（挑戰(zhàn)壓軸）專項27.3 相似三角形-射影定理綜合應用（解析版）

（挑戰(zhàn)壓軸）專項27.3相似三角形-射影定理綜合應用【方法技巧】一、射影定理直角三角形斜邊上的高是它分斜邊所得兩條線段的比例中項；且每條直角邊都是它在斜邊上的射影和斜邊的比例中項。如圖（１）：Ｒt△ＡＢＣ中，若ＣＤ為高，則有ＣD２＝ＢＤ?AD、ＢＣ２＝ＢＤ?ＡＢ或ＡＣ２＝ＡＤ?ＡＢ。（證明略）二、變式推廣１．逆用如圖（１）：若△ＡＢＣ中，ＣＤ為高，且有ＤＣ２＝ＢＤ?ＡＤ或ＡＣ２＝ＡＤ?ＡＢ或ＢＣ２＝ＢＤ?ＡＢ，則有∠ＤＣＢ＝∠Ａ或∠ＡＣＤ＝∠Ｂ，均可等到△ＡＢＣ為直角三角形。２．一般化，若△ＡＢＣ不為直角三角形，當點Ｄ滿足一定條件時，類似地仍有部分結論成立。（后文簡稱：射影定理變式（2））如圖（２）：△ＡＢＣ中，D為ＡＢ上一點，若∠ＣＤＢ＝∠ＡＣＢ，或∠ＤＣＢ＝∠Ａ，則有△ＣＤＢ∽△ＡＣＢ，可得ＢＣ２＝ＢＤ?AB；反之，若△ＡＢＣ中，Ｄ為ＡＢ上一點，且有ＢＣ２＝ＢＤ?ＡＢ，則有△ＣＤＢ∽△ＡＣＢ，可得到∠ＣＤＢ＝∠ＡＣＢ，或∠ＤＣＢ＝∠Ａ。【類型1：直角三角形中射影定理】1．（2021秋?二道區(qū)校級月考）如圖，小明在A時測得某樹的影長為4米，B時又測得該樹的影長為1米，若兩次日照的光線互相垂直，則樹的高度為（）米．A．2 B．4 C．6 D．8【答案】A【解答】解：如下圖：由題知，OH⊥CD，∠COD＝90°，∴∠C+∠D＝90°，∠C+∠COH＝90°，∴∠COH＝∠D，∵∠CHO＝∠OHD＝90°，∴△CHO∽△OHD，∴，∵CH＝1米，DH＝4米，∴OH＝2米，故選：A．2．（2021秋?雙柏縣期中）如圖，在Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的高，若BD＝4，CD＝6，則AD的長為（）A．8 B．9 C．10 D．12【答案】B【解答】解：根據(jù)射影定理，CD2＝AD?BD，∵BD＝4，CD＝6，∴AD＝9，故選：B．3．（麻城市校級自主招生）如圖，⊙O與Rt△ABC的斜邊AB相切于點D，與直角邊AC相交于點E，且DE∥BC．已知AE＝2，AC＝3，BC＝6，則⊙O的半徑是（）A．3 B．4 C．4 D．2【答案】D【解答】解：延長EC交圓于點F，連接DF．則根據(jù)90°的圓周角所對的弦是直徑，得DF是直徑．∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC．∴．則DE＝4．在直角△ADF中，根據(jù)射影定理，得EF＝＝4．根據(jù)勾股定理，得DF＝＝4，則圓的半徑是2．故選：D．4．（嵩縣期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB，AD＝4，BD＝9，則CD的長是（）A． B．6 C． D．【答案】B【解答】解：∵如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB，AD＝4，BD＝9，∴由射影定理得：CD2＝BD?AD＝9×4＝36，∴CD＝6（舍去負值）．故選：B．5．（2021秋?諸暨市期中）如圖所示，△ABC中，AD⊥BC于D，對于下列中的每一個條件①∠B+∠DAC＝90°；②∠B＝∠DAC；③CD：AD＝AC：AB；④AB2＝BD?BC．其中一定能判定△ABC是直角三角形的共有（）A．3個 B．2個 C．1個 D．0個【答案】A【解答】解：①不能，∵AD⊥BC，∴∠B+∠BAD＝90°，∵∠B+∠DAC＝90°，∴∠BAD＝∠DAC，∴無法證明△ABC是直角三角形；②能，∵∠B＝∠DAC，則∠BAD＝∠C，∴∠B+∠BAD＝∠C+∠DAC＝180°÷2＝90°；③能，∵CD：AD＝AC：AB，∠ADB＝∠ADC＝90°，∴Rt△ABD∽Rt△CAD，∴∠ABD＝∠CAD，∠BAD＝∠ACD，∵∠ABD+∠BAD＝90°，∴∠CAD+∠BAD＝90°，∵∠BAC＝∠CAD+∠BAD，∴∠BAC＝90°；④能，∵AB2＝BD?BC，∴，∴sin∠BAD＝sinC，∴∠BAD＝∠C．