函數(shù)與線段、面積等最值問題【考點(diǎn)精講】（解析版）

專題18函數(shù)與線段、面積等最值問題

Q知識(shí)導(dǎo)航

丁

/＞方法技巧

3wy口J-iH

在x軸上是否存在點(diǎn)P,使尸B+%最短？若存在求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，并求出最小值。若不存在，請(qǐng)說明理由。

【方法技巧】（將軍飲馬模型）在兩定點(diǎn)中任選一個(gè)點(diǎn)（為了簡單起見，常常取軸上的點(diǎn)），求出該點(diǎn)關(guān)于

題中的動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)所經(jīng)過的那條直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，再把此對(duì)稱點(diǎn)與余下定點(diǎn)相連，那么此直線與在x軸

上的交點(diǎn)既是點(diǎn)P。

2.二次函數(shù)與周長

在y軸上是否存在點(diǎn)P,使△以。的周長最??？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，并求出周長的最小值；若不存

注意到44是定線段，其長度是個(gè)定值，因此只需用+PD最小。

3.二次函數(shù)與距離

在直線BD下方的拋物線上，是否存在點(diǎn)P,使點(diǎn)P到直線BD的距離最大？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo),

并求出最大距離；若不存在，請(qǐng)說明理由.

因?yàn)槭嵌ň€段，點(diǎn)尸到直線的距離最大，意味著ABOP的面積最大

4.二次函數(shù)與面積

①三角形面積最值：找公共邊、平移、表示面積

②四邊形面積最值：設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，采用公式法或割補(bǔ)法表示四邊形面積

(1)在直線B。下方的拋物線上是否存在點(diǎn)P,使Sapm的面積最大？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存

過點(diǎn)尸作y軸的平行線，將分割成2個(gè)同底的三角形，則)

(2)在直線8。下方的拋物線上是否存在點(diǎn)P,使四邊形。O8P的面積最大？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo),

:

則S四邊形p08P=S>DOB+SXDBP或

S四邊形。。身＞=S6B0P

(3)在拋物線上是否存在點(diǎn)P,使若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由。

設(shè)出動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(f,，J2L3)后，把到圖形AABD的面積算出，借助于動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)把動(dòng)三角形PBC的面積表

示出來，再代入已知中的面積等式求解即可。

F題型精講

題型一：函數(shù)與最值問題

【例1】(2021?山東)在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線丫=/+2”狀+2加-機(jī)的頂點(diǎn)為A.

(1)求頂點(diǎn)A的坐標(biāo)(用含有字母"的代數(shù)式表示)；

(2)若點(diǎn)8(2,%)，C(5,%)在拋物線上，且為＞/，則機(jī)的取值范圍是;(直

接寫出結(jié)果即可)

(3)當(dāng)14x43時(shí)，函數(shù)y的最小值等于6,求相的值.

【答案】⑴頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-九二-咐;；(3)小=二"”竺或-2

24

【分析】

⑴將拋物線解析式化成丫=。+m)2+/一團(tuán)的形式，即可求得頂點(diǎn)A的坐標(biāo)；

⑵將3(2,%),。(5,齊)代入拋物線中求得％和比的值，然后再解不等式即可求解；

⑶分類討論，分對(duì)稱軸在1的左側(cè)、對(duì)稱軸在3的右側(cè)、對(duì)稱軸在1,3之間共三種情況分別

求出函數(shù)的最小值，進(jìn)而求出加的值.

【詳解】

解：(1)由題意可知：

2222

拋物線y=x+2mx+2m-m=(x+m)+m-m9

二頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-也/_⑼.

(2)將5(2,%)代入y=x2+2如+2加一團(tuán)中，

222

得至ljyH=2+2mx2+2m-m-2m++4,

2

將。(5,%)代入y=f+2mx+2m—m^f

222

得至ljyc=5+2/nx5+2m-m-2m+9m+25,

由已知條件知：%>北，

?*-2m2+9機(jī)+25<2/n2+3m+4,

整理得到：6m<-2l,

7

解得：m<--,

7

故，"的取值范圍是：，％<一/；

(3)二次函數(shù)的開口向上，故自變量離對(duì)稱軸越遠(yuǎn)，其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值越大，二次函數(shù)的對(duì)稱

軸為工=一m，

分類討論：

①當(dāng)—m<\,即m>—\時(shí),

x=l時(shí)二次函數(shù)取得最小值為y=l?+2m+2m2-m=2m2+m+l,

又已知二次函數(shù)最小值為6,

.c,AZJXg_1+\/41f—1—y/41

??2m~++1=6,解得m=--------或加=--------,

44

又加>一1,故加=二1士亞1符合題意；

4

②當(dāng)T72>3,即加V-3時(shí)，

%=3時(shí)二次函數(shù)取得最小值為y=32+2/7?x3+2m2-m=2m2+5〃z+9,

又已知二次函數(shù)最小值為6,

3

2m2+5m+9=6,解得機(jī)=一/或加=一1,

3

又加＜—3,故帆=-耳或機(jī)=-1都不符合題意；

③當(dāng)1?ml3,即一34m4一1時(shí)，

戶"1時(shí)二次函數(shù)取得最小值為y=加2+2/M2+2m2-m=m2-m,

又已知二次函數(shù)最小值為6,

nr-m=6,解得機(jī)=3或機(jī)=-2,

又一34帆4-1,故加=-2符合題意；

綜上所述，m=—?+或-2.

