2023-2024學(xué)年福建省莆田第五中學(xué)高二下學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試卷（解析版）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁福建省莆田第五中學(xué)2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試卷學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________一、單選題1．現(xiàn)有10元，20元，50元人民幣各一張，100元人民幣2張，從中取兩張，共可組成不同的幣值種數(shù)是（

）A．20種 B．15種 C．10種 D．7種【答案】D【分析】根據(jù)100元人民幣的張數(shù)進(jìn)行討論即可.【詳解】若沒有100元人民幣，則有種，若有一張100元人民幣，則有種，若有兩張100元人民幣，則有種，所以共可組成不同的幣值種數(shù)是種.故選：D.2．從這9個(gè)數(shù)字中任取三個(gè)數(shù)，下列事件為對(duì)立事件的是（

）A．恰有一個(gè)是奇數(shù)和有兩個(gè)是偶數(shù)B．至少有兩個(gè)是偶數(shù)和至少有兩個(gè)是奇數(shù)C．至多有一個(gè)是奇數(shù)和恰有一個(gè)是偶數(shù)D．至少有一個(gè)是奇數(shù)和至少有一個(gè)是偶數(shù).【答案】B【分析】根據(jù)對(duì)立事件、互斥事件的概念判斷即可.【詳解】從這9個(gè)數(shù)字中任取三個(gè)數(shù)，有奇偶，奇偶，奇偶，奇偶，四種情況，對(duì)于A，恰有一個(gè)是奇數(shù)和有兩個(gè)是偶數(shù)是同一個(gè)事件，故A不符；對(duì)于B，至少有兩個(gè)是偶數(shù)包括奇偶，奇偶兩種，至少有兩個(gè)是奇數(shù)包括奇偶，奇偶兩種，所以至少有兩個(gè)是偶數(shù)和至少有兩個(gè)是奇數(shù)是對(duì)立事件，故B符合；對(duì)于C，至多有一個(gè)是奇數(shù)包括奇偶，奇偶兩種，恰有一個(gè)是偶數(shù)為奇偶，所以至多有一個(gè)是奇數(shù)和恰有一個(gè)是偶數(shù)互斥，但不對(duì)立，故C不符；對(duì)于D，至少有一個(gè)是奇數(shù)包括奇偶，奇偶，奇偶三種，至少有一個(gè)是偶數(shù)包括奇偶，奇偶，奇偶三種，所以至少有一個(gè)是奇數(shù)和至少有一個(gè)是偶數(shù)不是對(duì)立事件，故D不符.故選：B.3．已知向量，向量在向量上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用投影向量的定義求解.【詳解】解：因?yàn)橄蛄?，所以，所以向量在向量上的投影向量為：，故選：A4．任意拋擲一次骰子，朝上面的點(diǎn)數(shù)記為X，則，定義事件：，，，則（

