必修四：平面向量-歷年真題

必修四：平面向量-歷年真題

一.選擇題(共15小題)

—>—》

1.等腰直角4ABC中，A=90。，AB=AC=2,則向量ZB在BC方向上的投影為()

A.V2B.-V2C.—D.------

22

2.AABC中，^AC-BC-AB-AC=Q,則^ABC是()

A.直角三角形B.等腰三角形C.等邊三角形D.鈍角三角形

3.在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)F為線段CD上靠近點(diǎn)D的一個(gè)三等分點(diǎn).若?。?

貝」力尸二()

BD=b9I

1-L2TL1-L1-2T

A.-a+-/?B.-a+-bC.-a+-bD.-a+-b

42332433

4.已知|A=3,|6|=2,|a-J1=719,則之在力上的投影為()

2

D.--

3

5.設(shè)a?5=4,若a在匕方向上的投影為3且匕在a方向上的投影為3,則a和b的

夾角等于()

717r27r冗…27r

A.-B.-C.—D.一或一

36333

6.已知向量4B=(3,4),AC=(-1,2),則CB=()

A.(4,2)B.(2,6)C.(5,3)D.(-1,5)

7.已知向量:=(0,-1),b=(1,V3),x@R,則日+x?的最小值是()

A.1B.0C.2D.4

8.設(shè)向量2=(2,0),b=(1,1),則下列結(jié)論中正確的是()

A.\a\=\b\B.a*b=-C.a//bD.(a-&)_Lb

9.若三點(diǎn)A(2,3),B(3,4),C(a,b)共線，則有()

A.a=3,b=-5B.a-b+1=0C.2a-b=3D.a-2b=0

10.已知向量&=(2,2),OB=(4,1),點(diǎn)P在x軸上，且使易?而有最小值，

則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（）

A.(-3,0)B.(2,0)C.(3,0)D.(4,0)

11.已知平面向量￡=(4,1),b=(%/2),且Q與b平行，則x=()

11

A.-8B.-77C.8D.~

22

12.如圖所示，D是4ABC的邊AB上的中點(diǎn)，記盛4,BA=c,則向量cb=()

13.已知平面向量a=(1,1),b=(1,-1),則向量—Q—b=()

22

A.(-2,-1)B.(-2,1)C.(-1,0)D.(-1,2)

14.AABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c,已知sinB=l,向量次(a,

b),q=(1,2).若$〃4,則NC的大小為()

nnn27r

A.-B.-C?-D.—

6323

15.已知向量1(2,3),b=(6,x),且盂，％,則x的值為()

A.4B.-4C.-9D.9

二.填空題(共9小題)

16.已知京=必由+伙於，則△ABM與△ACM的面積的比值為.

—?——T

17.向量a=(2,3),b=(4,-1+y),且a〃6則y=.

、TTTT、7T571

18.設(shè)a=(sinx,sinx),b=(-sinx,m+1),若a?匕二m在區(qū)間(一，—)上有三

66

個(gè)根，則m的范圍為.

19.已知平面向量京b,a=(V3,1),\b\=l,\a+2b\=243,則左力的夾角大

小為

1

20.如圖，在邊長(zhǎng)為3的正方形ABCD中，AC與BD交于F,AE=-AD,則

21.已知單位向量就與居所夾的角為60。，貝I](3/-2J)?(/+扇)=

22.已知^ABC中，BC=4,AC=8,ZC=60",則BC?S=.

—>…T———

23.已知a=(-3,4),若|匕|=5,b_La,則向量b=.

—?T—?——>T——

24.若向量a,b滿足|a|=l,|b|=2且a?b=V^,則a與b的夾角為.

三.解答題(共11小題)

―>―?―>._>

25.已知a,b,c是同一平面內(nèi)的三個(gè)向量，其中a=(-/，1).

(1)若|"|=2且a//c,求］的坐標(biāo)；

—TTTTTT

(2)若|匕|=V2,(a+3b)_L(a-b),求向量a,匕的夾角的余弦值.

26.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，A為以原點(diǎn)。為圓心的單位圓。與x正半

7T

軸的交點(diǎn)，在圓心角為,的扇形AOB的弧AB上任取一點(diǎn)P,作PNLOA于N,

連結(jié)P0,記NPON=6.

