四川省成都市成華區(qū)2020-2021學年八年級下學期期末數(shù)學試卷

2020-2021學年四川省成都市成華區(qū)八年級（下）期末數(shù)學試卷一.選擇題（本大題共10個小題，每小題3分，共30分，每小題均有四個選項，其中只有一項符合題目要求，答案涂在答題卡上）.1．當x＝1時，下列分式沒有意義的是（）A． B． C． D．2．下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．3．若a＜b，則下列結論不一定成立的是（）A．a﹣1＜b﹣1 B．a2＜b2 C． D．﹣2a＞﹣2b4．不等式3（1﹣x）＞2﹣4x的解集在數(shù)軸上表示正確的是（）A． B． C． D．5．下列運算正確的是（）A． B． C． D．6．將多項式x﹣x3因式分解正確的是（）A．x（x2﹣1） B．x（1﹣x2） C．x（x+1）（x﹣1） D．x（1+x）（1﹣x）7．已知x＝2是分式方程+＝1的解，那么實數(shù)k的值為（）A．3 B．4 C．5 D．68．如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC和BD相交于點O，下列條件不能判斷四邊形ABCD是平行四邊形的是（）A．AB∥DC，AD∥BC B．AB＝DC，AD＝BC C．OA＝OC，OB＝OD D．AB∥DC，AD＝BC9．如圖，點B在第一象限，點A在x軸的正半軸上∠AOB＝∠B＝30°，OA＝2．將△AOB繞點O逆時針旋轉90°，則點B的對應點B′的坐標是（）A．（﹣，3） B．（﹣3，） C．（﹣，） D．（﹣2，3）10．如圖，?ABCD的面積為S，點P是它內部任意一點，△PAD的面積為S1，△PBC的面積為S2，則S，S1，S2之間滿足的關系是（）A． B． C． D．無法判定二、填空題（本大題4個小題，每小題4分，共16分）11．（4分）若a+b＝4，ab＝1，則a2b+ab2＝．12．（4分）一個多邊形的內角和等于它的外角和的2倍，則這個多邊形的邊數(shù)是．13．（4分）一次函數(shù)y＝（2m﹣1）x+2﹣m的圖象經過第一、二、四象限，則m的取值范圍為．14．（4分）如圖，?ABCD的對角線AC，BD相交于點O，點E是AD的中點，連接OE，若OA＝2，△AOE的周長等于7，則?ABCD的周長等于．三、解答題（本大題共6個小題，滿分54分）15．（8分）（1）分解因式：（2a+b）2﹣（a+2b）2；（2）化簡：．16．（12分）（1）解不等式組；（2）解方程：．17．（8分）先化簡，再求值：?（+1），其中x是不等式組的整數(shù)解．18．（6分）如圖，在邊長均為1個單位長度的小正方形組成的網格中，點A，B，O均為格點（每個小正方形的頂點叫做格點）．（1）請按下列步驟作圖：①作點A關于點O的對稱點A1；②連接A1B，將線段A1B繞點A1順時針旋轉90°得線段A1B1；（2）請直接寫出（1）中四邊形ABA1B1的面積．19．（10分）暑期將至，某健身俱樂部面向學生推出了兩種打折優(yōu)惠方案，方案一：購買一張學生暑期專享卡，每次健身費用按六折優(yōu)惠；方案二：不買學生暑期專享卡，每次健身費用按八折優(yōu)惠．設某學生暑期健身x次，按照方案一所需費用為y1元，按照方案二所需費用為y2元，函數(shù)圖象分別如圖所示．（1）求y1與x的函數(shù)關系式；（2）求打折前的每次健身費用，并寫出y2與x的函數(shù)關系式；（3）小明同學計劃暑期前往該俱樂部健身，應怎樣選擇方案？20．（10分）已知AM是△ABC的中線，D是線段AM上一點（不與點A重合）．過點D作AB的平行線，過點C作AM的平行線，兩線交于點E，連結AE．（1）【模型研究】如圖1，當點D與M重合時，求證：四邊形ABDE是平行四邊形；（2）【模型推廣】如圖2，當點D不與M重合時，四邊形ABDE還是平行四邊形嗎？