做參數(shù)集.常把t看作為時間,稱X(t)為時刻t時過程的狀態(tài),而X(t1)=x(實數(shù))說成是t=t1時過程處于狀態(tài)x,對于一切tT,X(t)所有可能取的一切值的全體稱為隨機過程的狀態(tài)空間.第5頁,共52頁，2024年2月25日，星期天t固定，

變化：X(ti,ζ)隨機變量（狀態(tài)）。

t固定，

固定：X(ti,ζk)一個確定的值。

t變化，

固定：X(t,ζk)確定的時間函數(shù)(隨機過程的樣本函數(shù)）

t變化，

變化：X(t,ζ

)隨機過程（一族時間函數(shù)的總體，

或隨時間變化的隨機變量）下標i和k，分別表示確定的某個時刻i和確定的某個樣本k。對隨機過程而言：一般，隨機變量寫成:X,Y,Z。隨機過程寫成:X(t),Y(t),Z(t)

樣本函數(shù)寫成:x(t),y(t),z(t)或X1(t)……Xn(t)

第6頁,共52頁，2024年2月25日，星期天7

例1：拋擲一枚硬幣的試驗，樣本空間是S={H,T}，現(xiàn)定義：1234第7頁,共52頁，2024年2月25日，星期天8

第8頁,共52頁，2024年2月25日，星期天9

第9頁,共52頁，2024年2月25日，星期天10

第10頁,共52頁，2024年2月25日，星期天

例5：考慮拋擲一顆骰子的試驗：第11頁,共52頁，2024年2月25日，星期天12隨機過程的分類：隨機過程可根據(jù)參數(shù)集T和任一時刻的狀態(tài)分為四類，參數(shù)集T可分為離散集和連續(xù)集兩種情況，任一時刻的狀態(tài)分別為離散型隨機變量和連續(xù)型隨機變量兩種：連續(xù)參數(shù)連續(xù)型的隨機過程，如例2，例3連續(xù)參數(shù)離散型的隨機過程，如例1，例4離散參數(shù)離散型的隨機過程，如例5離散參數(shù)連續(xù)型的隨機過程，第12頁,共52頁，2024年2月25日，星期天13§2隨機過程的統(tǒng)計描述一維分布函數(shù)族刻畫了隨機過程在各個個別時刻的統(tǒng)計特性。第13頁,共52頁，2024年2月25日，星期天科爾莫戈羅夫定理：為了描述隨機過程在不同時刻狀態(tài)之間的統(tǒng)計聯(lián)系,第14頁,共52頁，2024年2月25日，星期天15

例1：拋擲一枚硬幣的試驗，定義一隨機過程：第15頁,共52頁，2024年2月25日，星期天16

第16頁,共52頁，2024年2月25日，星期天

隨機過程的數(shù)字特征一、數(shù)學(xué)期望如果將過程X(t)中的

t

看成是固定的，則

X(t)就是一個隨機變量，它隨機的取值x，其在

t

時刻取x值的概率密度為

。據(jù)期望的定義：mX(t)

描述了X(t)所有樣本函數(shù)在各個時刻擺動的中心－－即X(t)在各個時刻的狀態(tài)(隨機變量)的數(shù)學(xué)期望。第17頁,共52頁，2024年2月25日，星期天

二、隨機過程X(t)的均方值和方差同理，把過程X(t)中的t視為固定時，

X(t)為時刻t的狀態(tài)（隨機變量）。其二階原點矩：將t視為變量時，即為過程X(t)的均方值。同理，過程X(t)的方差：過程X(t)的均方差：第18頁,共52頁，2024年2月25日，星期天故離散型隨機過程Y(t)的數(shù)學(xué)期望為：對離散型隨機過程Y(t),t∈T.若所有狀態(tài)取值的樣本空間為S＝{y1,y2,…,ym}。均方值為：方差為：表示狀態(tài)Y(t)取t時刻值為yi的概率。第19頁,共52頁，2024年2月25日，星期天三、隨機過程的自相關(guān)函數(shù)下面兩個隨機過程

X(t)，

Y(t)它們的期望和方差都相同，mx(t)=mY(t)，

x(t)=

Y(t)。但從樣本函數(shù)看有明顯不同。x

(t)隨時間變化慢，不同時刻的兩個狀態(tài)X(t1),X(t2)之間的依賴性強（相關(guān)性強）。y(t)隨時間變化快，不同時刻的兩個狀態(tài)Y(t1),Y(t2)之間的依賴性弱（相關(guān)性弱）。因此期望和方差不能反應(yīng)過程內(nèi)部變化快慢、相關(guān)性強弱的狀況。第20頁,共52頁，2024年2月25日，星期天一般用來描述隨機過程“任意兩個時刻的兩個狀態(tài)之間內(nèi)在聯(lián)系”的重要數(shù)字特征