∴△CBA∽△ABD，∴△ABC一定是直角三角形．共有3個．故選：A．6．（2022?長寧區(qū)模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足為點D，如果＝，AD＝8，那么CD的長是．【答案】【解答】解：∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BCD＝90°，∵CD⊥AB，∴∠A+∠ACD＝90°，∴∠A＝∠BCD，又∠ADC＝∠CDB，∴△ADC∽△CDB，∴，＝，∴＝，即＝，解得，CD＝，故答案為：．7．（2021秋?南崗區(qū)校級月考）如圖：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC于D，若AB＝6，AD＝2，則AC＝．【答案】18【解答】解：∵BD⊥AC，∴∠ADB＝90°，∵∠ABC＝90°，∴∠ADB＝∠ABC，又∵∠A＝∠A，∴△ABD∽△ACB，∴＝，∴AB2＝AC?AD，∵AB＝6，AD＝2，∴AC＝18，故答案為：18．8.（2021春?漢陰縣期中）如圖所示，在矩形ABCD中，AE⊥BD于點E，對角線AC，BD交于O，且BE：ED＝1：3，AD＝6cm，則AE＝cm．【答案】3【解答】解：設BE＝x，因為BE：ED＝1：3，故ED＝3x，根據(jù)射影定理，AD2＝3x（3x+x），即36＝12x2，x2＝3；由AE2＝BE?ED，AE2＝x?3x；即AE2＝3x2＝3×3＝9；AE＝3．9．（2019?宜賓）如圖，已知直角△ABC中，CD是斜邊AB上的高，AC＝4，BC＝3，則AD＝．【答案】【解答】解：在Rt△ABC中，AB＝＝5，由射影定理得，AC2＝AD?AB，∴AD＝＝，故答案為：．10．（濱江區(qū)期末）如圖，在銳角△ABC中，BD⊥AC于D，DE⊥BC于E，AB＝14，AD＝4，BE：EC＝9：2，則CD＝2．【答案】2．【解答】解：∵BD⊥AC，∴∠ADB＝90°，∴BD2＝AB2﹣AD2＝142﹣42＝180，設BE＝9x，EC＝2x，∵DE⊥BC，∴BD2＝BE?BC，即180＝9x（9x+2x），解得x2＝，∵CD2＝CE?CB＝2x?11x＝22×＝40，∴CD＝2．故答案為2．11．（衢江區(qū)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于點D，BD＝4，AD＝6．（1）求證△ABD∽△CAD；（2）求AC的長．【解答】解：（1）∵Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∴∠BAD+∠CAD＝90°，∵AD⊥BC，∴∠C+∠CAD＝90°，∴∠BAD＝∠C，又∵∠ADB＝∠CDA＝90°，∴△ABD∽△CAD；（2）∵△ABD∽△CAD，∴＝，∴AD2＝BD×CD，∴CD＝＝＝9，Rt△ACD中，AC＝＝＝3．12．（2022?安徽三模）如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，AD＝AB，以BC為直徑的半⊙O與邊AD相切于點E．（1）求證：∠BCE＝∠DCE；（2）若，求DE的長．【解答】（1）證明：連接OE，∵半⊙O與邊AD相切于點E，∴∠OEA＝90°，∵∠D＝90°，∴∠D＝∠OEA＝90°，∴OE∥CD，∴∠ECD＝∠OEC，∵OE＝OC，∴∠OEC＝∠OCE，∴∠BCE＝∠DCE；（2）解：連接BE，∵BA⊥AD，OE⊥AD，CD⊥AD，∴AB∥CD∥OE，∵OB＝OC，∴AE＝DE，設DE＝AE＝x，則AD＝AB＝2x，∵BC為⊙O的直徑，∴∠BEC＝90°，∴∠DEC+∠AEB＝180°﹣∠BEC＝90°，∵∠A＝∠D＝90°，∴∠ABE+∠AEB＝90°，∴∠ABE＝∠DEC，∴△ABE∽△DEC，∴，∴，解得：，∴DE的長為．13．（2022?廣元）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC為直徑的⊙O交AB于點D，點E是邊BC的中點，連結DE．