第6題設(shè)點or設(shè)線解決阿基米德三角形問題 2024年高中數(shù)學(xué)三輪復(fù)習(xí)之一題多解

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁第6題設(shè)點or設(shè)線解決阿基米德三角形問題已知拋物線的焦點為，過點的直線與交于兩點，過作的切線，交于點，且與軸分別交于點．（1）求證：；（2）設(shè)點是上異于的一點，到直線的距離分別為，求的最小值．先求拋物線方程，設(shè)A、B兩點坐標(biāo)，結(jié)合拋物線切線方程點參表示切線及直線AB，利用直線AB過焦點得點參關(guān)系計算DE，F(xiàn)M即可解決第一問；根據(jù)第一問結(jié)論，及點到直線的距離公式計算化簡，再利用基本不等式計算最值即可.（1）由焦點為得，故拋物線，設(shè)點，則切線的方程分別為、，易求得．由直線經(jīng)過點，可得，則，所以，，故．（2）由于，，則，同理：，故，，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故的最小值為．1．已知O為坐標(biāo)原點，點W為：和的公共點，，與直線相切，記動點M的軌跡為C．(1)求C的方程；(2)若，直線與C交于點A，B，直線與C交于點，，點A，在第一象限，記直線與的交點為G，直線與的交點為H，線段AB的中點為E．①證明：G，E，H三點共線；②若，過點H作的平行線，分別交線段，于點，，求四邊形面積的最大值．（2024·全國·模擬預(yù)測）2．已知拋物線的方程為，把該拋物線整體平移，使其頂點與坐標(biāo)原點重合，平移后的拋物線記作．(1)寫出平移過程，并求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知是拋物線的內(nèi)接三角形（點在直線的下方），過作拋物線的切線交于點，再過作拋物線的切線分別交于點，記，的面積分別為，證明為定值．設(shè)直線方程及A、B坐標(biāo)，與拋物線方程聯(lián)立計算切線方程后可得D、E、M坐標(biāo)，再根據(jù)韋達(dá)定理可得；利用點到直線的距離公式及點參表示，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)求最值即可.設(shè)，設(shè)直線，聯(lián)立方程，則．切線，故，兩切線的交點坐標(biāo)為．從而，，故．（2）由于直線，則，，又，從而，故當(dāng)時，有最小值．3．已知拋物線的焦點為F，斜率為的直線過點P，交C于A，B兩點，且當(dāng)時，．(1)求C的方程；(2)設(shè)C在A，B處的切線交于點Q，證明．（2024·全國·二模）4．如圖，過點的動直線交拋物線于兩點.(1)若，求的方程；(2)當(dāng)直線變動時，若不過坐標(biāo)原點，過點分別作（1）中的切線，且兩條切線相交于點，問：是否存在唯一的直線，使得？并說明理由.（2024·云南昆明·一模）5．已知拋物線C：（）的焦點為F，直線與C交于A，B兩點，．(1)求C的方程；(2)過A，B作C的兩條切線交于點P，設(shè)D，E分別是線段PA，PB上的點，且直線DE與C相切，求證：．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）6．某校數(shù)學(xué)問題研究小組的同學(xué)利用電腦對曲線進(jìn)行了深人研究．已知點在曲線上，曲線在點處的切線方程為．請同學(xué)們研究以下問題，并作答．(1)問題1：過曲線的焦點的直線與曲線交于兩點，點在第一象限．（i）求（為坐標(biāo)原點）面積的最小值；（ii）曲線在點處的切線分別為，兩直線相交于點，證明．(2)問題2：若是曲線上任意兩點，過的中點作軸的平行線交曲線于點，記線段與曲線圍成的封閉區(qū)域為，研究小組的同學(xué)利用計算機經(jīng)過多次模擬實驗發(fā)現(xiàn)是個定值，請求出這個定值．（2024·江蘇蘇州·模擬預(yù)測）7．已知點，，和動點滿足是，的等差中項．(1)求點的軌跡方程；(2)設(shè)點的軌跡為曲線按向量平移后得到曲線，曲線上不同的兩點M，N的連線交軸于點，如果（為坐標(biāo)原點）為銳角，求實數(shù)的取值范圍；(3)在（2）的條件下，如果時，曲線在點和處的切線的交點為，求證：在一條定直線上．（23-24高二下·重慶·階段練習(xí)）8．過拋物線外一點作拋物線的兩條切線，切點分別為A，B，我們稱為拋物線的阿基米德三角形，弦AB與拋物線所圍成的封閉圖形稱為相應(yīng)的“囧邊形”，且已知“囧邊形”的面積恰為相應(yīng)阿基米德三角形面積的三分之二．如圖，點是圓上的動點，是拋物線的阿基米德三角形，是拋物線的焦點，且．

