八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)壓軸題強(qiáng)化綜合試題含解析(一)001

八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)壓軸題強(qiáng)化綜合試題含解析（一）1．已知，如圖1，射線分別與直線相交于兩點(diǎn)，的平分線與直線相交于點(diǎn)，射線交于點(diǎn)，設(shè)，，且．（1）______°，______°；直線與的位置關(guān)系是______；（2）如圖2，若點(diǎn)是射線上任意一點(diǎn)，且，試找出與之間存在的數(shù)量關(guān)系，證明你的結(jié)論；（3）若將圖中的射線繞著端點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)（如圖3），分別與相交于點(diǎn)和時(shí)，作的角平分線與射線相交于點(diǎn)，問在旋轉(zhuǎn)的過程中的值變不變?若不變，請(qǐng)求出其值；若變化，請(qǐng)說明理由．2．已知：AD為△ABC的中線，分別以AB和AC為一邊在△ABC的外部作等腰三角形ABE和等腰三角形ACF，且AE＝AB，AF＝AC，連接EF，∠EAF+∠BAC＝180°．(1)如圖1，若∠ABE＝65°，∠ACF＝75°，求∠BAC的度數(shù)．(2)如圖1，求證：EF＝2AD．(3)如圖2，設(shè)EF交AB于點(diǎn)G，交AC于點(diǎn)R，F(xiàn)C與EB交于點(diǎn)M，若點(diǎn)G為EF中點(diǎn)，且∠BAE＝60°，請(qǐng)?zhí)骄俊螱AF和∠CAF的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，且，為軸上點(diǎn)右側(cè)的動(dòng)點(diǎn)，以為腰作等腰，使，，直線交軸于點(diǎn)．（1）求證：；（2）求證：；（3）當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)在軸上的位置是否發(fā)生變化，為什么？4．如圖，△ACB和△DCE均為等腰三角形，點(diǎn)A，D，E在同一直線上，連接BE．（1）如圖1，若∠CAB＝∠CBA＝∠CDE＝∠CED＝50°．①求證：AD＝BE；②求∠AEB的度數(shù)．（2）如圖2，若∠ACB＝∠DCE＝90°，CF為△DCE中DE邊上的高，試猜想AE，CF，BE之間的關(guān)系，并證明你的結(jié)論．5．已知：，．(1)當(dāng)a，b滿足時(shí)，連接AB，如圖1．①求：的值．②點(diǎn)M為線段AB上的一點(diǎn)（點(diǎn)M不與A，B重合，其中BM＞AM），以點(diǎn)M為直角頂點(diǎn)，OM為腰作等腰直角△MON，連接BN，求證：．(2)當(dāng)，，連接AB，若點(diǎn)，過點(diǎn)D作于點(diǎn)E，點(diǎn)B與點(diǎn)C關(guān)于x軸對(duì)稱，點(diǎn)F是線段DE上的一點(diǎn)（點(diǎn)F不與點(diǎn)E，D重合）且滿足，連接AF，試判斷線段AC與AF之間的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．6．我們不妨約定：把“有一組鄰邊相等”的凸四邊形叫做“菠菜四邊形”．(1)如下：①平行四邊形，②矩形，③菱形，④正方形，一定是“菠菜四邊形”的是________（填序號(hào)）；(2)如圖1，四邊形ABCD為“菠菜四邊形”，且∠BAD＝∠BCD＝90°，AD＝AB，AE⊥CD于點(diǎn)E，若AE＝4，求四邊形ABCD的面積；(3)①如圖2，四邊形ABCD為“菠菜四邊形”，且AB＝AD，記四邊形ABCD，△BOC，△AOD的面積依次為S，，，若．求證：ADBC；②在①的條件下，延長(zhǎng)BA、CD交于點(diǎn)E，記BC＝m，DC＝n，求證：．7．在△ABC中，∠ACB＝90°，過點(diǎn)C作直線l∥AB，點(diǎn)B與點(diǎn)D關(guān)于直線l對(duì)稱，連接BD交直線于點(diǎn)P，連接CD．點(diǎn)E是AC上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F是CD上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E從A點(diǎn)出發(fā)，以每秒1cm的速度沿A→C路徑運(yùn)動(dòng)，終點(diǎn)為C．點(diǎn)F從D點(diǎn)出發(fā)，以每秒2cm的速度沿D→C→B→C→D路徑運(yùn)動(dòng)，終點(diǎn)為D．點(diǎn)E、F同時(shí)開始運(yùn)動(dòng)，第一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)第二個(gè)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)．

