第16題數(shù)列函數(shù)謂同宗應(yīng)用性質(zhì)法無窮 2024年高中數(shù)學(xué)三輪復(fù)習(xí)之一題多解

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁第16題數(shù)列函數(shù)謂同宗，應(yīng)用性質(zhì)法無窮（全國高考真題）設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知且，；（1）求公差的范圍；（2）該數(shù)列前幾項(xiàng)的和最大？說明理由．第（1）問的解法實(shí)質(zhì)是解一個不等式組而第（2）問是探究數(shù)列最大項(xiàng)問題或多少項(xiàng)的和最大問題，由條件設(shè)法確定前n項(xiàng)為正，或者是否有零項(xiàng)，那么所有非負(fù)數(shù)項(xiàng)的和最大，若有零項(xiàng)，會有兩個和相等并且最大．本題由且確定．（1）解：根據(jù)題意，有整理，得解之得．（2）由可知為一個遞減數(shù)列，因此，在中，必存在一個自然數(shù)n，使得，，此時對應(yīng)的就是中的最大值．由于于是，從而，因此最大．∴該數(shù)列前6項(xiàng)的和最大．（2023·陜西西安·模擬預(yù)測）1．已知數(shù)列滿足：對恒成立，且，其前n項(xiàng)和有最大值，則使得的最大的n的值是（

）A．10 B．12 C．15 D．17第（1）問的解法實(shí)質(zhì)是解一個不等式組而第（2）問是探究數(shù)列最大項(xiàng)問題或多少項(xiàng)的和最大問題，由解出n的范圍，從而確定此范圍中的自然數(shù)n，當(dāng)然第（1）問求出的取值范圍用于放縮確定n的值（1）解：根據(jù)題意，有整理，得解之得．（2）由（1）易知是遞減數(shù)列，解關(guān)于n的不等式組得由，可得∴，故n＝6．即最大，該數(shù)列前6項(xiàng)的和最大．（22-23高二·全國·課堂例題）2．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和公式為：(1)求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，并判斷這個數(shù)列是否是等差數(shù)列；(2)求的最小值，并求取得最小值時n的值.第（1）問的解法實(shí)質(zhì)是解一個不等式組而第（2）問是探究數(shù)列最大項(xiàng)問題或多少項(xiàng)的和最大問題，根據(jù)等差數(shù)列前n次和公式，顯然是二次函數(shù)形式．故可以通過確定前n項(xiàng)和的表達(dá)式，利用配方法，確定其最值．（1）解：根據(jù)題意，有整理，得解之得．（2）利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，得∵，當(dāng)最小時，最大．由于，則．∴當(dāng)n＝6時，最小，因此，最大，該數(shù)列前6項(xiàng)的和最大．（2022·全國·高考真題）3．記為數(shù)列的前n項(xiàng)和．已知．(1)證明：是等差數(shù)列；(2)若成等比數(shù)列，求的最小值．【點(diǎn)評】1.數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類函數(shù)，數(shù)列的通項(xiàng)公式相當(dāng)于函數(shù)的解析式，我們可以用函數(shù)的觀點(diǎn)來研究數(shù)列，比如研究數(shù)列的單調(diào)性、周期性，可以通過研究其通項(xiàng)公式所對應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性、周期性來實(shí)現(xiàn)．函數(shù)有最大值最小值的探究，數(shù)列也有這方面的問題，可以這樣說：數(shù)列函數(shù)同根同宗．牢牢抓住對其性質(zhì)的研究也就抓住了根本.2.等差數(shù)列與等比數(shù)列是數(shù)列學(xué)習(xí)中兩類最基本的數(shù)列，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可整理為．如果，是常數(shù)；如果，是n的一次函數(shù)，其前n項(xiàng)和公式可整理為，是關(guān)于n的二次函數(shù)且常數(shù)項(xiàng)為0．在等比數(shù)列的通項(xiàng)公式（且）中，和n的關(guān)系類似于指數(shù)函數(shù)，所以等差數(shù)列與一次函數(shù)、二次函數(shù)，等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)有著密切的關(guān)系，我們不僅要了解這種關(guān)系，而且要能夠利用數(shù)列與函數(shù)的這種關(guān)系解決問題．圖像是函數(shù)的一種重要表示形式，圖像法解題當(dāng)然是解函數(shù)問題一種重要的解題策略．