山東數(shù)學中考分類匯編-有關四邊形的綜合證明題

四邊形的綜合證明題：1．（2019年濱州）如圖，矩形ABCD中，點E在邊CD上，將△BCE沿BE折疊，點C落在AD邊上的點F處，過點F作FG∥CD交BE于點G，連接CG．（1）求證：四邊形CEFG是菱形；（2）若AB＝6，AD＝10，求四邊形CEFG的面積．2．（2020年濱州）如圖，過?ABCD對角線AC與BD的交點E作兩條互相垂直的直線，分別交邊AB、BC、CD、DA于點P、M、Q、N．（1）求證：△PBE≌△QDE；（2）順次連接點P，M，Q，N，求證：四邊形PMQN是菱形．3．（2021年濱州）如圖，矩形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，BE∥AC，AE∥BD．（1）求證：四邊形AOBE是菱形；（2）若∠AOB＝60°，AC＝4，求菱形AOBE的面積．4．（2022年濱州）如圖，菱形ABCD的邊長為10，∠ABC＝60°，對角線AC、BD相交于點O，點E在對角線BD上，連接AE，作∠AEF＝120°且邊EF與直線DC相交于點F．（1）求菱形ABCD的面積；（2）求證：AE＝EF．5．（2017年濱州）如圖，在?ABCD中，以點A為圓心，AB長為半徑畫弧交AD于點F，再分別以點B、F為圓心，大于BF的相同長為半徑畫弧，兩弧交于點P；連接AP并延長交BC于點E，連接EF，則所得四邊形ABEF是菱形．（1）根據(jù)以上尺規(guī)作圖的過程，求證：四邊形ABEF是菱形；（2）若菱形ABEF的周長為16，AE＝4，求∠C的大?。?.（2017德州）如圖1，在矩形紙片ABCD中，AB＝3cm，AD＝5cm，折疊紙片使B點落在邊AD上的E處，折痕為PQ，過點E作EF∥AB交PQ于F，連接BF．（1）求證：四邊形BFEP為菱形；（2）當點E在AD邊上移動時，折痕的端點P、Q也隨之移動；①當點Q與點C重合時（如圖2），求菱形BFEP的邊長；②若限定P、Q分別在邊BA、BC上移動，求出點E在邊AD上移動的最大距離．7.（2018德州)再讀教材：寬與長的比是（約為0.618）的矩形叫做黃金矩形，黃金矩形給我們以協(xié)調、勻稱的美感，世界各國許多著名的建筑，為取得最佳的視覺效果，都采用了黃金矩形的設計，下面，我們用寬為2的矩形紙片折疊黃金矩形．（提示：MN＝2）第一步，在矩形紙片一端，利用圖①的方法折出一個正方形，然后把紙片展平．第二步，如圖②，把這個正方形折成兩個相等的矩形，再把紙片展平．第三步，折出內側矩形的對角線AB，并把AB折到圖③中所示的AD處．第四步，展平紙片，按照所得的點D折出DE，使DE⊥ND，則圖④中就會出現(xiàn)黃金矩形．問題解決：（1）圖③中AB＝（保留根號）；（2）如圖③，判斷四邊形BADQ的形狀，并說明理由；（3）請寫出圖④中所有的黃金矩形，并選擇其中一個說明理由．實際操作結合圖④，請在矩形BCDE中添加一條線段，設計一個新的黃金矩形，用字母表示出來，并寫出它的長和寬．8.（2019德州）（1）如圖1，菱形AEGH的頂點E、H在菱形ABCD的邊上，且∠BAD＝60°，請直接寫出HD：GC：EB的結果（不必寫計算過程）（2）將圖1中的菱形AEGH繞點A旋轉一定角度，如圖2，求HD：GC：EB；（3）把圖2中的菱形都換成矩形，如圖3，且AD：AB＝AH：AE＝1：2，此時HD：GC：EB的結果與（2）小題的結果相比有變化嗎？如果有變化，直接寫出變化后的結果（不必寫計算過程）；若無變化，請說明理由．9．（2018年東營）（1）某學?！爸腔鄯綀@”數(shù)學社團遇到這樣一個題目：如圖1，在△ABC中，點O在線段BC上，∠BAO＝30°，∠OAC＝75°，AO＝，BO：CO＝1：3，求AB的長．