第二講向量的距離與夾角余弦

第一講矩陣的基本運(yùn)算第二講向量的距離與夾角余弦第三講數(shù)據(jù)的屬性與處理方法第二講向量的距離與夾角余弦安徽財(cái)經(jīng)大學(xué)AnhuiUniversityofFinance&Economics安徽財(cái)經(jīng)大學(xué)AnhuiUniversityofFinance&Economics安徽財(cái)經(jīng)大學(xué)AnhuiUniversityofFinance&Economics安徽財(cái)經(jīng)大學(xué)AnhuiUniversityofFinance&Economics安徽財(cái)經(jīng)大學(xué)AnhuiUniversityofFinance&Economics安徽財(cái)經(jīng)大學(xué)AnhuiUniversityofFinance&Economics安徽財(cái)經(jīng)大學(xué)AnhuiUniversityofFinance&Economics§1.3向量的距離與夾角余弦§1.4線性方程組AX=b的求解1.向量的數(shù)量積，矢量積例如：a=[1,2,3],b=[-1,5,6],c=[1,0,1]則Matlab中數(shù)量積:dot(a,b);矢量積:cross(a,b)dot(a,b)=27,cross(a,c)=(2,2,-2)解：a,b,c的混合積為：dot(a,cross(b,c))練習(xí)：計(jì)算a,b,c的混合積三、向量的距離與夾角余弦1）Matlab中向量a的范數(shù)為：norm(a)例1

a=[1,2,3],b=[-1,5,6],c=[1,0,1],求a,b的范數(shù)解：norm(a)=3.7417,norm(b)=7.8740練習(xí)：對(duì)例1計(jì)算：a,b夾角的余弦dot(a/norm(a),b/norm(b))解法二：dot(a,b)/norm(a)/norm(b)解法一：=0.9164思考：a,b,c三個(gè)向量那兩個(gè)更接近？

事實(shí)上，范數(shù)的平方=向量a自身的數(shù)量積三、向量的距離與夾角余弦2.矩陣的范數(shù)與向量的標(biāo)準(zhǔn)化如例1

a=[1,2,3],b=[-1,5,6],c=[1,0,1],求a,b,c之間的夾角余弦解：輸入:A=[a;b;c];B=1-pdist(A,'cosine')輸出結(jié)果為:B=0.91640.75590.4490三、向量的距離與夾角余弦

計(jì)算向量之間夾角的余弦還可以用命令:B=1-pdist(A,’cosine’)計(jì)算矩陣A的行向量之間的夾角余弦

2)矩陣的范數(shù)有以下幾種：(1)n=norm(A)矩陣A的普范數(shù)(2范數(shù)),=A’A的最大特征值的算術(shù)根.(2)n=norm(A,1)矩陣A的列范數(shù)（1-范數(shù)）等于A的最大列之和.(3)n=norm(A,inf)矩陣A的行范數(shù)(無(wú)窮大范數(shù))等于A的最大行之和.(4)n=norm(A,'fro')矩陣A的Frobenius范數(shù).記為：三、向量的距離與夾角余弦3)方陣的譜半徑：方陣A的特征值的絕對(duì)值之最大值稱為A的譜半徑記為：例3.求矩陣的譜半徑由eig(A)知矩陣A的特征值分別為1,-2,1。三、向量的距離與夾角余弦例3.將矩陣的行向量與列向量標(biāo)準(zhǔn)化解：A=[1,2,3;4,5,6;7,8,0];B=normr(A)，C=normc(A)也可以輸入命令：b(1)=norm(A(1,:));b(2)=norm(A(2,:));b(3)=norm(A(3,:));c=b’*ones(1,3);B=A./c4）矩陣的行向量、列向量標(biāo)準(zhǔn)化的命令：normr(A)，normc(A)（normr(A)表示將矩陣每一行除以該行的范數(shù)）什么意思??求出A矩陣個(gè)各行的范數(shù),轉(zhuǎn)置后變?yōu)?*1階矩陣,三、向量的距離與夾角余弦

n維歐氏空間:設(shè)表示n維向量的全體所組成的集合，稱為n維歐氏空間稱為與的歐氏距離稱為與的絕對(duì)距離如果三、向量的距離與夾角余弦2.常見(jiàn)的向量距離閔可夫斯基距離：當(dāng)r=1,2時(shí)分別為絕對(duì)距離和歐氏距離馬氏距離：其中V是一個(gè)實(shí)對(duì)稱正定矩陣，通常取樣本的協(xié)方差矩陣，當(dāng)V=E時(shí)即為歐氏距離.以上距離，在Matlab(6.)中有命令:pdist具體如下：三、向量的距離與夾角余弦(1)歐氏距離：如果A是aⅩm階矩陣,B是m

