第25題函數(shù)方程是“近親”以形助數(shù)傳“佳話”2024年高中數(shù)學(xué)三輪復(fù)習(xí)之一題多解

試卷第=page22頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)第25題函數(shù)方程是“近親”，以形助數(shù)傳“佳話”已知是定義在區(qū)間上以2為周期的函數(shù)，對(duì)，用表示區(qū)間，已知當(dāng)時(shí)．（1）求在上的解析表達(dá)式；（2）對(duì)自然數(shù)k，求集合．本例第（1）小題根據(jù)周期函數(shù)的概念及已知條件，易于得出上的函數(shù)解析式；之后與聯(lián)立，得方程，即，此方程在上有兩個(gè)不相等的實(shí)根即為第（2）小題，若用純代數(shù)方法，原問題等價(jià)于解此不等式組求得a的取值范圍，運(yùn)算量太大，根據(jù)數(shù)形結(jié)合思想法．從不同視角．構(gòu)造各異，以形助數(shù)可有3種解法．其中思路一是，把問題轉(zhuǎn)化為求，，與有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)的a，即直線斜率a的取值范圍，以圖“說話”，數(shù)式圖形相映成輝（1）∵2是的周期，當(dāng)時(shí)，2k也是的周期，又∵當(dāng)時(shí)，，∴，即對(duì)，當(dāng)時(shí)，．（2）（轉(zhuǎn)化為求直線斜率a的取值范圍）方程，即有兩個(gè)不等實(shí)根，，．令，，，，如圖24—1所示，在同一坐標(biāo)系中分別作出、的圖像，的圖像是過原點(diǎn)，斜率為a的直線，方程有兩個(gè)不等實(shí)根的充要條件是兩圖像有兩個(gè)不同交點(diǎn)，由圖25-1可知，當(dāng)時(shí)兩圖像有兩個(gè)不同交點(diǎn)．從而，原方程有兩個(gè)不等實(shí)根時(shí)，．（2019·江蘇·高考真題）1．設(shè)是定義在上的兩個(gè)周期函數(shù)，的周期為4，的周期為2，且是奇函數(shù).當(dāng)時(shí)，，，其中.若在區(qū)間上，關(guān)于的方程有8個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是.本例第（1）小題根據(jù)周期函數(shù)的概念及已知條件，易于得出上的函數(shù)解析式；之后與聯(lián)立，得方程，即，此方程在上有兩個(gè)不相等的實(shí)根即為第（2）小題，若用純代數(shù)方法，原問題等價(jià)于解此不等式組求得a的取值范圍，運(yùn)算量太大，根據(jù)數(shù)形結(jié)合思想法．從不同視角．構(gòu)造各異，以形助數(shù)可有3種解法．其中思路二是，利用，實(shí)現(xiàn)變量分離，將方程轉(zhuǎn)化為一個(gè)新函數(shù)模型，借助函數(shù)圖像求解．（1）∵2是的周期，當(dāng)時(shí)，2k也是的周期，又∵當(dāng)時(shí)，，∴，即對(duì)，當(dāng)時(shí)，．（2）（分離變量，將方程轉(zhuǎn)化為函數(shù)模型．尋求問題的幾何意義），令，，，作這兩個(gè)函數(shù)的圖像如圖25-2所示，圖像有兩個(gè)不同交點(diǎn)的充要條件是，即．∴．（2018·天津·高考真題）2．已知，函數(shù)若關(guān)于的方程恰有2個(gè)互異的實(shí)數(shù)解，則的取值范圍是.本例第（1）小題根據(jù)周期函數(shù)的概念及已知條件，易于得出上的函數(shù)解析式；之后與聯(lián)立，得方程，即，此方程在上有兩個(gè)不相等的實(shí)根即為第（2）小題，若用純代數(shù)方法，原問題等價(jià)于解此不等式組求得a的取值范圍，運(yùn)算量太大，根據(jù)數(shù)形結(jié)合思想法．從不同視角．構(gòu)造各異，以形助數(shù)可有3種解法．其中思路三是，設(shè)，討論根的分布，以形助數(shù)，列式容易，解之不難.（1）∵2是的周期，當(dāng)時(shí)，2k也是的周期，又∵當(dāng)時(shí)，，∴，即對(duì)，當(dāng)時(shí)，．（2）（用根的分布理論求解）令，則問題轉(zhuǎn)化為的圖像在區(qū)間上與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)（如圖25-3所示）．其充要條件是解得，∴．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）3．