統(tǒng)計計算 課后習題答案 第二章習題答案

第二章2.11x03455，n=10000~1之間的隨機數。x0n1000，下面進行迭代。5534870mod1000，870/10000.870；x255870850mod1000，850/10000.850；55850750mod1000，750/10000.750；x455750250mod1000，250/10000.250；55250750mod1000，750/10000.750；x55750250mod1000r250/10000.2502。6 62、使用平方取中法給出由2563生成隨機數序列的前4個數。解：5263的位數為m=4，平方后為6568969，不夠8位，左邊補零，2m位數是06568969，中間4位數是5689，5689就是由1234得到的隨機數。5689的平方為32364721，正好8位，左邊不需要補零，中間4位數是3647，3647就是由5689得到的隨機數。3647的平方為13300609，正好8位，左邊不需要補零，中間4位數是3006，3006就是由3647得到的隨機數。3006平方為9036036，不夠8位，左邊補零，為09036036，中間4位數是0360，360就是由3006得到的隨機數。4個隨機數為5689,3647,3006,360。3x0a91，c4，n13150-1之間的隨機數。解：x011，a91,c4,n131，下面進行迭代。91114100588mod131，88/1310.672；x291884801221mod131，21/1310.160；91214191581mod131，81/1310.618；x491814737539mod131，39/1310.298；x591394355316mod131，r516/1310.122。4、n=5時，求有限域的所有的本原元素及非零元素的階。解：243442232個本原元素。習題2.21f(x1n

1xn

,0x1

的隨機數的抽樣公式。解：XBeta(1,1)，其分布函數為n

F(x)

x111xn0n

1dxxn,0x1，1x<010x1F(x)XnXYnYXBeta(1,1)XYn。n2、使用逆變換法給出生成密度函數為f(x)nxn1,0x1的隨機數的抽樣公式。解：XBeta(n,1)F(xxnxn1dxxn,0x1，01x<010x1F(x)XnXYn1YXBeta(n,1)XYn。3、使用逆變換法給出生成密度函數為f(x)2x,0x1的隨機數的抽樣公式。解：隨機變量X的密度函數為f(x)2x,0x1，即Beta(2，1)分布，其分布函F(xx2xdxx2,0x1。因此YF(xX2X0

Y。當Y服從（0，1）上的均勻分布，則Xf(x2x,0x1

。因此抽樣公式可取為X Y。4、f(x2(1x0x1的隨機數的抽樣公式。解：隨機變量X的密度函數為f(x)2(1x),0x1，即Beta(1，2)分布，其分布函數為

F(x)x2(1x)dx1(1x)2,0x10

。因此0x1時，YF(x)1(1X)2,X1

1YYX的密f(x)2(1x0x1

X1

1Y。5、使用逆變換法給出生成密度函數為f(x)

2 ,0x1的隨機數的抽樣公1x2解：隨機變量X的密度函數為f(x)

2 ,0x1，其分布函數為1x2F(x)x 2 dx2arcsinx0x1x<0時，F(x)=0x11x21x201x2因此0x1時，YF(x)2arcsinxXsinyY（0，1）上的均勻分 2布則X的密度函數為f(x)2 ,0x1因此抽樣公式可取為Xsiny。11x26、f(x式。

1(1x2)

2,xR的隨機數的抽樣公解：隨機變量X的密度函數為f(x)

1(1x2)

,xR

，其分布函數為xF(x) 1 dx1arctanx1xR。因此x1x2) 2YF(x1arctanx1Xtan(YYX 2 2的密度函數為f(x)1 ,xR(1x2)

。因此抽樣公式可取為Xtan(Y)。27f(x)cosx0x的隨機數的抽樣公式。2解：隨機變量X的密度函數為f(x)cosx,0x2

，其分布函數為F(x)xcosxdxsinx0x0xF(x)sinxXarcsiny。0 2 2當Y服從（0，1）上的均勻分布，則X的密度函數為f(x)cosx,0x 。因2此抽樣公式可取為Xarcsiny。8、使用逆變換法給出生成密度函數為f(x)

2x/m,0xm

的隨機數的抽樣公式。

2(1x)/(1m),mx1Xf(x)

2x/m,0xm

，即三角分布，其

2(1x)/(1m),mx1x02 x2xdxx,0xmF(x

0m m 。2m2xdxx21xdx11x)

