2021年高考理數(shù)真題試卷（北京卷）帶答案解析

2021年高考理數(shù)真題試卷（北京卷）

一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目

要求的一項(xiàng).

1.已知集合A={x||x|V2},B={-1,0,1,2,3},則AnB=（）

A.{0,1}B.{0,1,2}C.{-1,0,1}D.{-1,0,1,2}

【答案】C

【考點(diǎn)】交集及其運(yùn)算

【解析】【解答】集合A={x\-2<x<2},集合B={x|-1,0,1,2,3},所以力nB={-1,0,1}

【分析】先求出集合A和B,由此利用交集的定義能求出ACB.

2x-y<0,

2.若x,y滿(mǎn)足{x+yS3,,則2x+y的最大值為（）

x>0,

A.0B.3C,4D.5

【答案】C

【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單線性規(guī)劃

【解析】【解答】可行域如圖陰影部分，目標(biāo)函數(shù)平移到虛線處取得最大值，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（L2）,最大

值為2x1+2=4.

【分析】作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，目標(biāo)函數(shù)的幾何意義是直線的縱截距，利用數(shù)形結(jié)合即可求z的

取值范圍.

3.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的a值為1,則輸出的k值為（）

【答案】B

【考點(diǎn)】程序框圖

【解析】【解答】開(kāi)始a=1,k=0;第一次循環(huán)。=一2，k=1；第二次循環(huán)a=-2,k=

2,第三次循環(huán)a=l,條件判斷為"是"跳出，此時(shí)k=2

【分析】根據(jù)已知的程序框圖可得，該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計(jì)算并輸出變量S的值，模擬程序的運(yùn)

行過(guò)程，可得答案.

4.設(shè)a,b是向量，貝『'|a|=|b|"是"|a+b|=|a-b|"的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】D

【考點(diǎn)】充要條件，向量的模

【解析】【解答】若同=|耳成立，則以a,b為邊組成平行四邊形，那么該平行四邊形為菱形，

a+b,a-b表示的是該菱形的對(duì)角線，而菱形的對(duì)角線不一定相等，所以\a+b\=\a-b\不一定成

立，從而不是充分條件；反之，\a+b\=\a-b\成立，則以a,b為邊組成平行四邊形，則該平行四

邊形為矩形，矩形的鄰邊不一定相等，所以\a\=\b\不一定成立，從而不是必要條件.

【分析】根據(jù)向量模相等的幾何意義，結(jié)合充要條件的定義，可得答案

5.已知x,yCR,且x>y>0,則()

A.->0B.sinx-siny>0C.(1)x-(1)v<0D.lnx+lny>0

xy

【答案】C

【考點(diǎn)】不等關(guān)系與不等式

【解析】【解答】A.考查的是反比例函數(shù)y=工1在（0,+叼單調(diào)遞減，所以1:1〈:即1:1一:<。所

Xxyxy

以A錯(cuò)；

B.考查的是三角函數(shù)y=sinx在（0,+°°）單調(diào)性，不是單調(diào)的，所以不一定有sinx>siny,B

錯(cuò)；

c.考查的是指數(shù)函數(shù)y=G）*在（0,+8）單調(diào)遞減，所以有G）x<G）y即G尸一（》y<o所以c

對(duì)；

。.考查的是對(duì)數(shù)函數(shù)y=Inx的性質(zhì)，Inx4-Iny=Inxy，當(dāng)％>y>°時(shí)，xy>0不一定有

Inxy>0,所以D錯(cuò)

【分析】x,yWR,且x>y>0,可得：工<立sinx與siny的大小關(guān)系不確定，（▲）x<（工）y,

xy22

Inx+lny與0的大小關(guān)系不確定，即可判斷出結(jié)論.

6.某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積為（）

D.1

【答案】A

【考點(diǎn)】由三視圖求面積、體積

【解析】【解答】通過(guò)三視圖可還原幾何體為如圖所示三棱錐，則通過(guò)側(cè)視圖得高4=1,底面積S=1x

【分析】由已知中的三視圖可得：該幾何體是一個(gè)以俯視圖為底面的三棱錐，進(jìn)而可得答案.

