第六節(jié)定積分在幾何上的應(yīng)用

定積分有著廣泛的用途,先介紹建立定積分的一種簡便方法--()下面介紹它在幾何,物理和經(jīng)濟(jì)等問題上的簡單應(yīng)用.什么量可以用定積分表示出來?5.6定積分在幾何上的應(yīng)用1(1)U是與一個(gè)變量x的變化區(qū)間[a,b]有關(guān)的量;則可以考慮用定積分來表達(dá)這個(gè)量U.(2)U對于區(qū)間[a,b]具有可加性.就是說,如果把區(qū)間[a,b]分成許多部分區(qū)間,(3)部分量

的近似值可表示為當(dāng)所求量U符合下列條件：則U相應(yīng)地分成許多部分量,而U等于所有部分量之和.2元素法的一般步驟：這個(gè)方法通常稱為元素法(微元法).(1)根據(jù)問題的具體情況,選取一個(gè)變量例如

x(2)任取一小區(qū)間并記為求出相應(yīng)于這小區(qū)間的部分量

的近似值dU,并將其表示為(3)以所求量U的元素

為被積表達(dá)式，在區(qū)間[a,b]上作定積分,得即為所求量U的積分表達(dá)式.為積分變量,并確定它的變化區(qū)間[a,b];3求這兩條曲線及直線所圍成的區(qū)域的面積A.它對應(yīng)的面積元素dA為即1.直角坐標(biāo)系下平面圖形的面積6.1.1平面圖形的面積

在[a,b]上任取一區(qū)間4求由曲線和直線所圍成的區(qū)域的面積A.的面積元素dA為它對應(yīng)小區(qū)間5解兩曲線的交點(diǎn)選

x為積分變量例1

計(jì)算由兩條拋物線

和所圍成的圖形的面積.面積元素6解兩曲線的交點(diǎn)選

y為積分變量例2計(jì)算由曲線

和直線的圖形的面積.所圍成所求面積7如果曲邊梯形的曲邊為參數(shù)方程曲邊梯形的面積2.參數(shù)方程情形下求平面圖形的面積在(或)上與終點(diǎn)的參數(shù)值.設(shè)

和

對應(yīng)曲線起點(diǎn)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù),連續(xù).8解1曲線的參數(shù)方程為由對稱性,總面積等于4倍第一象限部分面積.作變量代換,例3求橢圓

的面積.9解2其中由對稱性,總面積等于4倍第一象限部分面積．例3求橢圓

的面積.10面積元素曲邊扇形的面積由極坐標(biāo)方程給出的平面曲線和射線所圍成的面積A.曲邊扇形3.極坐標(biāo)系下求平面圖形的面積11解利用對稱性知例4

求心形線圖形的面積.所圍平面12旋轉(zhuǎn)體就是由一個(gè)平面圖形饒這平面內(nèi)一條圓柱圓錐圓臺6.1.2體積問題1.旋轉(zhuǎn)體的體積直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體.這直線稱為旋轉(zhuǎn)軸．13旋轉(zhuǎn)體的體積為如果旋轉(zhuǎn)體是由連續(xù)曲線直線及

x軸所圍成的曲邊梯形繞x軸旋x轉(zhuǎn)一周而成的立體,求體積.取積分變量為x,為底的小曲邊梯形繞

x軸旋轉(zhuǎn)而成的薄片的體積元素14解例5求由橢圓圍成的圖形繞

x軸旋這個(gè)旋轉(zhuǎn)橢球體可以看成是由上半橢圓轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積.與x圍成的圖形繞

x軸旋旋轉(zhuǎn)而成.所求體積為15如果旋轉(zhuǎn)體是由連續(xù)曲線及

y軸所圍成的曲邊梯形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體,求體積.直線體積元素旋轉(zhuǎn)體的體積16解兩曲線的交點(diǎn)為繞y軸旋轉(zhuǎn)所得體積y軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積.例6求拋物線所圍成圖形繞172.已知平行截面面積的立體的體積立體體積A(x)表示過點(diǎn)x且垂直于x軸的截面面積，A(x)為x的已知連續(xù)函數(shù).如果一個(gè)立體介于過而垂直于x軸的兩平面之間，體積元素18解取坐標(biāo)系如圖,底圓方程為截面面積立體體積垂直于x軸的截面為直角三角形.例7一平面經(jīng)過半徑為R的圓柱體的底圓中心，并與底面交成角

計(jì)算這平面截圓柱體所得立體的體積.底高19弧長元素弧長為6.1.3平面曲線的弧長1.直角坐標(biāo)情形取積分變量為x,上任取小區(qū)間[x,x+dx],設(shè)曲線弧為其中在[a,b]上有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù).

在[a,b]20設(shè)曲線弧的參數(shù)方程為弧長為2.參數(shù)方程情形其中

在上

具有連續(xù)導(dǎo)數(shù).21解星形線的參數(shù)方程為根據(jù)對稱性第一象限部分的弧長例8求星形線