——自相關(guān)函數(shù)定義為：它反應(yīng)了任意兩個時刻的狀態(tài)X(t1)與X(t2)之間的“相關(guān)程度”。

·狀態(tài)X(t1)與X(t2)之間的相關(guān)程度也可以用自協(xié)方差函數(shù)來描述：第21頁,共52頁，2024年2月25日，星期天隨機過程的自相關(guān)系數(shù)定義為：注：隨機過程的期望、方差、自相關(guān)函數(shù)、協(xié)方差函數(shù)、自相關(guān)系數(shù)等存在的條件是：以后，所有例題都滿足上述兩個條件，不必再去驗證第22頁,共52頁，2024年2月25日，星期天23第23頁,共52頁，2024年2月25日，星期天24

~~第24頁,共52頁，2024年2月25日，星期天25

第25頁,共52頁，2024年2月25日，星期天26求它的均值函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)。第26頁,共52頁，2024年2月25日，星期天27(三)二維隨機過程的分布函數(shù)和數(shù)字特征第27頁,共52頁，2024年2月25日，星期天28第28頁,共52頁，2024年2月25日，星期天29

第29頁,共52頁，2024年2月25日，星期天30§3泊松過程及維納過程第30頁,共52頁，2024年2月25日，星期天31

獨立增量過程的性質(zhì)：第31頁,共52頁，2024年2月25日，星期天32綜上可得:第32頁,共52頁，2024年2月25日，星期天第33頁,共52頁，2024年2月25日，星期天(1)第34頁,共52頁，2024年2月25日，星期天第35頁,共52頁，2024年2月25日，星期天第36頁,共52頁，2024年2月25日，星期天第37頁,共52頁，2024年2月25日，星期天（4）協(xié)方差函數(shù)第38頁,共52頁，2024年2月25日，星期天第39頁,共52頁，2024年2月25日，星期天40若N(t)是強度為λ的泊松流，則增量的概率分布為：特別地，當t0=0時：第40頁,共52頁，2024年2月25日，星期天如果強度l非均勻,即l是時間的函數(shù)l=l(t),t0.則稱泊松過程為非齊次的.對于非齊次泊松過程,用類似的方法,可得第41頁,共52頁，2024年2月25日，星期天42第42頁,共52頁，2024年2月25日，星期天等待時間及其概率分布

在較多的實際問題中,通常對質(zhì)點的觀察,不是對時間間隔(t1,t2]中出現(xiàn)的質(zhì)點計數(shù),而是對記錄到某一預(yù)定數(shù)量的質(zhì)點所需要的時間進行計時.例如,為研究含某種放射性元素的物質(zhì),常對它發(fā)射出來的粒子作計時試驗.

一般,設(shè)質(zhì)點(或事件)依次重復(fù)出現(xiàn)的時刻

t1,t2,...,tn,...

是一強度為l的泊松流,{N(t),t0}為相應(yīng)的泊松過程.第43頁,共52頁，2024年2月25日，星期天以慣用記號記

W0=0,Wn=tn,n=1,2,....

Wn是一隨機變量,表示第n個質(zhì)點(或事件第n次)出現(xiàn)的等待時間.如下圖所示.T1T2TkOW1W2Wk-1Wkt第44頁,共52頁，2024年2月25日，星期天45第45頁,共52頁，2024年2月25日，星期天點間間距及其概率分布

記Ti=Wi-Wi-1,i=1,2,...它也是一個連續(xù)型隨機變量,稱為相繼出現(xiàn)的第i-1個質(zhì)點和第i個質(zhì)點的點間間距.第46頁,共52頁，2024年2月25日，星期天47點間間距及其概率分布

記Ti=Wi-Wi-1,i=1,2,...它也是一個連續(xù)型隨機變量,稱為相繼出現(xiàn)的第i-1個質(zhì)點和第i個質(zhì)點的點間間距.第47頁,共52頁，2024年2月25日，星期天48

定理一：強度為λ的泊松流(泊松過程)的點間間距是相互獨立的隨 機變量，且服從同一指數(shù)分布定理二：如果任意相繼出現(xiàn)的兩個質(zhì)點的點間間距是相互獨立， 且服從同一個指數(shù)分布：

這兩個定理刻畫出了泊松過程的特征，定理二告訴我們，要確定一個計數(shù)過程是不是泊松過程，只要用統(tǒng)計方法檢驗點間間距是否獨立，且服從同一個指數(shù)分布。則質(zhì)點流構(gòu)成強度為λ的泊松過程第48頁,共52頁，2024年2月25日，星期天49(二)維納過程維納過程是布朗運動的數(shù)學(xué)模型以W(t)表示運動中一微粒從時刻t=0到時刻t>0的位移的橫坐標，且設(shè)W(0)=0。由于微粒的運動是受到大量隨機的、相互獨立的分子碰撞的結(jié)果，于是:

粒子在時段(s,t]上的位移可看作是許多微小位移的 和，根據(jù)中心極限定理，假設(shè)位移W(t)