2024年云南師大附中高三數(shù)學4月高考模擬試卷附答案解析

年云南師大附中高三數(shù)學4月高考模擬試卷2024.04注意事項：1.答題前，考生務必用黑色碳素筆將自己的姓名、準考證號、考場號、座位號在答題卡上填寫清楚.2.每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.在試題卷上作答無效.3.考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回.滿分150分，考試用時120分鐘.一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求）1．已知集合，，則（

）A．B．C． D．2．已知滿足，且在復平面內(nèi)對應的點為，則（

）A．B．C． D．3．已知向量，滿足，，且，的夾角為，則向量在向量方向上的投影向量為（

）A． B． C． D．4．已知函數(shù)在處取得最大值，則（

）A． B． C． D．5．數(shù)列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，稱為斐波那契數(shù)列，又稱黃金分割數(shù)列，是由十三世紀意大利數(shù)學家列昂納多·斐波那契以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為“兔子數(shù)列”.該數(shù)列從第三項開始，每項等于其前相鄰兩項之和.記該數(shù)列的前項和為，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．C． D．6．在中，角，，所對的邊分別為，，，記的面積為，已知，，，求外接圓半徑與內(nèi)切圓半徑之比為（

）A．B．C． D．7．隨著互聯(lián)網(wǎng)普及和技術的飛速發(fā)展，網(wǎng)絡游戲已成為當今社會的一種流行文化，也是青少年學習、娛樂和社交的重要方式.但隨著網(wǎng)絡游戲的推廣發(fā)展，一些青少年對其過度依賴，甚至對心理健康產(chǎn)生了不可忽視的影響.“預防網(wǎng)絡游戲沉迷，關愛青少年心理健康，已成為亟需破解的現(xiàn)實問題.”某款網(wǎng)絡游戲的規(guī)則如下：參與者每一局需投一枚游戲幣，每局通關的概率為50%，若該局通關，參與者可以贏得兩個游戲幣.遇到兩種情況會自動結(jié)束游戲：一種是手中沒有游戲幣；一種是手中游戲幣到預期的個.設當參與者手中有個（）游戲幣時，最終手中沒有游戲幣的概率為，下列說法錯誤的是（

）A．，B．記參與者通關的局數(shù)，在前13局中，，C．D．若參與者最初手中有20個游戲幣，他希望贏到100個，則他輸光的概率為8．已知實數(shù)，，不全為0，則的最大值為（

）A． B． C． D．二、多項選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）9．下列說法正確的是（

）A．對于單峰的頻率分布直方圖，單峰不對稱且在右邊“拖尾”，則平均數(shù)大于中位數(shù)B．回歸分析中，線性相關系數(shù)的取值范圍為C．回歸分析中，決定系數(shù)越大，擬合效果越好D．在獨立性檢驗中，當（為的臨界值）時，推斷零假設不成立10．已知平面向量，，滿足，，，則的取值可能為（

）A．5 B．6 C．7 D．811．已知為雙曲線：（，）右支上一點，，分別為左、右焦點，為的內(nèi)角平分線，是坐標原點，過，分別作的垂線，垂足分別為，，則下列說法正確的是（