(1)求拋物線的方程；(2)利用題給的結(jié)論，求圖中“囧邊形”面積的取值范圍；(3)設(shè)是“圓邊形”的拋物線弧上的任意一動點（異于A，B兩點），過D作拋物線的切線交阿基米德三角形的兩切線邊PA，PB于M，N，證明：．（2024·全國·模擬預(yù)測）9．已知直線l：與拋物線E：交于A，B兩點，與x軸交于點M，．(1)求拋物線E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過A，B分別作拋物線E在A，B處切線的垂線，，若與的交點為P，P到y(tǒng)軸的距離為d，直線，與y軸的交點分別為C，D，且，求直線l的方程．（23-24高三下·重慶·階段練習(xí)）10．已知拋物線為拋物線上兩點，處的切線交于點，過點作拋物線的割線交拋物線于兩點，為的中點.(1)若點在拋物線的準(zhǔn)線上，（i）求直線的方程（用含的式子表示）；（ii）求面積的取值范圍.(2)若直線交拋物線于另一點，試判斷并證明直線與的位置關(guān)系.（23-24高三下·湖北武漢·階段練習(xí)）11．已知拋物線，過點的直線與拋物線交于兩點，設(shè)拋物線在點處的切線分別為和，已知與軸交于點與軸交于點，設(shè)與的交點為.(1)證明：點在定直線上；(2)若面積為，求點的坐標(biāo)；(3)若四點共圓，求點的坐標(biāo).（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·一模）12．已知拋物線上任意一點滿足的最小值為（為焦點）.(1)求的方程；(2)過點的直線經(jīng)過點且與物線交于兩點，求證：；(3)過作一條傾斜角為的直線交拋物線于兩點，過分別作拋物線的切線.兩條切線交于點，過任意作一條直線交拋物線于，交直線于點，則滿足什么關(guān)系？并證明.（2024·湖南·二模）13．直線族是指具有某種共同性質(zhì)的直線的全體，例如表示過點的直線，直線的包絡(luò)曲線定義為：直線族中的每一條直線都是該曲線上某點處的切線，且該曲線上的每一點處的切線都是該直線族中的某條直線.(1)若圓是直線族的包絡(luò)曲線，求滿足的關(guān)系式；(2)若點不在直線族：的任意一條直線上，求的取值范圍和直線族的包絡(luò)曲線；(3)在（2）的條件下，過曲線上兩點作曲線的切線，其交點為.已知點，若三點不共線，探究是否成立？請說明理由.答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁參考答案：1．(1)(2)①證明見解析；②16【分析】（1）設(shè)，根據(jù)題目條件列式化簡可得軌跡；（2）①設(shè)線段的中點為，利用向量證明G，E，F(xiàn)三點共線，同理H，E，F(xiàn)三點共線，進(jìn)而可得結(jié)論；②將四邊形面積轉(zhuǎn)化為四邊形GAHB面積，將直線和拋物線聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，求出直線和直線的方程，則可求出坐標(biāo)，然后利用面積公式求解最值即可.【詳解】（1）設(shè)，與直線的切點為N，則，所以化簡得，所以C的方程為：；（2）①設(shè)線段的中點為，因為，所以可設(shè)，，又因為，所以G，E，F(xiàn)三點共線，同理，H，E，F(xiàn)三點共線，所以G，E，H三點共線．②設(shè)，，，，AB中點為E，中點為F，將代入得：，所以，，所以，同理，，（均在定直線上）因為，所以△EAT與△EAH面積相等，與△EBH面積相等；所以四邊形的面積等于四邊形GAHB的面積，設(shè)，，直線，即整理得：直線，又因為，所以，同理，直線，，所以所以所以四邊形GAHB面積，當(dāng)且僅當(dāng)，即，即時取等號，所以四邊形面積的最大值為16．【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是將四邊形的面積轉(zhuǎn)化為四邊形GAHB的面積，還有充分利用第一問中的點共線求出的橫坐標(biāo)，可以給求面積帶來便利.2．