(1)設(shè)△PON的面積為y,使y取得最大值時(shí)的點(diǎn)P記為E,點(diǎn)N記為F,求此

時(shí)辦?辦的值；

(2)求k=a|PW|?|O7V|+V2OP-OE(aGR,E是在(1)條件下的點(diǎn)E)的值域.

—?

27.在平面直角坐標(biāo)系中，0為坐標(biāo)原點(diǎn)，A(1,1),B(2,0),|OC|=1.

(1)求后與辦夾角；

(2)若兒與小垂直，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；

(3)求|&+&+■|的取值范圍.

28.已知△OAB的頂點(diǎn)坐標(biāo)為O(0,0),A(2,9),B(6,-3),點(diǎn)P的橫坐

—>—>—>—>

標(biāo)為14,且。P=APB,點(diǎn)Q是邊AB上一點(diǎn)，且。QTP=0.

(1)求實(shí)數(shù)人的值與點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(2)求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；

(3)若R為線段OQ上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，試求麗?(總+前)的取值范圍.

29.如圖，三角形ABC中AB=3,AC=6,ZBAC=60°,D為BC中點(diǎn)，E為中線AD

的中點(diǎn).

(1)試用向量易和能表示W(wǎng)；

(2)求中線AD的長(zhǎng)；

(3)求BE與2。所成角0的余弦值.

(1)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；

71

(2)當(dāng)x@[0,5]時(shí)，求f(x)的值域.

—>—>—>

31.(I)化簡(jiǎn)AC-BD+CD；

(II)如圖,平行四邊形ABCD中，E,F分別是BC,DC的中點(diǎn),G為交點(diǎn),若薪=%,

AD=b,試以a,5為基底表示DE、BF、CG.

DFC

—>—?—>._>

32.已知：a、b、c是同一平面內(nèi)的三個(gè)向量，其中a=(1,2)

(1)若|工|=2五,Kc//a,求)的坐標(biāo);

(2)若歷|=苧，且喔+25與2工-b垂直，求工與b的夾角6.

33.如圖，已知在三角形ABC中，AB=3,AC=4,BC=5.

(1)求向量易+元+鼠的模；

(2)若長(zhǎng)為10的線段PQ以點(diǎn)A為中點(diǎn)，問(wèn)而與盛的夾角6取何值時(shí)的

值最大？并求這個(gè)最大值.

34.已知向=2一,\q\=3,p,3的夾角為3如圖，^AB=5p+2^,AC=p-3q,

4

D為BC的中點(diǎn).

(1)求3弓的值;

(2)用向量3?［表示向量4D；

(3)求向量向的模.

35.在4ABC中，a、b、c分別是角A、B、(：的對(duì)邊，m=(2a+c,b),n=(cosB,

cosC),JLm±n.

(1)求角B的大?。?/p>

(2)設(shè)f(x)=2sinxcosxcos(A+C)--cos2x,如果當(dāng)xG[0,1時(shí),不等式f

22

(x)+入NO恒成立，求人的最小值；

(3)在(2)的條件下，若將f(x)圖象向左平移t(t>0)個(gè)單位后，所得圖

象為偶函數(shù)圖象；將f(x)圖象向右平移s(s>0)個(gè)單位后，所得圖象為奇函

數(shù)圖象，求s+t的最小值.

必修四：平面向量-歷年真題

參考答案與試題解析

一.選擇題（共15小題）

1.等腰直角4ABC中，A=90。，AB=AC=2,則向量易在病方向上的投影為（）

A.A/2B.-V2C.—D.------

22

【解答】解：等腰直角4ABC中，A=90°,AB=AC=2,則向量易在fib方向上的投

-?7T一

影為：ABcos(n-B)=-2Xcos-=-V2；

4

故選B.

2.AABC中，^AC-BC-AB-AC=O,則^ABC是（）

A.直角三角形B.等腰三角形C.等邊三角形D.鈍角三角形

【解答】解：因?yàn)?ABC中，^AC-BC-AB-AC=AC'（BC-AB）=AC-（BC+

BA）=0,所以AC與AC邊上的中線垂直，所以AABC是等腰三角形；

故選：B.