4

題型二：函數(shù)與線段、周長問題

【例2】(2021?四川)如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸分別交于A、8兩點(diǎn)，

與y軸交于點(diǎn)C(0,6),拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為E(2,8),連結(jié)8C、BE、CE.

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(2)判斷的形狀，并說明理由；

(3)如圖2,以C為圓心，&為半徑作。C,在。C上是否存在點(diǎn)P,使得的

值最小，若存在，請(qǐng)求出最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

x/290

(3)存在,

2

【分析】

(1)用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；

(2)分別求出三角形三邊的平方，然后運(yùn)用勾股定理逆定理即可證明；

(3)在CE上截取(2尸=巫(即C尸等于半徑的一半)，連接B尸交。C于點(diǎn)P,連接EP,

2

則8尸的長即為所求.

【詳解】

解：(1):拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為E(2,8),

???設(shè)該拋物線的表達(dá)式為)="(x-2)2+8,

?:與y軸交于點(diǎn)C(0,6),

，把點(diǎn)c(0,6)代入得：“=-；，

該拋物線的表達(dá)式為產(chǎn)計(jì)6；

(2)ABCE是直角三角形.理由如下：

???拋物線與x軸分別交于4、B兩點(diǎn)，

.?.當(dāng))=0時(shí)，-g(x-2)2+8=0,解得：x\=-2,及=6,

(-2,0),B(6,0),

CE-=(8-6)2+22=8,Bi?=(6-2)2+82=80,

:.BE^BdCG,

：./8C￡=90。，

.,△BCE是直角三角形；

(3)如圖，在CE上截取。尸=立(即CF等于半徑的一半)，連接8尸交。C于點(diǎn)P,連

2

接EP，

連接CP,；CP為半徑，

.CFCP\

?----...=-J

CPCE2

又〈NFCP=NPCE,

:ZCPs^pcE,

.CFFP\

:.—=——=-,FP=1i-EP,

CPPE22

：.BF=BP+^EP,

由“兩點(diǎn)之間，線段最短”可得：8尸的長即8P+/E尸為最小值.

'：CF=-CE,E(2,8),

4

【例3】（2021?黑龍江）如圖，拋物線y=or2+foc+c與x軸交于除原點(diǎn)。和點(diǎn)A,且其頂

點(diǎn)8關(guān)于*軸的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為（2,1）.

（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）拋物線的對(duì)稱軸上存在定點(diǎn)F,使得拋物線y=+fev+c上的任意一點(diǎn)G到定點(diǎn)F的

距離與點(diǎn)G到直線y=-2的距離總相等.

①證明上述結(jié)論并求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

②過點(diǎn)尸的直線/與拋物線y=nx2+〃x+c交于兩點(diǎn).證明：當(dāng)直線/繞點(diǎn)F旋轉(zhuǎn)時(shí)，

士+上是定值，并求出該定值；

MFNF

（3）點(diǎn)C（3,m）是該拋物線上的一點(diǎn)，在x軸，）軸上分別找點(diǎn)P,Q,使四邊形PQ8C周長

最小，直接寫出RQ的坐標(biāo).

【答案】（l）y=!f-x；（2）F（2,0）；士+上=1,證明見解析（3）。［。，-義］

4MFNF<7）（10）

【分析】

（1）先求出頂點(diǎn)3的坐標(biāo)為（2,-1）,在設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-2）2-l,根據(jù)拋物線

過原點(diǎn)，即可求出其解析式：

（2）①設(shè)點(diǎn)F坐標(biāo)為（2力），點(diǎn)G坐標(biāo)為利用兩點(diǎn)間距離公式，結(jié)合題目已

知列出等量關(guān)系；②設(shè)直線/的解析式為^=&（》-2）,直線/與拋物線交于點(diǎn)M,N,直線

22

方程與拋物線聯(lián)立得出%+%=4k,yM.yN=-4k,在結(jié)合①的結(jié)論，分別表示出MF,NF

的值，即可求解：

（3）先求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，分別作點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)C',點(diǎn)3關(guān)于y軸的時(shí)稱點(diǎn)連

接B'C',交'軸于點(diǎn)尸，交y軸于點(diǎn)0,則點(diǎn)只Q即為所求

【詳解】

解：（1）?.?點(diǎn)B關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（2,1）

點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2,-1）

設(shè)拋物線的解析式為y=〃（x-2）2-l

???拋物點(diǎn)過原點(diǎn)

.-.0=a（0-2）2-l

解得

4

拋物線解析式為：y=；（x-2）2-1即y=-x

（2）①設(shè)點(diǎn)F坐標(biāo)為（2力），點(diǎn)G坐標(biāo)為

由題意可得：J（a-2）2+%-"-4=%_a+2

整理得：〃修-2“_+（）

.\b=0

二點(diǎn)廠的坐標(biāo)為（2,0）

②設(shè)直線/的解析式為丫=4（了-2）,直線/與拋物線交于點(diǎn)M,N

1,

V=—%*■-x

「4

y=攵（工-2）

“UP

整理得：/-4jt2y-4fc2=0

%+以=4公,%.用=-4.