如果是，請證明；如果不是，請說明理由；（3）【模型應用】若△ABC是邊長為4的等邊三角形，點D是AM的中點（如圖3），請直接寫出CE的長．一、填空題（每小題4分，共20分）21．（4分）若分式的值為0，則x＝．22．（4分）若a﹣＝，則a2+值為．23．（4分）關于x的不等式組的整數(shù)解只有4個，則m的取值范圍是．24．（4分）如圖，在長方形紙片ABCD中，AB＝4，BC＝3，點P在BC邊上，將△CDP沿DP折疊，點C落在點E處，PE，DE分別交AB于點G，F(xiàn)，若GE＝GB，則CP的長為．25．（4分）將兩個全等的等腰直角三角形紙片的斜邊重合，按如圖位置放置，其中∠A＝∠BCD＝90°，AB＝AD＝CB＝CD＝2．將△ABD沿射線BD平移，得到△EGF，連接EC，GC．則EC+GC的最小值為．二.解答題（本大題有3個小題，共30分）26．（8分）在精準扶貧活動中，青春黨支部給幫扶的某貧困家庭贈送了甲、乙兩種果樹樹苗讓其栽種．已知乙種樹苗的單價比甲種樹苗的單價貴10元，用480元購買乙種樹苗的棵數(shù)恰好與用360元購買甲種樹苗的棵數(shù)相同．（1）求甲、乙兩種樹苗的單價各是多少元？（2）青春黨支部決定再次購買甲、乙兩種樹苗共50棵贈送給另一貧困家庭，此時，甲種樹苗的單價比第一次購買時降低了10%，乙種樹苗的單價不變，如果再次購買兩種樹苗的總費用不超過1500元，那么最多可購買多少棵乙種樹苗？27．（10分）如圖1，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC，點D，E分別在邊AB，AC上，AD＝AE，連接BE，點M，N，P分別為DE，BE，BC的中點，連接NM，NP．（1）圖1中，線段NM，NP的數(shù)量關系是，∠MNP的度數(shù)為；（2）把△ADE繞點A順時針旋轉到如圖2所示的位置，連接MP．求證：△MNP是等邊三角形；（3）把△ADE繞點A在平面內旋轉，若AD＝2，AB＝5，請直接寫出△MNP面積的最大值．28．（12分）如圖，在平面直角坐標系中，已知點A（1，0），將x軸繞點A順時針旋轉60°交y軸于點B，再將點B繞點A順時針旋轉90°得到點C．（1）求直線BC的解析式；（2）若點Q為平面直角坐標系中一點，且滿足四邊形ABCQ為平行四邊形，求點Q的坐標；（3）在直線BC和y軸上，是否分別存在點M和點N，使得以點M，N，A，C為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請直接寫出點M的坐標；若不存在，說明理由．

2020-2021學年四川省成都市成華區(qū)八年級（下）期末數(shù)學試卷參考答案與試題解析一.選擇題（本大題共10個小題，每小題3分，共30分，每小題均有四個選項，其中只有一項符合題目要求，答案涂在答題卡上）.1．當x＝1時，下列分式沒有意義的是（）A． B． C． D．【分析】直接利用分式有意義的條件分析得出答案．【解答】解：A、，當x＝1時，分式有意義不合題意；B、，當x＝1時，x﹣1＝0，分式無意義符合題意；C、，當x＝1時，分式有意義不合題意；D、，當x＝1時，分式有意義不合題意；故選：B．2．下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．【分析】中心對稱圖形是在平面內，把一個圖形繞某一定點旋轉180°，能夠與自身重合的圖形．軸對稱圖形是在平面內，一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合的圖形．依據(jù)定義判斷．【解答】解：A．是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不符合題意．B．不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，不符合題意．