T—>

3.在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)F為線段CD上靠近點(diǎn)D的一個(gè)三等分點(diǎn).若2C=a,

―>-?―>

BD=b,則/尸二()

ITL2TLI-LI-2T

A.-a+-bB.-a+-bC.-bD.-a+—b

42332433

【解答】解：設(shè)力B二益AD=n.

貝1」力67=。=48+AD=m+n,BD=b=AD—AB=n-m,

-ITTTITT

「?m=~(a_b),n=-(a+b).

TTTTIT—ITIT11-?2->1

貝IMF=力。+DF=AD-^-AB-n^—m=-(a+6)+-X-(a-b)=-a+-b.

3323233

故選：B.

D

AB

4.已知㈤=3,A|=2,貝昨在力上的投影為（）

3322

A.—B.-C?一D.—

2233

【解答】解：吊1=3,|b|=2,吊-b|=V眄,

可得（a-b）2=19,

即為京-2a*b+b2=19,

即有9-2a*b+4=19,

可得%b=-3,

T7

則改在1上的投影為挈=三=-

\b\22

故選：A.

5.設(shè)a?5=4,若a在b方向上的投影為且b在a方向上的投影為3,則a和b的

夾角等于（）

71712TlTlyzn

A.—B.—C.—D.一或一

36333

【解答】解：設(shè)靛口力的夾角為&

————

由聯(lián)6=4,可得|a|?|b|cos0=4,

TT272

若a在匕方向上的投影為則|a|cos6=],

——T

匕在a方向上的投影為3,則|b|cos6二3,

一,1

綜上可得cos0=-,

由于oweWn,

i.7T

則0=-.

故選A.

6.已知向量薪=(3,4),AC=C-l,2),則而=()

A.(4,2)B.(2,6)C.(5,3)D.(-1,5)

【解答】解：?向量易=(3,4),AC=(-1,2),

CB=AB-AC=(4,2).

故選：A.

—>———

7.已知向量Q=(0,-1),b=(1,V3),XQR,貝！J|b+xa|的最小值是()

A.1B.0C.2D.4

TT

【解答】解：?.,向量(o,-1),b=(1,V3),x￡R,

.\a-b=-^39|a|=l,|-&|=2.

——>112-2——i-----------------------------IZ

貝UI匕+xa|="+x2a+2xa-b=V%2—2V3x+4=J(%—V3)2+1^1,當(dāng)且僅當(dāng)

x=K時(shí)取等號(hào).

...1+x?的最小值是1.

故選：A.

8.設(shè)向量i(2,0),b=(1,1),則下列結(jié)論中正確的是()

—T—TT

A.\a\=\b\B.a?b=~C.a//bD.(a-b)_Lb

【解答】解：???:=(2,0),b=(1,1),：.\a\=2,|b|=V2,故A不正確.

a-b=(2,0)?(1,1)=2+0=2故B不正確.

":Xiy2-x2yiWO,...C不正確.

Ca—b)?b=a-b-b=2-2=0,故G—b).Lb,故D正確.

故選D.

9.若三點(diǎn)A(2,3),B(3,4),C(a,b)共線，則有()

A.a=3,b=-5B.a-b+1=0C.2a-b=3D.a-2b=0

4-3

【解答】解：由題意可知的斜率為

ABk1=-=1,

b—4,

BC的斜率為k=―-)

2a—3

：三點(diǎn)A(2,3),B(3,4),C(a,b)共線，

b-4

/.ki=k2，BP------=1?

CL—3

化簡(jiǎn)可得a-b+l=O

故選：B

10.已知向量辦=(2,2),OB=(4,1)，點(diǎn)P在x軸上，且使易?麗有最小值,

則點(diǎn)P的坐標(biāo)為()

A.(-3,0)B.(2,0)C.(3,0)D.(4,0)

【解答】解：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,0),可得

AP=(x-2,-2),BP=(x-4,-1).

因止匕，AP-BP=(x-4)(x-2)+2=x2-6x+10=(x-3)2+l.

???二次函數(shù)當(dāng)時(shí)取得最小值為

y=(x-3)2+1,x=31

??.當(dāng)x=3時(shí)，麗?麗取得最小值1,止匕時(shí)P(3,0).