經過社團成員討論發(fā)現(xiàn)，過點B作BD∥AC，交AO的延長線于點D，通過構造△ABD就可以解決問題（如圖2）．請回答：∠ADB＝°，AB＝．（2）請參考以上解決思路，解決問題：如圖3，在四邊形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，AC⊥AD，AO＝，∠ABC＝∠ACB＝75°，BO：OD＝1：3，求DC的長．10．（2019年東營）如圖1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝2，點D、E分別是邊BC、AC的中點，連接DE．將△CDE繞點C逆時針方向旋轉，記旋轉角為α．（1）問題發(fā)現(xiàn)①當α＝0°時，＝；②當α＝180°時，＝．（2）拓展探究試判斷：當0°≤α＜360°時，的大小有無變化？請僅就圖2的情形給出證明．（3）問題解決△CDE繞點C逆時針旋轉至A、B、E三點在同一條直線上時，求線段BD的長．11．（2020年東營）如圖1，在等腰三角形ABC中，∠A＝120°，AB＝AC，點D、E分別在邊AB、AC上，AD＝AE，連接BE，點M、N、P分別為DE、BE、BC的中點．（1）觀察猜想．圖1中，線段NM、NP的數(shù)量關系是，∠MNP的大小為．（2）探究證明把△ADE繞點A順時針方向旋轉到如圖2所示的位置，連接MP、BD、CE，判斷△MNP的形狀，并說明理由；（3）拓展延伸把△ADE繞點A在平面內自由旋轉，若AD＝1，AB＝3，請求出△MNP面積的最大值．12．（2022年東營）△ABC和△ADF均為等邊三角形，點E、D分別從點A，B同時出發(fā)，以相同的速度沿AB、BC運動，運動到點B、C停止．（1）如圖1，當點E、D分別與點A、B重合時，請判斷：線段CD、EF的數(shù)量關系是，位置關系是；（2）如圖2，當點E、D不與點A，B重合時，（1）中的結論是否依然成立？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由；（3）當點D運動到什么位置時，四邊形CEFD的面積是△ABC面積的一半，請直接寫出答案；此時，四邊形BDEF是哪種特殊四邊形？請在備用圖中畫出圖形并給予證明．13．（2021?菏澤）如圖，在菱形ABCD中，點M、N分別在AB、CB上，且∠ADM＝∠CDN，求證：BM＝BN．14.（2019?菏澤）如圖，四邊形ABCD是矩形．（1）用尺規(guī)作線段AC的垂直平分線，交AB于點E，交CD于點F（不寫作法，保留作圖痕跡）；（2）若BC＝4，∠BAC＝30°，求BE的長．15.（2018?菏澤）如圖，E是?ABCD的邊AD的中點，連接CE并延長交BA的延長線于F，若CD＝6，求BF的長．16．（2021?菏澤）在矩形ABCD中，BC＝CD，點E、F分別是邊AD、BC上的動點，且AE＝CF，連接EF，將矩形ABCD沿EF折疊，點C落在點G處，點D落在點H處．（1）如圖1，當EH與線段BC交于點P時，求證：PE＝PF；（2）如圖2，當點P在線段CB的延長線上時，GH交AB于點M，求證：點M在線段EF的垂直平分線上；（3）當AB＝5時，在點E由點A移動到AD中點的過程中，計算出點G運動的路線長．17.（2018?菏澤）問題情境：在綜合與實踐課上，老師讓同學們以“矩形紙片的剪拼”為主題開展數(shù)學活動．如圖1，將：矩形紙片ABCD沿對角線AC剪開，得到△ABC和△ACD．并且量得AB=2cm，AC=4cm．操作發(fā)現(xiàn)：（1）將圖1中的△ACD以點A為旋轉中心，按逆時針方向旋轉∠α，使∠α=∠BAC，得到如圖2所示的△AC′D，過點C作AC′的平行線，與DC'的延長線交于點E，則四邊形ACEC′的形狀是．