(1)當(dāng)AC＝BC時(shí)，試證明A、C、D三點(diǎn)共線；（溫馨提示：證明∠ACD是平角）(2)若AC＝10cm，BC＝7cm，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)點(diǎn)F沿D→C方向時(shí)，求滿足CE＝2CF時(shí)t的值；(3)若AC＝10cm，BC＝7cm，過點(diǎn)E、F分別作EM、FN垂直直線l于點(diǎn)M、N，求所有使△CEM≌△CFN成立的t的值．8．問題引入：(1)如圖1，在中，點(diǎn)O是和平分線的交點(diǎn)，若，則______（用表示）：如圖2，，，，則______（用表示）；拓展研究：(2)如圖3，，，，猜想度數(shù)（用表示），并說明理由；(3)BO、CO分別是的外角、的n等分線，它們交于點(diǎn)O，，，，請(qǐng)猜想______（直接寫出答案）．【參考答案】2．（1）30，30，AB//CD；（2）+=180°，證明見解析；（3）不變，．【分析】（1）利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可知：α=β=40°，推出∠EMF=∠MFN即可解決問題；（2）結(jié)論：∠FMN+∠解析：（1）30，30，AB//CD；（2）+=180°，證明見解析；（3）不變，．【分析】（1）利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可知：α=β=40°，推出∠EMF=∠MFN即可解決問題；（2）結(jié)論：∠FMN+∠GHF=180°．只要證明GH∥PN即可解決問題；（3）結(jié)論：的值不變，=2．如圖3中，作∠PEM1的平分線交M1Q的延長(zhǎng)線于R．只要證明∠R=∠FQM1，∠FPM1=2∠R即可；【詳解】解：（1）∵，∴60-2α=0，β-30=0，∴α=β=30°，∴∠PFM=∠MFN=30°，∠EMF=30°，∴∠EMF=∠MFN，∴AB∥CD；（2）結(jié)論：∠FMN+∠GHF=180°，理由如下：如圖2中，∵AB∥CD，∴∠MNF=∠PME，∵∠MGH=∠MNF，∴∠PME=∠MGH，∴GH∥PN，∴∠GHM=∠FMN，∵∠GHF+∠GHM=180°，∴∠FMN+∠GHF=180°；（3）的值不變，=2．理由如下：如圖3中，作∠PEM1的平分線交M1Q的延長(zhǎng)線于R，∵AB∥CD，∴∠PEM1=∠PFN，∵∠PER=∠PEM1，∠PFQ=∠PFN，∴∠PER=∠PFQ，∴ER∥FQ，∴∠FQM1=∠R，設(shè)∠PER=∠REB=x，∠PM1R=∠RM1B=y，則有：，可得∠EPM1=2∠R，∴∠EPM1=2∠FQM1，∴=2．【點(diǎn)睛】本題考查幾何變換綜合題、平行線的判定和性質(zhì)、角平分線的定義、非負(fù)數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造平行線解決問題．3．(1)∠BAC＝50°(2)見解析(3)∠GAF﹣∠CAF＝60°，理由見解析【分析】（1）利用三角形的內(nèi)角和定理求出∠EAB，∠CAF，再根據(jù)∠EAF+∠BAC＝180°構(gòu)建方程即可解解析：(1)∠BAC＝50°(2)見解析(3)∠GAF﹣∠CAF＝60°，理由見解析【分析】（1）利用三角形的內(nèi)角和定理求出∠EAB，∠CAF，再根據(jù)∠EAF+∠BAC＝180°構(gòu)建方程即可解決問題；（2）延長(zhǎng)AD至H，使DH＝AD，連接BH，想辦法證明△ABH≌△EAF即可解決問題；（3）結(jié)論：∠GAF﹣∠CAF＝60°．想辦法證明△ACD≌△FAG，推出∠ACD＝∠FAG，再證明∠BCF＝150°即可．(1)解：∵AE＝AB，∴∠AEB＝∠ABE＝65°，∴∠EAB＝50°，∵AC＝AF，∴∠ACF＝∠AFC＝75°，∴∠CAF＝30°，∵∠EAF+∠BAC＝180°，∴∠EAB+2∠ABC+∠FAC＝180°，∴50°+2∠BAC+30°＝180°，∴∠BAC＝50°．(2)證明：證明：如圖，延長(zhǎng)AD至點(diǎn)H，使DH=AD，連接BH∵AD是△ABC的中線，∴BD=DC，又∵DH=AD，∠BDH=∠ADC∴△ADC≌△HDB（SAS），∴BH=AC，∠BHD=∠DAC，∴BH=AF，∵∠BHD=∠DAC，∴BH∥AC，∴∠BAC+∠ABH=180°，又∵∠EAF+∠BAC=180°，