故選：C

11.已知平面向量盂=(4,1),b=(%,2),且a與b平行，則x=()

11

A.-8B.—?C.8D.—

22

【解答】解：由a與匕平行，得4X2-lXx=0,即8-x=0,解得x=8,

故選C.

12.如圖所示，D是4ABC的邊AB上的中點(diǎn)，記病二，北工，則向量2)=()

D

RC

—1—T1-

A.-a-cB.-a+2cC.ct-2cD.a+2c

—1T1—?

【解答】解：：D是aABC的邊AB上的中點(diǎn)，.”。二匆^二乩

TTT—7

在4BCD中，由向量的三角形法則可得CD=CB+BD=-a+^c.

故選B.

一T-173T

13.已知平面向量a=(1,1),b=(1,-1),則向量-a--匕=()

22

A.(-2,-1)B.(-2,1)C.(-1,0)D.(-1,2)

【解答】解：平面向量i(1,1),b=(1,-1),

3-13

則向重―a—b=—(1,1)—(1,-1)=(-1,2).

2222'7

故選：D

14.AABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c,已知sinB=l,向量還(a,

b),q=(1,2).若?！?，則NC的大小為()

7T71n2n

A.-B.-C.-D.—

6323

,n,,CL

【解答】解:由sinB=l.\B="itAABC中cosC=-

又由逛(a,b),q=(1，2)p//q

b

/.2a-b=0.-.a="

2

1n

故cosC="/.C=一

23

故選B.

15.已知向量盂=(2,3),~b=(6,x),且14,則x的值為()

A.4B.-4C.-9D.9

【解答】解：向量1（2,3）,b=（6,x）,且工，力，

2X6+3x=0,

解得：x=-4.

故選：B.

二.填空題（共9小題）

16.已知八=以靠+小+，則△ABM與△ACM的面積的比值為B：a.

【解答】解：由京=戊易+0￡7,以AD,AE為鄰邊作平行四邊形ADME,延

長(zhǎng)EM交BC與F,AE=0AC,AD=aAB

S“CADSfBMae〃

----------=—=a,------------=—=p,

SAABCABS&ABCAC

則aABM與△ACM的面積的比值為仇a

故答案為：B：a

T———

17.向量a=(2,3),b=(4,-1+y),且a〃6則v=7.

——T—

【解答】解：：a=(2,3),b=(4,-1+y),且a〃b,

/.12=2(-1+y),解得：y=7,

故答案為：7.

、TTTT、7T57r

18.設(shè)a=(sinx,sinx),b=(-sinx,m+1),若二m在區(qū)間(一，一)上有三

66

個(gè)根，則m的范圍為(亍，1).

―>7

【解答】解：a-b=—sin2x+(m+l)sinx=m,

7T

設(shè)f(x)=a-b—m=-sin2x+(m+1)sinx-m=(1-sinx)(sinx-m)=0,

解得sinx=l或sinx=m.

n

當(dāng)sinx=l時(shí)，x=—,只有一個(gè)解.

當(dāng)sinx=m時(shí)，有兩個(gè)解，此時(shí)；<m<l,

故m的范圍是8，1)

——————T—

19.已知平面向量a,b,a=(V3,1),\b\=l,\a+2b\=243,則a,b的夾角大

,7T

小r為m.

【解答】解：由已知之=(VX1),\b\=l,\a+2b\=2V3,得注2V2=12,

_>2->2_3—>_>->_>->_>—>

所以a+4匕+4a?5=12,所以4+4+4a?匕=12,解得a?5=1,所以a,5的夾角的

T7

余弦值為77f

⑷網(wǎng)2

TTU

所以a,b的夾角大小為5.

7T

故答案為：

1——

20.如圖，在邊長(zhǎng)為3的正方形ABCD中,AC與BD交于F,AE=-AD,則EF-BD=-

3-------

【解答】解：由題設(shè)，可以AB所在直線為X軸，以AD所在直線為Y軸建立平

面直角坐標(biāo)系，

故有A(0,0),B(3,0),C(3,3),D(0,3),E(0,1),F(1.5.1.5).

則京-盛;(1.5,0.5)?(-3,3)=-4.5+1.5=-3,

故答案為：-3.

一TT一T—3

21.已知單位向量易與己所夾的角為60。，則(3/-2J)?([+■)=~.