（2）創(chuàng)新小組將圖1中的△ACD以點A為旋轉中心，按逆時針方向旋轉，使B、A、D三點在同一條直線上，得到如圖3所示的△AC′D，連接CC'，取CC′的中點F，連接AF并延長至點G，使FG=AF，連接CG、C′G，得到四邊形ACGC′，發(fā)現(xiàn)它是正方形，請你證明這個結論．實踐探究：（3）縝密小組在創(chuàng)新小組發(fā)現(xiàn)結論的基礎上，進行如下操作：將△ABC沿著BD方向平移，使點B與點A重合，此時A點平移至A'點，A'C與BC′相交于點H，如圖4所示，連接CC′，試求tan∠C′CH的值．18.（2017?菏澤）正方形ABCD的邊長為6cm，點E、M分別是線段BD、AD上的動點，連接AE并延長，交邊BC于F，過M作MN⊥AF，垂足為H，交邊AB于點N．（1）如圖1，若點M與點D重合，求證：AF＝MN；（2）如圖2，若點M從點D出發(fā)，以1cm/s的速度沿DA向點A運動，同時點E從點B出發(fā)，以cm/s的速度沿BD向點D運動，運動時間為ts．①設BF＝y(tǒng)cm，求y關于t的函數(shù)表達式；②當BN＝2AN時，連接FN，求FN的長19．（2020?菏澤）如圖1，四邊形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，OA＝OC，OB＝OD+CD．（1）過點A作AE∥DC交BD于點E，求證：AE＝BE；（2）如圖2，將△ABD沿AB翻折得到△ABD'．①求證：BD'∥CD；②若AD'∥BC，求證：CD2＝2OD?BD．20.（2019?菏澤）如圖，△ABC和△ADE是有公共頂點的等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°．（1）如圖1，連接BE，CD，BE的延長線交AC于點F，交CD于點P，求證：BP⊥CD；（2）如圖2，把△ADE繞點A順時針旋轉，當點D落在AB上時，連接BE，CD，CD21.（2020濟南）如圖，在?ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，過點O的直線分別交AD，BC于點E，F(xiàn)．求證：AE＝CF．22.（2019濟南）如圖，在?ABCD中，E、F分別是AD和BC上的點，∠DAF＝∠BCE．求證：BF＝DE．23.（2018濟南）如圖，在?ABCD中，連接BD，E是DA延長線上的點，F(xiàn)是BC延長線上的點，且AE=CF，連接EF交BD于點O．求證：OB=OD．24.（2020濟南）如圖，在?ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，過點O的直線分別交AD，BC于點E，F(xiàn)．求證：AE＝CF．25.（2019濟南）如圖，在?ABCD中，E、F分別是AD和BC上的點，∠DAF＝∠BCE．求證：BF＝DE．26.（2018濟南）如圖，在?ABCD中，連接BD，E是DA延長線上的點，F(xiàn)是BC延長線上的點，且AE=CF，連接EF交BD于點O．求證：OB=OD．27．（11分）如圖1，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝10，E是CD邊上一點，連接AE，將矩形ABCD沿AE折疊，頂點D恰好落在BC邊上點F處，延長AE交BC的延長線于點G．（1）求線段CE的長；（2）如圖2，M，N分別是線段AG，DG上的動點（與端點不重合），且∠DMN＝∠DAM，設AM＝x，DN＝y(tǒng)．①寫出y關于x的函數(shù)解析式，并求出y的最小值；②是否存在這樣的點M，使△DMN是等腰三角形？