,mx10m

m1m1,

1mx1YF(x)

2x,0xmxm2

,X

Y0Ym

Y（0，1(1x)

,mx1

1

(1m)(1Y),mY1 1m1）上的均勻分布，則X服從三角分布。9、使用舍選法生成密度函數為f(x)20x(1x)3,0x1的隨機數。解：使用求導數的方法，可求出密度函數的最大值為M=f(1)135。4 64偽代碼為：While(Y小于等于f(x)=20x(1-x)3)1 2{UUU1 2XU,Y135U1Z=X}

64 2即可求出Z。平均迭代輪數為135/64。10、使用舍選法生成密度函數為 1 1

的隨機數。3p(x)3

()2

x2ex,x0f(x)

1e2

x/2,x

0，

h(x)

1x2e

x

0，0

h(x)1，

1 1 2 4L( f(x)h(x)dx)1(

exx2dx)1

>1。3 023

()2計算過程中用到伽瑪函數x1exdx)。0當U1UX2lnU1f(x)1/2的指數分布。xWhile(Y大于 xe2)1 2{UU(0,1),UU(0,1),1 2X2lnU1,YU2，if Y小于等于跳出}

xxe2，Z=X即可求出Z，效率為1 。L 411、使用舍選法生成密度函數為p(x)1xexe5,x5的隨機數。6f(x1ex/2x5，2

h(x)

xx e2,x2

5，0h(x)1，當x5 1e dxe ，因此f(x)1e e ,x5， x/2 5/2 5/2x/2時，52 2L(f(xh(x)dx)1(xe5/2exdx)12e5/2>1。 54 3因為YF(xx1e5/2ex/2dx1e(5x)/2x552ln(1Y1-Y服52X52lnY當U1UX52lnU1f(x。While(Y大于

xxe2)21 2{UU(0,1),UU(0,1),1 2X52lnU1,YU2，if Y小于等于跳出}

xxe2，2Z=X即可求出Z。效率為131。L 2e5/212Zp(z1ezzR2隨機數。f(x1ex，x0,f(x1exx0p(x1exxRf(x和1 2 2 2 2 1f2(xy<0.5時，Xln1(xy0.5(01)2Xln(1f2(xX。偽代碼如下：R1U(0,1)yR1{ify<0.5:R2U(0,1)Xln2R2else:R3U(0,1)3Xln(12R)}3Z=X即可求出Z。習題2.31、取值為有限個的離散型分布的隨機數離散型隨機變量X的取值為1，2，3，4，5，6，對應的概率分別為0.03,0.07,0.02,0.08,0.5,0.3，由該分布生成100個隨機數。XP{XP{X0.07,P{X0.02,P{X4}0.08,P{X5}0.5,P{X6}0.3，分布函數為0, x1F(x)P{Xk},k2,,m

