蘇教版高中數(shù)學(xué)必修第一冊（新教材新標準）

1.3交集、并集

課標要求素養(yǎng)要求

能用三種語言(自然語言、圖形語言、符

理解兩個集合之間的并集和交集的含

號語言)表達集合的并集和交集運算，發(fā)

義，能求兩個集合的并集與交集.

展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).

課前預(yù)習(xí)知識探究

自主梳理

1.交集

⑴自然語言：由所有屬于集合A旦屬于集合3的元素構(gòu)成的集合，稱為A與5

的交集,記作A03(讀作“A交3”).

(2)符號語言：AnB=[x|xEA,

(3)圖形語言：如圖所示.

(4)運算性質(zhì)

①A03=3PA；?AHB^A,③Ano=g；?AHA=A.

2.并集

⑴自然語言：由所有屬于集合A或重屬于集合3的元素構(gòu)成的集合，稱為集合

A與3的丑集，記作AU3(讀作“A并3”).

(2)符號語言：AUB=[x\x^A,

(3)圖形語言：如圖所示.

(4)運算性質(zhì)：AUB=BUA,B^AUB,AUA=A,AU0=0UA=A.

如果AG3,則AU3=3,反之也成立.

3.區(qū)間

設(shè)a,Z?CR,且a<0,規(guī)定［a,bl={x|aW無WZ?},叫作閉區(qū)間，(a,b)={x\a<x<b}

為開區(qū)間，a,6叫作相應(yīng)區(qū)間的端點.

(1)

定義名稱符號數(shù)軸表示

閉區(qū)間萬1-4____

abx

(開區(qū)間Q--------

{j\a<x<b](,b)abx

左閉右開區(qū)間b)-4--------

abx

-4------

{X|Q<%WZ?}左開右閉區(qū)間(a,萬1ab*

(2)特殊區(qū)間的表示

定義R{x\x^a}{x\x>a}{x\x<a}

符號(一8,十8)[a,+°°)(a,+0°)(-8,a](-8,a)

?點睛

對并集的理解

(DAUB仍是一個集合，AUB由所有屬于集合A或?qū)儆诩?的元素組成.

(2)“或”字的意義：并集中的“或”與生活中的“或”字含義不同.生活中的

“或”只取其一，并不兼存；而并集中的“或”連接的并列成分之間不一定互相

排斥."xGA或xdB”包括三種情況，如圖所示.

久EA,且;r空3且xGB,且力建A

自主檢驗

1.思考辨析，判斷正誤

⑴若xGAnB,則XGAUA(J)

(2)若集合A,3中分別有2個元素，則AU3中必有4個元素.(X)

提示A與3中若有公共元素，則AUB中就沒有4個元素.

(3)若人={1,2},B={3,4},則A與3沒有交集.(X)

提示交集為0

(4)若AUB=A,貝l]AGR(X)

提示若AU3=A,則3GA.

2.設(shè)集合A={1,2,6},B=[2,4},C={1,2,3,4},則(AU3)nC=()

A.{2}B.{1,2,4}

C.{1,2,4,6}D.{1,2,3,4,6}

答案B

解析由題意可得AUB={1,2,4,6},.\(AUJB)nC={l,2,4}.故選B.

3.已知集合M={-1,0},則滿足MUN={—1,0,1}的集合N的個數(shù)是()

A.2B.3C.4D.8

答案C

解析由集合NGMUN,又〃={—1,0},MUN={-1,0,1),所以元素1《N,

則集合N可以為{1}或{0,1}或{-1,1}或{—1,0,1),共4個.故選C.

4.若尸={x|xNl},Q={X\~1<JC<4},則PAQ=.

答案{x|lWx<4}

解析如圖所示，PCQ={x|lWx<4}.

-114

課堂互動r----------------------------------題型剖析

題型一交集的概念與運算

【例1】(1)設(shè)集合A={1,3,5,7},3={x|2W尤W5},則An3=()

A.{1,3}B.{3,5}C.{5,7}D.{L7}

(2)已知區(qū)間A=(—5,2),3=(—3,3),則APB等于()

A.(-3,2)B.(-5,2)C.(—3,3)D.(—5,3)

答案(1)B(2)A

解析(1)既在集合A中，又滿足2WxW5的元素只有3和5.故AnB={3,5}.

(2)在數(shù)軸上將區(qū)間A,3表示出來，如圖所示.

由交集的定義，可得為圖中陰影部分，——T44-

即AAB=(—3,2).

思維升華求“AA3”的關(guān)鍵是找出集合A與3的所有公共元素，再用適當?shù)?/p>

方法將AA3表示出來.

①若集合A,3的代表元素是方程的根，則應(yīng)先解方程，求出方程的根，再求兩

集合的交集.

②若集合A,3是連續(xù)無限數(shù)集，則可以借助數(shù)軸的直觀性來求解.