若存在，請求出x的值；若不存在，請說明理由．28.如圖，在菱形ABCD中，AB=AC，點E、F、G分別在邊BC、CD上，BE=CG，AF平分∠EAG，點H是線段AF上一動點(與點A不重合)．(1)求證:△AEH≌△AGH；(2)當AB=12，BE=4時：①求△DGH周長的最小值；②若點O是AC的中點，是否存在直線OH將△ACE分成三角形和四邊形兩部分，其中三角形的面積與四邊形的面積比為1:3．若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由．29．（2019年聊城）在菱形ABCD中，點P是BC邊上一點，連接AP，點E，F(xiàn)是AP上的兩點，連接DE，BF，使得∠AED＝∠ABC，∠ABF＝∠BPF．求證：（1）△ABF≌△DAE；（2）DE＝BF+EF．30．（2020年聊城）如圖，在?ABCD中，E為BC的中點，連接AE并延長交DC的延長線于點F，連接BF，AC，若AD＝AF，求證：四邊形ABFC是矩形．.31.（2021年聊城）如圖，在四邊形ABCD中，AC與BD相交于點O，且AO＝CO，點E在BD上，滿足∠EAO＝∠DCO．（1）求證：四邊形AECD是平行四邊形；（2）若AB＝BC，CD＝5，AC＝8，求四邊形AECD的面積．32.（2022年聊城）如圖，中，點D是AB上一點，點E是AC的中點，過點C作，交DE的延長線于點F．（1）求證：；（2）連接AF，CD．如果點D是AB的中點，那么當AC與BC滿足什么條件時，四邊形ADCF是菱形，證明你的結論．33.（2018?臨沂）將矩形ABCD繞點A順時針旋轉α（0°＜α＜360°），得到矩形AEFG．（1）如圖，當點E在BD上時．求證：FD=CD；（2）當α為何值時，GC=GB？畫出圖形，并說明理由．34.（2020年臨沂）如圖，菱形的邊長為1，，點E是邊上任意一點(端點除外)，線段的垂直平分線交，分別于點F，G，，的中點分別為M，N．(1)求證：；(2)求的最小值；(3)當點E在上運動時，的大小是否變化？為什么？35．（2022年臨沂）已知△ABC是等邊三角形，點B，D關于直線AC對稱，連接AD，CD．（1）求證：四邊形ABCD是菱形；（2）在線段AC上任取一點P（端點除外），連接PD．將線段PD繞點P逆時針旋轉，使點D落在BA延長線上的點Q處．請?zhí)骄浚寒旤cP在線段AC上的位置發(fā)生變化時，∠DPQ的大小是否發(fā)生變化？說明理由．（3）在滿足（2）的條件下，探究線段AQ與CP之間的數(shù)量關系，并加以證明．36．（2021年臨沂）如圖，已知正方形ABCD，點E是BC邊上一點，將△ABE沿直線AE折疊，點B落在F處，連接BF并延長，與∠DAF的平分線相交于點H，與AE，CD分別相交于點G，M，連接HC．（1）求證：AG＝GH；（2）若AB＝3，BE＝1，求點D到直線BH的距離；（3）當點E在BC邊上（端點除外）運動時，∠BHC的大小是否變化？為什么？37..（臨沂2019）如圖，在正方形ABCD中，E是DC邊上一點，（與D、C不重合），連接AE，將△ADE沿AE所在的直線折疊得到△AFE，延長EF交BC于G，連接AG，作GH⊥AG，與AE的延長線交于點H，連接CH．顯然AE是∠DAF的平分線，EA是∠DEF的平分線．仔細觀察，請逐一找出圖中其他的角平分線（僅限于小于180°的角平分線），并說明理由．38．（2022?青島）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，點E，F(xiàn)在對角線BD上，BE＝EF＝FD，∠BAF＝∠DCE＝90°．（1）求證：△ABF≌△CDE；（2）連接AE，CF，已知①（從以下兩個條件中選擇一個作為已知，填寫序號），請判斷四邊形AECF的形狀，并證明你的結論．