0.03,1x20.1,2x3，即F(x)0.12,3x40.2,4x50.7,5x6x6由定理3知，F(k1)YF(k)，此時X取值X取值如下：Y0.032,0.03Y0.13,0.1Y0.12X4,0.12Y0.25,0.2Y0.76,0.7Y10.07，0.03，0.02，相應的X的取值順序也改為5，6，4，2，1，3。此時分布函數F的取值也相應的改為0，0.5，0.8，0.88，0.95，0.98，1。取Y為服從U（0，1）的隨機數，由定理3知，F(k1)YF(k)，此時X取值如下：Y0.56,0.5Y0.84,0.8Y0.88X2,0.88Y0.951,0.95Y0.983,0.98Y1（2）實驗步驟：未改進的算法：1）按照概率，計算分布函數F的值；2）生成服從U(0,1)的隨機數Y；3）判斷F(i1)YF(i)是否成立，如果成立的話，X=X[i-1]。改進后的算法：1）pX的取值也按照概率排序；2）按照排序后的概率，計算分布函數F的值；3）生成服從U(0,1)的隨機數Y；4）判斷F(i1)YF(i)是否成立，如果成立的話，X=X[i-1]。(3)輸出結果：1）未改進的輸出結果：產生的取值為有限個值的離散型分布隨機數為:[5,2,5,4,5,5,2,5,4,6,5,6,5,5,5,5,5,6,5,5,6,2,6,6,5,6,1,6,3,6,5,6,2,5,4,6,5,6,5,2,6,5,5,5,6,5,3,5,5,6,5,5,6,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,4,5,5,1,6,6,5,6,2,5,6,6,3,6,5,5,5,5,5,5,5,6,1,5,6,5,1,4,5,6,5,5,5,6,4]2）改進后的輸出結果：產生的取值為有限個值的離散型分布隨機數為:[5,6,5,6,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,6,5,5,5,5,1,5,6,4,5,5,5,6,4,6,5,1,6,4,6,6,5,6,4,5,5,6,5,5,6,5,5,2,6,5,6,6,6,5,2,4,2,5,6,2,2,6,6,6,1,5,2,5,2,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,2,6,6,5,6,5,4,4,6,5,3,5,5,6,5,5,5,6,5,4]2、隨機排列（不放回）對自然排列1，2，……，m進行隨機排列。（1）原理在1，2，……，m隨機選擇一個數，記為k1，將其和m進行對換；再從1，2，……，m-1隨機選擇一個數，記為k2，將其和倒數第2個數進行對換，依次進行下去可得到1，2，……，m的一個隨機排列。（2）實驗步驟1）將1，2，……，m放入列表z中。2）k=，生成服從區(qū)間(0,mysy1，此時s1msk1hx中。xsmmk1。3k=-1y，sy1s1到m-1sk2hx中。x存儲zsm-1m-1個數值為本次取到的k2。x1，2，……，m的一個隨機排列。5）如果要取多個隨機排列，可設參數n表示取的隨機排列個數，多次取隨機排列即可。（3）輸出結果為：產生的隨機排列為[1,6,4,3,10,8,7,2,9,5]如果只想取r個，可以把k的范圍限定為k>m-r即可。3、有放回的隨機排列對自然排列1，2，……，m進行r次有放回的隨機排列。（1）原理隨機選擇k21，2，……，m的一個隨機排列。（2）實驗步驟1）將1，2，……，m放入列表z中。2）生成服從區(qū)間(0,)ysy1，此時實現s1msk1hx中。x存儲取出的數。3rx12M中有放回的取r個的隨機排列。（3）輸出結果：產生的隨機排列為[8,9,9,10,2,5]4、生成服從負二項分布的隨機數有一系列獨立試驗，事件A成功的概率都是p，事件A第r次成功的試驗次數kXP(YmCrpr(1p)kr(krr1（帕斯卡分布XNb(r,pk（1）原理mm若1,,mp的幾何分布且相互獨立，那么Yi服從負二項i1m分布。所以要生成服從負二項分布的隨機數，可以先生成相互獨立的隨機數m1,,nGpXiX服從負二項分布。i1（2）實驗步驟1）生成服從U(0,1)的隨機數Y；2）令X

lnY

，則可以得到服從幾何分布的隨機數X。 ln(1p) 3）再將X累加，即可得到負二項分布。（3）輸出結果：產生服從負二項分布的隨機數：[26,30,21,24,20,26,27,34,36,30,28,38,27,28,23,31,30,37,31,22,41,32,29,28,27,30,27,24,41,19,20,29,37,25,35,22,23,22,31,32,28,31,32,30,33,46,41,37,39,29,40,21,35,23,35,35,17,35,33,24,31,22,27,21,34,23,32,30,22,28,29,34,22,35,25,38,22,28,27,24,26,26,33,24,31,25,40,24,28,41,33,36,34,29,32,22,21,34,14,27]（4）Python原有庫代碼：importnumpyprint(numpy.random.negative_binomial(12,0.4,100))習題2.51、服從F分布的隨機數的生成XY2(m2(n

ZX/m為F(m,n)Y/n（1）實驗步驟：1）X2(mY2(n。2）令ZX/m，由此得到服從參數為m和n的F分布的隨機數。Y/n（2）輸出結果：Python原有庫代碼：importnumpyprint(numpy.random.f(13,21,10))2t分布的隨機數的生成XY2(mt（1）實驗步驟：1)生成兩個均勻分布U(0，1)的U1和U2。

XY/m

為t(m)分布。2)利用U1和U2生成相互獨立的服從標準正態(tài)分布的隨機數X和卡方分布的隨機數Y。3)t

XY/m

，可得到t分布的隨機數。（2）輸出結果（3）Python原有庫代碼：importnumpyasnpprint(np.random.standard_t(13,10))3、服從對數正態(tài)分布的隨機數的生成X~N(,2，則YeX的密度函數為Yf(y)Y