C．是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不符合題意．D．既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，符合題意．故選：D．3．若a＜b，則下列結論不一定成立的是（）A．a﹣1＜b﹣1 B．a2＜b2 C． D．﹣2a＞﹣2b【分析】選項A、C、D根據(jù)不等式的性質，分別判斷各選項即可；選項B根據(jù)乘方的定義判斷即可．【解答】解：A．∵a＜b，∴a﹣1＜b﹣1，故A不符合題意．B．a＜b，不妨設a＝﹣2，b＝1，則a2＞b2，故B符合題意．C．∵a＜b，∴，故C不符合題意．D．∵a＜b，∴﹣2a＞﹣2b，故D不符合題意．故選：B．4．不等式3（1﹣x）＞2﹣4x的解集在數(shù)軸上表示正確的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)解一元一次不等式基本步驟：去括號、移項、合并同類項可得不等式的解集，繼而可得答案．【解答】解：去括號，得：3﹣3x＞2﹣4x，移項，得：﹣3x+4x＞2﹣3，合并同類項，得：x＞﹣1，故選：A．5．下列運算正確的是（）A． B． C． D．【分析】利用分式的加減法的法則對各項進行運算，即可得出結果．【解答】解：A、，故A不符合題意；B、＝＝，故B不符合題意；C、＝＝1，故C符合題意；D、＝＝，故D不符合題意．故選：C．6．將多項式x﹣x3因式分解正確的是（）A．x（x2﹣1） B．x（1﹣x2） C．x（x+1）（x﹣1） D．x（1+x）（1﹣x）【分析】直接提取公因式x，再利用平方差公式分解因式得出答案．【解答】解：x﹣x3＝x（1﹣x2）＝x（1﹣x）（1+x）．故選：D．7．已知x＝2是分式方程+＝1的解，那么實數(shù)k的值為（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】把x＝2代入分式方程計算即可求出k的值．【解答】解：把x＝2代入分式方程得：﹣1＝1，解得：k＝4．故選：B．8．如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC和BD相交于點O，下列條件不能判斷四邊形ABCD是平行四邊形的是（）A．AB∥DC，AD∥BC B．AB＝DC，AD＝BC C．OA＝OC，OB＝OD D．AB∥DC，AD＝BC【分析】由平行四邊形的判定方法分別對各個選項進行判斷即可．【解答】解：A、∵AB∥DC，AD∥BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，故選項A不符合題意；B、∵AB＝DC，AD＝BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，故選項B不符合題意；C、∵OA＝OC，OB＝OD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，故選項C不符合題意；D、∵AB∥DC，AD＝BC，∴四邊形ABCD不一定是平行四邊形，也可能是等腰梯形，故選項D符合題意，故選：D．9．如圖，點B在第一象限，點A在x軸的正半軸上∠AOB＝∠B＝30°，OA＝2．將△AOB繞點O逆時針旋轉90°，則點B的對應點B′的坐標是（）A．（﹣，3） B．（﹣3，） C．（﹣，） D．（﹣2，3）【分析】如圖，過點B′作B′H⊥y軸于H．解直角三角形求出OH，B′H即可．【解答】解：如圖，過點B′作B′H⊥y軸于H．在Rt△A′B′H中，∵A′B′＝2，∠B′A′H＝60°，∴A′H＝A′B′cos60°＝1，B′H＝A′B′sin60°＝，∴OH＝2+1＝3，∴B′（﹣，3），故選：A．10．