第二節(jié)正項級數(shù)及其審斂法、第三節(jié)絕對收斂與條件收斂43022

第二節(jié)正項級數(shù)及其審斂法1.定義:這種級數(shù)稱為正項級數(shù).定理2.正項級數(shù)收斂的充要條件:顯然，正項級數(shù)的部分和數(shù)列為單調(diào)增加數(shù)列

級數(shù)非常重要，許多級數(shù)的收斂性問題都可歸結(jié)為正項級數(shù)的收斂性問題.1證明即部分和數(shù)列有界3.比較審斂法2定理證畢.比較審斂法的不便:須有參考級數(shù).3解則4重要參考級數(shù):幾何級數(shù),P-級數(shù),調(diào)和級數(shù).5證明比較審斂法是一基本方法，但應(yīng)用起來卻有許多不便，因為它需要建立定理所要求的不等式，而這種不等式常常不易建立，為此介紹在應(yīng)用上更為方便的極限形式的比較審斂法。64.比較審斂法的極限形式:設(shè)?￥=1nnu與?￥=1nnv都是正項級數(shù),如果則(1)當(dāng)時,二級數(shù)有相同的斂散性;(2)當(dāng)時，若收斂,則收斂;(3)當(dāng)時,若?￥=1nnv發(fā)散,則?￥=1nnu發(fā)散;7證明由比較審斂法的推論,得證.設(shè)正項級數(shù)?￥=1nnu和?￥=1nnv的一般項均為時的無窮小,且則二級數(shù)有相同的斂散性.8解故原級數(shù)發(fā)散.故原級數(shù)收斂.9故原級數(shù)收斂.10證明11原級數(shù)收斂原級數(shù)發(fā)散12比值審斂法的優(yōu)點:不必找參考級數(shù).兩點注意:1314解15比值審斂法失效,改用比較審斂法16例5解由于不存在，比值審斂法失效，而對由比值審斂法得收斂故由比較審斂法知收斂17例6解故

級數(shù)收斂級數(shù)發(fā)散比值審斂法失效18故級數(shù)發(fā)散由19證明取由知由收斂及比較審斂法得收斂收斂20由知故不趨于0發(fā)散不能判定如都有但收斂發(fā)散21解故

級數(shù)收斂級數(shù)發(fā)散根值審斂法失效但此時級數(shù)為22第三節(jié)絕對收斂與條件收斂

一、交錯級數(shù)及其審斂法1.定義:

正、負(fù)項交錯的級數(shù)稱為交錯級數(shù).23證明24滿足收斂的兩個條件,定理證畢.25解原級數(shù)收斂.證明

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單調(diào)減的方法:？？？26二、絕對收斂與條件收斂定義:正項和負(fù)項任意出現(xiàn)的級數(shù)稱為任意項級數(shù).證明27上定理的作用：任意項級數(shù)正項級數(shù)28解故由定義知原級數(shù)絕對收斂.將正項級數(shù)的比值審斂法和根值審斂法應(yīng)用于判定任意項級數(shù)的斂散性可得到如下定理：29定理設(shè)有級數(shù)則絕對收斂發(fā)散可能絕對收斂，可能條件收斂，也可能發(fā)散如30注意一般而言，由發(fā)散，并不能推出發(fā)散如發(fā)散但收斂若發(fā)散是由比值審斂法或根值審斂法而審定則必定發(fā)散這是因為比值法和根值法審定級數(shù)發(fā)散的原因是通項不趨向于0由31例9解32所以此交錯級數(shù)收斂，故原級數(shù)是條件收斂．33小結(jié)正項級數(shù)任意項級數(shù)審斂法1.2.4.充要條件5.比較法6.比值法7.根值法4.絕對收斂5.交錯級數(shù)(萊布尼茨定理)3.按基本性質(zhì);34解由比較審斂法知收斂.反之不成立.例如：收斂,發(fā)散.思考題351.求極限解考察正項級數(shù)由比值法得收斂由級數(shù)收斂的必要條件得補充題36都收斂，且2.試證收斂.證由知因都收斂,故正項級數(shù)收斂,再由比較審斂法知正項級數(shù)收斂,而即可表為兩個收斂級數(shù)之和,故收斂.373.設(shè)且若收斂,則也收斂.證由題設(shè)知而收斂,由比較法得收斂.Cauchy積分審斂法:設(shè)且單調(diào)減少,,則與同斂散.4.38證由f(x)單調(diào)減少知故與同斂散.5.設(shè)是單調(diào)增加且有界的正數(shù)數(shù)列試證明收斂.39證記則且而正項級數(shù)的部分和又單調(diào)增加且有界,故由單調(diào)有界原理知存在即收斂,進(jìn)而收斂,由比較法得收斂.40設(shè)正數(shù)數(shù)列單調(diào)減少，級數(shù)發(fā)散考察的斂散性證記由單調(diào)減少,且故由單調(diào)有界原理知存在,且若由Lei