∴∠ABH=∠EAF，又∵AB=AE，BH=AF，∴△AEF≌△BAH（SAS），∴EF=AH=2AD，∴EF＝2AD；(3)結(jié)論：∠GAF﹣∠CAF＝60°．理由：由（2）得，AD＝EF，又點(diǎn)G為EF中點(diǎn)，∴EG＝AD，由（2）△AEF≌△BAH，∴∠AEG=∠BAD，在△EAG和△ABD中，，∴△EAG≌△ABD，∴∠EAG＝∠ABC＝60°，AG=BD，∴△AEB是等邊三角形，AG=CD，∴∠ABE＝60°，∴∠CBM＝60°，在△ACD和△FAG中，，∴△ACD≌△FAG，∴∠ACD＝∠FAG，∵AC＝AF，∴∠ACF＝∠AFC，在四邊形ABCF中，∠ABC+∠BCF+∠CFA+∠BAF＝360°，∴60°+2∠BCF＝360°，∴∠BCF＝150°，∴∠BCA+∠ACF＝150°，∴∠GAF+（180°﹣∠CAF）＝150°，∴∠GAF﹣∠CAF＝60°．【點(diǎn)睛】本題考查三角形綜合題、全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考?jí)狠S題．4．（1）見解析；（2）見解析；（3）不變，理由見解析【分析】（1）先根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出、的值，作于點(diǎn)，由定理得出，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；（2）先根據(jù)，得出，再由定理即可得出；解析：（1）見解析；（2）見解析；（3）不變，理由見解析【分析】（1）先根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出、的值，作于點(diǎn)，由定理得出，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；（2）先根據(jù)，得出，再由定理即可得出；（3）設(shè)，由全等三角形的性質(zhì)可得出，故為定值，再由，可知的長(zhǎng)度不變，故可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）證明：，，解得，，，作于點(diǎn)，，，，，在與中，，，；（2）證明：，，即，在與中，，；（3）點(diǎn)在軸上的位置不發(fā)生改變．理由：設(shè)，由（2）知，，，，為定值，，長(zhǎng)度不變，點(diǎn)在軸上的位置不發(fā)生改變．【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，熟知全等三角形的判定定理是解答此題的關(guān)鍵．5．（1）①見解析；②80°；（2）AE＝2CF+BE，理由見解析．【分析】（1）①通過角的計(jì)算找出∠ACD=∠BCE，再結(jié)合△ACB和△DCE均為等腰三角形可得出“AC=BC，DC=EC”，利用全解析：（1）①見解析；②80°；（2）AE＝2CF+BE，理由見解析．【分析】（1）①通過角的計(jì)算找出∠ACD=∠BCE，再結(jié)合△ACB和△DCE均為等腰三角形可得出“AC=BC，DC=EC”，利用全等三角形的判定（SAS）即可證出△ACD≌△BCE，由此即可得出結(jié)論AD=BE；②結(jié)合①中的△ACD≌△BCE可得出∠ADC=∠BEC，再通過角的計(jì)算即可算出∠AEB的度數(shù)；（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)結(jié)合頂角的度數(shù)，即可得出底角的度數(shù)，利用（1）的結(jié)論，通過解直角三角形即可求出線段AD、DE的長(zhǎng)度，二者相加即可證出結(jié)論．【詳解】（1）①證明：∵∠CAB＝∠CBA＝∠CDE＝∠CED＝50°，∴∠ACB＝∠DCE＝180°﹣2×50°＝80°，∵∠ACB＝∠ACD+∠DCB，∠DCE＝∠DCB+∠BCE，∴∠ACD＝∠BCE，∵△ACB，△DCE都是等腰三角形，∴AC＝BC，DC＝EC，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE．②解：∵△ACD≌△BCE，∴∠ADC＝∠BEC，∵點(diǎn)A、D、E在同一直線上，且∠CDE＝50°，∴∠ADC＝180°﹣∠CDE＝130°，∴∠BEC＝130°，∵∠BEC＝∠CED+∠AEB，∠CED＝50°，∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝80°．