7,將函數(shù)v=sin<2「土)圖像上的點(diǎn)P(-,t)向左平移s(s>0)個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)P'.若叫立

yx34

于函數(shù)y=sin2x的圖像上,則()

A.t=is的最小值為三B.t=3，s的最小值為三

2626

c.t=is的最小值為AD.t=3，s的最小值為三

2323

【答案】A

【考點(diǎn)】函數(shù)y=Asin(3X+6)的圖象變換

【解析】【解答】點(diǎn)P(?,t)在函數(shù)y=sin(2x—y)上，所以t=sin(2x；—；)=sin(?)=：，然

后y=sin(2x—y)向左平移s個(gè)單位，即y=sin(2(x+s)—g)=sin2x，所以5=

Z,所以s的最小值為三

6

【分析】將*=夕TT弋入得：t=41進(jìn)而求出平移后P'的坐標(biāo)，進(jìn)而得到S的最小值.

8.袋中裝有偶數(shù)個(gè)球，其中紅球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三個(gè)空盒.每次從袋中任意取出兩個(gè)球，將

其中一個(gè)球放入甲盒，如果這個(gè)球是紅球，就將另一個(gè)球放入乙盒，否則就放入丙盒.重復(fù)上述過(guò)程，直

到袋中所有球都被放入盒中，則()

A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B.乙盒中紅球與丙盒中黑球一樣多

C.乙盒中紅球不多于丙盒中紅球D.乙盒中黑球與丙盒中紅球一樣多

【答案】B

【考點(diǎn)】進(jìn)行簡(jiǎn)單的演繹推理

【解析】【解答】取兩個(gè)球往盒子中放有4種情況：

①紅+紅，則乙盒中紅球數(shù)加1個(gè)；

②黑+黑，則丙盒中黑球數(shù)加1個(gè)；

③紅+黑(紅球放入甲盒中)，則乙盒中黑球數(shù)加1個(gè)；

④黑+紅(黑球放入甲盒中)，則丙盒中紅球數(shù)加1個(gè).

因?yàn)榧t球和黑球個(gè)數(shù)一樣，所以①和②的情況一樣多，③和④的情況完全隨機(jī).

③和④對(duì)B選項(xiàng)中的乙盒中的紅球與丙盒中的黑球數(shù)沒(méi)有任何影響.

①和②出現(xiàn)的次數(shù)是一樣的，所以對(duì)B選項(xiàng)中的乙盒中的紅球與丙盒中的黑球數(shù)的影響次數(shù)一樣.

綜上，選B

【分析】分析理解題意：乙中放紅球，則甲中也肯定是放紅球；往丙中放球的前提是放入甲中的不是紅

球，據(jù)此可以從乙中的紅球個(gè)數(shù)為切入點(diǎn)進(jìn)行分析

二、填空題共6小題，每小題5分，共30分.

9.設(shè)aeR,若復(fù)數(shù)(1+i)(a+i)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于實(shí)軸上，則a=。

【答案】-1

【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義

【解析】【解答】(1+j)(a+j)=a-1+(a+l)j

其對(duì)應(yīng)點(diǎn)在實(shí)軸上

a+1=0,a——1

【分析】(l+i)(a+i)=a-1+(a+1)i,則a+l=0,解得答案

10.在(1-2x)6的展開(kāi)式中，x2的系數(shù)為.(用數(shù)字作答)

【答案】60

【考點(diǎn)】二項(xiàng)式定理的應(yīng)用

【解析】【解答】由二項(xiàng)式定理得含%2的項(xiàng)為法(一2乃2=60/

【分析】利用二項(xiàng)式定理展開(kāi)式的通項(xiàng)公式即可得出.

11.在極坐標(biāo)系中，直線pcos9一次Psin。-1=0與圓p=2cos0交于A,B兩點(diǎn)，則|AB|

【答案】2

【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程

【解析】【解答】將極坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)進(jìn)行運(yùn)算X=pcos。，y=psin。

直線的直角坐標(biāo)方程為%-V3y-1=0

p=2cos。,p2(sin20+cos20)=2pcos0x2+y2=2x

圓的直角坐標(biāo)方程為(x—1)2+y2=i

圓心(1,0)在直線上，因此AB為圓的直徑，\AB\=2

【分析】把圓與直線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，利用圓心C在直線上可得|AB|.