如圖，?ABCD的面積為S，點P是它內部任意一點，△PAD的面積為S1，△PBC的面積為S2，則S，S1，S2之間滿足的關系是（）A． B． C． D．無法判定【分析】根據(jù)題意，作出合適的輔助線，然后根據(jù)圖形和平行四邊形的面積、三角形的面積，即可得到S和S1、S2之間的關系，本題得以解決．【解答】解：過點P作EF⊥AD交AD于點E，交BC的延長線于點F，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC，∴S＝BC?EF，，，∵EF＝PE+PF，AD＝BC，∴S1+S2＝，故選：C．二、填空題（本大題4個小題，每小題4分，共16分）11．（4分）若a+b＝4，ab＝1，則a2b+ab2＝4．【分析】直接利用提取公因式法分解因式，再把已知代入求出答案．【解答】解：∵a+b＝4，ab＝1，∴a2b+ab2＝ab（a+b）＝1×4＝4．故答案為：4．12．（4分）一個多邊形的內角和等于它的外角和的2倍，則這個多邊形的邊數(shù)是6．【分析】n邊形的內角和可以表示成（n﹣2）?180°，外角和為360°，根據(jù)題意列方程求解．【解答】解：設這個多邊形的邊數(shù)為n，依題意，得：（n﹣2）?180°＝2×360°，解得，n＝6．故答案為：6．13．（4分）一次函數(shù)y＝（2m﹣1）x+2﹣m的圖象經過第一、二、四象限，則m的取值范圍為m＜．【分析】根據(jù)一次函數(shù)的性質即可求出m的取值范圍．【解答】解：∵一次函數(shù)y＝（2m﹣1）x+2﹣m的圖象經過第一、二、四象限，∴，∴m＜，故答案為m＜．14．（4分）如圖，?ABCD的對角線AC，BD相交于點O，點E是AD的中點，連接OE，若OA＝2，△AOE的周長等于7，則?ABCD的周長等于20．【分析】由平行四邊形的性質得AB＝CD，AD＝BC，OB＝OD，證OE是△ABD的中位線，則AB＝2OE，AD＝2AE，求出AE+OE＝5，則AB+AD＝2AE+2OE＝10，即可得出答案．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD，AD＝BC，OB＝OD，∵OE∥AB，∴OE是△ABD的中位線，∴AB＝2OE，AD＝2AE，∵△AOE的周長等于7，∴OA+AE+OE＝7，∴AE+OE＝7﹣OA＝7﹣2＝5，∴AB+AD＝2AE+2OE＝10，∴?ABCD的周長＝2×（AB+AD）＝2×10＝20；故答案為：20．三、解答題（本大題共6個小題，滿分54分）15．（8分）（1）分解因式：（2a+b）2﹣（a+2b）2；（2）化簡：．【分析】（1）利用平方差公式進行因式分解，然后再提取公因式；（2）先算小括號里面的，然后算括號外面的．【解答】解：（1）原式＝[（2a+b）+（a+2b）][（2a+b）﹣（a+2b）]＝（2a+b+a+2b）（2a+b﹣a﹣2b）＝（3a+3b）（a﹣b）＝3（a+b）（a﹣b）；（2）原式＝＝＝．16．（12分）（1）解不等式組；（2）解方程：．【分析】（1）由①得，x≥﹣3，由②得，x＜2，即可解不等式組；（2）方程兩邊同時乘以x﹣2，整理得x＝2，檢驗后即可求解．【解答】解：（1），由①得，x≥﹣3，由②得，x＜2，∴不等式組的解集為﹣3≤x＜2；（2），方程兩邊同時乘以x﹣2得，1﹣x＝﹣1﹣2（x﹣2）整理得，x＝2，經檢驗，x＝2是方程的增根，∴原方程無解．17．（8分）先化簡，再求值：?（+1），其中x是不等式組的整數(shù)解．【分析】根據(jù)分式的加法和乘法可以化簡題目中的式子，再根據(jù)x是不等式組的整數(shù)解，然后即可得到x的值，再將使得原分式有意義的整數(shù)值代入化簡后的式子即可解答本題．【解答】解：?（+1）＝＝＝，由不等式組，得﹣1≤x＜1，∵x是不等式組的整數(shù)解，∴x＝﹣1，0，∵當x＝﹣1時，原分式無意義，∴x＝0，當x＝0時，原式＝＝﹣．