專題24雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程7種常見考法歸類

專題24雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程7種常見考法歸類1、雙曲線的定義把平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對(duì)值等于非零常數(shù)(小于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線．這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做雙曲線的焦距．注：對(duì)雙曲線定義中限制條件的理解(1)當(dāng)||MF1|－|MF2||＝2a＞|F1F2|時(shí)，M的軌跡不存在．(2)當(dāng)||MF1|－|MF2||＝2a＝|F1F2|時(shí)，M的軌跡是分別以F1，F(xiàn)2為端點(diǎn)的兩條射線．(3)當(dāng)||MF1|－|MF2||＝0，即|MF1|＝|MF2|時(shí)，M的軌跡是線段F1F2的垂直平分線．(4)若將定義中的絕對(duì)值去掉，其余條件不變，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡為雙曲線的一支．2、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸x軸y軸標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)圖形焦點(diǎn)坐標(biāo)(－c,0)，(c,0)(0，－c)，(0，c)a，b，c的關(guān)系c2＝a2＋b2注：（1）巧記雙曲線焦點(diǎn)位置與方程的關(guān)系焦點(diǎn)跟著正項(xiàng)走，即若x2項(xiàng)的系數(shù)為正，則焦點(diǎn)在x軸上；若y2項(xiàng)的系數(shù)為正，則焦點(diǎn)在y軸上．（2）雙曲線中a，b，c的關(guān)系與橢圓中a，b，c的關(guān)系有何不同？雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中的兩個(gè)參數(shù)a和b，確定了雙曲線的形狀和大小，是雙曲線的定形條件，這里b2＝c2－a2，即c2＝a2＋b2，其中c>a，c>b，a與b的大小關(guān)系不確定；而在橢圓中，b2＝a2－c2，即a2＝b2＋c2，其中a>b>0，a>c>0，c與b的大小關(guān)系不確定．3、雙曲線的定義及應(yīng)用與焦點(diǎn)有關(guān)的問(wèn)題應(yīng)考慮利用定義，一些簡(jiǎn)單的題目，其考查點(diǎn)就是雙曲線的定義，合理利用定義往往是優(yōu)化解題的關(guān)鍵.4、雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的識(shí)別將雙曲線的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，假如雙曲線的方程為eq\f(x2,m)＋\f(y2,n)＝1，則當(dāng)mn<0時(shí)，方程表示雙曲線.若eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m>0，,n<0，))則方程表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線；若eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m<0，,n>0，))則方程表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線.5、求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟(1)定位：是指確定與坐標(biāo)系的相對(duì)位置，在標(biāo)準(zhǔn)方程的前提下，確定焦點(diǎn)位于哪條坐標(biāo)軸上，以確定方程的形式．(2)定量：是指確定a2，b2的數(shù)值，常由條件列方程組求解．6、雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種求法(1)定義法：根據(jù)雙曲線的定義得到相應(yīng)的a，b，c，再寫出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．(2)待定系數(shù)法：先設(shè)出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1或eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a，b均為正數(shù))，然后根據(jù)條件求出待定的系數(shù)代入方程即可．[注意]若焦點(diǎn)的位置不明確，應(yīng)注意分類討論，也可以設(shè)雙曲線方程為mx2＋ny2＝1的形式，注意標(biāo)明條件mn<0.7、雙曲線的焦點(diǎn)三角形問(wèn)題在解決雙曲線中與焦點(diǎn)有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，要注意定義中的條件||PF1|－|PF2||＝2a的應(yīng)用；與三角形有關(guān)的問(wèn)題要考慮正、余弦定理、勾股定理等．另外在運(yùn)算中要注意一些變形技巧和整體代換思想的應(yīng)用．8、雙曲線的實(shí)際應(yīng)用雙曲線在實(shí)際生活中有著廣泛的應(yīng)用，解答該類問(wèn)題的關(guān)鍵是從實(shí)際問(wèn)題中挖掘出所有相關(guān)條件，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的問(wèn)題．