2020-2021學(xué)年新余市高一年級上冊期末數(shù)學(xué)試卷(含解析)

2020-2021學(xué)年新余市高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷

一、單選題（本大題共12小題，共60.0分）

1.已知直線1與橢圓亡+”=1交于4,B兩點(diǎn)，且點(diǎn)M（2,l）是弦4B的中點(diǎn)，則直線Z的方程為（）

164

A.%+2y-4=0B.2%+y—5=0C.2x—y—3=0D.x—2y—3=0

2.下列命題中，真命題是（）

A.VxG/?,%2—%—1>0

B.Ver,0ER,sin（a+/?）<sina+sin^

C.函數(shù)y=2s譏（％+g）的圖象的一條對稱軸是％=JTI

D.3（z,§eR,sin（a+0）=cosa+cos/?

3,已知正四棱錐,霸-/1麝雷:的側(cè)棱長與底面邊長都相等，感是,離殿的中點(diǎn)，則/嚏；.徽所成的角

的余弦值為（）

A.-B.蟲C.eD.-

4.函數(shù).四礴=如常帶室M-匾的零點(diǎn)所在的區(qū)間為（）

「神飛威飛『窗："％

A.仃寓B.??C.??D.?

5.設(shè)a、b、c表示三條互不重合的直線，a、￡表示兩個(gè)不重合的平面，則使得“a〃6”成立的一

個(gè)充分條件為（）

A.a1c,b1cB.a〃a,b//a

C.a//a,aC0=b,au0D.b1a,c//a,ale

6,若過點(diǎn)2（2,—2）和點(diǎn)8（5,0）的直線與過點(diǎn)。（2科1）和點(diǎn)（2（—1,—6）的直線平行，則小的值為（）

A.—1B.1C.2D.-

7.如圖，△4。0是△力。B用斜二測畫法畫出的直觀圖.貝必408的

面積是（）

A.8V2

B.16

C.8

D.16V2

8./（x）=V5sin（3x+，）（3>0）,在（0,3］恰有兩條對稱軸方程，則3的范圍是（）

A.覃兀）B.尊者）C.尊音）D.生詈］

9,正方形ZBCD-4B1C1D1中，若前=2西，P在底面4BCD內(nèi)運(yùn)動(dòng)，且滿足涓=而，則點(diǎn)P的

軌跡為（）

A.圓弧

C.橢圓的一部分D.拋物線的一部分

10.如圖，是某幾何體的三視圖，該幾何體的軸截面的面積為8,則該幾何體的外

接球的表面積為（）

A125

'?三兀

B.257r

25

一71

C.2

D.IOOTT

11.圓％2+y2+2%+4y_3=0上到直線X+y+1=0的距離為8的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

12.如圖所示是一個(gè)正方體的表面展開圖，點(diǎn)4B,C均為棱的中點(diǎn)，。是頂

點(diǎn)，則在正方體中，異面直線48和CD的夾角的余弦值為（）

A2

BT

C.粵

DT

二、單空題（本大題共4小題，共20.0分）

13.若I,也為兩條不重合的直線，a,0,y為三個(gè)互不重合的平面，給出下面四個(gè)命題：

①a_Ly,)51y,則a10；

②a1y,S〃y，則a"；

@l//a,I10,則a10；

④若l//a,則1平行于a內(nèi)的所有直線；

⑤若l//a,n//a,則1〃n.

其中正確命題的序號是.

14.若直線y=%+t與方程x-1=千所表示的曲線恰有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)t的取值范圍

為.

15.底面半徑為1cm的圓柱形容器里放有四個(gè)半徑為六山的實(shí)心鐵球，四個(gè)球兩兩相切，其中底層

兩球與容器底面相切.現(xiàn)往容器里注水，使水面恰好浸沒所有鐵球，則需要注水cm3.

16.設(shè)實(shí)數(shù)編般滿足/普/-跳=?,則J蠅普珍的最大值是.

三、解答題(本大題共6小題，共70.0分)

17.已知三角形ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為4(5,1),5(7,-3),C(2,—8),求直線AB及4B邊上的中線

的直線方程.