【解答】解：???單位向量/與苴所夾的角為60。，

—>—>—>―>—>2—>—>—>—>—>2

「?(3ei-25?(ei+e2)=3ei+3C2-2C2-2。2

=3X12+3X1X1XCOS60°-2X1X1XCOS60°-2X12

3

=3+--1-2

2

3

-2.

3

故答案為：

22.已知^ABC中，BC=4,AC=8,ZC=60°,則BC?%=-16.

【解答】解：因?yàn)閊ABC中，BC=4,AC=8,ZC=60°,

-CA=\BC\|C4|cosl20°=-16.

故答案為：-16.

23.已矢啟=(-3,4),若|[=5,b±a,則向量4=(4,3)或(-4,-3)

【解答】解：設(shè)，=(%,y),

*/\b\=5,bl.a,a=(-3,4),

Jx2+y2—5

、一3%+4y=0

—>

：.b=(4,3)或(-4,-3).

故答案為：(4,3)或(-4,-3).

-TTTTTTC

24.若向量a,b滿足|a|=1,|b|=2且則a與b的夾角為二

7T

【解答】解：設(shè)a與b的夾角為e,則ee[o,用,

T—TT

*/|a|=1,|6|=2且

a?b=lX2Xcos0=V2,

,V27T

解得cose二一，/.6=—

24

7T

故答案為：-

4

三.解答題(共11小題)

—>—,―>___>

25.已知a,b,c是同一平面內(nèi)的三個(gè)向量，其中a=(-/，1).

(1)若［3=2且a//c,求"的坐標(biāo)；

——>TTTT—

(2)若|b|=V2,(a+3b)_L(a-b),求向量a,匕的夾角的余弦值.

【解答】解：(1)設(shè)"二(m,n),

若|c|二2且a//c,其中a=(-V2,1),

可得rr^+r^%m=-V2n,

皿02V62遮72V62V3

解得m=--------,n=------或m=------，n=---------

3333

…2V62V3一2V62V3

則”(一二―，二-)或(二-，一二-)；

3333

(2)若[(-42,1),可得屁=百，

又|b|=V2,(a+3b)_L(a-b),

可得(a+3b)?(a-6)=a2-362+2a?&=0,

即有3-3X2+2a*J=0,

TT3

可得a?b=一,

2

TT

ab1―漁

向量卷b的夾角的余弦值為

\a\-\b\V3xV2-4,

26.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，A為以原點(diǎn)。為圓心的單位圓。與x正半

TC

軸的交點(diǎn)，在圓心角為石的扇形AOB的弧AB上任取一點(diǎn)P,作PNLOA于N,

連結(jié)PO,記NPON=6.

(1)設(shè)△PON的面積為y,使y取得最大值時(shí)的點(diǎn)P記為E,點(diǎn)N記為F,求此

時(shí)辦?辦的值；

(2)求k=a|P7V|?|O7V|+V2OP-O￡1(a￡R,E是在(1)條件下的點(diǎn)E)的值域.

【解答】解：(1)ON=cos0,PN=sin0,

/.y=-cos0sin0=-sin20,

當(dāng)。=今時(shí)，y取得最大值，止匕時(shí)E(―,—F(―,0),

：.0E-0F=~.

2

t—yplV2

(2)0P=(cos0,sin0),0E=(—,—),

22

—TV2V2V2

J.OP?0E=—cos0+—sin0=—(sin0+cos0),

222

/.k=asin0cos0+sin0+cos0,

sin0+cos0=V2sin(6+J)=t,貝！JsinBcosB=------，

47f

n77r

Al<t<V2,

LC7

H=-t

2

①若a=0,則f(t)=t,.\f(t)的值域?yàn)?1,V2］；

②若a>0,則f(t)的對(duì)稱(chēng)軸為直線x二—<0,

Af(t)在(1,V2］上單調(diào)遞增，

a

Af(1)<f(t)Wf(V2),即f(t)的值域?yàn)?1,-+V2］；

2

③若a<0,則f(t)的圖象開(kāi)口向下，

1

若--W1,即aW-1時(shí)，f(t)在(1,V2］上單調(diào)遞減，

a

a

Af(t)的值域?yàn)椋蹚V②1);