9、橢圓、雙曲線特性歸納及應(yīng)用已知點(diǎn)A(a,0)，B(－a,0)，過(guò)A點(diǎn)的直線l1與過(guò)B點(diǎn)的直線l2相交于一點(diǎn)M，設(shè)直線l1的斜率為k1，直線l2的斜率為k2.(1)當(dāng)k1·k2＝－eq\f(b2,a2)時(shí)，點(diǎn)M的軌跡方程為橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(x≠±a，a＞b＞0)．(2)當(dāng)k1·k2＝eq\f(b2,a2)時(shí)，點(diǎn)M的軌跡方程為雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(x≠±a，a＞0，b＞0)．考點(diǎn)一雙曲線的定義及應(yīng)用考點(diǎn)二雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的識(shí)別考點(diǎn)三求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程考點(diǎn)四根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程求相關(guān)量考點(diǎn)五雙曲線中的焦點(diǎn)三角形問(wèn)題考點(diǎn)六雙曲線的實(shí)際應(yīng)用考點(diǎn)七雙曲線的軌跡問(wèn)題考點(diǎn)一雙曲線的定義及應(yīng)用1．（2023秋·高二課前預(yù)習(xí)）判斷正誤，正確的寫“正確”，錯(cuò)誤的寫“錯(cuò)誤”．（1）平面內(nèi)到兩定點(diǎn)的距離的差等于常數(shù)（小于兩定點(diǎn)間的距離）的點(diǎn)的軌跡是雙曲線.()（2）平面內(nèi)到點(diǎn)，的距離之差等于的點(diǎn)的軌跡是雙曲線．()

（3）平面內(nèi)到點(diǎn)，的距離之差的絕對(duì)值等于的點(diǎn)的軌跡是雙曲線．()（4）雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程中，，的大小關(guān)系是.()【答案】錯(cuò)誤錯(cuò)誤錯(cuò)誤錯(cuò)誤【分析】根據(jù)雙曲線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程分析判斷即可得解.【詳解】解：（1）錯(cuò)誤．“平面內(nèi)到兩定點(diǎn)的距離的差的絕對(duì)值等于非零常數(shù)（小于兩定點(diǎn)間的距離）的點(diǎn)的軌跡”才表示雙曲線．，的距離之差等于的點(diǎn)的軌跡為雙曲線的一支．（3）錯(cuò)誤．雙曲線的定義中要求“常數(shù)小于兩定點(diǎn)的距離”，而，不滿足定義要求.實(shí)際上，平面內(nèi)到點(diǎn)，的距離之差的絕對(duì)值等于的點(diǎn)的軌跡是兩條射線．（4）錯(cuò)誤．雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程中，，只要求滿足，，與的大小關(guān)系不確定．2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)，，則在平面內(nèi)滿足下列條件的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為雙曲線的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】涉及雙曲線上一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形問(wèn)題往往考慮用雙曲線的定義求解.【詳解】由于，因此滿足，的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡均不是雙曲線，滿足的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是雙曲線的右支，而滿足的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡才是雙曲線．故選：B．3．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知，，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是（）A．雙曲線 B．雙曲線左支C．一條射線 D．雙曲線右支【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，得，即可確定軌跡作答.【詳解】因?yàn)?，于是有，所以?dòng)點(diǎn)P的軌跡是一條射線．故選：C4．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知?jiǎng)狱c(diǎn)滿足，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是（

）A．射線 B．直線C．橢圓 D．雙曲線的一支【答案】A【分析】利用兩點(diǎn)間的距離公式分析條件的幾何意義可得.【詳解】設(shè)，由題意知?jiǎng)狱c(diǎn)M滿足|，故動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是射線.故選：A.5．【多選】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)．若雙曲線上一點(diǎn)M到它的一個(gè)焦點(diǎn)的距離等于16，則點(diǎn)M到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為（