12.已知｛an｝為等差數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和，若即=6,a3+a5=0,則S6=

【答案】6

【考點(diǎn)】等差數(shù)列的前n項(xiàng)和

【解析】【解答】<的+。5=2。4一?以=0

%=6,04=%+3d-?d=-2

S6=6。1+6"：T)d=6

【分析】由已知條件利用等差數(shù)列的性質(zhì)求出公差，由此利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式能求出S6.

13.雙曲線］一［=1(a>0,b>0)的漸近線為正方形OABC的邊OA,0C所在的直線，點(diǎn)B為該雙曲線

的焦點(diǎn)。若正方形OABC的邊長(zhǎng)為2,則a=.

【答案】2

【考點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

【解析】【解答】不妨令B為雙曲線的右焦點(diǎn)，A在第一象限，則雙曲線圖象如圖

04BC為正方形，\0A\=2：.c=\0B\=2^2,40B=：

,?,直線04是漸近線，方程為y=^x,3=tanN71OB=l

文:a2+b2=c2=8a=2

【分析】根據(jù)雙曲線漸近線在正方形的兩個(gè)邊，得到雙曲線的漸近線互相垂直，即雙曲線是等軸雙曲線,

結(jié)合等軸雙曲線的性質(zhì)進(jìn)行求解即可

14.設(shè)函數(shù)｛X3-3X，X-a，

①若a=0,則f(x)的最大值為；

②若f(x)無(wú)最大值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

(答案】2；a<—1

【考點(diǎn)】分段函數(shù)的應(yīng)用

【解析】【解答】由（%3_3尤）’=3/_3=0，得工=±1,如下圖，是f（x）的兩個(gè)函數(shù)在沒(méi)有限

制條件

時(shí)的圖象.

①Q(mào)x)max=f(T)=2；

②當(dāng)a2—1時(shí)，f(x)有最大值〃-1)=2；

3

當(dāng)a<-1時(shí)，—2K在％>a時(shí)無(wú)最大值，且-2a>(%-3x)max.

所以，a<—1.

【分析】①將a=0代入，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),分析函數(shù)的單調(diào)性，可得當(dāng)X=-1時(shí)，f（x）的最大值為2；

a>-1

a4-1

②若f（X）無(wú)最大值，則,,或<-2a>a，一3a，解得答案.

-2a>a3一3a

-2a>2

三、解答題（共6小題，共80分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程）

15.在4ABC中，Q3+=/+y/2ac

（1）求的大小

（2）求&cosA4-cosC的最大值

【答案】（1）解：a2+c2=h24-y[2ac

a2+c2—b2=y]2ac

a2+c2-b2_\[2acV2

2ac2ac2

n

/B

4

(2)解：A+B+C=

4+C=%

V2coSi4+cosC

V2V2

=V2coSi4+（———cosi4）+—sinTl

=coSi4+YsinA=sin（A+：）

，?,4+。=|n

3

4e（0）-JX）

4+?eG,Jt）

sin（/l+；）最大值為1

上式最大值為1

【考點(diǎn)】解三角形的實(shí)際應(yīng)用

【解析】【分析】（1）根據(jù)已知和余弦定理，可得cosB=立，進(jìn)而得到答案：（2）由（I）得：C=空

24

-A,結(jié)合正弦型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得&cosA+cosC的最大值.

16.A、B、C三個(gè)班共有100名學(xué)生，為調(diào)查他們的體育鍛煉情況，通過(guò)分層抽樣獲得了部分學(xué)生一周的鍛

煉時(shí)間，數(shù)據(jù)如下表（單位：小時(shí)）；

（1）試估計(jì)C班的學(xué)生人數(shù);

（2）從A班和C班抽出的學(xué)生中，各隨機(jī)選取一人，A班選出的人記為甲，C班選出的人記為乙，假設(shè)所

有學(xué)生的鍛煉時(shí)間相對(duì)獨(dú)立，求該周甲的鍛煉時(shí)間比乙的鍛煉時(shí)間長(zhǎng)的概率；

（3）再?gòu)腁、B、C三個(gè)班中各隨機(jī)抽取一名學(xué)生，他們?cè)撝艿腻憻挄r(shí)間分別是7,9,8.25（單位：小時(shí)），