）A．B．三角形面積的最大值是C．三角形的內(nèi)切圓與軸相切于雙曲線的頂點D．設雙曲線的離心率為，則有三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12．函數(shù)對定義域內(nèi)任意的，，都有，寫出一個滿足上述條件的函數(shù).13．我國古代數(shù)學典籍九章算術中有一種名為“羨除”的幾何體，它由古代的隧道形狀抽象而來.如圖所示，在五面體中，，四邊形，，為等腰梯形，且平面平面.其中，，（），且到平面的距離為，和的距離為，若，，，，，則該“羨除”的體積為.14．若關于的方程有兩個不同的實根，，且，則實數(shù)的取值范圍為.四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）15．已知總體分為2層，通過分層隨機抽樣，各層抽取的樣本量、樣本平均數(shù)和樣本方差分別為：，，；，，.記總樣本的平均數(shù)為，樣本方差為.(1)試證明：；(2)在對某高中1500名高三年級學生的身高的調(diào)查中，采用按學生性別比例分配的分層隨機抽樣抽取100人，已知這1500名高三年級學生中男生有900人，且抽取的樣本中男生的平均數(shù)和方差分別為170cm和12，女生的平均數(shù)和方差分別為160cm和38.試用（1）證明的公式估計高三年級全體學生身高的方差.16．在如圖所示的直四棱柱中，連接，，，，，，，.(1)求證：，，，四點共面；(2)若，求平面與平面的夾角的余弦值.17．刻畫曲線的彎曲程度是幾何研究的重要內(nèi)容，曲線的曲率是針對曲線上某個點的切線方向角對弧長的轉(zhuǎn)動率，曲線的曲率越大，表示曲線的彎曲程度越大.若記，則函數(shù)在點處的曲率.(1)求曲線在點處的曲率；(2)已知函數(shù)，，若存在，使得的曲率為0，求證：.18．在直角坐標系中，已知定圓，動圓過點且與圓相切，記動圓圓心的軌跡為曲線.(1)求曲線的方程；(2)設點，，（），直線，分別與曲線交于點，（，異于），問直線是否過定點，若過，求定點坐標；若不過，請說明理由.19．若項數(shù)為（）的數(shù)列：，，…，滿足：.定義變換：將數(shù)列中原有的每個0都變成0，1，原有的每個1都變成1，0，若，1，.(1)求；(2)若中0的個數(shù)記為，1的個數(shù)記為，，求；(3)記中連續(xù)兩項都是1的數(shù)對個數(shù)記為，求.1．A【分析】分別求出集合，再根據(jù)交集的定義求解即可.【詳解】由題意，，或所以.故選：A．2．B【分析】根據(jù)復數(shù)的?；喛山?【詳解】由題意，由，即，化簡得.故選：B．3．D【分析】利用投影向量的公式即可求解.【詳解】向量在向量方向上的投影向量，故選：D．4．C【分析】借助輔助角公式，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)求解．【詳解】，其中，，又當時，取得最大值，所以，即，所以，故選：C．5．B【分析】根據(jù)遞推關系采用疊加法即可.【詳解】根據(jù)題意，，，，，…，，，則，，…，，，將上述各式兩邊相加得，，所以.故選：B．6．B【分析】根據(jù)三角形面積公式和余弦定理，結(jié)合輔助角公式可得角和，再利用正弦定理可求外接圓半徑，等面積法求內(nèi)切圓半徑，從而求解.【詳解】因為，所以，即，由余弦定理，得，，，在三角形中，則或(舍)，故，由余弦定理，，所以，由正弦定理，，則，因為，所以，所以.故選：B.7．C【分析】根據(jù)游戲規(guī)則可直接判定A；根據(jù)，可計算，，判斷B；由全概率公式判斷C；由選項C可得為等差數(shù)列，結(jié)合1數(shù)列通項公式可判斷D.【詳解】對于A，當時，游戲幣已經(jīng)輸光了，因此，當時，參與者已經(jīng)到了終止游戲的條件，因此輸光的概率，故A正確；對于B，由題意可得，，所以，故B正確；對于C，參與者有n個游戲幣的狀態(tài)，可能來源于有個游戲幣再贏一局，也可能來源于有個游戲幣再輸一局，由全概率公式，，故C錯誤；對于D，由C得，所以為等差數(shù)列，其中首項，設公差為，則，即，，所以，當時，，故D正確.