）A．8 B．10C．22 D．32【答案】BC【分析】利用雙曲線定義即可求得結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意不妨設(shè)，根據(jù)雙曲線的定義知，即，解得或；故選：BC.考點(diǎn)二雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的識(shí)別6．【多選】（2023秋·江蘇淮安·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）若，曲線C的方程為，則（

）A．當(dāng)時(shí)，曲線C表示圓B．當(dāng)時(shí)，曲線C表示兩條直線C．當(dāng)時(shí)，曲線C表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓D．當(dāng)時(shí)，曲線C表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線【答案】AB【分析】根據(jù)直線、圓、橢圓、雙曲線的知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】A選項(xiàng)，，，即，表示圓，A選項(xiàng)正確.B選項(xiàng)，，，即，所以，表示兩條直線，B選項(xiàng)正確.C選項(xiàng)，，，，方程即，表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，C選項(xiàng)錯(cuò)誤.D選項(xiàng)，，，方程即，表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AB7．【多選】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知曲線C：，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則C是橢圓，其焦點(diǎn)在y軸上B．若，則C是圓，其半徑為C．若，則C是雙曲線D．若，，則C是兩條直線【答案】ACD【分析】根據(jù)不同的取值結(jié)合曲線方程的形式逐項(xiàng)判斷可得正確的選項(xiàng).【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，∵，∴，方程可變形為，∴該方程表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，∵，∴方程可變形為，該方程表示半徑為的圓，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，∵，∴該方程表示雙曲線，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，∵，，∴方程變形為，該方程表示兩條直線，故D正確.故選：ACD.8．【多選】（2023秋·江蘇鹽城·高二江蘇省射陽(yáng)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知方程表示的曲線為C，則下列四個(gè)結(jié)論中正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，曲線C是橢圓 B．當(dāng)或時(shí)，曲線C是雙曲線C．若曲線C是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則 D．若曲線C是焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，則【答案】BCD【分析】根據(jù)給定條件，利用橢圓、雙曲線方程的特征逐項(xiàng)判斷作答.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，則曲線是圓，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)或時(shí)，，曲線是雙曲線，B正確；對(duì)于C，若曲線是焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則，解得，C正確；對(duì)于D，若曲線是焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，則，解得，D正確．故選：BCD9．【多選】（2023·廣東韶關(guān)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）曲線C的方程為，則（

）A．當(dāng)時(shí)，曲線C是焦距為的雙曲線B．當(dāng)時(shí)，曲線C是焦距為的雙曲線C．曲線C不可能為圓D．當(dāng)時(shí)，曲線C是焦距為的橢圓【答案】AD【分析】變形給定的方程，利用各選項(xiàng)的條件，結(jié)合圓、橢圓、雙曲線的特征判斷作答.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，方程化為，曲線是焦距為的雙曲線，A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，方程化為，曲線是焦點(diǎn)在y軸上，焦距為的橢圓，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，曲線表示圓，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，方程化為，曲線是焦點(diǎn)在x軸上，焦距為的橢圓，D正確.故選：AD10．（2023·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）根據(jù)下列條件判斷方程表示什么曲線.(1)；(2).【答案】(1)橢圓(2)雙曲線【分析】（1）利用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程判斷即可；（2）利用雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程判定即可.