已知函數(shù),若關(guān)于x的函數(shù)有6個(gè)不同的零點(diǎn),則實(shí)數(shù)b的取值范圍是【點(diǎn)評(píng)】本例在求出上的函數(shù)解析式之后與聯(lián)立，得方程，即，此方程在上有兩個(gè)不相等的實(shí)根，若用純代數(shù)方法，則原問題等價(jià)于解此不等式組求得a的取值范圍，但是運(yùn)算量實(shí)在太大，且易于出錯(cuò).本例第（2）小題從數(shù)形結(jié)合思想出發(fā)，按不同視角，構(gòu)造各異，以形助數(shù)，簡(jiǎn)化了解題過程.4．已知函數(shù)有零點(diǎn)，函數(shù)有零點(diǎn)，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．（2022上·河南·高三統(tǒng)考）5．已知函數(shù)若方程有5個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．6．已知函數(shù)，．若方程恰有4個(gè)互異的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為__________．（2021·北京·高考真題）7．已知函數(shù)，給出下列四個(gè)結(jié)論：①若，恰有2個(gè)零點(diǎn)；②存在負(fù)數(shù)，使得恰有1個(gè)零點(diǎn)；③存在負(fù)數(shù)，使得恰有3個(gè)零點(diǎn)；④存在正數(shù)，使得恰有3個(gè)零點(diǎn)．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是．（2024·天津·二模）8．設(shè)，函數(shù)，若函數(shù)恰有4個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．9．已知函數(shù)，，用表示，中的最小值，設(shè)函數(shù)，討論零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)參考答案：1．.【分析】分別考查函數(shù)和函數(shù)圖像的性質(zhì)，考查臨界條件確定k的取值范圍即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，即又為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，其周期為，如圖，函數(shù)與的圖象，要使在上有個(gè)實(shí)根，只需二者圖象有個(gè)交點(diǎn)即可.

當(dāng)時(shí)，函數(shù)與的圖象有個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，的圖象為恒過點(diǎn)的直線，只需函數(shù)與的圖象有個(gè)交點(diǎn).當(dāng)與圖象相切時(shí)，圓心到直線的距離為，即，得，函數(shù)與的圖象有個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)過點(diǎn)時(shí)，函數(shù)與的圖象有個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)，得.綜上可知，滿足在上有個(gè)實(shí)根的的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考點(diǎn)為參數(shù)的取值范圍，側(cè)重函數(shù)方程的多個(gè)實(shí)根，難度較大.不能正確畫出函數(shù)圖象的交點(diǎn)而致誤，根據(jù)函數(shù)的周期性平移圖象，找出兩個(gè)函數(shù)圖象相切或相交的臨界交點(diǎn)個(gè)數(shù)，從而確定參數(shù)的取值范圍.2．【詳解】分析：由題意分類討論和兩種情況，然后繪制函數(shù)圖像，數(shù)形結(jié)合即可求得最終結(jié)果.詳解：分類討論：當(dāng)時(shí)，方程即，整理可得：，很明顯不是方程的實(shí)數(shù)解，則，當(dāng)時(shí)，方程即，整理可得：，很明顯不是方程的實(shí)數(shù)解，則，令，其中，原問題等價(jià)于函數(shù)與函數(shù)有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求的取值范圍.結(jié)合對(duì)勾函數(shù)和函數(shù)圖象平移的規(guī)律繪制函數(shù)的圖象，同時(shí)繪制函數(shù)的圖象如圖所示，考查臨界條件，結(jié)合觀察可得，實(shí)數(shù)的取值范圍是.

