5-1-期權(quán)定價的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

1第五章〔上〕：期權(quán)定價的數(shù)學(xué)根底第一節(jié)衍生產(chǎn)品定價的三種方法第二節(jié)博弈論方法第三節(jié)資產(chǎn)組合復(fù)制第四節(jié)概率方法第五節(jié)風(fēng)險第六節(jié)多期二叉樹和套利2024/5/102第一節(jié)衍生產(chǎn)品定價的三種方法某股票現(xiàn)價為100美元，在一年后股價可以是90美元或120美元，概率并未給定，即期利率是5%。一年之后到期執(zhí)行價為105美元的股票期權(quán)的公平價格是多少？2024/5/103三種方法博弈論方法資產(chǎn)組合復(fù)制方法概率方法或期望價值方法第一節(jié)衍生產(chǎn)品定價的三種方法2024/5/104兩個假定：第一，到期日的價格只能是兩種特定價格中的一種；第二，第一個假設(shè)對三種方法都適用。第一節(jié)衍生產(chǎn)品定價的三種方法2024/5/105博弈論研究的是理性的人之間如何進(jìn)行策略選擇的。第二節(jié)博弈論方法2024/5/106第二節(jié)博弈論方法假設(shè)期權(quán)的價格為，股票的價格為，構(gòu)造如下的資產(chǎn)組合：買入股期權(quán)和股股票，假設(shè)或表示賣空。那么時資產(chǎn)組合的價值這里、是未知的。當(dāng)時：2024/5/107第二節(jié)博弈論方法一、約減隨機項讓不取決于股價漲跌該項策略說明應(yīng)該賣出兩股期權(quán)的同時買入一股股票。2024/5/108二、期權(quán)定價第二節(jié)博弈論方法解得：2024/5/109三、套利假設(shè)做市商愿意以7.25美元的價格購置期權(quán)，此時期權(quán)價格被高估了，于是出現(xiàn)套利空間。策略1：買入1股股票，賣出2股期權(quán)。本錢：第二節(jié)博弈論方法2024/5/10101年末沖銷該頭寸：投資組合：股票——期權(quán)的凈值為90美元；歸還債務(wù)本利：于是無風(fēng)險利潤：。第二節(jié)博弈論方法2024/5/1011假設(shè)做市商以7.00美元的價格提供期權(quán)，現(xiàn)在期權(quán)的價格被低估了。如何操作？第二節(jié)博弈論方法2024/5/1012策略2：逆向操作：買入2股期權(quán)，而賣出1股股票?！矡o風(fēng)險利潤：$0.30〕

第二節(jié)博弈論方法2024/5/1013結(jié)論：期權(quán)的價格一旦偏離理論價格一定幅度，投資者或者套利者可以利用這個時機通過大量買賣期權(quán)和股票賺取無風(fēng)險利潤?？梢哉J(rèn)為：市場反響快，以至任何可利用的套利時機已經(jīng)被利用，整個市場已不存在套利時機。第二節(jié)博弈論方法2024/5/1014四、一般公式第二節(jié)博弈論方法

構(gòu)造資產(chǎn)組合：買入1股衍生產(chǎn)品和賣空股票。資產(chǎn)組合的初始價值為：

選擇，使得資產(chǎn)組合的價值與股票的最終價值無關(guān)2024/5/1015第一節(jié)博弈論方法2024/5/1016第一節(jié)博弈論方法Δ量，期權(quán)價值變化與股票價格變化之比第一節(jié)博弈論方法資產(chǎn)組合的初始價值：資產(chǎn)組合的最終價值：

假設(shè)無風(fēng)險利率為r，時間長度為那么2024/5/1017于是得到衍生產(chǎn)品的定價公式：(3-1)否那么，市場將會出現(xiàn)無風(fēng)險套利時機。如何證明？2024/5/1018第一節(jié)博弈論方法一、背景2024/5/1019第二節(jié)資產(chǎn)組合復(fù)制第二節(jié)資產(chǎn)組合復(fù)制二、資產(chǎn)組合匹配

2024/5/1020包含a單位的股票和b單位的現(xiàn)金，無風(fēng)險資產(chǎn)利率為r，那么在t=0時：2024/5/1021第二節(jié)資產(chǎn)組合復(fù)制〔3-2〕