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，且，故方程表示橢圓；（2）當(dāng)時(shí)，，方程，故表示雙曲線；11．（2023秋·安徽安慶·高二安慶市第七中學(xué)校考階段練習(xí)）若方程表示雙曲線，則的取值范圍是．【答案】【分析】根據(jù)雙曲線方程的特點(diǎn)列不等式求解即可.【詳解】由題意得，解得.故答案為：.12．（2023秋·安徽蕪湖·高一校考階段練習(xí)）已知曲線表示雙曲線，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程列不等式求解.【詳解】由題意知，，解得，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是.故選：D.13．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知方程表示的焦點(diǎn)在y軸的雙曲線，則m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先化為雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，再建立不等式求解即可.【詳解】方程可化為：，由方程表示的焦點(diǎn)在y軸的雙曲線，得，解得.故選：C.14．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知方程表示焦點(diǎn)軸上的雙曲線，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】【分析】根據(jù)雙曲線的定義即可求解.【詳解】因?yàn)榉匠瘫硎窘裹c(diǎn)軸上的雙曲線，則，解得.所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.考點(diǎn)三求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程15．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知雙曲線的下、上焦點(diǎn)分別為，，是雙曲線上一點(diǎn)且，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】結(jié)合題意依次求得，從而得到雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】因?yàn)殡p曲線的下、上焦點(diǎn)分別為，，所以設(shè)雙曲線的方程為，半焦距為；又因?yàn)槭请p曲線上一點(diǎn)且，所以，即，則；所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：C.16．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，，雙曲線上一點(diǎn)P與F1，F(xiàn)2的距離差的絕對(duì)值等于6，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A．－＝1 B．－＝1C．－＝1 D．－＝1【答案】C【分析】根據(jù)雙曲線的定義，可得，，由焦點(diǎn)位置可求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】由題意，，，則，，由兩焦點(diǎn)在軸上，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：C．17．（2023秋·安徽安慶·高二安慶市第七中學(xué)?？茧A段練習(xí)）以橢圓的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，以這個(gè)橢圓的長(zhǎng)軸的端點(diǎn)為焦點(diǎn)的雙曲線方程是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)橢圓的焦點(diǎn)為雙曲線的頂點(diǎn)得到雙曲線焦點(diǎn)在軸上，，根據(jù)橢圓的長(zhǎng)軸端點(diǎn)為雙曲線的焦點(diǎn)得到，然后根據(jù)求雙曲線的方程即可.【詳解】由題意得雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，設(shè)雙曲線的方程為，所以，，，所以雙曲線的方程為.故選：B.18．（2023秋·江西南昌·高二?？茧A段練習(xí)）已知雙曲線的焦點(diǎn)與橢圓：的上、下頂點(diǎn)相同，且經(jīng)過(guò)的焦點(diǎn)，則的方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】設(shè)雙曲線方程為，由題意算出即可.【詳解】橢圓：，上、下頂點(diǎn)分別為，，上、下焦點(diǎn)分別為，.因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)與的上、下頂點(diǎn)相同，且經(jīng)過(guò)的焦點(diǎn)，設(shè)雙曲線方程為，則有，，，所以雙曲線的方程為.故選：C19．（2023·全國(guó)·高二課堂例題）已知雙曲線兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，，并且雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．【答案】【分析】根據(jù)焦點(diǎn)及雙曲線上一點(diǎn)利用待定系數(shù)法求解即可.【詳解】由于雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上，故可設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為．