由①得知F=），,"+2,*=%+2

1111

,------1------=----------1---------

,MFNF加+2%+2

11)1++4

整理得.+——=-----M/f----------------——

1，J-MFNF^^+2(^+^)+4

114公+4,

-------1------==1

MFNF4k2+4

(3)；點(diǎn)C(3,m)在拋物線y=*x2-x上,

//i=-x9—3=--

44

如圖：作點(diǎn)c關(guān)于工軸的對(duì)稱點(diǎn)c,點(diǎn)3關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)U

則點(diǎn)。(3,￡|,點(diǎn)&(-2,-1),連接AC,交工軸于點(diǎn)尸，交y軸于點(diǎn)。，則此時(shí)四邊形PQ8C

周長最小

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b

-2k+b=-l

<3

3k+b=-

4

:3

b=---

解得10

k=—

20

???直線BC的解析式為y=^7X-3-

二點(diǎn)P坐標(biāo)為件0)，點(diǎn)。坐標(biāo)為(0,41

題型三：函數(shù)與三角形面積

【例4】(2021?湖南)如圖，在平面直角坐標(biāo)系X。)，中，平行四邊形ABC。的A8邊與)，軸

交于E點(diǎn)，F(xiàn)是A￡>的中點(diǎn)，B、C、。的坐標(biāo)分別為(-2,0),(8,0),(13,10).

(1)求過8、E、C三點(diǎn)的拋物線的解析式；

(2)試判斷拋物線的頂點(diǎn)是否在直線所上；

(3)設(shè)過尸與A3平行的直線交)，軸于。，M是線段E。之間的動(dòng)點(diǎn)，射線與拋物線交

于另一點(diǎn)P,當(dāng)△PBQ的面積最大時(shí)，求P的坐標(biāo).

【答案】⑴產(chǎn)一片2+5%+4；(2)頂點(diǎn)是在直線所上，理由見解析；(3)P點(diǎn)坐

標(biāo)為(9,--).

4

【分析】

(1)先求出A點(diǎn)坐標(biāo)，再求出直線A8的解析式，進(jìn)而求得E的坐標(biāo)，然后用待定系數(shù)法

解答即可；

(2)先求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)，再求出直線EF的解析式，然后根據(jù)拋物線的解析式確定頂點(diǎn)坐

標(biāo)，然后進(jìn)行判定即可；

(3)設(shè)尸點(diǎn)坐標(biāo)為(p,—(p+2)(p-8)),求出直線8P的解析式，進(jìn)而求得M的坐標(biāo)；

再求FQ的解析式，確定Q的坐標(biāo)，可得|A/QI=g(p-8)+6,最后根據(jù)品/?砥=SA,”8O+SA

列出關(guān)于p的二次函數(shù)并根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求最值即可.

【詳解】

解：(1),??平行四邊形ABC。，B、C、。的坐標(biāo)分別為(-2,0),(8,0),(13,10)

(3,10),

設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b,

10=3%+匕k=2

則,解得

G=-2k+bb=4

；?直線AB的解析式為產(chǎn)2%+4,

當(dāng)A-0時(shí)，y=4,則E的坐標(biāo)為(0,4),

設(shè)拋物線的解析式為：y=ax^bx+c,

1

a=——

0=?(-2)2+(-2)Z?+C4

,3

v0=8??Q+8〃+c，解得b=—

2

4=c

c=4

1、3

...過B、E、C三點(diǎn)的拋物線的解析式為y=-：9++4；

42

(2)頂點(diǎn)是在直線環(huán)上，理由如下：

是AE)的中點(diǎn)，

：.F(8,10),

設(shè)直線EF的解析式為y=mx+n,

(.3

4=??,,m=一

則LQ，解得4，

10=8m+〃.

i[n=4

3

?,?宜線EF的解析式為尸]X+4,

..123

?y-一一x+-x+4yl,

’42

25

???拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(3,—),

4

253

V—=-x3+4,

44

拋物線的頂點(diǎn)是否在直線EF上；

1311

2

(3)Vy=-^x+|x+4=-^(x+2)(x-8)t則設(shè)尸點(diǎn)坐標(biāo)為(〃，q(p+2)(p—8)),直線

BP的解析式為y=dx+ef

0=-2d+ed=-—(p-8)

則1/?Q\/，解得14，

7(P+2)(P-8)=pd+e卜=g(p-8)

?二直線EF的解析式為尸一;(〃一8)x+；(，-8),

當(dāng)x=0D寸，y=；(p-8),則M點(diǎn)坐標(biāo)為(0,g(p-8)),

'：AB//FQ,

???設(shè)的解析式為產(chǎn)2x”則10=2x8"解得戶6

FQ的解析式為）=2r-6,

???Q的坐標(biāo)為（0,-6）,

\MQ\=—（^p-8）+6,

SAPBQ=SAMBO+SAPMQ

=^QM>OB+^QM.PN

=gQM（O8+P/V）

=3；（P-8）+6（2+p）

1，9

=~4P'+2P+So

工當(dāng)p=9時(shí),XPBQ的面積最大時(shí),

???P點(diǎn)坐標(biāo)為（9,.