故選：C．8．D【分析】對式子變形后利用基本不等式求解最值即可.【詳解】由題意實數(shù)，，不全為0，，當且僅當時，等號成立.故選：D.9．ACD【分析】根據(jù)頻率分布直方圖數(shù)據(jù)分布判斷A，根據(jù)回歸分析線性相關系數(shù)范圍判斷B，根據(jù)回歸分析決定系數(shù)的定義判斷C，根據(jù)獨立性檢驗判斷D.【詳解】根據(jù)頻率分布直方圖可得，單峰不對稱且在右邊“拖尾”，則平均數(shù)變大，中位數(shù)變小，故平均數(shù)大于中位數(shù)，A正確；回歸分析中，線性相關系數(shù)的取值范圍為，故B錯誤；回歸分析中，決定系數(shù)越大，擬合效果越好，故C正確；在獨立性檢驗中，當（為的臨界值）時，推斷零假設不成立，故D正確.故選：ACD10．BCD【分析】作，，，由已知得A，B在以點C為圓心，為半徑的圓上，根據(jù)矩形性質(zhì)得點D在以點C為圓心，8為半徑的圓上，從而得，根據(jù)選項逐項判斷即可.【詳解】如圖，作，，，由，可知A，B在以點C為圓心，為半徑的圓上，以，為鄰邊作矩形，由矩形的性質(zhì)可知，，可得，即點D在以點C為圓心，8為半徑的圓上，所以，即，所以.故選：BCD11．ABC【分析】延長到M，交延長線于M，利用雙曲線定義即可判斷A，根據(jù)三角形面積和正弦函數(shù)性質(zhì)判斷B，根據(jù)雙曲線定義和焦點三角形內(nèi)切圓性質(zhì)得到其中一個切點坐標的方程，解出即可判斷C，利用雙曲線定義及正弦定理化簡即可判斷D.【詳解】如圖，延長到M，交延長線于M，則，為三角形的中位線，所以，故A正確；結(jié)合選項A，同理，所以三角形面積，故B正確；如圖，設內(nèi)切圓與內(nèi)切的切線長分別為，由雙曲線的定義知，即，又，所以，又，所以的內(nèi)切圓與x軸相切于點，故C正確；由題意，，則①，記，如圖：由正弦定理得②，由①、②得：，所以，所以，故D錯誤.故選：ABC【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵是充分利用三角形內(nèi)切圓性質(zhì)和雙曲線定義從而判斷C選項，利用雙曲線定義及正弦定理建立方程，利用三角恒等變換及離心率的定義判斷D選項.12．（答案不唯一）【分析】利用指數(shù)的運算性質(zhì)可知指數(shù)函數(shù)符合題意.【詳解】根據(jù)題意，且，則，有，，所以定義域內(nèi)任意的，，都有，所以指數(shù)函數(shù)符合題意.故答案為：（答案不唯一）13．40【分析】將“羨除”分割為兩個四棱錐和一個直棱柱求體積.【詳解】如圖，平面內(nèi)，過分別作的垂線，垂足分別為，平面內(nèi)，過分別作的垂線，與分別交于，將“羨除”分割為兩個四棱錐，和直棱柱，由，四邊形，，為等腰梯形，且平面平面.則，，，故所求幾何體的體積為．故答案為：4014．【分析】由題意有兩個不相等的實數(shù)根，令，利用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性并畫出圖象，數(shù)形結(jié)合得，令，通過指對化化得，設，利用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，求解最值，進而，即可求解的取值范圍.【詳解】因為不是方程的根，所以有兩個不相等的實數(shù)根，令，則，當時，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，且；當時，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，且，當時，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，且，所以的極小值為，圖象大致如圖：若有兩個不相等的實數(shù)根，則，即，且，令，則，由，得，又，所以，所以，取對得，所以，設，則，所以在上單調(diào)遞減，則.