已知焦點(diǎn)，及雙曲線上一點(diǎn)P，由雙曲線的定義可知，因此．又因?yàn)?，所以．因此，所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．20．（2023·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)，焦點(diǎn)在x軸上，且過(guò)點(diǎn)；(2)，一個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)是；(3)經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)焦點(diǎn)位置及過(guò)點(diǎn)求出得出標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）根據(jù)焦點(diǎn)及，求出即可得出標(biāo)準(zhǔn)方程；（3）設(shè)雙曲線方程為，利用待定系數(shù)法求解.【詳解】（1）由于雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，故可設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為．因?yàn)殡p曲線過(guò)點(diǎn)，所以，又，解得，，因此，所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）由題意知，，且焦點(diǎn)在x軸上，所以，故所求雙曲線方程為：（3）設(shè)雙曲線方程為，代入點(diǎn)，，則，解得，所以所求雙曲線方程為.21．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，雙曲線上的點(diǎn)與兩焦點(diǎn)的距離之差的絕對(duì)值等于；(2)焦點(diǎn)在軸上，經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)．(3)經(jīng)過(guò)點(diǎn)和．(4)已知與橢圓共焦點(diǎn)的雙曲線過(guò)點(diǎn)【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)、雙曲線的定義可得答案；（2）設(shè)雙曲線的方程為，將兩點(diǎn)代入可得答案；（3）設(shè)雙曲線的方程為，將兩點(diǎn)代入可得答案；（4）求出橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)可得雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，代入點(diǎn)可得答案.【詳解】（1）由已知得，，即，∵，∴，∵焦點(diǎn)在軸上，∴所求的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是；（2）設(shè)雙曲線的方程為，則，所以，∴雙曲線方程為；（3）設(shè)雙曲線方程為，將兩點(diǎn)代入可得，解得，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（4）設(shè)橢圓的半焦距為，則，∴，所以橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，，所以雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，，設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，故所求雙曲線方程可寫為，∵點(diǎn)在所求雙曲線上，∴代入有，化簡(jiǎn)得，解得或；當(dāng)時(shí)，，不合題意，舍去；∴，∴所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.考點(diǎn)四根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程求相關(guān)量22．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）若雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)是，則k的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】將雙曲線的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，由焦點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算即可.【詳解】雙曲線，化為標(biāo)準(zhǔn)方程為：，一個(gè)焦點(diǎn)是，所以焦點(diǎn)在軸上，.所以，，所以，所以，所以.故選：A.23．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若雙曲線的焦距為4，則（

）A． B．1 C．2 D．【答案】D【分析】根據(jù)雙曲線的性質(zhì)求解即可.【詳解】由題可知，即，又，所以，，且，所以雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，所以，所以．故選：D.24．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）如果雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，焦距為10，求實(shí)數(shù)的值．【答案】16【分析】根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)，列出方程，即可求解.【詳解】由題意，雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，焦距為10，可得且，解得.