18．（6分）如圖，在邊長均為1個單位長度的小正方形組成的網格中，點A，B，O均為格點（每個小正方形的頂點叫做格點）．（1）請按下列步驟作圖：①作點A關于點O的對稱點A1；②連接A1B，將線段A1B繞點A1順時針旋轉90°得線段A1B1；（2）請直接寫出（1）中四邊形ABA1B1的面積．【分析】（1）①根據(jù)對稱性即可作點A關于點O的對稱點A1；②根據(jù)旋轉的性質即可將線段A1B繞點A1順時針旋轉90°得線段A1B1；（2）根據(jù)網格即可求出（1）中四邊形ABA1B1的面積．【解答】解：（1）①如圖，對稱點A1即為所求；②如圖，線段A1B1即為所求；（2）四邊形ABA1B1的面積為：6×8﹣2×2﹣4×4﹣4×4﹣2×6＝48﹣2﹣8﹣8﹣6＝24．19．（10分）暑期將至，某健身俱樂部面向學生推出了兩種打折優(yōu)惠方案，方案一：購買一張學生暑期專享卡，每次健身費用按六折優(yōu)惠；方案二：不買學生暑期專享卡，每次健身費用按八折優(yōu)惠．設某學生暑期健身x次，按照方案一所需費用為y1元，按照方案二所需費用為y2元，函數(shù)圖象分別如圖所示．（1）求y1與x的函數(shù)關系式；（2）求打折前的每次健身費用，并寫出y2與x的函數(shù)關系式；（3）小明同學計劃暑期前往該俱樂部健身，應怎樣選擇方案？【分析】（1）設y1與x的函數(shù)關系式為y1＝k1x+b，把點（0，30），（10，180）代入y1＝k1x+b，得到關于k1和b的二元一次方程組，求解即可；（2）根據(jù)方案一每次健身費用按六折優(yōu)惠，可得打折前的每次健身費用，再根據(jù)方案二每次健身費用按八折優(yōu)惠，求出y2與x的函數(shù)關系式；（3）根據(jù)y1，y2的函數(shù)關系式求出當兩種方案費用相等時健身的次數(shù)．再就三種情況討論．【解答】解：（1）設y1與x的函數(shù)關系式為y1＝k1x+b，∵y1＝k1x+b過點（0，30），（10，180），∴，解得，∴y1＝15x+30；（2）k1＝15表示的實際意義是：購買一張學生暑期專享卡后每次健身費用為15元；∴打折前的每次健身費用為15÷0.6＝25（元），設y2＝k2x．則k2＝25×0.8＝20，∴y2＝20x；（3）由題意可知，y1＝15x+30，y2＝20x．15x+30＝20x，解得：x＝6，∴健身6次時，選擇兩種打折優(yōu)惠方案所需費用相等，健身小于6次時，選擇方案二所需費用少，健身大于6次時，選擇方案一所需費用少．20．（10分）已知AM是△ABC的中線，D是線段AM上一點（不與點A重合）．過點D作AB的平行線，過點C作AM的平行線，兩線交于點E，連結AE．（1）【模型研究】如圖1，當點D與M重合時，求證：四邊形ABDE是平行四邊形；（2）【模型推廣】如圖2，當點D不與M重合時，四邊形ABDE還是平行四邊形嗎？如果是，請證明；如果不是，請說明理由；（3）【模型應用】若△ABC是邊長為4的等邊三角形，點D是AM的中點（如圖3），請直接寫出CE的長．【分析】（1）在△ABC中利用中位線性質定理，再利用三角形全等判定平行四邊形．（2）延長BD交EC于點F，再證△BDA與三角形DEF全等即可，（3）利用等腰三角形的三線合一，AM垂直BC，再構造直角三角形，分段求出EC的長．【解答】解：（1）設AC與ME交于點F，如圖，，在△ABC中，M為BC中點，ME∥AB，∴MF為△ABC中位線，∴F為AC中點，∴AF＝AC，∵AM∥CE，∴∠AMF＝∠CEF，∵∠AFM＝∠CFE，∴△AFM≌△CFE（AAS），∴AM＝CE，∵AM∥CE，∴四邊形ABDE是平行四邊形．（2）延長BD交CE于點F，如圖，，在△AFC中，M為BC中點，AM∥CE，∴DM為△AFC中位線，∴D為BF中點，∴BD＝DF，∵AB∥DE，AM∥CE，∴∠ABD＝∠EDF，∠BDA＝∠DFE，∴△BDA≌△DFE（ASA），∴AD＝EF，∵AD∥EF，∴四邊形ABDE是平行四邊形．