點(diǎn)睛：本題的核心在考查函數(shù)的零點(diǎn)問題，函數(shù)零點(diǎn)的求解與判斷方法包括：(1)直接求零點(diǎn)：令f(x)＝0，如果能求出解，則有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn)．(2)零點(diǎn)存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)·f(b)＜0，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn)．(3)利用圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)：將函數(shù)變形為兩個(gè)函數(shù)的差，畫兩個(gè)函數(shù)的圖象，看其交點(diǎn)的橫坐標(biāo)有幾個(gè)不同的值，就有幾個(gè)不同的零點(diǎn)．3．【分析】根據(jù)解析式畫出函數(shù)圖象,對(duì)進(jìn)行換元,根據(jù)圖象可知需要有兩個(gè)零點(diǎn),且,需各對(duì)應(yīng)三個(gè)根,根據(jù)根的分布列出不等式,解出即可.【詳解】解:由題意畫圖像如下:因?yàn)殛P(guān)于x的函數(shù)有6個(gè)不同的零點(diǎn),令,則,則關(guān)于t的二次函數(shù)需要有兩個(gè)零點(diǎn),根據(jù)上圖可知,,需各對(duì)應(yīng)三個(gè)根,即,均需在范圍內(nèi),因?yàn)槎魏瘮?shù)開口向上,所以有,即,解得.故答案為:4．C【詳解】分析：由兩個(gè)函數(shù)均有兩個(gè)零點(diǎn)可得對(duì)應(yīng)方程的判別式大于，且的對(duì)稱軸在的對(duì)稱軸左邊，初步得到的范圍，再列不等式求解即可.詳解：二次函數(shù)均有兩個(gè)零點(diǎn)，所以，解得，因?yàn)?，所以?duì)稱軸位于對(duì)稱軸左邊，即，解得，由求根公式可得，，由，得，化為，①，②

解①得，且，兩邊平方得，，由②得，平方得，顯然成立，綜上，，故選C.點(diǎn)睛：函數(shù)的性質(zhì)問題以及函數(shù)零點(diǎn)問題是高考的高頻考點(diǎn)，考生需要對(duì)初高中階段學(xué)習(xí)的十幾種初等函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性以及對(duì)稱性非常熟悉；另外，函數(shù)零點(diǎn)的幾種等價(jià)形式：函數(shù)零點(diǎn)函數(shù)與軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)方程的根函數(shù)與交點(diǎn)橫坐標(biāo).5．A【分析】首先畫出函數(shù)的圖象，再通過換元，得，結(jié)合函數(shù)的圖象，利用根的個(gè)數(shù)，確定方程根的分布，即可求解的取值范圍.【詳解】函數(shù)的大致圖象如圖所示，令，則可化為，因?yàn)榉匠逃?個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，所以在上各有一個(gè)實(shí)數(shù)解或的一個(gè)解為，另一個(gè)解在內(nèi)或的一個(gè)解為，另一個(gè)解在內(nèi).當(dāng)在上各有一個(gè)實(shí)數(shù)解時(shí)，設(shè)，則解得；當(dāng)?shù)囊粋€(gè)解為時(shí)，，此時(shí)方程的另一個(gè)解為，不在內(nèi)，不滿足題意；當(dāng)?shù)囊粋€(gè)解為時(shí)，，此時(shí)方程有兩個(gè)相等的根，不滿足題意.綜上可知，實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：A6．．【詳解】試題分析：（方法一）在同一坐標(biāo)系中畫和的圖象（如圖），問題轉(zhuǎn)化為與圖象恰有四個(gè)交點(diǎn)．當(dāng)與（或與）相切時(shí)，與圖象恰有三個(gè)交點(diǎn)．把代入，得，即，由，得，解得或．又當(dāng)時(shí)，與僅兩個(gè)交點(diǎn)，或．（方法二）顯然，∴．令，則∵，∴．結(jié)合圖象可得或．考點(diǎn)：方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)．7．①②④【分析】由可得出，考查直線與曲線的左、右支分別相切的情形，利用方程思想以及數(shù)形結(jié)合可判斷各選項(xiàng)的正誤.【詳解】對(duì)于①，當(dāng)時(shí)，由，可得或，①正確；對(duì)于②，考查直線與曲線相切于點(diǎn)，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得，由題意可得，解得，所以，存在，使得只有一個(gè)零點(diǎn)，②正確；對(duì)于③，當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，，解得，所以，當(dāng)時(shí)，直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，直線與曲線有一個(gè)交點(diǎn)，所以，，此不等式無解，因此，不存在，使得函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，③錯(cuò)誤；對(duì)于④，考查直線與曲線相切于點(diǎn)，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得，由題意可得，解得，所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，④正確.