(1)(2)證明見解析【分析】（1）首先將函數(shù)配成頂點式，再根據(jù)函數(shù)的平移規(guī)則得到平移后的解析式，即可得解；（2）設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義表示出切線直線、的方程，聯(lián)立得到點坐標(biāo)，從而得到，，即可推出，同理可得，從而得到，即可得證.【詳解】（1）因為，若使平移后的拋物線頂點與坐標(biāo)原點重合，只需把該拋物線上所有的點向左平移個單位長度，再向下平移個單位長度得到，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）由（1）知，則．設(shè)，互不相等，因為，則直線，即，同理，直線，聯(lián)立方程組，解得，所以，同理得，則，，則，同理得，，則，所以，則，所以為定值．【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵是由，，推導(dǎo)出，同理得到.3．(1)；(2)答案見解析.【分析】設(shè)斜率為且過點P的直線為l：，其中.設(shè).（1）代入，得l：，將其與聯(lián)立，后由，結(jié)合韋達(dá)定理及拋物線定義可得答案；（2）利用表示出C在A，B處的切線方程，聯(lián)立切線方程得Q坐標(biāo)，注意到，說明即可.【詳解】（1）設(shè)斜率為且過點P的直線為l：，其中.設(shè).當(dāng)時，l：，將其與聯(lián)立，消去x得：，由韋達(dá)定理有.又由拋物線定義知，又，結(jié)合，則.得C的方程為；（2）由（1）可得，P，則l：，將其與拋物線方程聯(lián)立，消去x得：，則.設(shè)C在A點處的切線方程為，C在B點處的切線方程為.將與聯(lián)立，消去x得：，因為拋物線切線，則聯(lián)立方程判別式，又，則，得，同理可得.將兩切線方程聯(lián)立有，代入，，解得，得.則，又，則，同理可得.注意到，則等價，下面說明.，因，則.又，則，故.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題為直線與拋物線綜合題，難度較大.（1）問較為基礎(chǔ)，但將l設(shè)為可簡化運算；（2）問所涉字母較多，解決問題的關(guān)鍵是利用及將相關(guān)表達(dá)式統(tǒng)一為與有關(guān)的形式.4．(1)；(2)存在，理由見解析.【分析】（1）求出直線的方程，與拋物線方程聯(lián)立，結(jié)合向量垂直的坐標(biāo)表示求出拋物線方程.（2）設(shè)直線的方程，并與拋物線方程聯(lián)立，再求出切線方程并聯(lián)立求出點，由已知結(jié)合斜率建立方程，利用導(dǎo)數(shù)探討方程有唯一實根即可.【詳解】（1）由，得直線的斜率為，方程為，即，由消去得：，設(shè)，則，由，得，解得，所以拋物線的方程是.（2）由（1）知，拋物線的方程是，直線不垂直于軸，設(shè)直線，顯然，由消去并整理得，，則，設(shè)拋物線在處的切線方程為，由消去得：，由，得，于是拋物線在處的切線方程為，同理拋物線在處的切線方程為，設(shè)點，由，，得，，即點，于是直線的斜率分別為，若存在直線，使得，則，設(shè)直線的傾斜角分別為，則，由，得或，因此，即，則，，整理得，化簡得，令，求導(dǎo)得，顯然，即恒成立，則函數(shù)在R上單調(diào)遞增，而，因此存在唯一，使得所以存在唯一的直線，使得.【點睛】結(jié)論點睛：拋物線在點處的切線斜率；拋物線在點處的切線斜率.5．(1)(2)證明見解析【分析】（1）設(shè)，，直線方程聯(lián)立拋物線方程，利用韋達(dá)定理表示，結(jié)合拋物線的定義即可求解；（2）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出直線PA、PB方程，進(jìn)而求得，設(shè)，求得、，結(jié)合弦長公式表示與，即證，由（1），化簡計算即可證明.【詳解】（1）設(shè)，，，聯(lián)立，得，則，，，則，故，所以C的方程為．（2）由（1）知，因為拋物線C：，則，則，，則直線PA方程為，即，同理直線PB方程為．聯(lián)立，得，則，將代入得，兩式相加得，即，所以點．設(shè)直線DE與拋物線相切于點，則直線DE方程為．