這3個(gè)新數(shù)據(jù)與表格中的數(shù)據(jù)構(gòu)成的新樣本的平均數(shù)記〃1,表格中數(shù)據(jù)的平均數(shù)記為“。,試判斷

Mo和的大小，（結(jié)論不要求證明）

【答案】（1）解：5義100=40,C班學(xué)生40人

（2）解：在A班中取到每個(gè)人的概率相同均為巳

設(shè)A班中取到第i個(gè)人事件為A,i=12,3,4,5

C班中取到第j個(gè)人事件為=123,4,5,6,7,8

A班中取到4＞Cj的概率為Pi

所求事件為D

}

則P（D）=|P1+|P2+|P3+|P4+|/5

1213131314

=5X8+5X8+5X8+5X8+5X8

3

=-

8

（3）解：%＜的

三組平均數(shù)分別為7,9,8.25,總均值%=8.2

但內(nèi)中多加的三個(gè)數(shù)據(jù)7,9,8.25,平均值為8.08，比的小，

故拉低了平均值

【考點(diǎn)】用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布，古典概型及其概率計(jì)算公式

【解析】【分析】（1）由已知先計(jì)算出抽樣比，進(jìn)而可估計(jì)C班的學(xué)生人數(shù)；（2）根據(jù)古典概型概率計(jì)

算公式，可求出該周甲的鍛煉時(shí)間比乙的鍛煉時(shí)間長(zhǎng)的概率；（3）根據(jù)平均數(shù)的定義，可判斷出內(nèi)＞內(nèi)

17.如圖，在四棱錐P-ABCD中,平面PAD1平面ABCD,PA1PD,PA=PD,AB1AD,AB=1,AD=2,AC=CD=

（1）求證：PD1平面PAB;

（2）求直線PB與平面PCD所成角的正弦值;

(3)在棱PA上是否存在點(diǎn)M,使得BMII平面PCD?若存在，求等的值；若不存在，說(shuō)明理由。

AP

【答案】(1)證明：:平面PADJ_平面ABCD,且平面PADc平面ABCD=AD,

且AB_LAD,AB印面ABCD,

ABJ■平面PAD,

PDc?f面PAD,

AB±PD,

又PD_LPA,且PAnAB=A,

PD_L平面PAB；

(2)解：如圖:

取AD中點(diǎn)為。，連結(jié)CO,P0-：CD^AC=V5.--CO1AD-：PA=PD：.PO14。以。為原

點(diǎn)，如圖建系易知P(0,0,1),B(l,1,0),D(0,-1,0),C(2,0,0),則用=(1,1,-1),

TO=(0,-1,-1),民'=(2,0,—1),CD=(一2,-1,0)設(shè)計(jì)為面PDC的法向量，令

卷=(&，加1)覃北二；=卷=6，T，D，則PB與面PCD夾角6有sin。=|cos(增的＞|=

上圾金二_3

MW廂品了3

(3)解：假設(shè)存在M點(diǎn)使得BM||面PCD

設(shè)方=4，M(0,y',z')

由(2)知4(0,1,。)，P(0,0,l),AP=(0,-1,1)，5(1,1,0),AM=(0,yz-l,zz)

有俞=AAP=M(0,l-A,A)

???BM=(-1,-A,A)

BM||面PCD,彳為PCD的法向量

BM-n=0

即-打；I+4=0

1

=4

綜上，存在M點(diǎn)，即當(dāng)普=；時(shí)，M點(diǎn)即為所求

AP4

【考點(diǎn)】空間中直線與平面之間的位置關(guān)系

【解析】【分析】(1)由已知結(jié)合面面垂直的性質(zhì)可得AB_L平面PAD,進(jìn)一步得到ABJ_PD,再由PDLPA,

由線面垂直的判定得到PDJ■平面PAB；

(2)取AD中點(diǎn)為0,連接C。，P0,由已知可得C0J_AD,P0±AD.以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐

標(biāo)系，求得P(0,0,1),B(l,1,0),D(0,-1,0),C(2,0,0),進(jìn)一步求出向量PB、PD、pc

的坐標(biāo)，再求出平面PCD的法向量若，設(shè)PB與平面PCD的夾角為仇由

sine=|COs<n，麗>|=|%|求得直線PB與平面PCD所成角的正弦值;

InIIPBI

(3)假設(shè)存在M點(diǎn)使得BMII平面PCD,設(shè)空=入，M(0,yi,Zi),由京二九百可得M(0,1

職時(shí)

-入，入)，BM=(-1,-入，入)由BMII平面PCD,可得麗?[=0，由此列式求得當(dāng)

M點(diǎn)即為所求.