有些數(shù)列問題借助其對應(yīng)的圖像可以得到直觀形象的解答，如等差數(shù)列中，，可看作開口向下的拋物線，離對稱軸最近的自然數(shù)n是取得最大值的n，特別提醒：若對稱軸為，則與同時取得最大值，對于二次函數(shù)的最值一般需要運(yùn)用配方法有些函數(shù)問題，比如求函數(shù)解析式可以借助數(shù)列中的相關(guān)知識進(jìn)行求解等.（22-23高二·全國·課堂例題）4．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，公差，則是否存在最大值？若存在，求的最大值及取得最大值時n的值；若不存在，請說明理由．（22-23高二·全國·隨堂練習(xí)）5．已知數(shù)列是等差數(shù)列，其中，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式，并畫出它的圖象．(2)數(shù)列從哪一項(xiàng)開始小于0．(3)求數(shù)列前n項(xiàng)和的最大值，并求出對應(yīng)n的值．（四川·高考真題）6．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，常數(shù)，且對一切正整數(shù)都成立．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，，當(dāng)為何值時，數(shù)列的前項(xiàng)和最大？（2021·全國·高考真題）7．記是公差不為0的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求使成立的n的最小值．（2019·全國·高考真題）8．記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知S9=－a5．（1）若a3=4，求{an}的通項(xiàng)公式；（2）若a1>0，求使得Sn≥an的n的取值范圍．9．在數(shù)列中，已知，求中的最大項(xiàng)．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁參考答案：1．C【分析】由等差中項(xiàng)性質(zhì)可得數(shù)列為等差數(shù)列，再由，其前n項(xiàng)和有最大值可得，即可求得，即可知所求結(jié)果為.【詳解】由數(shù)列滿足對恒成立可知，數(shù)列為等差數(shù)列；設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，則，若前n項(xiàng)和有最大值，則可知，因此，又，所以，可得，所以，即；所以，使得的最大的n的值是.故選：C2．(1)，是等差數(shù)列(2)最小值，【分析】（1）根據(jù)計(jì)算，然后驗(yàn)證即可；（2）結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)求解取得最小值時n的值.【詳解】（1）當(dāng)時，有.當(dāng)時，有.又因?yàn)?，所以時也成立，因此數(shù)列的通項(xiàng)公式為：.因?yàn)椋允堑炔顢?shù)列.（2）（方法一）因?yàn)?，又因?yàn)閚是正整數(shù)，所以當(dāng)或8時，最小，最小值是.（方法二）由可知數(shù)列是遞增的等差數(shù)列，而且首項(xiàng).令，可得，解得，而且0.由此可知，或8時，最小，最小值是.3．(1)證明見解析；(2)．【分析】（1）依題意可得，根據(jù)，作差即可得到，從而得證；（2）法一：由（1）及等比中項(xiàng)的性質(zhì)求出，即可得到的通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得．【詳解】（1）因?yàn)?，即①，?dāng)時，②，①②得，，即，即，所以，且，所以是以為公差的等差數(shù)列．（2）[方法一]：二次函數(shù)的性質(zhì)由（1）可得，，，又，，成等比數(shù)列，所以，即，解得，所以，所以，所以，當(dāng)或時，．[方法二]：【最優(yōu)解】鄰項(xiàng)變號法由（1）可得，，，又，，成等比數(shù)列，所以，即，解得，所以，即有.則當(dāng)或時，．【整體點(diǎn)評】（2）法一：根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出的最小值，適用于可以求出的表達(dá)式；法二：根據(jù)鄰項(xiàng)變號法求最值，計(jì)算量小，是該題的最優(yōu)解．4．當(dāng)n取與最接近的整數(shù)即5或6時，最大，最大值為30．【分析】由和，可以證明是遞減數(shù)列，且存在正整數(shù)k，使得當(dāng)時，，遞減．這樣，就把求的最大值轉(zhuǎn)化為求的所有正數(shù)項(xiàng)的和．另一方面，等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式可寫成，所以當(dāng)時，可以看成二次函數(shù)當(dāng)時的函數(shù)值．