題型四：函數(shù)與四邊形面積

【例5】（2021?四川）如圖，拋物線y=or2+fer+c（aH0）與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交

于C點(diǎn)，AC=V10,OB=OC=3OA.

（2）在第二象限內(nèi)的拋物線上確定一點(diǎn)P,使四邊形PBAC的面積最大.求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)

（3）在（2）的結(jié)論下，點(diǎn)M為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，拋物線上是否存在一點(diǎn)。.使點(diǎn)P、B、M、

。為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，若存在.請(qǐng)直接寫出。點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理

由.

【答案】（1）y=—x2—2x+3：（2）—）；（3）（-工，一）或（—~~,——）

242424

或（2叵,-"）

24

【分析】

（1）根據(jù)0B=0C=30A,AC=y/w,利用勾股定理求出04,可得08和0C,得到A,B,

C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；

（2）判斷出四邊形BACP的面積最大時(shí)，ABPC的最大面積，過點(diǎn)P作），軸的平行線交

BCT點(diǎn)、H,求出直線BC的表達(dá)式，設(shè)點(diǎn)P（x,-/-2%+3）,利用三角形面積公式SABPC=

7n

_2%,即可求出SABPC面積最小時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）分類討論，一是當(dāng)BP為平行四邊形對(duì)角線時(shí)，二是當(dāng)8P為平行四邊形一邊時(shí)，利用

平移規(guī)律即可求出點(diǎn)Q的坐標(biāo).

【詳解】

解：⑴'：OB=OC=3OA,AC=Vw,

OC2+0A2=AC2,即(3QA『+0A-=(啊2,

解得：0A=l,OC=OB=3,

0),8(-3,0),C(0,3),代入yuoZ+fec+c中,

0=a+b+ca=-\

則,0=9a-3〃+c,解得：”=-2,

3=cc-3

拋物線的解析式為y=-x?-2x+3；

(2)如圖，四邊形PBAC的面積=△BCA的面積+△PBC的面積，

而A4BC的面積是定值，故四邊形PA4c的面積最大，只需要ABPC的最大面積即可,

過點(diǎn)P作y軸的平行線交BC于點(diǎn)H,

*：B(-3,0),C(0,3)，設(shè)直線BC的表達(dá)式為尸

[0=-3zn+?[m=\

則，，解得：。，

[3="[〃=3

直線BC的表達(dá)式為y=x+3,

設(shè)點(diǎn)尸(x,-N-2x+3),則點(diǎn)H(x,x+3),

2

SABPC~—PHxOli=_x(~x~-2,x+3-x—3)x3=—x—x,

22''22

3

故S有最大值，即四邊形尸BAC的面積有最大值，

315

此時(shí)k-]，代入》=一/—2x+3得y=?,

(3)若BP為平行四邊形的對(duì)角線,

則PQ〃3MPQ=BM,

則P、。關(guān)于直線戶-1對(duì)稱,

若BP為平行四邊形的邊,

如圖，QP〃BM,QP=BM,

解得一毛縣或行三⑺，

解得：x=^^-（舍）或x=

22

???點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（-2+商，-￥）;

24

綜上：點(diǎn)Q的坐標(biāo)為＜-p?或（專亙，-%或（帶”-印?

M提分訓(xùn)練

1.（2021?甘肅）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=gx2+〃x+c與坐標(biāo)軸交于

A（0,-2）,8（4,0）兩點(diǎn)，直線BC:y=-2x+8交y軸于點(diǎn)C.點(diǎn)。為直線A8下方拋物線上一

動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)。作x軸的垂線，垂足為G,DG分別交直線于點(diǎn)E,F.

(1)求拋物線y=法+c的表達(dá)式；

(2)當(dāng)G尸=；,連接8￡>,求■的面積；

(3)①H是丁軸上一點(diǎn)，當(dāng)四邊形8￡77戶是矩形時(shí)，求點(diǎn)H的坐標(biāo)：

②在①的條件下，第一象限有一動(dòng)點(diǎn)尸，滿足P〃=PC+2,求△△/史周長的最小值.

1QQ

【答案】⑴y=-x2--x-2.(2)-；(3)①H(0,3)；②4檔+7

【分析】

(I)直接利用待定系數(shù)法即可求出答案.

(2)由題意可求出03=4,04=2.利用三角函數(shù)可知在R，A8O4和用ABGF中，

nAGF

tanZAB0=—=—,由此即可求出G8=l,從而可求出0G=3.即可求出。點(diǎn)坐標(biāo)，繼

OBGB

而求出GO=2.再根據(jù)G尸=g,即可求出的長，最后利用三角形面枳公式即可求出最

后答案.