故答案為：①②④.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：已知函數(shù)的零點(diǎn)或方程的根的情況，求解參數(shù)的取值范圍問題的本質(zhì)都是研究函數(shù)的零點(diǎn)問題，求解此類問題的一般步驟：（1）轉(zhuǎn)化，即通過構(gòu)造函數(shù)，把問題轉(zhuǎn)化成所構(gòu)造函數(shù)的零點(diǎn)問題；（2）列式，即根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)存在定理或結(jié)合函數(shù)的圖象列出關(guān)系式；（3）得解，即由列出的式子求出參數(shù)的取值范圍．8．或【分析】對(duì)實(shí)數(shù)的取值進(jìn)行分類討論，分別畫出不同取值情況的的函數(shù)圖象，函數(shù)恰有4個(gè)零點(diǎn)，說明的圖象與的圖象有四個(gè)交點(diǎn)，通過斜率的變化即可確定實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)恰有4個(gè)零點(diǎn)，所以的圖象與的圖象有四個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，如圖所示，的圖象與的圖象僅有兩個(gè)交點(diǎn)，與題意不符；當(dāng)時(shí)，如圖所示，在上，當(dāng)與相切時(shí)，聯(lián)立，得，則，得（舍去），由圖可知，當(dāng)時(shí)，與在有一個(gè)交點(diǎn)，在有兩個(gè)交點(diǎn)，與題意不符，所以當(dāng)時(shí)，與在無交點(diǎn)，在有兩個(gè)交點(diǎn)，與題意不符，當(dāng)時(shí)，與在無交點(diǎn)，在有三個(gè)交點(diǎn)，與題意不符，當(dāng)時(shí)，與在無交點(diǎn)，在有四個(gè)交點(diǎn)，符合題意；當(dāng)時(shí)，如圖所示，在上，當(dāng)與相切時(shí)，聯(lián)立，得，則，得（舍去），由圖可知，當(dāng)時(shí)，與在有兩個(gè)交點(diǎn)，在有四個(gè)交點(diǎn)，與題意不符，當(dāng)時(shí)，與在有兩個(gè)交點(diǎn)，在有三個(gè)交點(diǎn)，與題意不符，當(dāng)時(shí)，與在有兩個(gè)交點(diǎn)，在有兩個(gè)交點(diǎn)，符合題意，當(dāng)時(shí)，與在有一個(gè)交點(diǎn)，在有兩個(gè)交點(diǎn)，與題意不符.綜上所述，或.故答案為：或.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，關(guān)鍵在于數(shù)形結(jié)合與分類討論的思想，需要通過討論取值范圍的不同，結(jié)合范圍的限制，判斷交點(diǎn)個(gè)數(shù)，然后推出的范圍即可.9．答案見解析【分析】解法一利用分類討論得到確定的零點(diǎn)，再利用分離參數(shù)法討論其它零點(diǎn)，解法二直接確定固定零點(diǎn)，再利用分類討論法求解零點(diǎn)即可.【詳解】解法一，顯然的定義域?yàn)椋?dāng)時(shí)，．從而，故在上沒有零點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，，．∴時(shí)，，從而，故是的零點(diǎn)；時(shí)，，從而，故不是的零點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，．故只要考慮在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．由分離參數(shù)得：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．令，計(jì)算得，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減．結(jié)合圖象可知：當(dāng)時(shí)，在上沒有零點(diǎn)，當(dāng)或時(shí)，在上有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，在上有兩個(gè)零點(diǎn)，綜上可知，當(dāng)或時(shí)，有1個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)或時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，有3個(gè)零點(diǎn)．

解法二，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)，故在時(shí)無零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，若，則，則，故是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)；若，則，則，故不是函數(shù)的零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，因此只