若「即-坐WaVO時(shí)，f(t)在(1,迎］上單調(diào)遞增，

a2

Af(t)的值域?yàn)?1,-+V2］；

2

若即:時(shí)，f(t)在(1,V2］上先增后減，

［_CZ,2_1

???f(t)的最大值為f(--)=——，

CL2CL

11+A/2CL/-

若1V—《V--------,即-l<a<2-2V20t,則f(t)的最小值為f(V5)=—+，2,

“22

1?/21j2

若----W--<42,即2-2V2Wa<-J則f(t)的最小值為f(1)=1,

2a2

綜上，當(dāng)a=O時(shí)，f(t)的值域?yàn)?1,V2］；

a—

當(dāng)aW-1時(shí)，k的值域是［萬(wàn)+/，1)；

當(dāng)3>-,且aWO時(shí)，k的值域是(1,—+V2］；

22

CL/——a2一］

-1VaV2-2迎時(shí)，k的值域是［一+V2,--------］；

22a

—a2—1

當(dāng)2-2V^Wa<------時(shí)，k的值域是(1,----------］.

22a

27.在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A(1,1),B(2,0),\OC\=1.

—>—>

(1)求。a與。B夾角；

(2)若兒與小垂直，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；

—>—>―?

(3)求ItM+OB+OCl的取值范圍.

【解答】解：因?yàn)樵谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A(1,1),B(2,0),

所以(￡1=(1,1),05=(2,0),

—?—?

ttOA,OB2V2

所以(1)04與OB夾角的余弦值為r—所以?shī)A角為45。；

\OA\\OB\2V22

(2)設(shè)兒=(x,y).因?yàn)閮?與后垂直，X|OC|=1.

r^

-

X-/2jX--

或

所以

222zVT2或

c(V2一c

x+y—1^\,

所以,解得—22

l-

x+y=0y-V2y--2

(一也—也)

122人

(3)由以上得至1」辦+辦+左=(3+x,1+y),\OA+OB+OC\2=(X+3)2+(y+1)2,

又x2+y2=l,所以|小+法+&7|的最大值為VTU+1,最小值為VTU-l.

28.已知△OAB的頂點(diǎn)坐標(biāo)為O(0,0),A(2,9),B(6,-3),點(diǎn)P的橫坐

標(biāo)為14,且辦=4而，點(diǎn)Q是邊AB上一點(diǎn)，且茄?屆=0.

(1)求實(shí)數(shù)人的值與點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(2)求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；

(3)若R為線段0Q上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，試求麗?(易+病)的取值范圍.

—>—>—>—>

【解答】解：(1)設(shè)P(14,y),則。P=(14,y),PB=(-8,-3—y),由。P=MB,

得(14,y)=入(-8,-3-y),解得2=-[,y=-7,所以點(diǎn)P(14,-7).

(2)設(shè)點(diǎn)Q(a,b),則&2=(a,b),又扉=(12,-16),則由局?/=(),

得3a=4b①又點(diǎn)Q在邊AB上，所以工=-,即3a+b-15=0②

—4U—6

聯(lián)立①②，解得a=4,b=3,所以點(diǎn)Q(4,3).

(3)因?yàn)镽為線段0Q上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，故設(shè)R(4t,3t),且OWtWl,則

TT—?

RO=(-4t/-3t),RA=(2—439—3t),RB=(6——3—,

RA+RB=(8-8t.6-6t),則RO-(RA+RB)=-4t(8一8t)-3t(6-

6t)=50t2-50t=50(t-^)2-(0<t<1),故>。-(R4+/?8)的取值范圍為

29.如圖，三角形ABC中AB=3,AC=6,ZBAC=60°,D為BC中點(diǎn)，E為中線AD

的中點(diǎn).

(1)試用向量易和能表示G；

(2)求中線AD的長(zhǎng)；

(3)求麻與易所成角6的余弦值.