Ⅹb

階矩陣.即A的行向量維數(shù)等于B的列向量維數(shù)．三、向量的距離與夾角余弦dist(A,B)結(jié)果是一個(gè)aⅩb

階上三角形矩陣d(i,j)表示A的第i個(gè)行向量與B的第j個(gè)列向量之間歐氏距離Matlab中命令：dist(A,B)計(jì)算A中每個(gè)行向量與B中每個(gè)列向量之間歐氏距離．例4.

a=[1,2,3],b=[-1,5,6],c=[1,0,1]求a,b,c歐氏距離解:輸入:a1=dist(a,b'),a2=dist(a,c'),a3=dist(c,b')或者輸入:A=[a;b;c];pdist(A)三、向量的距離與夾角余弦Pdist(X)—樣本X中各n維向量的歐氏距離如果X是m個(gè)n維行向量所組成的矩陣，則有：注意：而pdist(X)是個(gè)一行列矩陣。各列分別表示X中各行向量按如下順序的距離(1,2),(1,3),…(1,m),(2,3),(2,4),…(2,m),…(m-1,m)(2)絕對(duì)距離：Matlab中命令：mandist(A,B)計(jì)算A中每個(gè)行向量與B中每個(gè)列向量之間絕對(duì)距離，A的行向量維數(shù)必須等于B的列向量維數(shù).三、向量的距離與夾角余弦設(shè)樣本X是m個(gè)n維行向量所組成的矩陣，則有：Pdist(X,'cityblock')—各n維向量的絕對(duì)距離注意：而pdist(X)是個(gè)一行列矩陣。各列分別表示X中各行向量按如下順序的距離(1,2),(1,3),…(1,m),(2,3),(2,4),…(2,m),…(m-1,m)例5.求例2中向量之間的絕對(duì)距離.mandist(a,b')=8；mandist(a,c')=4；mandist(c,b')=12解：dist(a,b')=4.6904,dist(a,c')=2.8284dist(c,b')=7.3485還可以用什么命令?你發(fā)現(xiàn)了什么？三、向量的距離與夾角余弦與絕對(duì)距離比較設(shè)樣本X是m個(gè)n維行向量所組成的矩陣，則有：Pdist(X,'Minkowski'，r)—閔可夫斯基距離Pdist(X,'mahal')—各n維向量的馬氏距離注意：而pdist(X)是個(gè)一行列矩陣。各列分別表示X中各行向量按如下順序的距離(1,2),(1,3),…(1,m),(2,3),(2,4),…(2,m),…(m-1,m)三、向量的距離與夾角余弦(3)閔可夫斯基距離與馬氏距離例6.