【訓(xùn)練1】(1)已知集合A={x|x=3〃+2,〃?N},B={6,8,10,12,14},

則集合AA3中元素的個數(shù)為()

A.5B.4C.3D.2

(2)已知般={(x,y)|無+y=2},N={(x,y')\x-y=4},則MPlN=()

A.x=3,y=-1B.(3,11)

C.{3,-1}D.{(3,-1)}

答案(1)D(2)D

解析(1)分別令3〃+2=6,8,10,12,14,只有3"+2=8,3〃+2=14有自然

數(shù)解，故An3={8,14},故選D.

x+y=2,x=3,

⑵由.，得j,故vnN={(3,-1)).

lx—y=4Ly=-1,

題型二并集的概念與運算

【例2】(1)設(shè)集合A={1,2,3},B=[2,3,4},則AU3=()

A.{1,2,3,4}B.{1,2,3}

C.{2,3,4}D.{1,3,4}

(2)已知集合P={x|xV3},Q={x|—1W無W4},那么PUQ=()

A.{x|—lWx<3}B.{x|-1W尤W4}

C.{x|x<4}D.{小N—1}

答案(1)A(2)C

解析(1)由定義知AUB={1,2,3,4).

(2)在數(shù)軸上表示兩個集合，

如圖，可得PUQ={x|xW4}.

P|一，QLX^

-101234x

思維升華求集合并集的兩種方法

(1)定義法：若集合是用列舉法表示的，可以直接利用并集的定義求解；

(2)數(shù)形結(jié)合法：若集合是用描述法表示的由實數(shù)組成的數(shù)集，則可以利用數(shù)軸

分析法求解，此時栗注意集合的端點能否取到.

【訓(xùn)練2】(1)已知集合P={0,1,2,3},Q={-2,1,2},則PUQ=()

A.{—2,0,1,2}B.{-2,0,1,2,3}

C.{1,2}D.{0,1,2,3}

(2)若A=(—1,2],B={x\x^0},則AU3=.

答案(1)B(2)(—1,+8)

解析(1)根據(jù)并集的定義，知PUQ中包含了集合P和集合。中的所有元素,

但要注意相同元素在并集中只能出現(xiàn)一次，故PUQ={-2,0,1,2,3).

⑵根據(jù)題意，畫出數(shù)軸，如圖，

__rmB____-

-102彳

/.AUB=(-1,2]U{x|xN0}=(-1,+8).

題型三集合的交、并集運算的綜合應(yīng)用

【例3】設(shè)集合4={衛(wèi)爐一3x+2=0},B={x|x2+2(tz-l)x+(o2-5)=0}.

(1)若An3={2},求實數(shù)a的值；

(2)若AUBMA,求實數(shù)a的取值范圍.

解(1)由題意可知A={X|P—3X+2=0}={1,2},

■：AHB={2},：.2CB,將x=2代入方程f+2(a—1)%+(片一5)=0得4+4(a—

l)+(tz2-5)=0,解得a=—5或a=l.當a=—5時，集合3={2,10},符合題

意；

當a=l時，集合3={2,—2},符合題意.

綜上所述：。=-5或。=1.

(2)若AU3=A,則3GA,

'：A={1,2},...臺=。或3={1}或{2}或{1,2}.

若B=0,則/=4(a—1/一4(/—5)=24—8a<0,

解得a>3；

J=24—8a=0,

若3={1},則，2(a—1)

x=-2=1-ci~19

〃=3,

即不成立；

a—09

/=24—8〃=0,

若5={2},則<2(〃-1)

x=一-1—。=2,

〃=3,

即＜不成立;

a=—1,

[/=24—8。＞0,

若3={1,2},貝I”l+2=-2(iz—1),

11X2=4—5,

a-

此時不成立.

a-

綜上,a的取值范圍是{a|a>3}.

思維升華利用集合交集、并集的性質(zhì)解題的依據(jù)及關(guān)注點

⑴依據(jù)：An3=A=AG3,AUB=A^BQA.

(2)關(guān)注點：當集合AN3時，若集合A不確定，運算時要考慮A=0的情況，否則

易漏解.

【訓(xùn)練3】已知集合A={x|2aWxWa+3},3={x[x<—1或x>5},若AA3=

。，求實數(shù)a的取值范圍.

解由AnB=0,

⑴若A=0,有2a>a+3,：.a>3.

(2)若AW。，如圖：

-12aa+35%

(2〃2—1,

.?4a+3W5,解得一gwaW2.

12〃Wa+3,

綜上所述，a的取值范圍是1a|—；WaW2或a>31.

課堂小結(jié)?

1.理解2個概念——并集、交集

(1)對于并集，要注意其中“或”的意義.

(2)對于交集，AA3中的元素是“所有”屬于A且屬于3的元素，而不是部分.

2.注意2個易錯點

(1)對于元素個數(shù)有限集合，可直接利用“交”“并”定義求解，但要注意集合

元素的互異性.

(2)對于元素個數(shù)無限集合，進行“交、并”運算時借助數(shù)軸求解，但栗注意端

點值能否取到.