19.已知f(l—2久)=*(久40),那么/《)=

-1

20.已知點(diǎn)4(—2,—1)和B(2,l),點(diǎn)P滿足%p=—“設(shè)曲線C是點(diǎn)P的軌跡.

(/)求曲線C的方程；

(〃)求點(diǎn)P到點(diǎn)M(O,1)距離的最大值.

21.如圖，在四棱錐P—4BCD中，PCl^ABCD,底面4BCD是直角梯形，AB1AD,AB//CD,

AB=2AD=2CD=2,E是PB的中點(diǎn).

(1)求證：平面E2C1平面PBC；

(2)若二面角P-AC-E的余弦值為遒,求直線P4與平面E4C所成角的正弦值.

獸

22.如圖，在四棱錐P—A8CD中，PD_L平面4BCD,AB//DC,ABLAD,BC=5,DC=3,AD=4,

乙PAD=60°.

(1)若M為24的中點(diǎn)，求證：DM//平面PBC；

(2)求三棱錐。-PBC的體積.P&

參考答案及解析

1.答案：A

解析：

本題考查中點(diǎn)弦的方程的求法，屬于基礎(chǔ)題.

中點(diǎn)弦問題，利用點(diǎn)差法求斜率，進(jìn)而求出直線方程.

解:設(shè)A,B的坐標(biāo)分別為B(x2,y2),

(五+城=1

)164

國或=1'

1164

作差得紇絲.2及=紇及*1=_工，

%1一%2%1+%2%1—%224

」?^AB=一1，

?,?直線/的方程為y-1=-1(x-2),即久+2y-4=0.

故選：A.

2.答案：D

解析：試題分析：對于全稱命題4B,欲說明其為假，只須舉一個(gè)反例即可；對于選項(xiàng)C,只須將

%的值代入，看函數(shù)是否取最值即可，能取到最值就是函數(shù)的對稱軸；對于存在性命題。，欲說明其

為假，也只須找一個(gè)特例即可.

A：v%2—%—1=(%—i)2-->一三恒成立，當(dāng)久=工時(shí)，x2—x—1>0不成立，故V%ER,X2—x—

2442

1>0是假命題.

B：當(dāng)a=0,S=0時(shí)，sin(a+S)=0,sina+sin^=0,sin(a+夕)<sina+siziS不成立，故B

為假；

C：當(dāng)％="時(shí)，y=2s譏(％+￡)=2s皿等+g)=0,不取最值，故直線％=，兀不是f(%)的對稱軸；

D：sin(-+-)=cos-+cos-=0,

v22722

3a,PER,使sin(a+/?)=cosa+cos夕成立.0為真;

故選D

3.答案：C

解析：試題分析：設(shè)邊長為1,取BD中點(diǎn)F,連接EF,AF,在口茶庭密中庭解=N您f=史"翱意=#

雪萋鬟

.-忠婢左密=昱，異面直線所成角余弦值避

圈3;

考點(diǎn)：異面直線所成角

點(diǎn)評：先平移為相交直線找到其所成角，再解三角形求角

4.答案:C

解析：試題分析：施源:=T，頻各!：=刎？一3ka施降=如公-2；魂，於珍=■通，.??

激毒忌Y，選心

考點(diǎn)：二分法.

5.答案：C

解析：解：A：當(dāng)ale,blc時(shí)，則可/b或a與b相交或異面，.以錯(cuò)誤，

B-.當(dāng)4/a,b〃a時(shí)，則￡1〃》或a與b相交或異面，錯(cuò)誤，

C：當(dāng)?！ㄔLau￡,aC/?=6時(shí)，則4/b,；.C正確，

D-.當(dāng)61a,c〃a時(shí)，.，.61c,,；a1c,則a〃/?或a與b相交或異面，;。錯(cuò)誤，

故選：C.

由線線垂直的性質(zhì)判斷4由線面平行的性質(zhì)判斷B,由線面平行的性質(zhì)判斷C,由線面平行垂直的

性質(zhì)判斷。.