現(xiàn)測(cè)得6只Apf和9只Af蠓蟲(chóng)的觸長(zhǎng),翅長(zhǎng)數(shù)據(jù)如下：Apf：(1.14,1.78),(1.18,1.96),(1.20,1.86),(1.26,2.00),(1.28,2.00),(1.30,1.96)Af：(1.24,1.72),(1.36,1.74),(1.38,1.64),(1.38,1.82),(1.38,1.90),(1.40,1.70),(1.48,1.82),(1.54,1.82),(1.56,2.08)計(jì)算兩類蠓蟲(chóng)的各自之間的歐氏、絕對(duì)、馬氏距離解:輸入Af=[1.24,1.72;1.36,1.74;1.38,1.64;1.38,1.82;1.38,1.90;1.40,1.70;1.48,1.82;1.54,1.82;1.56,2.08]；Apf=[1.14,1.78;1.18,1.96;1.2,1.86;1.26,2.;1.28,2;1.30,1.96];三、向量的距離與夾角余弦d1=(pdist(Apf))';d2=(pdist(Apf,'cityblock'))';d3=pdist(Apf,'mahal'))';d=[d1,d2,d3]輸出結(jié)果為Apf蠓蟲(chóng)之間的各類距離為含有15個(gè)元素的列向量將輸出結(jié)果變化為15行3列的矩陣結(jié)果見(jiàn)表1同理可以求得Af蠓蟲(chóng)之間的各類距離。結(jié)果見(jiàn)表2三、向量的距離與夾角余弦Apf蠓蟲(chóng)歐氏距離絕對(duì)距離馬氏距離d120.18440.22002.5626d130.10000.14000.9883d140.25060.34002.4942d150.26080.36002.5318d160.24080.34002.5478d230.10200.12002.2507d240.08940.12001.5470d250.10770.14002.0430d260.12000.12003.0777d340.15230.20001.6534d350.16120.22001.5873d360.14140.20001.6025d450.02000.02000.5129d460.05660.08001.6616d560.04470.06001.1764表一.Apf蠓蟲(chóng)之間的距離Af蠓歐氏距絕對(duì)距馬氏距Af蠓歐氏距絕對(duì)距馬氏距d120.12170.14001.4423d370.20590.28001.3971d130.16120.22002.3963d380.24080.34001.6847d140.17200.24001.4225d390.47540.62003.4103d150.22800.32001.5517d450.08000.08000.7917d160.16120.18002.2078d460.12170.14001.3659d170.26000.34002.6110d470.10000.10001.2987d180.31620.40003.3635d480.16000.16002.0780d190.48170.68003.3694d490.31620.44002.1271d230.10200.12001.1705d560.20100.22002.1520d240.08250.10000.6601d570.12810.18001.8990d250.16120.18001.4345d580.17890.24002.6482d260.05660.08000.8277d590.25460.36001.8449d270.14420.20001.2266d670.14420.20000.9689d280.19700.26001.9404d680.18440.26001.4149d290.39450.54002.6612d690.41230.54002.9389d340.18000.18001.7814d780.06000.06000.7792d350.26000.26002.5731d790.27200.34002.0832d360.06320.08000.4756d890.26080.28002.4183表二.Af蠓蟲(chóng)之間的距離在Matlab中經(jīng)常遇到下列運(yùn)算：A=[1,2;3,4],若將A中每個(gè)元素都減去2，如何運(yùn)算？A=[1,2;3,4],若將A的每一行都減去向量(1,2)如何運(yùn)算？前者可以進(jìn)行，后者不行，如何實(shí)現(xiàn)?通過(guò)特殊矩陣將加減運(yùn)算變?yōu)榭梢赃M(jìn)行的運(yùn)算.3.特殊矩陣及其應(yīng)用A-2可否？A-(1,2)可否？三、向量的距離與夾角余弦E=eye(n):例如：eye(3)=2.A=ones(n,m)：表示元素全為1的n×m矩陣4.A=rand(n,m):產(chǎn)生n×m維隨機(jī)矩陣（元素在0～1之間）特殊矩陣有：3.A=zeros(n,m)：產(chǎn)生n×m維零矩陣三、向量的距離與夾角余弦表示n維單位矩陣,E=eye(m,n):表示主對(duì)角元素為1,其余元素為零的矩陣.A=[1,2,3;4,5,6;7,8,0],如何實(shí)現(xiàn)各列元素分別減去該列的均值？解：輸入A=[1,2,3;4,5,6;7,8,0];B=ones(3,1)*mean(A)例如：C=A-B三、向量的距離與夾角余弦例7.下表是全國(guó)5個(gè)主要湖泊的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)指標(biāo)湖泊總磷（mg/L）耗氧量(mg/L)透明度(m)總氮(mg/L)杭州西湖13010.300.352.76武漢東湖10510.700.402.0青海湖201.44.50.22巢湖306.260.251.67滇池2010.130.500.23試用矩陣A表示上表所示的矩陣，2.計(jì)算每個(gè)指標(biāo)與該指標(biāo)平均值之差的絕對(duì)值.三、向量的距離與夾角余弦解:輸入A=[130,10.3,0.35,2.76;105,10.7,0.4,2;20,1.4,4.5,0.22;30,6.26,0.25,1.67;20,10.13,0.5,0.23];mean(A)%A矩陣列向量(各指標(biāo))的平均值生成一個(gè)5Ⅹ4階的矩陣B，各行都是mean(A):B=ones(5,1)*mean(A),為什么？怎樣生成?然后得到所求矩陣C=abs(A-B)(A矩陣是一個(gè)1Ⅹ4階的矩陣.)三、向量的距離與夾角余弦mean(A)=[61.00007.75801.20001.3760]輸出結(jié)果為：C=69.00002.54200.85001.384044.00002.94200.80000.624041.00006.35803.30001.156031.00001.49800.95000.294041.00002.37200.70001.1460三、向量的距離與夾角余弦生成一個(gè)5Ⅹ4的矩陣B，各行都是mean(A)還有如下方法：B=a(ones(5,1),:)，其中a=mean(A)練習(xí)：將各指標(biāo)與該指標(biāo)的最大值相減，然后再比上該指標(biāo)的極差.提示：max(A):表示矩陣A中各列向量的最大值；min(A):表示矩陣A中各列向量的最小值；range(A)=max(A)-min(A):表示各列極差.三、向量的距離與夾角余弦A=[130,10.3,0.35,2.76;105,10.7,0.4,2;20,1.4,4.5,0.22;30,6.26,0.25,1.67;20,10.13,0.5,0.23];B=ones(5,1)*max(A),C=max(A)-min(A)D=C(ones(5,1),:)(A-B)./Dans=0