（1）求證：DE是⊙O的切線；（2）若AD＝4，BD＝9，求⊙O的半徑．【解答】（1）證明：連接OD，CD，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠DCB＝90°，∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC，∵AC是⊙O的直徑，∴∠ADC＝90°，∴∠CDB＝180°﹣∠ADC＝90°，∵點E是邊BC的中點，∴DE＝CE＝BC，∴∠DCE＝∠CDE，∴∠ODC+∠CDE＝90°，∴∠ODE＝90°，∵OD是⊙O的半徑，∴DE是⊙O的切線；（2）解：∵AD＝4，BD＝9，∴AB＝AD+BD＝4+9＝13，∵∠ACB＝∠ADC＝90°，∠A＝∠A，∴△ACB∽△ADC，∴＝，∴AC2＝AD?AB＝4×13＝52，∴AC＝2，∴⊙O的半徑為．【類型2：非直角三角形中射影定理】14.如圖，已知∠A＝70°，∠APC＝65°，AC2＝AP?AB，則∠B的度數(shù)為（）A．45° B．50° C．55° D．60°【答案】A【解答】解：∵∠A＝70°，∠APC＝65°，∴∠ACP＝180°﹣70°﹣65°＝45°．∵AC2＝AP?AB，∴＝．∵∠B＝∠B，∴△BAC∽△CPA．∴∠B＝∠ACP＝45°．故選：A．15．（2022春?任城區(qū)校級期末）如圖，在△ABC中，點D是邊AB上的一點，∠ADC＝∠ACB，AD＝2，BD＝6，（1）求證：△ACD∽△ABC；（2）求邊AC的長．【解答】（1）證明：∵∠ADC＝∠ACB，∠A為公共角，∴△ACD∽△ABC．（2）解：∵AD＝2，BD＝6，∴AB＝AD+BD＝8．∵△ACD∽△ABC，∴，即AC2＝AB?AD．∴AC＝，∴AC的長為4．16．（2017秋?金牛區(qū)校級月考）如圖，在等腰三角形ABC中，AB＝2，∠A＝90°，點E為腰AC中點，點F在底邊BC上，且FE⊥BE，求△CEF的面積．【解答】解：作EH⊥BC于H，如圖，∵∠A＝90°，AB＝2，∴BC＝AB＝2，∠C＝45°，∵點E為AC的中點，∴AE＝CE＝1，∵△CEH為等腰直角三角形，∴EH＝CH＝，∴BH＝，在Rt△ABE中，BE＝＝，在Rt△BEF中，∵EH⊥BF，∴BE2＝BH?BF，即BF＝＝∴CF＝BC﹣BF＝2﹣＝，∴△CEF的面積＝××＝．17．（鹽城校級模擬）【問題情境】如圖1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，我們可以利用△ABC與△ACD相似證明AC2＝AD?AB，這個結論我們稱之為射影定理，試證明這個定理；【結論運用】如圖2，正方形ABCD的邊長為6，點O是對角線AC、BD的交點，點E在CD上，過點C作CF⊥BE，垂足為F，連接OF，（1）試利用射影定理證明△BOF∽△BED；（2）若DE＝2CE，求OF的長．【解答】【問題情境】證明：如圖1，∵CD⊥AB，∴∠ADC＝90°，而∠CAD＝∠BAC，∴Rt△ACD∽Rt△ABC，∴AC：AB＝AD：AC，∴AC2＝AD?AB；【結論運用】（1）證明：如圖2，∵四邊形ABCD為正方形，∴OC⊥BO，∠BCD＝90°，∴BC2＝BO?BD，∵CF⊥BE，∴BC2＝BF?BE，∴BO?BD＝BF?BE，即＝，而∠OBF＝∠EBD，∴△BOF∽△BED；（2）方法一：∵BC＝CD＝6，而DE＝2CE，∴DE＝4，CE＝2，在Rt△BCE中，BE＝＝2，在Rt△OBC中，OB＝BC＝3，∵△BOF∽△BED，∴＝，即＝，∴OF＝．方法二：將△OFC繞O順時針旋轉90度得到△OGB，如圖3，由△BOF∽△BED得到∠OFB＝45°，∴∠OGB＝∠OFC＝45°+90°＝135°，∵OG＝OF，∴△OGF為等腰直角三角形，∴∠OGF＝45°，∴G點在BE上，∵BG＝CF＝，∴GF＝，∴OF＝GF＝．18．如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，過點A作AE⊥BC交BC于點E，點F在BC的延長線上，且CF＝BE，連接DF．（1）求證：四邊形AEFD是矩形；（2）連接AC，若∠