于是資產(chǎn)組合的價值和衍生證券的價值一致，該資產(chǎn)組合復(fù)制了衍生證券V。2024/5/1022第二節(jié)資產(chǎn)組合復(fù)制〔3-3〕根據(jù)〔3-2〕解得：第二節(jié)資產(chǎn)組合復(fù)制2024/5/1023將U和D分開得2024/5/1024第二節(jié)資產(chǎn)組合復(fù)制〔3-4〕其中三、期望價值定價方法無套利定價概率〔風(fēng)險中性概率〕2024/5/1025第二節(jié)資產(chǎn)組合復(fù)制〔3-5〕〔3-6〕2024/5/1026第二節(jié)資產(chǎn)組合復(fù)制如何理解式〔3-5〕可表示概率？2024/5/1027第二節(jié)資產(chǎn)組合復(fù)制定義:命題:風(fēng)險中性概率測度必是線性定價測度定理:市場無套利當(dāng)且僅當(dāng)存在風(fēng)險中性概率測度四、如何記憶用來定價的概率

2024/5/1028第二節(jié)資產(chǎn)組合復(fù)制2024/5/1029第二節(jié)資產(chǎn)組合復(fù)制〔3-7〕

例股票現(xiàn)在的價格為50美元。一年后，它的價格可能是55美元或40美元。一年期利率為4％?，F(xiàn)計算兩種看漲期權(quán)的價格，一種執(zhí)行價為48美元，另一種執(zhí)行價為53美元。同時，為一執(zhí)行價為45美元的看跌期權(quán)定價。2024/5/1030第二節(jié)資產(chǎn)組合復(fù)制假設(shè)股價為100美元，將來上漲時價格為l20美元，下跌時價格為90美元。假設(shè)觀察一年的市場行為，股票上漲的概率的合理選擇(見圖3-5)，是使股票的期望回報大致在15％左右，該回報比將100美元投資于平安的銀行賬戶要高得多。()。2024/5/1031第四節(jié)概率方法2024/5/1032第四節(jié)概率方法2024/5/1033第四節(jié)概率方法引入一個假想的投資者(HypothesisInvestor)，從此以后稱為H．I．，其有如下特征：〔1〕H．I．為風(fēng)險中性投資者，這與保守投資者有很大差異。一位風(fēng)險中性的投資者是風(fēng)險無差異的，即對于他來說，確定得到1美元的投資并不比期望值為1的不確定性投資更有吸引力。大多數(shù)人并非風(fēng)險中性?！?〕對于H．I．而言，同等回報的股票和無風(fēng)險投資之間是沒有差異的。第四節(jié)概率方法構(gòu)造一個包含1股股票的資產(chǎn)組合，那么美元，且一年以后以無風(fēng)險利率投資100美元，那么一年后得105〔r=0.05〕風(fēng)險中性的投資者，將這些投資同等看待，即：2024/5/1034

重要說明：所求出的p值并不一定和投資者的觀點以及股票市場漲跌的實際概率相對應(yīng)，它僅僅是一個產(chǎn)生與無風(fēng)險回報相等的股票回報。2024/5/1035第四節(jié)概率方法2024/5/1036第四節(jié)概率方法假設(shè)執(zhí)行價為105，那么期權(quán)合約的價值為：假設(shè)某公司的股票以60美元出售，一年以后的價格表現(xiàn)見圖3-6所示。2024/5/1037第五節(jié)對沖風(fēng)險交易商提供一個執(zhí)行價為65美元，一年后到期的看漲期權(quán)，無風(fēng)險利率為0.048，問期權(quán)的公平價格？如果交易商的報價為6.35美元賣出看漲期權(quán)，6.00元買入，兩者之差稱為交易商的差價。一客戶以每股6.35美元的價格購入100000股〔1000手〕看漲期權(quán)，交易商現(xiàn)在持有一個風(fēng)險很大的頭寸，決定通過購置股票對沖風(fēng)險，應(yīng)該買入多少股票，獲利情況如何？2024/5/1038第五節(jié)對沖風(fēng)險第五節(jié)對沖風(fēng)險解：2024/5/1039第五節(jié)對沖風(fēng)險2024/5/1040買入：此時，本錢：因此，借貸3000000-635000第五節(jié)對沖風(fēng)險情形1：股價上升到80情形2：股價下跌至502024/5/10412024/5/1042第六節(jié)兩期二叉樹2024/5/1043第六節(jié)兩期二叉樹2024/5/1044第六節(jié)兩期二叉樹假設(shè)兩期后一個衍生產(chǎn)品對應(yīng)于股票二叉樹中的每一個最終結(jié)果都有一個特定的價值，分別為如圖3-9所示。那么如何確定衍生產(chǎn)品的價格2024/5/104