條件①：∠ABD＝30°；條件②：AB＝BC．（注：如果選擇條件①條件②分別進行解答，按第一個解答計分）39.（2017年青島市）（本小題滿分8分）已知：如圖，在菱形ABCD中，點E，O，F(xiàn)分別是邊AB，AC，AD的中點，連接CE、CF、OF．（1）求證：△BCE≌△DCF；（2）當AB與BC滿足什么條件時，四邊形AEOF正方形？請說明理由．40.（2019年青島市）（12分）已知：如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，OD垂直平分AC．點P從點B出發(fā)，沿BA方向勻速運動，速度為1cm/s；同時，點Q從點D出發(fā)，沿DC方向勻速運動，速度為1cm/s；當一個點停止運動，另一個點也停止運動．過點P作PE⊥AB，交BC于點E，過點Q作QF∥AC，分別交AD，OD于點F，G．連接OP，EG．設運動時間為t（s）（0＜t＜5），解答下列問題：（1）當t為何值時，點E在∠BAC的平分線上？（2）設四邊形PEGO的面積為S（cm2），求S與t的函數(shù)關系式；（3）在運動過程中，是否存在某一時刻t，使四邊形PEGO的面積最大？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由；（4）連接OE，OQ，在運動過程中，是否存在某一時刻t，使OE⊥OQ？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．41．（2021?青島）如圖，在?ABCD中，E為CD邊的中點，連接BE并延長，交AD的延長線于點F，延長ED至點G，使DG＝DE，分別連接AE，AG，F(xiàn)G．（1）求證：△BCE≌△FDE；（2）當BF平分∠ABC時，四邊形AEFG是什么特殊四邊形？請說明理由．42．（2020?青島）如圖，在?ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，點E，F(xiàn)分別在BD和DB的延長線上，且DE＝BF，連接AE，CF．（1）求證：△ADE≌△CBF；（2）連接AF，CE．當BD平分∠ABC時，四邊形AFCE是什么特殊四邊形？請說明理由．43．（2018年青島市）（8分）已知：如圖，平行四邊形ABCD，對角線AC與BD相交于點E，點G為AD的中點，連接CG，CG的延長線交BA的延長線于點F，連接FD．（1）求證：AB＝AF；（2）若AG＝AB，∠BCD＝120°，判斷四邊形ACDF的形狀，并證明你的結論．44．（2022?日照）如圖1，△ABC是等腰直角三角形，AC＝BC＝4，∠C＝90°，M，N分別是邊AC，BC上的點，以CM，CN為鄰邊作矩形PMCN，交AB于E，F(xiàn)．設CM＝a，CN＝b，若ab＝8．（1）判斷由線段AE，EF，BF組成的三角形的形狀，并說明理由；（2）①當a＝b時，求∠ECF的度數(shù)；②當a≠b時，①中的結論是否成立？并說明理由．45．（2021?日照）問題背景：如圖1，在矩形ABCD中，AB＝2，∠ABD＝30°，點E是邊AB的中點，過點E作EF⊥AB交BD于點F．實驗探究：（1）在一次數(shù)學活動中，小王同學將圖1中的△BEF繞點B按逆時針方向旋轉90°，如圖2所示，得到結論：①＝；②直線AE與DF所夾銳角的度數(shù)為．（2）小王同學繼續(xù)將△BEF繞點B按逆時針方向旋轉，旋轉至如圖3所示位置．請問探究（1）中的結論是否仍然成立？并說明理由．拓展延伸：在以上探究中，當△BEF旋轉至D、E、F三點共線時，則△ADE的面積為．46.（2019年日照）如圖，在矩形ABCD中，對角