）A． B．C． D．B，C相互獨(dú)立【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，利用古典概率計(jì)算判斷ABC；利用相互獨(dú)立事件的定義判斷D.【詳解】對(duì)于A，，，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，，，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，則，C正確；對(duì)于D，由選項(xiàng)AB知，，即B，C相互不獨(dú)立，D錯(cuò)誤.故選：C5．在如圖所示的電路中，5個(gè)格子表示保險(xiǎn)匣，格子中所示數(shù)據(jù)表示通電時(shí)保險(xiǎn)絲被熔斷的概率，則當(dāng)開關(guān)合上時(shí)，電路暢通的概率是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】先求出左至中間暢通的概率，再求出中間至右暢通的概率，再利用獨(dú)立事件的概率求法求出電路通暢的概率.【詳解】當(dāng)開關(guān)合上時(shí)，電路暢通即表示左至中間暢通且中間至右暢通,左至中間暢通的概率，中間至右暢通的概率，所以電路暢通的概率.故選：D.6．若二項(xiàng)式的展開式中倒數(shù)第三項(xiàng)的系數(shù)為，則含有項(xiàng)的系數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】寫出展開式的通項(xiàng)，再根據(jù)倒數(shù)第三項(xiàng)的系數(shù)及組合數(shù)公式求出，再由通項(xiàng)計(jì)算可得.【詳解】二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)為（其中且），所以倒數(shù)第三項(xiàng)的系數(shù)為，故，即，所以，所以，解得或（舍）；則展開式的通項(xiàng)為（其中且），令，解得，所以，即展開式中含的系數(shù)為.故選：C7．已知等比數(shù)列中，存在，滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由等比數(shù)列的性質(zhì)可得，由，分類討論求的最小值.【詳解】設(shè)等比數(shù)列公比為，由得：則，得．因?yàn)?，?dāng)和時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，則的最小值為.故選：A8．在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，給定下列三個(gè)條件：①②；③直線過定點(diǎn)（2，0）.如果將上面①、②、③中的任意一個(gè)作為條件，余下兩個(gè)作為結(jié)論，則構(gòu)成的三個(gè)命題中，真命題的個(gè)數(shù)是（

）A．3 B．2 C．1 D．0【答案】A【分析】設(shè)直線的方程為：，與拋物線交點(diǎn)，聯(lián)立直線和拋物線方程，依次將①、②、③作為條件均可以推出剩下兩個(gè)結(jié)論，三個(gè)命題全真.【詳解】由題直線與拋物線交于兩個(gè)點(diǎn)，所以不能垂直于y軸，設(shè)直線的方程為：，與拋物線交點(diǎn)，由，整理得：，，，，，下面依次證明：①作為條件，②、③作為結(jié)論：，則，所以，直線方程為必過定點(diǎn)（2，0）.所以①作為條件，②、③作為結(jié)論是真命題；②作為條件，①、③作為結(jié)論：則，所以，直線方程為必過定點(diǎn)（2，0）.所以②作為條件，①、③作為結(jié)論是真命題；③作為條件，①、②作為結(jié)論：直線過定點(diǎn)（2，0），則，所以，.所以③作為條件，①、②作為結(jié)論是真命題；三個(gè)命題均得證，所以真命題3個(gè).故選：A【點(diǎn)睛】此題考查直線與拋物線位置關(guān)系相關(guān)命題，考查對(duì)基本量的運(yùn)算，在設(shè)直線方程時(shí)有待考究選擇哪一種形式，不同命題分別求出其等價(jià)形式，若能記住拋物線常見的二級(jí)結(jié)論，解此題能節(jié)省很多時(shí)間，不必太多計(jì)算.二、多選題9．若，其中，則下列說法正確的是（

）A．B．C．D．【答案】AC【分析】令即可判斷A；根據(jù)等式左右兩邊的系數(shù)即可判斷B；令即可判斷C；令即可判斷D.【詳解】對(duì)于A，令，左邊，右邊，所以，故A正確；對(duì)于B，左邊展開式項(xiàng)的為，右邊展開式項(xiàng)的為，所以，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，令，左邊，右邊，所以，故C正確；對(duì)于D，令，左邊，右邊所以，即，故D錯(cuò)誤.故選：AC.10．2023年旅游市場(chǎng)強(qiáng)勁復(fù)蘇，7，8月的暑期是旅游高峰期．甲、乙、丙、丁四名旅游愛好者計(jì)劃2024年暑期在北京、上海、廣州三個(gè)城市中隨機(jī)選擇一個(gè)去旅游，每個(gè)城市至少有一人選擇．事件M為“甲選擇北京”，事件N為“乙選擇上?！保瑒t下列結(jié)論正確的是（