18.設(shè)函數(shù)f(x)=x?ar+bx,曲線y=f(x)在點(diǎn)(2,f⑵)處的切線方程為y=(e-l)x+4,

(1)求a,b的值;

(2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間。

ax

【答案】(1)解：???/(X)=xe-+bx

axaxa-x

f(x)=e~—xe~+b=(1—x)e+b

???曲線y=/(x)在點(diǎn)(2/(2))處的切線方程為y=(e-l)x+4

???f(2)=2儲(chǔ)-1)+4,廣(2)=e-1

a2

即f(2)=2e-+2b=2(e—1)+4①

/'(2)=(1—2)e。-2+b=?-1②

由①②解得：a=2,b=e

(2)解：=a=2,b=e；

f(x)=xe2x+ex,

f(x)=e2x-xe2x+e=(1-x)e2x+e,

f"(x)=-e2x-(1-x)e2x=(x-2)e2x,

由f〃(x)>0得x>2,由f〃(x)<0得xV2,

即當(dāng)x=2時(shí)，f(x)取得極小值f'(2)=(1-2)e22+e=e-1>0,

?1.f(x)>0恒成立，

即函數(shù)f(x)是增函數(shù)，

即f(x)的單調(diào)區(qū)間是(-8,+8).

【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

【解析】【分析】(1)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出函數(shù)的切線斜率以及f(2),建立方程

組關(guān)系即可求a,b的值；(2)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系即可求f(x)的單調(diào)區(qū)

間.

19.已知橢圓C：^+4=1(a>b>0)的離心率為—,A(a,0),B(0,b),0(0,0),△OAB的面積為

a2b22

1.

(I)求橢圓c的方程；

(2)設(shè)P的橢圓C上一點(diǎn)，直線PA與Y軸交于點(diǎn)M,直線PB與x軸交于點(diǎn)N。求證：IANI?IBMI為定

值。

【答案】(1)解：由已知，￡=立,1帥=1,又a2=〃+c2,

a22

解得Q=2,b=1,c=V3.

橢圓的方程為。+外=1

(2)解：方法一：

設(shè)橢圓上一點(diǎn)。(而,為)，則9+%=1.

直線PA：y=六。一2),令％=0,得Mw=造.

...但河|=|1+汽

XQ-2

直線PB：y=竽x+1,令y=0,得％N=罟.

\AN\=|2+3-

x02yo

yo—1%o.z

?&+2yo-2%o+2yo2

1x-2

0y。一i

=產(chǎn)+4弁+4沏氏-4沏-8%+4|

XQVQ一％o_2yo+2

將F+據(jù)=1代入上式得\AN\'\BM\=4

故\AN\■\BM\為定值.

方法二：

設(shè)橢圓上一點(diǎn)P(2cos0,sin0),

直線PA：y=^(—2)，令％=。,得加=熟?

\BM\=|sin0+cos0-l

l-cos6

ne12C0S。

直線PB■.y=-'-x+1,令y=0,得XN

ZCOStx1-sin。

\AN\=2sin^+2cos0-2

l-sin0

2sin0+2cos8-2sin。+cosO-1

2—2sin0—2cos0+2sin0cos0

=21--------------------------------------------1

1—sin。-cos。+sin0cos0

=4

故\AN\-\BM\為定值

【考點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，直線與圓錐曲線的關(guān)系

【解析】【分析】(1)運(yùn)用橢圓的離心率公式和三角形的面積公式，結(jié)合a,b,c的關(guān)系，解方程可得

a=2,b=l,進(jìn)而得到橢圓方程；(2)方法一、設(shè)橢圓上點(diǎn)P(xo,yo),可得xo2+4y