(3)①連接8"，交所于點(diǎn)N.根據(jù)矩形的性質(zhì)可知BN=NH=gB"=gE『，

HF//BC.由所〃AG可推出黑=黑=望=1.由HF]]BC,可推出劣=黑=1.再

OGCEAFAHAF

根據(jù)直線BC的解析式可求出C點(diǎn)坐標(biāo)，即可得出OC的長，由此可求出AC的長，即可求

出C”的長，最后即得出0,的長，即可得出”點(diǎn)坐標(biāo).

②在R/AOB”中，利用勾股定理可求出“8的長，再根據(jù)C/H3=尸”+P3+H8結(jié)合

尸〃=PC+2可推出C/〃8=PC+PB+7,即要使CJHH最小，就要PC+PB最小，由題意可

知當(dāng)點(diǎn)尸在8C上時(shí)，PC+PB=BC為最小.即求出BC長即可.在R/AOBC中，利用勾股

定理求出8c的長，即得出△/￥陽周長的最小值為3c+7.

【詳解】

解：(1)?.?拋物線y=過A(0,—2),8(4,0)兩點(diǎn)，

.fc=-2

…18+4/?+c=0'

\3

,*b=—

解得，\2,

c=-2

/.y=—x2--X-2.

?22

(2)v5(4,0),

:.OB=4.

同理，OA=2.

又?.,GFJ_x軸，Q4_Lx軸，

nAGF—

在Ri&BOA和RtABGF中，tan/ABO=----=-----,II|J22

°BGB-=-

:.OG=OB-GB=4-\=3.

2

當(dāng)％=3時(shí)，yD=^x3--|x3-2=-2,

即GD=2.

:.FD=GD-GF=2--=-,

22

3

X=

?q=-FDBG=-x-4-

222

（3）①如圖，連接8H,交EF于點(diǎn)、N.

???四邊形產(chǎn)是矩形，

；.EF=BH,BN=NH=-BH.

2

又?:EF//AC,、

.BNBF,

.?==1,

NHAF

BGBEBFi

/.=——==1.

OGCEAF

:四邊形BEHF是矩形，

??.HF//BC.

CHBF,

...=——=1,

AHAF

???當(dāng)m（）時(shí)，%=8,

???OC=8,

?.?AC=OC+AO=8+2=10,

二.CH=5,

OH=OC-CH=S-5=3f

.?.H（O,3）.

②在心△QB"中,HB=JOH2+OB2=V32+42=5^

?;PH=PC+2.

???CPtHinR=PH+PB+HB=PC+2+PB+5=PC+PB+7

工要使CJHS最小，就要PC+PB最小.

:PC+PB>BC,

，當(dāng)點(diǎn)P在8c上時(shí)，PC+PB=BC為最小.

在Rt^OBC中，BC=JOC2+OB?=V82+42=475.

周長的最小值是4石+7.

2.（2021.福建）已知拋物線y=加+6x+c與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn).

（1）若拋物線過點(diǎn)「（0,1）,求的最小值；

（2）已知點(diǎn)耳（-2,1）,鳥（2,T）,居（2,1）中恰有兩點(diǎn)在拋物線上.

①求拋物線的解析式；

②設(shè)直線/：y=Ax+l與拋物線交于M,N兩點(diǎn)，點(diǎn)A在直線y=-l上，且NM4N=90。，

過點(diǎn)A且與x軸垂直的直線分別交拋物線和于點(diǎn)B,C.求證：/kMAB與的面積相

等.

【答案】⑴-1：（2）①y=！f；②見解析

【分析】

（I）先求得k1,根據(jù)拋物線y=o?+bx+c與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為判別式△=（）,

從而構(gòu)造二次函數(shù)求解即可；

（2）①根據(jù)拋物線y=ar2+fcr+c與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)，得拋物線上的點(diǎn)只能落在x軸的

同側(cè)，據(jù)此判斷即可：②證明A8=8C即可

【詳解】

解：因?yàn)閽佄锞€廣加+云+c與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)，

以方程這2+區(qū)+c=。有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，

所以△=/—4ac=0,I'Nb2-4。。.

(1)因?yàn)閽佄锞€過點(diǎn)P(O，1),所以c=l,

所以從=4a,BPa=—.

4

所以“+〃=生+匕=1(6+2)2-1,

44

當(dāng)"=-2時(shí)，取到最小值-1.

(2)①因?yàn)閽佄锞€了=以2+云+c與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)，

所以拋物線上的點(diǎn)只能落在x軸的同側(cè).

又點(diǎn)$-2,1),2(2,-1),6(2,1)中恰有兩點(diǎn)在拋物線的圖象上，

所以只能是4(-2,1),8(21)在拋物線的圖象上，

山對(duì)稱性可得拋物線的對(duì)稱軸為x=0,所以人=0,

即ac=0,因?yàn)樗詂=0.