）（A．事件與互斥 B．C． D．【答案】BC【分析】根據(jù)互斥事件的含義判斷A；根據(jù)條件概率公式求出的值，判斷B；根據(jù)對(duì)立事件的概率計(jì)算，判斷C；根據(jù)并事件的概率計(jì)算，判斷D.【詳解】對(duì)于A，甲選擇北京與乙選擇上?？赡軙?huì)同時(shí)發(fā)生，即事件與會(huì)同時(shí)發(fā)生，不互斥，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由題意知共有事件個(gè)數(shù)，事件與的個(gè)數(shù)均為個(gè)，故，,則，，即，B正確，對(duì)于C，，C正確；對(duì)于D，，D錯(cuò)誤，故選：BC11．如圖，在直三棱柱中，為的中點(diǎn)，過的截面與棱分別交于點(diǎn)，則下列說法中正確的是（

）A．存在點(diǎn)，使得B．線段長度的取值范圍是C．當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，四棱錐的體積為2D．當(dāng)為線段中點(diǎn)時(shí)，三棱錐外接球的表面積為【答案】BCD【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)，，利用空間向量垂直的坐標(biāo)表示可判斷A選項(xiàng)；求出與的關(guān)系式，利用反比例函數(shù)的基本性質(zhì)可確定線段長度的取值范圍；利用錐體和臺(tái)體的體積公式可求得錐體的體積；設(shè)外接球球心，列方程求解可得球心，即可得球的表面積.【詳解】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，設(shè)點(diǎn)，，其中，，若存在點(diǎn)，使得，則，解得，不合題意，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，設(shè)，其中、，即，即，可得，，則，所以，，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，，則，此時(shí)點(diǎn)為的中點(diǎn)，如圖所示：在直三棱柱中，四邊形為矩形，則且，、分別為、的中點(diǎn)，則且，所以，且，同理且，且，所以，，故幾何體為三棱臺(tái)，，，，，因此，，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)為線段中點(diǎn)時(shí)，，則，此時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)重合，此時(shí)三棱雉外接球球心必在過中點(diǎn)且與面垂直的線上，如圖：設(shè)，所以，即，解得所以三棱雉外接球半徑為，所以外接球的表面積為，D對(duì).故選：BCD.三、填空題12．有9本不同的書，其中語文書2本，英語書3本，數(shù)學(xué)書4本，現(xiàn)隨機(jī)拿出2本.兩本書不同類的概率為.【答案】【解析】求出基本事件的總數(shù)和所求事件包含的基本事件數(shù)，再用古典概型的概率公式計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】從9本不同的書中隨機(jī)拿出2本，共有種，其中兩本書不同類的有種，所以所求事件的概率為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了組合數(shù)，考查了古典概型的概率公式，屬于基礎(chǔ)題.13．某社區(qū)計(jì)劃在該小區(qū)內(nèi)如圖所示的一塊空地布置花卉，要求相鄰區(qū)域布置的花卉種類不同，且每個(gè)區(qū)域只布置一種花卉，若有5種不同的花卉可供選擇，則不同的布置方案有.

【答案】540【分析】給5塊不同的區(qū)域標(biāo)別布置A，B，D區(qū)域的花卉，繼而討論B，E是否布置同種花卉，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，即可得答案.【詳解】如圖：給5塊不同的區(qū)域標(biāo)上字母，