故答案為：1625．（2023秋·江西上饒·高二上饒市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若橢圓與雙曲線有相同的焦點(diǎn)，則m=（）A． B．1或2C．1或 D．1【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，利用焦點(diǎn)位置及半焦距的計(jì)算列式求解作答.【詳解】雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，依題意，，即，又，解得，所以.故選：D考點(diǎn)五雙曲線中的焦點(diǎn)三角形問(wèn)題26．（2023·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）已知雙曲線的焦點(diǎn)為，，點(diǎn)M在雙曲線上，且軸，求到直線的距離.【答案】【分析】根據(jù)雙曲線的定義以及焦點(diǎn)三角形中利用等面積法求解即可.【詳解】

由題可得，，所以,設(shè)，則，解得,由于對(duì)稱性，不妨取，所以根據(jù)雙曲線的定義可得，，解得，設(shè)到直線的距離為，在直角三角形中，，所以.27．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若，是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在此雙曲線上，且，求的大?。敬鸢浮俊痉治觥吭诮裹c(diǎn)三角形中，利用余弦定理求解即可.【詳解】如圖，由可得，設(shè)，則，又，所以，在中，又因?yàn)椋?28．（2023秋·廣東深圳·高二校考期中）若橢圓與雙曲線有相同的焦點(diǎn)，，P是兩曲線的一個(gè)交點(diǎn)，則的面積是（）A． B．t C．2t D．4t【答案】B【分析】設(shè)，，再根據(jù)橢圓與雙曲線的定義列式，化簡(jiǎn)可得，可得是直角三角形，再根據(jù)可得面積.【詳解】設(shè)，，不妨設(shè)交點(diǎn)P在第一象限，分別為左右焦點(diǎn)，則①，②，，可得①②2：，∴是直角三角形，①②：，．故選：B29．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，P為C的右支上一點(diǎn)，且，求的面積．【答案】48【分析】過(guò)點(diǎn)作邊上的高，根據(jù)所給條件結(jié)合雙曲線的定義可求出三角形的高，即可求出三角形的面積.【詳解】如圖，由可得，，，，，過(guò)點(diǎn)作邊上的高，則，，所以的面積為.30．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)是雙曲線上一點(diǎn)，且，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)點(diǎn)在雙曲線的右支上，利用雙曲線的定義以及、，利用余弦定理及中線的向量關(guān)系可求得的值.【詳解】

在雙曲線中，，，則，根據(jù)對(duì)稱性，不妨設(shè)點(diǎn)在雙曲線的右支上，則．因?yàn)?，所，．在中，，①在中，是中點(diǎn),則，兩邊平方可得，所以②所以,,．故選：A.31．（2023秋·高二單元測(cè)試）已知，分別為雙曲線：的左、右焦點(diǎn)，左右頂點(diǎn)分別為，離心率為，點(diǎn)為雙曲線C上一點(diǎn)，直線的斜率之和為，的面積為，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用離心率定義，斜率公式，三角形面積表示，代入條件即可.【詳解】因?yàn)殡x心率為，則，則，所以雙曲線方程為，設(shè)，則①，因?yàn)?，所以，所以②，又因?yàn)榈拿娣e為，所以，即，所以③，由②③得④，將④③代入①得，，所以.故選：D.32．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，過(guò)的直線分別交雙曲線的左右兩支于兩點(diǎn)，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用雙曲線的定義和性質(zhì)表示出各邊長(zhǎng)，再利用直角三角形的邊角關(guān)系及余弦定理求出即可.【詳解】由雙曲線得出.因?yàn)?，所?作于C，則C是AB的中點(diǎn).設(shè)，則由雙曲線的定義，可得.故，又由余弦定理得，所以，解得.故選：C33．（2023秋·云南昆明·高三昆明一中?？茧A段練習(xí)）已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，過(guò)點(diǎn)的直線與雙曲線的左支交于，兩點(diǎn)，若，則的內(nèi)切圓周長(zhǎng)為.【答案】【分析】由雙曲線定義可以首先求出，然后由可以求出，最終由直角三角形內(nèi)切圓半徑公式即可求解.【詳解】如圖所示：設(shè)內(nèi)切圓半徑為，切點(diǎn)分別為，由題意，則，所以，由雙曲線定義有；又因?yàn)?，即，所以，因此，從而直角三角形的?nèi)切圓半徑是，所以的內(nèi)切圓周長(zhǎng)為.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：熟練雙曲線定義以及直角三角形內(nèi)切圓半徑公式，并合理轉(zhuǎn)換已知條件是解題的關(guān)鍵.34．（2023秋·重慶南岸·高三重慶市第十一中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知雙曲線，過(guò)雙曲線的上焦點(diǎn)作圓的一條切線，切點(diǎn)為M，交雙曲線的下支于點(diǎn)為的中點(diǎn)，則三角形的外接圓的周長(zhǎng)為【答案】/【分析】先求得，根據(jù)雙曲線的定義求得，從而求得，由得到三角形的外接圓的直徑，從而求得三角形的外接圓的周長(zhǎng).