又點(diǎn)6(-2,1)在拋物線的圖象上，所以4a=1,。=:，

4

故拋物線的解析式為

4

②由題意設(shè)例(士,乂),刈々,必)，4(人”-1),則y=何+1,%=陷+1.

記直線y=-l為〃?，分別過例，N作ME上ln,NF工n1,垂足分別為E,F,

B|JZME4=ZA/W=90°.

因?yàn)镹M4N=90。，所以NM4￡+ZAMF=90°.

又NM4E+NEM4=90。，所以NEMA=ZNAF,所以AAM￡S&V4尸.

所以箓=爺，所以：+：=；11，即(乂+1)(%+1)+(%一天)(々一%)=0.

N卜Ar/2+1x2xo

所以(g+2)(也+2)+(x-毛-％)=0,

即+1卜也+(2攵一玉))(2+x2)+x()+4=0.①

把y="+l代入y=f,得*2_4"_4=0,

4

解得用=2%-2dH+1,x2=2k+2A/F+7,

所以％+々=4幺,再々=-4.②

將②代入①，得-4（公+1）+4Z（2Z-％）+其+4=。，

即（%—2%y=0,解得x0=2k,即A（2幺-1）.

所以過點(diǎn)A且與x軸垂直的直線為x=2k,

將x=2左代入y=得了=公，即3（2左次2）,

將x=2&代入y=匕+1,得y=2F+l,

即C（2%,2&2+1）,

所以/18=二+1,8。=公+1,因此AB=BC,

所以/\MAB與△M3C的面積相等.

3.（2020?衡陽）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，關(guān)于x的二次函數(shù)y=x2+px+q的圖象過點(diǎn)（-

1,0）,（2,0）.

（1）求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）求當(dāng)-2Vq時(shí)，y的最大值與最小值的差；

（3）一次函數(shù)尸（2-加）x+2-團(tuán)的圖象與二次函數(shù)y=x2+px+g的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)

分別是4和b,且“<3<b,求機(jī)的取值范圍.

【分析】（1）由二次函數(shù)的圖象經(jīng)過（-1,0）和（2,0）兩點(diǎn)，組成方程組再解即可

求得二次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）求得拋物線的對(duì)稱軸，根據(jù)圖象即可得出當(dāng)x=-2,函數(shù)有最大值4；當(dāng)x=；是函

數(shù)有最小值-：，進(jìn)而求得它們的差；

（3）由題意得x2-x-2=（2-/7?）x+2-m,整理得x2+（〃?-3）x+m-4=0,因?yàn)閍<2

<b,嚀b,△=（〃？-3）2-4x（m-4）=（m-5）2>0,把x=3代入（2-m）x+2-

"7><-%-2,解得加V—

【解析】（1）由二次函數(shù)y=/+px+q的圖象經(jīng)過（-1,0）和（2,0）兩點(diǎn),

(1—p+q=0

(4+2p+q=0'

.,?此二次函數(shù)的表達(dá)式y(tǒng)=/-x-2；

（2）..?拋物線開口向上，對(duì)稱軸為直線x=三上=5

.?.在-2人1范圍內(nèi)，當(dāng)x=-2,函數(shù)有最大值為：y=4+2-2=4；當(dāng)x=:是函數(shù)有最

小值：--2=-

424

的最大值與最小值的差為：4-（一：）=?；

44

（3）,.*y=（2-m）x+2-m與二次函數(shù)y=/-x-2圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為a和b,

Ax2-x-2=（2-m）x+2-ni,整理得

x2+(/n-3)x+m-4=0

9：a<3<b

a*b

.*.△=(zH-3)2-4x(〃L4)=(/w-5)2>0

:?m卦

\'a<3<h

當(dāng)x=3時(shí)，(2-〃7)x+2-/n>x27-2,

把x=3代入(2-"?)x+2-ni>x2-x-2,解得〃zV—(

:.m的取值范圍為

4.（2021?天津）已知拋物線丁=加-2儀+c（a,c?為常數(shù)，〃工0）經(jīng)過點(diǎn)頂

點(diǎn)為D.

（I）當(dāng)〃=1時(shí)，求該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（II）當(dāng)。＞0時(shí)，點(diǎn)七（0」+。），若DE=2^DC,求該拋物線的解析式；

（III）當(dāng)。＜-1時(shí)，點(diǎn)尸（0,1-。），過點(diǎn)C作直線/平行于x軸，幾0）是入軸上的動(dòng)點(diǎn)，

N（m+3,-1）是直線/上的動(dòng)點(diǎn).當(dāng)。為何值時(shí)，戶M+DN的最小值為2麗，并求此時(shí)點(diǎn)

M,N的坐標(biāo).