設(shè)，，聯(lián)立，兩式作比，即，同理，因為，同理，故要證，即證，即證，即證，即證，即證，由（1）知，又，故，上式成立，故．【點睛】方法點睛：求定值問題常見的方法有兩種：(1)從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(guān)．(2)直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值．6．(1)（i）；（ii）證明見解析(2)【分析】（1）（i）設(shè)直線的方程為，與拋物線聯(lián)立，利用韋達(dá)定理計算，然后求最值即可；（ii）利用坐標(biāo)運算計算即可；（2），找到各小塊三角形的面積與的關(guān)系，從而得到方程，解出值..【詳解】（1）（i）明顯直線的斜率不為零，設(shè)直線的方程為，，聯(lián)立，消去得，則，又，則當(dāng)時，的面積最小，且最小值為；（ii）由已知得，聯(lián)立，解得，即所以所以；（2）如圖.，線段$AB$的中點，則.，分別過線段的中點，線段的中點，作軸的平行線交拋物線分別于兩點，連接.同理可得.，（分子的上標(biāo)均省略了文字“的面積”）又由于的面積的面積的面積，所以，解得.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是如何繞過直接求出曲線圍成的面積，通過找到各三角形與三角形之間的關(guān)系，從而解出值.7．(1)；(2)或；(3)證明見解析.【分析】（1）根據(jù)題意，由平面向量的坐標(biāo)運算，結(jié)合等差中項的定義代入計算，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，由平移公式可得曲線的方程，然后與直線的方程聯(lián)立，由平面向量的夾角公式，代入計算，即可得到結(jié)果；（3）根據(jù)題意，求導(dǎo)可得在點處的切線方程，聯(lián)立兩條切線方程，代入計算，即可得到結(jié)果.【詳解】（1）由題意可得，，，則，，又是，的等差中項，，整理得點的軌跡方程為．（2）由（1）知，又，平移公式為即，代入曲線的方程得到曲線的方程為：，即．曲線的方程為．如圖由題意可設(shè)M，N所在的直線方程為，由消去得，令，，則，，，又為銳角，，即，，又，，得或．（3）當(dāng)時，由（2）可得，對求導(dǎo)可得，拋物線在點，，處的切線的斜率分別為，，在點M，N處的切線方程分別為，，由，解得交點的坐標(biāo)．滿足即，點在定直線上．【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題主要考查了曲線的軌跡方程問題以及切線問題，難度較大，解答本題的關(guān)鍵在于聯(lián)立方程結(jié)合韋達(dá)定理計算以及轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運算.8．(1)(2)(3)證明見解析【分析】（1）根據(jù)圓的幾何性質(zhì)可知，據(jù)此求出可得解；（2）求出弦長及點到直線的距離，可得出面積，由點在圓上，可得面積取值范圍，再由“囧邊形”面積與面積關(guān)系得解；（3）求出過點切線方程，聯(lián)立可得橫坐標(biāo)，據(jù)此利用橫坐標(biāo)可得，即可得證.【詳解】（1）由題意得，，由，所以（2）設(shè)，聯(lián)立，，設(shè)方程的兩根為，則，由，所以，聯(lián)立直線可得，代入方程中，得，即，故的面積.因為在圓上，所以且，于是，顯然此式在上單調(diào)遞增，故，也即，因此，由題干知“囧邊形”面積，所以“囧邊形”面積的取值范圍為.（3）由（2）知，,設(shè)，過的切線，即，過點切線交得，同理，因為，.所以，即.【點睛】關(guān)鍵點點睛：聯(lián)立直線與拋物線，根據(jù)韋達(dá)定理及弦長公式得出，再由切線相交得出點坐標(biāo)，求出三角形面積，再由點在圓上得出面積的范圍是求解“囧邊形”面積范圍的關(guān)鍵，第三問中利用直線上線段長度之比可化為橫坐標(biāo)（或縱坐標(biāo)）之比是解題的關(guān)鍵.9．