可以利用二次函數(shù)的性質(zhì)求相應(yīng)的n，的值．【詳解】解法1：由以，得，所以是遞減數(shù)列．又由，可知：當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，．所以．也就是說，當(dāng)或6時，最大．因?yàn)?，所以的最大值?0．解法2：因?yàn)?，易知二次函?shù)在時遞增，在時遞減，所以，當(dāng)n取與最接近的整數(shù)即5或6時，最大，最大值為30．5．(1)，圖象見解析(2)5(3)76，4【分析】（1）由等差數(shù)列定義即可寫出通項(xiàng)公式，并直接作出其圖象即可.（2）令，解不等式即可，注意.（3）由等差數(shù)列前項(xiàng)和公式結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)即可解決.【詳解】（1）由題意數(shù)列的通項(xiàng)公式為，其函數(shù)圖象如圖所示：

（2）由（1）可知，令，解得，所以數(shù)列從第5項(xiàng)開始小于0．（3）由（1）可知，所以其前項(xiàng)和為，而二次函數(shù)的對稱軸為，和它最接近的整數(shù)為4，因此當(dāng)時，數(shù)列前n項(xiàng)和有最大值.6．（1）若a1=0,若a1；（2）數(shù)列{lg}的前6項(xiàng)的和最大.【詳解】(1)取n=1,得若a1=0,則s1="0,"當(dāng)n若a1,當(dāng)n上述兩個式子相減得：an=2an-1,所以數(shù)列{an}是等比數(shù)列綜上，若a1=0,若a1（2）當(dāng)a1>0,且所以，{bn}單調(diào)遞減的等差數(shù)列（公差為-lg2）則b1>b2>b3>…>b6=當(dāng)n≥7時，bn≤b7=故數(shù)列{lg}的前6項(xiàng)的和最大【點(diǎn)睛】本小題主要考查.第一，知識層面：考查等差數(shù)列、等比數(shù)列、對數(shù)等基礎(chǔ)知識；第二，能力層面：考查思維、運(yùn)算、分析問題和解決問題的能力.7．(1)；(2)7.【分析】(1)由題意首先求得的值，然后結(jié)合題意求得數(shù)列的公差即可確定數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)首先求得前n項(xiàng)和的表達(dá)式，然后求解二次不等式即可確定n的最小值.【詳解】(1)由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：，則：，設(shè)等差數(shù)列的公差為，從而有：，，從而：，由于公差不為零，故：，數(shù)列的通項(xiàng)公式為：.(2)由數(shù)列的通項(xiàng)公式可得：，則：，則不等式即：，整理可得：，解得：或，又為正整數(shù)，故的最小值為.【點(diǎn)睛】等差數(shù)列基本量的求解是等差數(shù)列中的一類基本問題，解決這類問題的關(guān)鍵在于熟練掌握等差數(shù)列的有關(guān)公式并能靈活運(yùn)用.8．（1）；（2）.【分析】（1）首項(xiàng)設(shè)出等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差，根據(jù)題的條件，建立關(guān)于和的方程組，求得和的值，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求得結(jié)果；（2）根據(jù)題意有，根據(jù)，可知，根據(jù)，得到關(guān)于的不等式，從而求得結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，根據(jù)題意有，解答，所以，所以等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為；（2）由條件，得，即，因?yàn)?，所以，并且有，所以有，由得，整理得，因?yàn)?，所以有，即，解得，所以的取值范圍是：【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)數(shù)列的問題，涉及到的知識點(diǎn)有等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，等差數(shù)列的求和公式，在解題的過程中，需要認(rèn)真分析題意，熟練掌握基礎(chǔ)知識是正確解題的關(guān)鍵.9．．【分析】解法一：把通項(xiàng)和前后兩項(xiàng)進(jìn)行比較，求出n的取值范圍，確定最大項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)以及具體的值；解法二：比較法確定最大項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)，可以選擇比差法，即由研究的單調(diào)性求出最大項(xiàng)；解法三：比較法確定最大項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)，可