13,

【答案】(I)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,一2)；(H)y=]f0-x-i或y=；/-3x-l；(III)

點(diǎn)例的坐標(biāo)為(-*,0),點(diǎn)N的坐標(biāo)為(.,-1)

【分析】

(I)結(jié)合題意，通過列一元一次方程并求解，即可得到拋物線的解析式，將解析式化為頂

點(diǎn)式，即可得到答案

(H)根據(jù)題意，得拋物線的解析式為丫=。/-2數(shù)-1；根據(jù)拋物線對(duì)稱軸的性質(zhì)，計(jì)算得

點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1,-a-1)；過點(diǎn)D作。G_Ly軸于點(diǎn)G,根據(jù)勾股定理和一元二次方程的性質(zhì)，

13

得q=5，4=5,從而得到答案；

(III)當(dāng)。<-1時(shí)，將點(diǎn)。(1，-a-1)向左平移3個(gè)單位長度，向上平移1個(gè)單位長度得

D'(-2,-a)..作點(diǎn)F關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)F，當(dāng)滿足條件的點(diǎn)M落在線段尸〃上時(shí)，根據(jù)兩

點(diǎn)之間線段最短的性質(zhì)，得FM+DN最小,結(jié)合題意，根據(jù)勾股定理和一元二次方程性質(zhì),

得4=-1,從而得直線尸'。的解析式，通過計(jì)算即可得到答案.

【詳解】

(I)當(dāng)。=1時(shí)，拋物線的解析式為y=/-2x+c.

:拋物線經(jīng)過點(diǎn)C(0,-l)

AO-O+c=-l

解得：c=-l

???拋物線的解析式為y=X-2x-l

Vy=x2-2x-l=(x-l)2-2

???拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-2)；

(II)當(dāng)a>0時(shí)，由拋物線卜=以2-2ar+c經(jīng)過點(diǎn)C(0,-l),可知c=-l

二拋物線的解析式為y="2_2ar-l

拋物線的對(duì)稱軸為：x=l

當(dāng)x=1時(shí)，y=-a~\

拋物線的頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1,-。-1)；

過點(diǎn)Z)作。軸于點(diǎn)G

Rt/XDEG+,DG=1,EG=l+a-(-a-l)=2a+2,

：.DE2=DG2+EG2=1+(2a+2)2

在用ADCG中，DG=\,CG=-\-{-a-\)=a,

DC2^DG2+CG2=i+a2.

,/DE=2>/2DC，即DE2=80c2,

Al+(2?+2)2=8(l+a2)

13

解得：?1=->?2=-

14

拋物線的解析式為丫=]%2-*-1或、='|*2-3》-1.

(HI)當(dāng)a<-l時(shí)，將點(diǎn)0(1,-。-1)向左平移3個(gè)單位長度，向上平移1個(gè)單位長度得

作點(diǎn)/關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)F,得點(diǎn)F'的坐標(biāo)為(0，。-1)

當(dāng)滿足條件的點(diǎn)M落在線段廣。上時(shí)，F(xiàn)M+DN最小,

此時(shí)，F(xiàn)M+DN=F'D'=2>/10.

過點(diǎn)以作。軸丁點(diǎn)〃

在用△五￡＞'〃中，D'H=2,尸'〃=-a-（a-l）=l-2a,

F'D'1=F2H2+D'H2=（1-2a）2+4.

.又尸7/2=40，gp（i-2a）2+4-40.

57

解得：4?2=-（舍）

點(diǎn)F'的坐標(biāo)為（。，-鼻，點(diǎn)W的坐標(biāo)為12,|）.

7

???直線FD的解析式為y=-3%-.

7

當(dāng)y=0時(shí)，x=——.

6

-7q「I

66

...點(diǎn)M的坐標(biāo)為，點(diǎn)N的坐標(biāo)為-1）.

5.（2021?江蘇）如圖，二次函數(shù)y=x2-（〃?+l）x+m（m是實(shí)數(shù)，且一1＜加＜0）的圖像

與X軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)8的左側(cè)），其對(duì)稱軸與X軸交于點(diǎn)C,已知點(diǎn)。位于第

一象限，且在對(duì)稱軸上，點(diǎn)E在*軸的正半軸上，OC=EC.連接ED并延長交

y軸于點(diǎn)F,連接AF.

（1）求A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)（用數(shù)字或含〃，的式子表示）；

17

（2）已知點(diǎn)。在拋物線的對(duì)稱軸上，當(dāng)△AF。的周長的最小值等于不，求加的值.

yy

【答案】(1)A(nO),3(1,0),C(券,0)；(2)m=-g

【分析】

(1)把N=O代入函數(shù)解析式，可得(〃z+l)x+m=0,再利用因式分解法解方程可得A,8

的坐標(biāo)，再求解函數(shù)的對(duì)稱軸，可得C的坐標(biāo)；

(2)先證明利用相似三角形的性質(zhì)求解C￡>2=上?.,利用三角形的中

4

位線定理再求解。尸2=4。2=1-"人再利用勾股定理求解AF=1，如圖，當(dāng)點(diǎn)F、。、B

7

三點(diǎn)共線時(shí)，F(xiàn)Q+AQ的長最小，此時(shí)△AFQ的周長最小.可得再利用勾股定理

列方程，解方程可得答案.