本題考查了空間直線與直線，直線與平面和平面與平面之間的位置關(guān)系，屬于中檔題.

6.答案：B

解析：

分別求出過點(diǎn)4(2,—2)、B(5,0)的直線與過點(diǎn)P(2科1)、Q(—1,—zn)的直線的斜率，由斜率相等列式

求解ni的值.

本題考查了直線的斜率與直線平行的關(guān)系，考查了由直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)求直線的斜率，是基礎(chǔ)題.

解:由4(2,-2)、B(5,0)得,

過力、B的直線的斜率AAB==2=|，

過點(diǎn)P(2m,l)、(?(一1,一小)的直線的斜率沖(3=黑，

,過點(diǎn)4(2,-2)、B(5,0)的直線與過點(diǎn)P(2zn,l)、Q(—l,-㈤的直線平行,

?1+m=?2解A73Z何FI：根=LY

故選：B.

7.答案：B

解析：解：由直觀圖和原圖形的關(guān)系易知，

AAOB中底邊OB=4,底邊。B上的高線長為8,

的面積為

S=±1x4x8=16.

2

故選：B.

由直觀圖和原圖形的關(guān)系易知AAOB的底邊0B以及。B上的高線，計(jì)算它的面積即可.

本題考查了斜二測畫法的直觀圖應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題.

8.答案：C

解析：解：由3尤+￡=k7r+，得久=竺學(xué)，即對稱軸方程為％=竺蘭，k&Z,

。N30）

當(dāng)k=o時(shí)，第一條對稱軸為x=F，

當(dāng)k=l時(shí)，第2條對稱軸為龍=9，

3（0

k—2時(shí)，第3條對稱軸為第=箸，

若在（0,3］恰有兩條對稱軸方程，

f±L<3（a）>-

貝電廠Q，得一7〉即”3〈季

—>3（1）<一

13coI9

即3的取值范圍是年,音）.

故選：C.

根據(jù)三角函數(shù)的對稱性求出對稱軸方程，結(jié)合在（0,3］恰有兩條對稱軸方程，建立不等式關(guān)系進(jìn)行求

解即可.

本題主要考查三角函數(shù)對稱性的應(yīng)用，求出函數(shù)的對稱軸，建立不等式關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.

9.答案：A

解析：解：設(shè)正方體的棱長為6,距離如圖所示的空間直角坐標(biāo)

系,

x

可得：設(shè)P(x,y,z),G(0,36),則M(0,3,4),心(0,—3,6),￡)(0,-3,0),C(0,3,0),

r)PCP

在底面力內(nèi)運(yùn)動(dòng)，且滿足至定，

PBCD"17r=Ivlr

可得.Jx2+(y+3)2=J/+°-3)2

守*jN+(y+3)2+62Jx2+(y―3)2+42,

化簡可得：5x2+5y2-78y+57=0,x>0.

故選：A.

距離空間直角坐標(biāo)系，利用空間距離公式，轉(zhuǎn)化求解即可.

本題考查軌跡方程的求法，科技直角坐標(biāo)系的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力，是中檔題.

10.答案：B

解析：解：由題意可知幾何體是圓錐，底面半徑為「=2,圓錐的高為％,

軸截面的面積為：jx4h=8,可得八=4,(/''、、，)

設(shè)圓錐的外接球的半徑為R.則(h-R)2+r2=R2,弋三三才

解得R=|,所以外接球的表面積為：4兀膽=25兀.

故選：B.

判斷幾何體的形狀，求出外接球的半徑，然后求解該幾何體的外接球的表面積.

本題考查了圓錐的三視圖及外接球的表面積計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.

11.答案：B

解析：

本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，以及點(diǎn)到直線的距離公式，屬于簡單題.

圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，找出圓心坐標(biāo)與半徑，求出圓心到已知直線的距離，判斷即可求解.