(1)(2)或【分析】（1）聯(lián)立直線l與拋物線E的方程再消元，由根與系數(shù)的關(guān)系得到，，由題意知，，利用兩點間距離公式得到，則得到，從而得到拋物線E的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)出拋物線E在點A處的切線方程，和拋物線方程聯(lián)立消元，由切線與拋物線只有一個公共點得可得，得、的方程，由與的交點為P，P到y(tǒng)軸的距離為d，得，與y軸的交點分別為C，D坐標(biāo)，由得，再由，，可得，進(jìn)而得到直線l的方程．【詳解】（1）設(shè)，，由，可得，滿足，則，，由題意知，，所以，∴，∴拋物線E的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）設(shè)，拋物線E在點A處的切線方程為，由，可得，由切線與拋物線只有一個公共點得及，可得，故的方程為，即，同理可得的方程為，設(shè)，由，可得．得，，則，則，得，又，，所以，得，故直線l的方程為或．【點睛】關(guān)鍵點點睛：設(shè)出的切線方程和拋物線方程聯(lián)立消元后，注意應(yīng)用，P到y(tǒng)軸的距離為d的運用，及韋達(dá)定理的運用.10．(1)（i）；（ii）(2)平行，證明見解析【分析】（1）（i）設(shè)點，通過求導(dǎo)求出切線方程，然后聯(lián)立求出的坐標(biāo)，設(shè)出直線的方程，與拋物線聯(lián)立，利用韋達(dá)定理可得答案；（ii）利用弦長公式和點到直線的距離公式表示出的面積，然后求其最值即可；（2）設(shè)出直線的方程，與拋物線聯(lián)立可得的坐標(biāo)，進(jìn)而可寫出直線的方程，與拋物線聯(lián)立可得的坐標(biāo)，利用韋達(dá)定理求出即可得答案.【詳解】（1）（i）設(shè)點，因為拋物線，得，則，整理得①，，整理得②，聯(lián)立①②得，因為點在拋物線的準(zhǔn)線上，即直線上，所以，設(shè)直線的方程為，斜率必存在，聯(lián)立，消去得，所以，得.所以直線的方程為；（ii）由（i）得則，點到直線的距離為，所以，令，則，明顯當(dāng)時，面積取最小值，無最大值，故面積的取值范圍為

（2）直線與平行，證明：直線斜率必存在，設(shè)，與聯(lián)立，消去得，設(shè)，則，得則直線，與聯(lián)立，消去得，整理得，則，得，則，則，即直線與平行.

【點睛】方法點睛：對于直線和圓錐曲線相交的問題，我們一般聯(lián)立方程，然后用韋達(dá)定理來解決問題，特別是當(dāng)一個交點知道的情況下，我們可以利用韋達(dá)定理快速求出另一個交點.11．(1)證明見解析(2)或(3)【分析】（1）設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求和的方程，進(jìn)而可得點的坐標(biāo)，再聯(lián)立直線、拋物線的方程，利用韋達(dá)定理分析求解；（2）根據(jù)面積關(guān)系可得，結(jié)合韋達(dá)定理分析求解；（3）可知拋物線焦點，分析可得是外接圓的直徑，結(jié)合垂直關(guān)系分析求解.【詳解】（1）由，得，設(shè).所以方程為：，整理得：.同理可得，方程為：.聯(lián)立方程，解得.因為點在拋物線內(nèi)部，可知直線的斜率存在，且與拋物線必相交，設(shè)直線的方程為，與拋物線方程聯(lián)立得：，故，所以，可知.所以點在定直線上..（2）在的方程中，令，得，所以面積.故，代入可得：.整理得，解得：或.所以點的坐標(biāo)為或.（3）若，則重合，與題設(shè)矛盾.拋物線焦點，由得直線斜率，可知，同理，所以是外接圓的直徑.若點也在該圓上，則.由，得直線的方程為：.又點在定直線上，聯(lián)立兩直線方程，解得，所以點的坐標(biāo)為.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題第3小問解決的關(guān)鍵是，引入拋物線焦點，利用斜率可得，，可知是外接圓的直徑，即可得結(jié)果.12．(1)(2)證明見解析；(3)，證明見解析.【分析】（1）設(shè)，由兩點間距離公式求得，結(jié)合，得出的最小值為，得解；（2）設(shè)，，將要證，轉(zhuǎn)化為，聯(lián)立直線與拋物線方程，由韋達(dá)定理可得證；（3）猜想滿足，根據(jù)題意求出點坐標(biāo)，設(shè)，將要證關(guān)系式等價轉(zhuǎn)化為，聯(lián)立直線和直線的方程求出，得，聯(lián)立直線和拋物線方程，由韋達(dá)定理求得，得