【詳解】

解：(1)令y=0,則/一(加+1)兀+機(jī)=0,

x,-m,x2=1,

.?.A(〃7,0),8(1,0),

，對(duì)稱軸為直線'=竽，

(2)在M△005中，CD±OB,OD上BD,

\NODB=NOCD=90。,

，,/DOC=/BOD,

.△CO4ACDB,

CDCO

~CB~'CD"

CD2=OCCB='^-^—^=^^.

224

,.?C￡>_Lx軸，O尸_Lx軸，

二CDHOF.

OC=EC,

：.OF=2CD.

OF2=4CD2=\-m2.

在AO尸中，AF1=O/^+OF',

??AF~=TH2+1-/n2=1，即AF=1.（負(fù)根舍去）

???點(diǎn)A與點(diǎn)8關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，

：,QA=QB,

，如圖，當(dāng)點(diǎn)尸、。、3三點(diǎn)共線時(shí)，尸Q+A。的長最小，此時(shí)△AA2的周長最小.

12

???△AF。的周長的最小值為了，

.??A2+AQ的長最小12值為7即8"=；7.

.49

VOF2^OB2=BF2.l-/n24-l=—.

m=±—.

5

V—1<m<0,

m=——.

5

6.（2020?涼山州）如圖，二次函數(shù)尸加+公+式的圖象過。（0,0）、A（1,0）、8（|,

y)三點(diǎn).

(1)求二次函數(shù)的解析式;

(2)若線段。8的垂直平分線與y軸交于點(diǎn)C,與二次函數(shù)的圖象在x軸上方的部分相

交于點(diǎn)￡>,求直線。的解析式；

(3)在直線CD下方的二次函數(shù)的圖象上有一動(dòng)點(diǎn)P,過點(diǎn)P作軸，交直線CD

于Q,當(dāng)線段PQ的長最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

【分析】(1)將點(diǎn)0、A、8的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式，即可求解;

(2)由點(diǎn)B的坐標(biāo)知，直線80的傾斜角為30。，則08中垂線(CD)與x負(fù)半軸的夾

角為60。，故設(shè)8的表達(dá)式為：)，=-VIr+b,而OB中點(diǎn)的坐標(biāo)為(；，馬,將該點(diǎn)坐

44

標(biāo)代入。表達(dá)式，即可求解；

(3)過點(diǎn)P作y軸額平行線交CD于點(diǎn)H,PH=-V3x+V3-(竽/一竽x)=

-^x2-yx+V3,即可求解.

5=0-苧

【解析】(1)將點(diǎn)O、A、B的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式得］，+b+c=°，解得2V3,

V39,3,,b=----

——=-Q+-b+C3

'242Q=0

故拋物線的表達(dá)式為：y=乎v2-乎口

(2)由點(diǎn)B的坐標(biāo)知，直線30的傾斜角為30。，則08中垂線(CD)與x負(fù)半軸的夾

角為60。,

故設(shè)CD的表達(dá)式為：)=—僚+6,而0B中點(diǎn)的坐標(biāo)為《，當(dāng))，

44

將該點(diǎn)坐標(biāo)代入CO表達(dá)式并解得：b=V3,

故直線CD的表達(dá)式為：y=—V3A+V3；

(3)設(shè)點(diǎn)尸(x,)?則點(diǎn)。(x，—,

則PQ=-V^+b一（手式2一誓丫）=——d-jx+g,

???_乎VO,故PQ有最大值，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（一3器）.

3416

7.（2020?杭州）在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)二次函數(shù)yi—x^+bx+a,y2—axi+bx+\（a,b是

實(shí)數(shù)，存0）.

（1）若函數(shù)％的對(duì)稱軸為直線x=3,且函數(shù)》的圖象經(jīng)過點(diǎn)（a,b）,求函數(shù)yi的表

達(dá)式.

（2）若函數(shù)％的圖象經(jīng)過點(diǎn)（r,0）,其中甲），求證：函數(shù)”的圖象經(jīng)過點(diǎn)（%0）.

（3）設(shè)函數(shù)yi和函數(shù)>2的最小值分別為加和〃，若加+〃=0,求用，〃的值.

【分析】（1）利用待定系數(shù)法解決問題即可.

（2）函數(shù)X的圖象經(jīng)過點(diǎn)（r,0）,其中存0,可得戶+如?戶。，推出1+2+9=o,

即a（i）2+后+1=0,推出三是方程加+加+1的根，可得結(jié)論.

rrr

（3）由題意a>0,.../〃=",〃=竽，根據(jù)，"+〃=0,構(gòu)建方程可得結(jié)論.

44a

【解析】⑴由題意，得到一：=3,解得6=-6,

???函數(shù)yi的圖象經(jīng)過（a,-6）,

a2-6〃+a=-6,

解得a=2或3,

函數(shù)y\=x2-6x+2或y\=x2-6x+3.

(2)??,函數(shù)yi的圖象經(jīng)過點(diǎn)(r,0),其中40,

2

:.i+br+a=Of

.,.i+r-+4rz=o.

2=

即a(-r)+/?,r-+10,

?*是方程辦2+加+1的根,

r

即函數(shù),，2的圖象經(jīng)過點(diǎn)時(shí)0）.

4a-b24a-b2

（3）由題意a