解：圓方程變形得：0+1)2+0+2)2=8,即圓心(一1,一2),半徑r=2a,

圓心到直線久+y+1=0的距離d=?=V2,

r—d-V2<V3>r+d=3&>V3>

則圓上到直線x+y+1=0的距離為百的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2,

故選8.

12.答案：C

解析：

本題考查異面直線的夾角的余弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意正方體的結(jié)構(gòu)特征

的合理運(yùn)用.

正方體的表面展開圖還原成正方體，能求出異面直線48和。。的夾角的余弦值.

解：正方體的表面展開圖還原成正方體，如圖，

則異面直線4B和CD所成角為NEFG,

設(shè)正方體棱長為2,

在AEFG中，EF=DC=逐,EG=V5,FG=2&,

???cosZ-EFG=匯=窄=逗.

EFV55

???異面直線和CD的夾角的余弦值為誓.

故選：C.

13.答案：②③

解析：解：由I,n為兩條不重合的直線，a,0,y為三個(gè)互不重合的平面，知：

在①中，由aly,￡ly，得a與￡相交或平行，故①錯(cuò)誤；

在②中，由aly,P//Y，則由面面垂直的判定定理得a_L0,故②正確；

在③中，由Z〃a,則由面面垂直的判定定理得a1故③正確；

在④中，若〃/a,則I與a內(nèi)的所有直線平行或異面，故④錯(cuò)誤；

在⑤中，若〃/a,n//a,貝股與n相交、平行或異面，故⑤錯(cuò)誤.

故答案為：②③.

在①中，a與/?相交或平行；在②中，由面面垂直的判定定理得al色在③中，由面面垂直的判定

定理得a10；在④中，2與a內(nèi)的所有直線平行或異面；在⑤中，1與n相交、平行或異面.

本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系，考查推理論證能力、運(yùn)算

求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是中檔題.

14.答案:(-V2-1,-2]

解析：

本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查點(diǎn)到直線的距離公式，利用數(shù)形結(jié)合以及直線和圓相切的條件

是解決本題的關(guān)鍵.根據(jù)題意畫出曲線X-1="=于的圖象，結(jié)合圓與直線的位置關(guān)系的判定進(jìn)

而得到答案.

解：由x-l=平方得0-1)2=l-y2,

即(*-1)2+y2=1,(-1<y<1,X>1)

方程x-1=三7對應(yīng)的曲線是以(1，°)為圓心，半徑為1的右

半圓，

當(dāng)直線y=x+t經(jīng)過點(diǎn)4(1,-1)時(shí)，直線和曲線有兩個(gè)不同的交

點(diǎn)，

此時(shí)—1=1+3得t=-2,

當(dāng)直線y=x+t在第四象限與圓相切時(shí)，有一個(gè)交點(diǎn)，

此時(shí)圓心到直線的距離d=等=1，

得+1|=V2>得t=V2一1(舍)或t=-V2一1>

要使直線和曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，

則直線位于切線y=x-V2-1和直線y=x-2之間,

則t7兩足—V2—1<t<—2>

即實(shí)數(shù)t的取值范圍是(-魚-1,-2],

故答案為：(―魚―1,-2].

15.答案：(|+f)7T

解析：解：設(shè)四個(gè)實(shí)心鐵球的球心為01，02,。3,。4,其中。1，。2為

下層兩球的球心，4B,C,。分別為四個(gè)球心在底面的射影，貝IMBCD

是一個(gè)邊長為返的正方形.

2

所以注水高為1+四.

2

故應(yīng)注水兀(1+—4x=(1+/)兀

故答案為：(|+f)7r.

先確定四個(gè)球心在底面的射影，構(gòu)成一個(gè)正方形，從而求出注水高，利用柱體的體積減去4個(gè)實(shí)心鐵

球的體積，即可求得結(jié)論.

本題考查體積的計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于基礎(chǔ)題.

16.答案：2.

解析：試題分析：由題意，d怛/=翦.，即聲覆=而，因此只要求出朋的最大值即可,

又由/書』/-翦.=融得，-駕屏=-/三蚓，.?』啊朋匕鼠即朋最大值為2,故西的最大值為

考點(diǎn)：約束條件下的最值問題.