（3）過點D作DF⊥BC，如圖，，∵△ABC為等邊三角形，M為BC中點，∴AM⊥BC，在Rt△ABM中，AB＝4，BM＝＝2，∴AM＝＝2，∵點D為AM中點，∴DM＝，∴CF＝，由（2）可知四邊形ABDE為平行四邊，∴AB＝AE＝4，在Rt△DFE中，DE＝4，DF＝MC＝2，∴EF＝＝2，∴CE＝EF+CF＝3．一、填空題（每小題4分，共20分）21．（4分）若分式的值為0，則x＝2．【分析】分式的值是0的條件是，分子為0，分母不為0．【解答】解：∵x2﹣4＝0，∴x＝±2，當x＝2時，x+2≠0，當x＝﹣2時，x+2＝0．∴當x＝2時，分式的值是0．故答案為：2．22．（4分）若a﹣＝，則a2+值為8．【分析】根據(jù)分式的運算法則即可求出答案．【解答】解：∵a﹣＝∴（a﹣）2＝6∴a2﹣2+＝6∴a2+＝8故答案為：823．（4分）關于x的不等式組的整數(shù)解只有4個，則m的取值范圍是﹣2≤m＜﹣1．【分析】先求出每個不等式的解集，根據(jù)已知不等式組的整數(shù)解得出關于m的不等式組，求出不等式組的解集即可．【解答】解：不等式組整理得：，解集為m＜x＜3，由不等式組的整數(shù)解只有4個，得到整數(shù)解為2，1，0，﹣1，∴﹣2≤m＜﹣1．故答案為：﹣2≤m＜﹣1．24．（4分）如圖，在長方形紙片ABCD中，AB＝4，BC＝3，點P在BC邊上，將△CDP沿DP折疊，點C落在點E處，PE，DE分別交AB于點G，F(xiàn)，若GE＝GB，則CP的長為．【分析】根據(jù)折疊的性質可得出DC＝DE、CP＝EP，由∠EOF＝∠BOP、∠B＝∠E、GE＝GB可得出△GEF≌△GBP，根據(jù)全等三角形的性質可得出GF＝GP、EF＝BP，設BF＝EP＝CP＝x，則AF＝4﹣x，BP＝3﹣x＝EF，DF＝DE﹣EF＝4﹣（3﹣x）＝x+1，在Rt△ADF中，依據(jù)AF2+AD2＝DF2，可得到x的值．【解答】解：根據(jù)折疊可知：△DCP≌△DEP，∴DC＝DE＝4，CP＝EP．在△GEF和△GBP中，，∴△OEF≌△OBP（ASA），∴EF＝BP，GF＝GP，∴BF＝EP＝CP，設BF＝EP＝CP＝x，則AF＝4﹣x，BP＝3﹣x＝EF，DF＝DE﹣EF＝4﹣（3﹣x）＝x+1，∵∠A＝90°，∴Rt△ADF中，AF2+AD2＝DF2，∴（4﹣x）2+32＝（1+x）2，∴x＝，∴CP＝，故答案為：．25．（4分）將兩個全等的等腰直角三角形紙片的斜邊重合，按如圖位置放置，其中∠A＝∠BCD＝90°，AB＝AD＝CB＝CD＝2．將△ABD沿射線BD平移，得到△EGF，連接EC，GC．則EC+GC的最小值為2．【分析】連接DE，直線AE，作點C關于直線AE的對稱點H，連接DH，先證明四邊形EGCD是平行四邊形，推出DE＝CG，推出EC+GC＝EC+ED＝HE+ED≥DH，再證明四邊形ABCD為正方形，從而H、A、C三點共線，再用勾股定理求出HD即可．【解答】解：如圖，連接DE，直線AE，作點C關于直線AE的對稱點H，連接DH，∵將△ABD沿射線BD平移，得到△EGF，∴GE＝CD且GE∥CD，∴四邊形GEDC為平行四邊形，∴ED＝CG，∴EC+GC＝EC+ED＝HE+ED≥DH，∵CH⊥AE，AE∥BD，∴CH⊥BD，∵∠A＝∠BCD＝90°，AB＝AD＝CB＝CD＝2，∴四邊形ABCD為正方形，∴AC⊥BD，∴H、A、C三點共線，記HC與BD相交于M，∴MD＝，HM＝3AM＝3MD，∵BD＝＝2，∴HD＝＝2，∴EC+GC的最小值為2．故答案為：2．二.解答題（本大題有3個小題，共30分）26．（8分）在精準扶貧活動中，青春黨支部給幫扶的某貧困家庭贈送了甲、乙兩種果樹樹苗讓其栽種．