1 (lny)22ye 22y0

y0y0Y服從對數正態(tài)分布，記為Y~LN(,2。實驗步驟：1)生成兩個均勻分布U(0，1)的U1和U2。2)利用U1和U2生成服從標準正態(tài)分布的隨機數Y。3）由XeY，生成服從對數正態(tài)分布的隨機數。4、服從柯西分布的隨機數的生成Xf(x

1(1x2)

,x(,)，其分F(x1arctanx1 2（1）逆變換法隨機變量X的密度函數為f(x

1(1x2)

,xR

，其分布函數為xF(x) 1 dx1arctanx1xR。因此x1x2) 2YF(x1arctanx1Xtan(YYX 2 2f(x實驗步驟：

1(1x2)

,xR

。因此抽樣公式可取為Xtan(Y)。2（1）生成YU(0,1)；（2）由抽樣公式Xtan(Y)，得到服從分布為柯西分布的隨機數。2輸出結果：Python原有庫代碼：importnumpyasnpprint(np.random.standard_cauchy(10))（2）其他變換實驗步驟：（1）生成獨立的服從標準正態(tài)分布的隨機數X1,X2。（2）X

X1，服從柯西分布的隨機數。X25、使用逆變換法生成密度函數為

f(x)

111xnn

,0x1

的隨機數。隨機變量X服從Beta(

1,1)F(xx1

1xn

1dxxn,0x1，n 0n1當x<0時，F(x)=0，x1時，F(x)=1。因此0x1時，YF(x)Xn,XYn。當YXBeta(1,1)XYn。n6、使用逆變換法生成密度函數為f(x)2x,0x1的隨機數。Y解隨機變量X的密度函數為f(x)2x,0x1即Beta(2，1)分布其分布函數為F(x)x2xdxx2,0x1。因此0x1時，YF(x)X2,X 。Y0Y服從（0，1）Xf(x)2x,0x1

。因此抽樣公式可取為X Y。7、使用逆變換法生成密度函數為f(x)2(1x),0x1的隨機數。解：隨機變量X的密度函數為f(x)2(1x),0x1，即Beta(1，2)分布，X1

1Y

F(x)x2(1x)dx1(1x)2,0x1。因此0x101Y時，YF(x)1(1X)2,X1Y

。當Y服從（0，1）上的均勻分布，則Xf(x)2(1x0x1

。因此抽樣公式可取為。1x28、1x2

2 ,0x1的隨機數。1x2解：隨機變量X1x2

2 ,0x1，其分布函數為F(x)x 2 dx2arcsinx0x1x<0時，F(x)=0x1時，F(x)=1。1x201x21 y因此0x1YF(x)XnXsin

。當Y服從（0，1）上的均勻分布，2則X的密度函數為f(x)2 ,0x1。因此抽樣公式可取為Xsiny。1x1x29、使用逆變換法生成密度函數為f(x)cosx,0x的隨機數。2解：隨機變量X的密度函數為f(x)cosx,0x2

，其分布函數為F(x)xcosxdxsinx0x0xF(x)sinxXarcsiny。0 2 2當Y服從（0，1）上的均勻分布，則X的密度函數為f(x)cosx,0x 。因2此抽樣公式可取為Xarcsiny。10f(x)

2x/m,0xm

的隨機數，此m=0.6。

2(1x)/(1m),mx1解：隨機變量X的密度函數為f(x)

2x/m,0xm

，其分布函數為2(1x)/(1m),mx1

x02 x2xdxx,0xmF(x)

0m m 。2m2xdxx21xdx11x)

,mx10m

m1m1,

1mx1YF(x)

2x,0xmxm2

,X

Y0Ym

。當Y服從（0，1(1x)

,mx1

1

(1m)(1Y),mY1 1m1）上的均勻分布，則X服從三角分布。取m=0.6，則X1

0.Y0Y0.6(0.4(1Y),0.6Y111、使用舍選法生成密度函數為f(x)20x(1x)3,0x1的隨機數。解：While(Y小于等于p(x)=20x(1-x)3)1 2{UU(0,1),UU(0,1),1 2XU,Y135U1Z=X}

64 2即可求出Z。12、使用舍選法生成密度函數為

1 1

的隨機數。解：While(Y大于

xxe2)

f(x)

3