17.答案：解：???4(5,1),B(7,-3),C(2,-8),

.??2B的中點(diǎn)。(6,—1),

二直線4B的方程為；)=^―|,

—3—1/—5

化為一般式可得2%+y-11=0;

同理可得力B邊上的中線CD的方程為唔=三f.

—l+oo—Z

化為一般式可得7x—4y—46=0.

解析：由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得2B的中點(diǎn)D的坐標(biāo)，由兩點(diǎn)式可得直線的方程，化為一般式即可.

本題考查直線的一般式方程和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，屬基礎(chǔ)題.

18.答案：(1)證明：連結(jié)4的，交4C點(diǎn)。，連D。，

則。是4G的中點(diǎn)，

因?yàn)?。?B的中點(diǎn)，

所以。。是AABCi的中位線，

即OD〃BC「

因?yàn)?。Du平面4停。，8。1,平面41。。，

所以BCi〃平面&CD.

(2)解：取4C的中點(diǎn)尸，連結(jié)E。，OF,FB,

因?yàn)?。?G的中點(diǎn)，

所以。尸是444道的中位線，。F〃441且。F=

顯然BE〃叫，且BE="&,

所以。F〃BE且。F=BE,

則四邊形BEOF是平行四邊形，

所以E0〃8F,

因?yàn)?B=BC,

所以BF14C,

又"11平面ABC,BFu平面4BC,

所以8F1CQ,

又力cncCi=c,ACu平面acCia,cqu平面

所以直線BF，平面aCCiA，

因?yàn)镋O〃BF,

所以直線E。，平面&CC14,

因?yàn)镋。u平面&EC,

所以平面&EC1平面ACC1Al.

解析：本題考查直線與平面垂直的判定定理以及平面與平面垂直的判定定理的應(yīng)用，直線與平面平

行的判定定理的應(yīng)用，屬于中檔題.

(1)連結(jié)4Q,交4C點(diǎn)。，連。。，推出。D〃BCi，即可證明BQ〃平面AiCD.

(2)取AC的中點(diǎn)F,連結(jié)EO,OF,FB,證明四邊形BEOF是平行四邊形，證明BF1CC1,

得到BF1平面4CC1&,然后證明平面4EC1平面4。6公.

19.答案：8

解析：解：/(|)=/(I—2x》=產(chǎn)=8.

故答案為：8.

直接利用函數(shù)的解析式，求解函數(shù)值即可.

本題考查函數(shù)的解析式的應(yīng)用，函數(shù)的值的求法，考查計(jì)算能力.

20.答案：解：(1)設(shè)動(dòng)點(diǎn)。為。,外，由題意可得心P/BP=W-W=-%

X+ZX—Z4

化為/+4y2=8,x±2,即為次+些=1,x±2；

/82

(口)由(I)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2&cosa

貝11PM=J(2A/2COS0)2+(V2sin0-I)2=yj-6sin26-242sin9+9=J-6(sin0-y)2+

當(dāng)sin。=四時(shí)，|PM|=/^=—,

6v33

故點(diǎn)P到點(diǎn)M(O,1)距離的最大值第

解析：(I)根據(jù)斜率公式即可求出曲線C的方程，

(II)由(I)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2&cos8,&siM),根據(jù)斜兩點(diǎn)間的距離公式和三角函數(shù)的性質(zhì)即可求出.

本題考查了點(diǎn)的軌跡方程和兩點(diǎn)間的距離公式和三角函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題

21.答案：(1)見解析(2)當(dāng)

粵

解析：(1)???PCJ_平面力BCD,ACu平面ABCD,AC1PC.；AB=2,AD=CD=1,：.AC=BC=

.：.AC2+BC2=AB2..-.ACIBC.

又BCCPC=C,AC_L平面PBC.

???ACu平面瓦4C,；.平面E4C_L平面PBC.

(2)如圖,

以點(diǎn)C為原點(diǎn)，‘亞I：,遢'，源分別為x軸、y軸、z軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)