已知乙種樹苗的單價比甲種樹苗的單價貴10元，用480元購買乙種樹苗的棵數(shù)恰好與用360元購買甲種樹苗的棵數(shù)相同．（1）求甲、乙兩種樹苗的單價各是多少元？（2）青春黨支部決定再次購買甲、乙兩種樹苗共50棵贈送給另一貧困家庭，此時，甲種樹苗的單價比第一次購買時降低了10%，乙種樹苗的單價不變，如果再次購買兩種樹苗的總費用不超過1500元，那么最多可購買多少棵乙種樹苗？【分析】（1）設甲種樹苗的單價是x元，則乙種樹苗的單價是（x+10）元，利用數(shù)量＝總價÷單價，結合用480元購買乙種樹苗的棵數(shù)恰好與用360元購買甲種樹苗的棵數(shù)相同，即可得出關于x的分式方程，解之經檢驗后即可得出結論；（2）設購買m棵乙種樹苗，則購買（50﹣m）棵甲種樹苗，利用總價＝單價×數(shù)量，結合再次購買兩種樹苗的總費用不超過1500元，即可得出關于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范圍，再取其中的最大整數(shù)值即可得出結論．【解答】解：（1）設甲種樹苗的單價是x元，則乙種樹苗的單價是（x+10）元，依題意得：＝，解得：x＝30，經檢驗，x＝30是原方程的解，且符合題意，∴x+10＝30+10＝40．答：甲種樹苗的單價是30元，乙種樹苗的單價是40元．（2）設購買m棵乙種樹苗，則購買（50﹣m）棵甲種樹苗，依題意得：30×（1﹣10%）（50﹣m）+40m≤1500，解得：m≤，又∵m為整數(shù)，∴m的最大值為11．答：最多可購買11棵乙種樹苗．27．（10分）如圖1，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC，點D，E分別在邊AB，AC上，AD＝AE，連接BE，點M，N，P分別為DE，BE，BC的中點，連接NM，NP．（1）圖1中，線段NM，NP的數(shù)量關系是NM＝NP，∠MNP的度數(shù)為60°；（2）把△ADE繞點A順時針旋轉到如圖2所示的位置，連接MP．求證：△MNP是等邊三角形；（3）把△ADE繞點A在平面內旋轉，若AD＝2，AB＝5，請直接寫出△MNP面積的最大值．【分析】（1）根據(jù)點M，N，P分別為DE，BE，BC的中點，得MN＝，PN＝，MN∥AB，PN∥AC，可知MN＝PN，而∠MNP＝∠MNE+∠ENP＝∠ABE+∠AEB，即可求出∠MNP＝60°；（2）先證△ABD≌△ACE（SAS），得BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，然后由（1）同理可得MN＝PN，∠MNP＝60°；（3）先求出MN的最大值，由（2）知△MNP為等邊三角形知，MN最大時，△MNP面積的最大，求出此時的面積即可．【解答】解：（1）∵AB＝AC，AD＝AE，∴BD＝CE，∵點M，N，P分別為DE，BE，BC的中點，∴MN＝，PN＝，MN∥AB，PN∥AC，∴MN＝PN，∠ENM＝∠EBA，∠ENP＝∠AEB，∴∠MNE+∠ENP＝∠ABE+∠AEB，∵∠ABE+∠AEB＝180°﹣∠BAE＝60°，∴∠MNP＝60°，故答案為：NM＝NP，60°；（2）由旋轉得：∠BAD＝∠CAE，又∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，∵點M，N，P分別為DE，BE，BC的中點，∴MN＝，PN＝，MN∥BD，PN∥CE，∴MN＝PN，∠ENM＝∠EBD，∠BPN＝∠BCE，∴∠ENP＝∠NBP+∠NPB＝∠NBP+∠ECB，∵∠EBD＝∠ABD+∠ABE＝∠ACE+∠ABE，∴∠MNP＝∠MNE+∠ENP＝∠ACE+∠ABE+∠EBC+∠EBC+∠ECB＝180°﹣∠BAC＝60°，∴△MNP是等邊三角形；（3）由題意知BD≤AB+AD，即BD≤7，∴MN≤，由（2）知△MNP是等邊三角形，