可先在A中布置花卉，有5種不同的布置方案，再在B中布置花卉，有4種不同的布置方案，再在D中布置花卉，有3種不同的布置方案，若區(qū)域B，E布置同種花卉，則C有3種不同的布置方案，若區(qū)域B，E布置不同的花卉，則E有2種不同的布置方案，C有3種不同的布置方案，故不同的布置方案有種，故答案為：54014．“垛積術(shù)”在我國古代早期主要用于天文歷法，后來用于求高階等差級(jí)數(shù)的和.元代數(shù)學(xué)家朱世杰在沈括（北宋時(shí)期數(shù)學(xué)家）、楊輝（南宋時(shí)期數(shù)學(xué)家）研究成果的基礎(chǔ)上，在《四元玉鑒》中利用了“三角垛”求一系列重要的高階等差級(jí)數(shù)的和.例如，欲求數(shù)列，，，…，，的和，可設(shè)計(jì)一個(gè)正立的行三角數(shù)陣，即正三角形的區(qū)域中所有數(shù)的分布規(guī)律為：第1行為1個(gè)，第2行為2個(gè)，第3行為3個(gè)，…，第行為個(gè)1；再選一個(gè)數(shù)列（其前項(xiàng)和已知），可設(shè)計(jì)一個(gè)倒立的行三角數(shù)陣，即正三角形的區(qū)域中所有數(shù)的分布規(guī)律為：第1行為個(gè)，第2行為個(gè)，第3行為個(gè)，…，第行為1個(gè)1.這兩個(gè)三角數(shù)陣就組成一個(gè)行列的菱形數(shù)陣.若已知，則運(yùn)用垛積術(shù)，求得數(shù)列，，，…，，的和為.

【答案】【分析】根據(jù)菱形區(qū)域的個(gè)數(shù)，結(jié)合公式，化簡變形求值.【詳解】正三角形的區(qū)域與正三角形的區(qū)域的所有數(shù)的和為而正三角形區(qū)域的所有數(shù)的和為，所以正三角形的區(qū)域的所有數(shù)的和為，故答案為：四、解答題15．某城市地鐵公司為鼓勵(lì)人們綠色出行，決定按照乘客經(jīng)過地鐵站的數(shù)量實(shí)施分段優(yōu)惠政策，不超過12站的地鐵票價(jià)如下表：乘坐站數(shù)票價(jià)（元）357現(xiàn)有甲、乙兩位乘客同時(shí)從起點(diǎn)乘坐同一輛地鐵，已知他們乘坐地鐵都不超過12站，且他們各自在每個(gè)站下地鐵的可能性是相同的．(1)若甲、乙兩人共付車費(fèi)8元，則甲、乙下地鐵的方案共有多少種？(2)若甲、乙兩人共付車費(fèi)10元，則甲比乙先下地鐵的方案共有多少種？【答案】(1)24種(2)21種【分析】（1）由題意得甲、乙兩人其中一人乘坐地鐵站數(shù)不超過3站，另外一人乘坐地鐵站數(shù)超過3站且不超過7站，即可求解；（2）甲比乙先下地鐵的情形有兩類：第一類，甲乘地鐵站數(shù)不超過3站，乙乘地鐵站數(shù)超過7站且不超過12站，第二類，甲、乙兩人乘地鐵站數(shù)都超過3站且不超過7站，結(jié)合組合數(shù)公式和分類加法計(jì)數(shù)原理，即可求解．【詳解】（1）解：若甲、乙兩人共付車費(fèi)8元，則其中一人乘坐地鐵站數(shù)不超過3站，另外一人乘坐地鐵站數(shù)超過3站且不超過7站，共有（種），故甲、乙下地鐵的方案共有24種.（2）若甲、乙兩人共付車費(fèi)10元，則甲比乙先下地鐵的情形有兩類：第一類，甲乘地鐵站數(shù)不超過3站，乙乘地鐵站數(shù)超過7站且不超過12站，有（種）；