―1——

【解答】解：（1）根據(jù)題意，得AD7（AB+AC）；...（2分）

—2—>2]——2

（2）,：\AD\=AD=-{AB+AC）

172TT-2

=-CAB+248?力C+/C）…（4分）

4

1,

=-（329+2X3X6XCOS60°+62）

4

63八

——，...（5分）

4

?t?3近八

/.\ADI=—^~；...（6分）

->1-

（3）\?BE=BA+AE=-AB+-AD

2

T1T1T

=-AB^-AB^-AC

44

3T1T八

=—AB^-AC,...（7分）

44

—22—1T2

-\BE\=（—%B+3C）

9T23I.t1t2

=—AB2X-X-力力C

164416

813136

=--------X3X6X-+一

168216

81-54+3663

=,...（8分）

1616

?3夕

BFk——（9分）

4

.BEAD

??COS0-t—>

\BE\X\AD\

3T1T1TT

(^——AB+—i4C),—(TlB+ilC)

=！V7x|V7

4Z

13II1

式一？9+?36-5X3X6X5)

_9X7

8

1-27+36-18

-X

24

9X7-

8

-91

(10分)

9X7~7

30.設(shè)。二(cosx,sinx),b=(cosx,V3cosx),f(x)=a?b,x￡R.

(1)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；

n

(2)當(dāng)x￡[0,5]時(shí)，求f(X)的值域.

1

【解答】解：(l)f(x)=cos2x+V3sinxcosx=-(cos2x+l)

V371n17T1

+—sin2x=cos2xcos-+sin2x*sin-+-=cos(2x--)+一，

233232

n

當(dāng)2x—F[Zkn+n,2kn+2n],k￡Z,時(shí),f(x)單調(diào)增，

3

2TT77rl

xER[kn+—,n+—],k￡Z,

36

27r7TC

工函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為[kn+—，n+—],kFZ,

36

jl7T7T27rTC1

(2)當(dāng)x￡[0,T時(shí)，2x—￡[—,—],令u=2x—，f(x)=cosu+-

233332

TT27T

函數(shù)f(x)在[--，0]上遞增，在[0,一]上遞減，

33

n127rl

/.cos(—)二一，cosO=l,cos—二—，

3232

TC3

...X當(dāng)G[o,5]時(shí)，f(X)的值域?yàn)閇0,

31.(I)化簡(jiǎn)A-BD+CD；

(II)如圖，平行四邊形ABCD中，E,F分別是BC,DC的中點(diǎn),G為交點(diǎn)，若2B=Z,

AD=b9試以Q,力為基底表示DE、BF、CG.

【解答】解：(I)AC-BD+CD=AC+CB=AB9

T—>—>—T—?-?H

CH)DE=AE-AD=AB+BE-AD=a+^b-b=a-^b,

—?—>—>TTT-?H

BF=AF-AB=AD+DF—AB=b+2a—a=b—②。，

VG是Z^CBD的重心,

T[T[Ti->

：?CG=-^CA=—^AC=-§(Q+b).

—>—?—>.._>

32.已知：a、b、c是同一平面內(nèi)的三個(gè)向量，其中a=(1,2)

(1)若4|=2~,且)〃熱,求"的坐標(biāo);

—-y5—T

(2)若|b|二萬(wàn)，且a+2b與2a-b垂直，求a與b的夾角

【解答】解：(1)設(shè)"=(%,y),

V|c|=2A/5,且1〃

(y-2x

=20，…(3分)

(%2+y2

解得妝二咪：二]…(5分)

故c=(2,4)或c=(―2,-4).…(6分)

(2)*/(a+2b)1(2a—b),

A(a+2b)?(2a—b)=0,

—T——

即2a2+3a-b-2b2=0,...(8分)

TT5

2x5+3d,b-2x4=0,

整理得Ta-bT=-C/…(10分)

.".cos3=a=—1,...（12分）

A\b\

又：eG[o,n],，e=Ti.…（14分）

33.如圖，已知在三角形ABC中，AB=3,AC=4,BC=5.

（1）求向量易+G+筋的模；

（2）若長(zhǎng)為10的線段PQ以點(diǎn)A為中點(diǎn)，問(wèn)而與盛的夾角6取何值時(shí)由3?衣?的

值最大？并求這個(gè)最大值.

【解答】解：（1）+2C+BCI=(AB+AC+BC)

=[AB+AC+BC+2AB-AC+2AB-BC+2AC-BC

=J3*2+42+52+2X3X4X0+2X3X5X(-|)+2X4X5X1

=79+16+25+0-18+32=