【詳解】依題意，雙曲線，，則，，，所以，所以，設(shè)是雙曲線的下焦點(diǎn)，設(shè)，，根據(jù)拋物線的定義可知，，在三角形中，由余弦定理得：，解得，由于是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，所以，由于三角形是直角三角形，，所以是三角形外接圓的直徑，所以外接圓的周長(zhǎng)為.故答案為：【點(diǎn)睛】有關(guān)直線和圓相切的問(wèn)題，要把握住圓心和切點(diǎn)的連線與切線垂直.研究雙曲線焦點(diǎn)三角形有關(guān)的問(wèn)題，可考慮通過(guò)雙曲線的定義來(lái)列方程，建立等量關(guān)系式，從而解決所求問(wèn)題.直角三角形外接圓的直徑是直角三角形的斜邊.35．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知F是雙曲線C：的右焦點(diǎn)，P是C的左支上一點(diǎn)，，則的最小值為（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【分析】根據(jù)雙曲線的定義得，利用平面幾何的知識(shí)，兩點(diǎn)間線段最短，即可求出最值.【詳解】由雙曲線方程可知，，，故右焦點(diǎn)，左焦點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在雙曲線左支上運(yùn)動(dòng)時(shí)，由雙曲線定義知，所以，從而，又為定值，所以，此時(shí)點(diǎn)在線段與雙曲線的交點(diǎn)處（三點(diǎn)共線距離最短），故選：B.36．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知是雙曲線的左焦點(diǎn)，是雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為.【答案】/【分析】利用雙曲線定義將轉(zhuǎn)化，用到右焦點(diǎn)的距離表示，由點(diǎn)與右焦點(diǎn)位于雙曲線右支異側(cè)，利用兩點(diǎn)之間線段最短可得最小值.【詳解】由題意知，.設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為，由是雙曲線右支上的點(diǎn)，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立.又，則.所以，的最小值為.故答案為：.37．（2023秋·全國(guó)·高二期中）已知點(diǎn)是雙曲線右支上的一點(diǎn)，點(diǎn)、分別是圓和上的點(diǎn)，求的最大值．【答案】【分析】先由已知條件可知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)為兩個(gè)圓的圓心，再利用平面幾何知識(shí)把轉(zhuǎn)化為雙曲線上的點(diǎn)到兩焦點(diǎn)之間的距離，結(jié)合雙曲線的定義即可求的最大值.【詳解】，，，則，故雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)為，，，也分別是兩個(gè)圓的圓心，兩圓的半徑分別為，所以，，則，即的最大值為．考點(diǎn)六雙曲線的實(shí)際應(yīng)用38．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）3D打印是快速成型技術(shù)的一種，通過(guò)逐層打印的方式來(lái)構(gòu)造物體.如圖所示的筆筒為3D打印的雙曲線型筆筒，該筆筒是由離心率為3的雙曲線的一部分圍繞其旋轉(zhuǎn)軸逐層旋轉(zhuǎn)打印得到的，已知該筆筒的上底直徑為6cm，下底直徑為8cm，高為8cm（數(shù)據(jù)均以外壁即筆筒外側(cè)表面計(jì)算），則筆筒最細(xì)處的直徑為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】畫出筆筒的軸截面，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)出雙曲線的方程，根據(jù)題意寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，把點(diǎn)的坐標(biāo)代入雙曲線方程即可求解.【詳解】該塔筒的軸截面如圖所示，以為筆筒對(duì)應(yīng)雙曲線的實(shí)軸端點(diǎn)，以所在直線為軸，過(guò)點(diǎn)且與垂直的直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)與分別為上，下底面對(duì)應(yīng)點(diǎn).由題意可知，設(shè)，則，設(shè)雙曲線的方程為，因?yàn)殡p曲線的離心率為，所以，所以方程可化簡(jiǎn)為，將和的坐標(biāo)代入式可得，解得，則筆筒最細(xì)處的直徑為.故選：C.39．（2004·福建·高考真題）如圖，B地在A地的正東方向處，C地在B地的北偏東方向處，河流的沿岸（曲線）上任意一點(diǎn)到A的距離比到B的距離遠(yuǎn)．現(xiàn)要在曲線上選一處M建一座碼頭，向B、C兩地轉(zhuǎn)運(yùn)貨物．經(jīng)測(cè)算，從M到B、C兩地修建公路的費(fèi)用分別是a萬(wàn)元/、萬(wàn)元/，那么修建這兩條公路的總費(fèi)用最低是（