分層UII練，----------------------------------素養(yǎng)提升

基礎(chǔ)達標I

一、選擇題

1.已知集合A={x|x—INO},B={Q,1,2},則An3=（）

A.{0}B.{1}C.{1,2}D.{0,1,2}

答案C

解析VA={x|x-l>O}={xk^l},B=[0,1,2）,

.*.AnB={l,2},故選C.

2.已知集合A={—1,1,2,3,5},B={2,3,4],C={x?R|1W尤<3},則（AAOUB

=（）

A.{2}B.{2,3}

C.{-1,2,3}D.{1,2,3,4}

答案D

解析由題意可知Anc={l,2},則（AnOUBMH，2,3,4},故選D.

3.已知集合A={小<2},B={x\3-2x>0},則（）

A.AnJB=jx|x<|jB.A^B=0

C.AUB=1xk<|jD.AUJB=R

答案A

解析由3—2x>0得x<|,23d一.

/32x

2

則B=|x|x<||,畫出數(shù)軸，如圖，

所以408=卜|/<||,A^B={x\x<2},故選A.

4.若集合A={0,1,2,x},B={1,x2},AUB=A,則滿足條件的實數(shù)》有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

答案B

解析?「AU5=A,.?.BGA,「.x2：?；驙t=2或，解得％=0或g或一表或

1.經(jīng)檢驗，當兄=啦或一啦時滿足題意，故選B.

5.（多選題）已知集合人={-2,-1,0,2,3},B={y\y^x1-1,x^A},則下列

選項中是AH3中的元素的為（）

A.-lB.OC.3D.1

答案ABC

解析當％=±2時，y=3；

當x=—l時，y=0；

當x=0時，y=-1;

當x=3時，y=8.

-1,0,3,8},.'.An"1—1,0,3）.

二、填空題

6.已知集合A={x|xWl},B={x\x^a},且AUB=R,則實數(shù)a的取值范圍是

答案（一8,1]

解析如圖，A={x|xWl},B={x\x^a},要使AUB=R,只需aWl.

a1

7.已知集合A={(x,y)\y=2x-l},B={(x,y)\y=x+3},則An§=.

答案{(4,7)}

解析由'解得［故AnB={(4,7)}.

ly=x+3,ly=7,

8.設(shè)非空集合A={x|m—1WXW2冽+1},8={x|—4WxW2}.若加=2,則AAB=

若AUAAB,則實數(shù)機的取值范圍是.

答案{x|lWxW2}［刑一ZWAHW］；

解析把根=2代入得A={川1WxW5},

VB={x|-4^x^2},.*.AnB={x|lWxW2}；

?「AGAAB,：.A^B,又AW。，

m—12—4,

2m+l<2,解得一

{m—1^2m+l,

即m的取值范圍為—

三'解答題

9.已知集合A={x|3Wx<7},B={.r|2<x<10},C={x|x<3或xN7},求:

(1)AUB；(2)cnB.

解(1)由集合4={衛(wèi)3三%<7},3={衛(wèi)2<%<10},把兩集合表示在數(shù)軸上如圖所示:

——i——?——?—?——?—?_1__u_?——?——?_<>_?——?_!_?

-5-4-3-2-1012345678910支

得到AUB={x[2<x<10}.

(2)由集合3={x[2<x<10},C={x|x<3或x>7},把兩集合表示在數(shù)軸上如圖所示:

II1tli?1???I[??(LK

-5-4-3-2-1012345678910”

則Cn3={x|2<x<3或74<10}.

10.設(shè)集合A={x|—1<X<4},B=j.x-|—5<x<|j,C={x\l—2a<x<2a}.

(1)若C=0,求實數(shù)a的取值范圍；

(2)若CW。且CgAAB),求實數(shù)a的取值范圍.

解(I)'：C={x\l-2a<x<2a}=0,：.l~2a^2a,

；.昌即實數(shù)a的取值范圍是[ala詞.

(2)'：C={x\l-2a<x<2a}^,

1~2a<2a,即a〉g.

VA={x|—l<x<4},B=jx|—5<x<|j,

「?AC5=卜|-14<|j.

r1-2a2—1,

3

VCc(AnB),：.<2a等，解得*底土，

1

—>不

即實數(shù)a的取值范圍是昌<。端.

能力提升I

1L(多選題)已知集合人={小="二7},An3=0,則集合3可能是()

A.{x|x<—1}B.{(x,y)ly=%-1}

C.{y\y=_%2}D.{x|九2—1}

答案ABC

解析集合4={衛(wèi)丁=正71}={衛(wèi)》三1}.當3={刃%<—1}時，403=0,選項A

符合題意；當3={(x,y)|y=x—1}時，5是點集，顯然AnB=0,選項B符合題

意；當3={y|y=—f}={y|yWO}時，AnB=0,選項C符合題意；當3={x|x2

—1}時，AABW。，選項D不符合題意.故選ABC.

12.若集合A={x|-3WxW5},B={x|2m-l^%<2m+9},AUB=B,則實數(shù)m

的取值范圍是.

答案{"“一2W機W—1}

解析VAUB=JB,

.'.AQ