（2）結(jié)論：AE＝2CF+BE．理由：∵△ACB，△DCE都是等腰直角三角形，∴∠CDE＝∠CED＝45°，∵CF⊥DE，∴∠CFD＝90°，DF＝EF＝CF，∵AD＝BE，∴AE＝AD+DE＝BE+2CF．【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)以及三角形全等的證明，正確理解等腰三角形的性質(zhì)以及三角形全等的證明是本題的解題關(guān)鍵．6．(1)10；證明見解析；(2)，，理由見解析；【分析】（1）①利用可求出，，即可求出；②作交AB與點(diǎn)C，交AB與點(diǎn)F，證明，再證明，利用，即可證明；（2）證明，得到，，再利用等量代換證明解析：(1)10；證明見解析；(2)，，理由見解析；【分析】（1）①利用可求出，，即可求出；②作交AB與點(diǎn)C，交AB與點(diǎn)F，證明，再證明，利用，即可證明；（2）證明，得到，，再利用等量代換證明；(1)解：①由圖可知，∵∴，即，∴，，∴；②作交AB與點(diǎn)C，交AB與點(diǎn)F，如圖，∵，，∴，在和中，∴，∴，，，∵，∴，∴，∴，即，∵，∴，∴，∵，∴，即，(2)解：，，理由如下：假設(shè)DE交BC于點(diǎn)G，有已知可知：，，，，∴，∵∴∵，且，∴，在和中，∴，∴，，∵，∴，∴，【點(diǎn)睛】本題考查三角形全等的判定，等量代換，絕對(duì)值非負(fù)性的應(yīng)用，直角坐標(biāo)系中的圖形，（1）的關(guān)鍵是證明，（2）的關(guān)鍵證明．7．(1)③④(2)16(3)①見解析；②見解析【分析】（1）根據(jù)菠菜四邊形的定義結(jié)合各個(gè)特殊四邊形的定義即可得出結(jié)論；（2）過A作，交CB的延長(zhǎng)線于F，求出四邊形AFCE是矩形，則，解析：(1)③④(2)16(3)①見解析；②見解析【分析】（1）根據(jù)菠菜四邊形的定義結(jié)合各個(gè)特殊四邊形的定義即可得出結(jié)論；（2）過A作，交CB的延長(zhǎng)線于F，求出四邊形AFCE是矩形，則，求出，得出，有全等的出AE=AF=3，，求出，求出，代入求解即可；（3）記面積為，則，，根據(jù)已知條件可得，進(jìn)而可得，得出由平分線的性質(zhì)結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)可得BD平分，過點(diǎn)D作于點(diǎn)H，作于點(diǎn)N，則DH=DN,則，由此即可得出結(jié)論．（1）根據(jù)菱形于正方形的定義值，一定是菠菜四邊形的是菱形與正方形，故答案為：③④（2）如圖，過A作，交CB的延長(zhǎng)線于F，∴四邊形AFCE是矩形則四邊形AFCE是正方形，即四邊形ABCD的面積為16（3）①記，∴∵∴∴∵∴∴∴∴如圖：作，∴∴AMAD∴四邊形AMND為平行四邊形∴ADMN∴ADBC②∵ADBC∴又∵AD＝AB∴∴∴BD平分如圖：∵∴∴又∵∴∴【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的性質(zhì)與判定，三角形的面積，角平分線的性質(zhì)，對(duì)于同第登高的三角形的面積相等的推到是關(guān)鍵．8．(1)見解析(2)(3)【分析】（1）先由AC=BC、∠ACB=90°得到∠ABC=45°，進(jìn)而得到∠CBD=∠CDB=45°，然后得到∠BCD=90°，最后得到∠ACB+∠BCD=18解析：(1)見解析(2)(3)【分析】（1）先由AC=BC、∠ACB=90°得到∠ABC=45°，進(jìn)而得到∠CBD=∠CDB=45°，然后得到∠BCD=90°，最后得到∠ACB+∠BCD=180°，即A、C、D三點(diǎn)共線；（2）先用含有t的式子表示CE和CF的長(zhǎng)，然后根據(jù)CE=2CF列出方程求得t的值；（3）先由∠BCP=∠FCN、∠BCP+∠ECM=90°，∠ECM+∠MEC=90°得到∠MEC=∠FCN，然后結(jié)合全等三角形的性質(zhì)列出方程求得t的值．(1)證明：∵AC=BC，∠ACB=90°，∴∠ABC=45°，∵點(diǎn)B與點(diǎn)D關(guān)于直線l對(duì)稱，∴BD⊥直線l，BC=CD，∵直線l∥AB，∴BD⊥AB，∴∠ABD=90°，∴∠CBD=∠CDB=45°，∴∠BCD=90°，∴∠ACB+∠BCD=180°，∴A、C、D三點(diǎn)共線；(2)解：∵AC=10cm，BC=7cm，∴當(dāng)點(diǎn)F沿D→C方向時(shí)，0≤t≤3.5，∴CE=10-t，CF=7-2t，∵CE=2CF，∴10-t=2（7-2t），解得：t=．(3)解：∵∠BCP