第二類，甲、乙兩人乘地鐵站數(shù)都超過3站且不超過7站，記地鐵第四站至第七站分別為，易知甲比乙先下地鐵有以下三種情形：①甲站下，乙下地鐵方式有種；②甲站下，乙下地鐵方式有種；③甲站下，乙只能從下地鐵，共有1種方式，共有（種），依據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，得（種），故甲比乙先下地鐵的方案共有21種．16．已知數(shù)列是各項(xiàng)為正數(shù)的數(shù)列，前n項(xiàng)和記為，，()，(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用與的關(guān)系，以取代構(gòu)造等式，兩式作差得遞推關(guān)系，再變形可證明數(shù)列是等差數(shù)列，進(jìn)而求出通項(xiàng)；（2）分奇偶討論，利用并項(xiàng)求和法求解前n項(xiàng)和.【詳解】（1）由題意得①，且，當(dāng)時(shí)，，解得或(舍去)，當(dāng)時(shí)，②·∴①②得，∴，∵，∴，∴數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，∴.所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為；（2）由（1）得，則當(dāng)，且時(shí)，，n為偶數(shù)時(shí)，，n為奇數(shù)時(shí)，則為偶數(shù)，由上式可知，，所以.所以，.17．作為影視打卡基地，都勻秦漢影視城推出了4大影視博物館：陳情令館、慶余年館、大秦館、雙世寵妃館，館內(nèi)還原了影視劇中部分經(jīng)典場(chǎng)景，更有豐富的、具有特色的影視劇紀(jì)念品供游客選擇；國慶期間甲、乙等5名同學(xué)準(zhǔn)備從以上4個(gè)影視館中選取一個(gè)景點(diǎn)游覽，設(shè)每個(gè)人只選擇一個(gè)影視館且選擇任一個(gè)影視館是等可能的.(1)分別求“恰有2人選擇慶余年館”和“甲選擇慶余年館且乙不選擇陳情館”的概率；(2)事件“5人中選擇博物館物個(gè)數(shù)為”，求的值.【答案】(1)“恰有人選擇慶余年館”的概率為，“甲選擇慶余年館且乙不選擇陳情館”的概率為(2)答案見解析【分析】（1）設(shè)“恰有人選擇慶余年館”為事件，設(shè)“甲選擇慶余年且乙不選擇陳情館”為事件，求出所有可能選擇的方式的種數(shù)，利用排列組合思想求出事件、所包含的基本事件數(shù)，利用古典概型的概率公式可求得這兩個(gè)事件的概率；（2）利用古典概型求解即可.【詳解】（1）所有可能選擇的方式有種，設(shè)“恰有2人選擇慶余年館”為事件，則其余人每人都有種選擇，所以，設(shè)“甲選擇慶余年且乙不選擇陳情館”為事件，則乙有種選擇，其余人每人都有種選擇，則，則“恰有人選擇慶余年館”的概率為，“甲選擇慶余年館且乙不選擇陳情館”的概率為；（2），，，.18．如圖，在三棱錐中，平面平面，，為的中點(diǎn)，是邊長為1的等邊三角形，且.(1)求直線和平面所成角的正弦值；(2)在棱上是否存在點(diǎn)，使二面角的大小為？若存在，并求出的值.【答案】(1)(2)存在，【分析】（1）首先求得，然后建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求得直線和平面所成角的正弦值.（2）設(shè)，利用二面角的大小列方程，求得，進(jìn)而求得.【詳解】（1）分別取CB、CD的中點(diǎn)為F、G，連結(jié)OF、OG，∵為的中點(diǎn)，是邊長為1的等邊三角形，∴是直角三角形，，，，∵CB、CD的中點(diǎn)為F、G，∴，，，∵，為的中點(diǎn)，∴，又∵平面平面，平面平面，平面，∴平面，是三棱錐底面的高，是直角三角形∵，∴，以O(shè)點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)F、OG、OA所在的直線為軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，∴，，，設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則，即，令，則，，，，，∴直線和平面所成角的正弦值等于；（2）在棱上存在點(diǎn)，使二面角的大小為.設(shè)由（1）知，，，是平面的一個(gè)法向量，設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則，即，取，，，∵二面角的大小為，∴，即，整理得，，解得，或（舍去），所以，，，所以，在棱上存在點(diǎn)，使二面角的大小為，.19．在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)圓與圓內(nèi)切，且與圓外切，記動(dòng)圓的圓心的軌跡為.(1)求軌跡的方程；(2)設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)且與坐標(biāo)軸不垂直的直線與軌跡交于兩