-0.0430-0.97650-0.22730

-0.9647-0.2992-1.0000-1.00000

-1.0000-0.9091-0.4774-1.0000-0.4291-1.0000-0.0613-0.9412-0.9961三、向量的距離與夾角余弦Matlab中Z=null(A,‘r’)就是求AX=0的基礎(chǔ)解系，其中Z的列向量即為所求基礎(chǔ)解系例8.求方程組的通解：formatrat %指定有理式格式輸出Z=null(A,‘r’) %求解空間的有理基

解：輸入A=[1,2,2,1;2,1,-2,-2;1,-1,-4,-3];1.求齊次線性方程組AX=0的非零解四、線性方程組AX=b的求解即原方程的基礎(chǔ)解系為（2，-2，1，0）和（5/3，-4/3，0，1）Z=25/3-2-4/31001輸出結(jié)果為：故所求通解為：四、線性方程組AX=b的求解1).若矩陣A可逆，則X=A\b例9.

解線性方程組解：A=[2,3,5;3,6,8;6,5,4];b=[12;34;43];det(A)=-29,矩陣A可逆，于是X=A\b也可以輸入X=inv(A)*b結(jié)果為X=0.275912.3793-5.1379四、線性方程組AX=b的求解2.求非齊次線性方程組AX=b的非零解2)化成行簡(jiǎn)化階梯形求AX=b的解Matlab中的命令為：C=[A,b]%增廣矩陣C.D=rref(C)%將C化成行最簡(jiǎn)化階梯形則D的最后一列元素就是所求的解.例10.求例9中線性方程組AX=b的解解:輸入:C=[A,b]；D=rref(C)；輸出結(jié)果為D=1000.275901012.3793001-5.1379

四、線性方程組AX=b的求解命令功能[V,D]=EIG(X)求矩陣X的特征值與特征向量normr(A)將矩陣A的行向量標(biāo)準(zhǔn)化normc(A)將矩陣A的列向量標(biāo)準(zhǔn)化Z=null(A,‘r’)求AX=0的基礎(chǔ)解系(Z的列向量)rref(C)將C化成行最簡(jiǎn)化階梯形矩陣norm(A)矩陣A的普范數(shù)(2范數(shù))norm(A,1)矩陣A的列范數(shù)（1-范數(shù)）norm(A,inf)矩陣A的行范數(shù)(無(wú)窮大范數(shù))已學(xué)的MATLAB命令一覽表命令功能norm(A,'fro')矩陣A的Frobenius范數(shù)ones(n,m)表示元素全為1的n×m矩陣zeros(n,m)產(chǎn)生n×m維零矩陣max(A)計(jì)算矩陣A的各列元素的最大值min(A)計(jì)算矩陣A的各列元素的最小值range(A)計(jì)算矩陣A的各列元素的極差sum(A)計(jì)算矩陣A的各列元素的和abs(A)將矩陣A中各元素取絕對(duì)值eye(n)產(chǎn)生n階單位矩陣已學(xué)的MATLAB命令一覽表作業(yè)：1.求矩陣A的各種范數(shù)、譜半徑2.A中各行向量夾角余弦、及各種距離，判別那兩行最接近3.將A的各元素減去各行的均值再比上各列的方差4.計(jì)算矩陣C的各行向量的相關(guān)系數(shù)矩陣R，再將R的列向量單位化，求CX=0的基礎(chǔ)解系作業(yè)1.A=[1,2,3;4,5,6;7,8,0;];[V,B]=eig(A)%特征值n2=norm(A,2)%2范數(shù)n1=norm(A,1)%1范數(shù)n3=norm(A,inf)%無(wú)窮范數(shù)n4=norm(A,'fro')%f范數(shù)V=-0.2998-0.7471-0.2763-0.70750.6582-0.3884-0.6400-0.09310.8791B=12.1229000-0.3884000-5.7345n2=13.2015n1=15n3=15n4=14.2829作業(yè)2.B=normr(A);%單位化a1