又在區(qū)間上單調(diào)遞減，，，所以，即，所以實數(shù)的取值范圍為.【點睛】思路點睛：已知函數(shù)的零點或方程的根的情況，求解參數(shù)的取值范圍問題的本質(zhì)都是研究函數(shù)的零點問題，求解此類問題的一般步驟：（1）轉(zhuǎn)化，即通過構(gòu)造函數(shù)，把問題轉(zhuǎn)化成所構(gòu)造函數(shù)的零點問題；（2）列式，即根據(jù)函數(shù)的零點存在定理或結(jié)合函數(shù)的圖象列出關系式；（3）得解，即由列出的式子求出參數(shù)的取值范圍.15．(1)證明見解析(2)46.4【分析】（1）根據(jù)方差公式結(jié)合完全平方和公式變形證明即可；（2）先由分層抽樣方法求得男生和女生抽取人數(shù)，然后計算總體平均數(shù)，再代入（1）中的公式計算即可.【詳解】（1）證明：已知總體分為2層，通過分層隨機抽樣，各層抽取的樣本量、樣本平均數(shù)和樣本方差分別為：，，；，，.記總樣本的平均數(shù)為，樣本方差為，，由，得，所以.（2）設在男生、女生中分別抽取m名和n名，則，解得，，記抽取的總樣本的平均數(shù)為，根據(jù)按比例分配分層隨機抽樣總樣本平均數(shù)與各層樣本平均數(shù)的關系，可得：，所以，抽取的總樣本的平均數(shù)為166cm；男生樣本的平均數(shù)為，樣本方差為；女生樣本的平均數(shù)為，樣本方差為，記總樣本的樣本方差為，則，所以，估計高三年級全體學生的身高的方差為46.4.16．(1)證明見詳解(2)【分析】（1）由題意可得，，根據(jù)平行線性質(zhì)有，，即可證結(jié)論；（2）因為，以A為原點，建立如圖6所示的空間直角坐標系，利用面面夾角的向量法求解.【詳解】（1）因為，，，是等腰直角三角形，故，所以，又，所以，所以，，，四點共面．（2）因為，以A為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，，因為，則，，，，，所以，.設平面的法向量為，則有，化簡得，所以可取，，.設平面的法向量為，則有，化簡得，所以取，平面與平面的夾角即與夾角或其補角，所以，所以平面與平面夾角的余弦值為..17．(1)(2)詳見解析.【分析】（1）利用函數(shù)在點處的曲率的定義求解；（2）由曲率為0，得到，令，則有兩個解，設為，，，則，從而，設，化簡得到，，將問題，轉(zhuǎn)化為證.【詳解】（1）解：，，所以曲線在點處的曲率為（2）證明：由題意可得，，若曲率為0，則，即，即，令，則，得，所以在上，，單調(diào)遞增，且；在上，，單調(diào)遞減，且.又，所以有兩個解.設為，，，又，所以，可設，，所以，，，化簡可得，則.要證，即證，需要證，即證，令，，所以在上單調(diào)遞增，所以，得證．【點睛】思路點睛：由曲率為0，轉(zhuǎn)化為有兩個解，設，，，則，轉(zhuǎn)化為，設，，得到，，從而化簡得到，，將問題之和為而得證.18．(1)(2)過定點【分析】（1）根據(jù)橢圓的定義知點N的軌跡為橢圓，寫出方程；（2）根據(jù)題意得，設直線GH的方程為：，與橢圓方程聯(lián)立，利用換元法可求的值，從而找到定點坐標.【詳解】（1）因為點在：內(nèi)，所以圓N內(nèi)切于圓M，則，由橢圓定義知，圓心N的軌跡為橢圓，且，，則，，所以動圓圓心N的軌跡方程為．（2）由，則，設直線GH的方程為：，聯(lián)立橢圓的方程整理得兩邊同時除以，得令，整理得由已知：，解得：，所以直線GH的方程為：，即，所以直線GH恒過點.【點睛】關鍵點點睛：在第（2）問中，發(fā)現(xiàn)，設直線GH的方程為：，與橢圓方程聯(lián)立，得之后換元，利用韋達定理可求的值，從而找到定點坐標.19．(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)定義