）萬(wàn)元 B．萬(wàn)元 C．萬(wàn)元 D．萬(wàn)元【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，建立平面直角坐標(biāo)系，求出曲線PQ的方程，再結(jié)合兩點(diǎn)間距離公式求解作答.【詳解】以線段AB的中點(diǎn)O為原點(diǎn)，射線OB為x軸的非負(fù)半軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，則，令點(diǎn)為曲線PQ上任意一點(diǎn)，則，因此曲線PQ是以點(diǎn)A，B為左右焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為2的雙曲線右支，其方程為，顯然點(diǎn)C在曲線PQ含焦點(diǎn)B的區(qū)域內(nèi)，設(shè)，，有，修建這兩條公路的總費(fèi)用，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，由，且，解得，即時(shí)，所以修建這兩條公路的總費(fèi)用最低是萬(wàn)元.故選：B【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：圓錐曲線上的點(diǎn)與一定點(diǎn)和焦點(diǎn)距離和的問(wèn)題，借助兩點(diǎn)間距離公式及點(diǎn)在曲線上進(jìn)行化簡(jiǎn)變形即可推理求解.40．（2023秋·全國(guó)·高二期中）如圖，發(fā)電廠的冷卻塔被設(shè)計(jì)成單葉旋轉(zhuǎn)雙曲面的形狀（雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉(zhuǎn)所成的曲面），可以加強(qiáng)對(duì)流，自然通風(fēng).已知某個(gè)冷卻塔的最小半徑為12m，上口半徑為13m，下口半徑為25m，高為55m.試選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系求此雙曲線的方程.附：【答案】【分析】建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，利用待定系數(shù)法進(jìn)行求解即可.【詳解】建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由題意可知：該雙曲線過(guò)，所以有，且，由可得，將其代入，得，即，則，所以雙曲線的方程為.41．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）某工程隊(duì)要在平面內(nèi)挖一個(gè)半圓形的地基，如圖，已知挖出的土只能沿道路AP、BP運(yùn)到P處，若PA＝100m，PB＝150m，，試說(shuō)明怎樣運(yùn)土才能最省工？【答案】運(yùn)土?xí)r將雙曲線弧左側(cè)的土沿AP運(yùn)到P處，右側(cè)的土沿BP運(yùn)到P處最省工．【分析】由題意，做功最少，找到路程相等那些點(diǎn)，可得線段之間的關(guān)系，可得這些點(diǎn)的軌跡在雙曲線的右支上，可得答案.【詳解】以AB所在直線為x軸，線段AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系xOy．設(shè)是沿AP、BP運(yùn)土同樣遠(yuǎn)的點(diǎn)，則，所以．在△PAB中，由余弦定理得，且．由雙曲線定義知M點(diǎn)在以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線右支上．設(shè)此雙曲線方程為（，）．因?yàn)椋獾盟渣c(diǎn)軌跡是在半圓內(nèi)的一段雙曲線?。谑沁\(yùn)土?xí)r將雙曲線弧左側(cè)的土沿AP運(yùn)到P處，右側(cè)的土沿BP運(yùn)到P處最省工．考點(diǎn)七雙曲線的軌跡問(wèn)題42．（2023·全國(guó)·高二課堂例題）動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的距離和它到定直線距離的比是常數(shù)，求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡.【答案】點(diǎn)M軌跡是焦點(diǎn)在x軸上，實(shí)軸長(zhǎng)為6、虛軸長(zhǎng)為的雙曲線.【分析】利用兩點(diǎn)、點(diǎn)線距離公式列方程，并轉(zhuǎn)化整理即可得軌跡方程，進(jìn)而判斷軌跡.【詳解】設(shè)d是點(diǎn)M到直線l的距離，根據(jù)題意，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡就是點(diǎn)的集合，則.將上式兩邊平方，并化簡(jiǎn)，得，即.所以，點(diǎn)M的軌跡是焦點(diǎn)在x軸上，實(shí)軸長(zhǎng)為6、虛軸長(zhǎng)為的雙曲線.43．（2023·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）已知?jiǎng)狱c(diǎn)M與兩定點(diǎn)，構(gòu)成，且直線，的斜率之積為4，求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程.【答案】【分析】設(shè)出動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo)，再利用斜率坐標(biāo)公式列式并化簡(jiǎn)作答.【詳解】設(shè)點(diǎn)，而點(diǎn)，，在中，，又直線，的斜率存在，即，于是，即，整理得，所以動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程.44．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）如圖，動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)、構(gòu)成，且直線的斜率之積為，設(shè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡為．求軌跡的方程；【答案】（）【詳解】根據(jù)兩點(diǎn)間斜率公式即可列方程求解軌跡方程，需要注意討論斜率不存在的情況.【分析】設(shè)，當(dāng)時(shí)，直線的斜