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寧夏回族自治區(qū)銀川市2023-2024學(xué)年第二學(xué)期高一年級期中聯(lián)考考后提升卷數(shù)學(xué)模擬試題注意事項:本試卷共19題,滿分150分,考試時間為120分鐘。答案寫在答題卡上的指定位置??荚嚱Y(jié)束后,交回答題卡。第I卷一、選擇題:本大題共8小題,每小題5分,共40分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.下列命題中正確的是(
)A.零向量沒有方向 B.共線向量一定是相等向量C.若向量,同向,且,則 D.單位向量的模都相等【正確答案】D【分析】根據(jù)零向量,單位向量,相等向量的定義判斷即可.【詳解】對于A:模為的向量叫零向量,零向量的方向是任意的,故A錯誤;對于B:相等向量要求方向相同且模長相等,共線向量不一定是相等向量,故B錯誤;對于C:向量不可以比較大小,故C錯誤;對于D:單位向量的模為,都相等,故D正確.2.復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)的模是(
)A. B. C. D.【正確答案】B【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算及共軛復(fù)數(shù)的概念與求模公式計算即可.【詳解】由,所以.3.已知向量,滿足,則(
)A. B.C. D.【正確答案】C【分析】利用向量數(shù)量積的運算律結(jié)合條件即可求得的值.【詳解】因為,所以即4.已知圓錐的母線長為,為底面的圓心,其側(cè)面積等于,則該圓錐的體積為(
)A. B. C. D.【正確答案】C【分析】根據(jù)圓錐的側(cè)面積等于,可求得圓錐的底面圓半徑,再由體積公式求解即可.【詳解】設(shè)圓錐的底面圓半徑為,由母線長為2,側(cè)面積等于,得,解得,因此圓錐的高,所以該圓錐的體積為.5.已知中,內(nèi)角所對的邊分別為,若,則(
)A. B.或C. D.或【正確答案】D【分析】利用正弦定理求出,從而求出.【詳解】由正弦定理,得,解得,又,所以或.6.如圖,在棱長為1的正方體中,P,Q分別是,上的動點,則的周長的最小值為(
)A.2 B. C. D.【正確答案】C【分析】如圖,的周長為,根據(jù)余弦定理計算即可求解.【詳解】如圖,將以為旋轉(zhuǎn)軸,旋轉(zhuǎn)到與平面同一個平面,由,得,所以,又,所以的周長為,又,所以,在中,由余弦定理得,,即的周長的最小值為.7.在中,命題,命題,則P是Q的(
)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【正確答案】B【分析】根據(jù)三角恒等變換解命題P可得A,B,C必有一個為直角;根據(jù)平面向量的線性運算與垂直關(guān)系的向量表示解命題Q可得A為直角,結(jié)合充分、必要條件的定義即可求解.【詳解】命題P:由,及,得,∴,得,則,,必有一個為0,∴A,B,C必有一個為直角.命題Q:由得,即,得,即,∴A為直角,故P是Q的必要不充分條件.8.如圖,風(fēng)景秀美的寶湖公園有一顆高大的銀杏樹,某研究小組為測量樹的高度,在地面上選取了兩點,從兩點測得樹尖的仰角分別為和,且兩點間的距離為,則這顆銀杏樹的高度為().A. B. C. D.【正確答案】B【分析】在中,利用余弦定理求出,再利用直角三角形的邊角關(guān)系求解即得.【詳解】在中,,,由正弦定理得,則,在中,,因此,所以這顆銀杏樹的高度為.二、選擇題:本大題共3小題,每小題6分,共18分。在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求,全部選對的得6分,有選錯的得0分,若只有2個符合題意的選項,每選對一個得3分;若只有3個符合題意的選項,每選對一個得2分。9.下列說法錯誤的是(
)A.設(shè)則是純虛數(shù)的充要條件是B.復(fù)數(shù)與在復(fù)平面中對應(yīng)的點分別在軸上方和下方C.設(shè)復(fù)數(shù)與滿足,則D.若復(fù)數(shù)與滿足,則【正確答案】ABD【分析】A.由一個復(fù)數(shù)是純虛數(shù)的充要條件是實部為0且虛部不為0判斷;B.由實數(shù)與其共軛復(fù)數(shù)對應(yīng)的點都在實軸上判斷;C.由得到與都是實數(shù)判斷;D.分實數(shù)和虛數(shù)判斷.【詳解】解:一個復(fù)數(shù)是純虛數(shù)的充要條件是實部為0且虛部不為0,故A選項錯誤;實數(shù)與其共軛復(fù)數(shù)對應(yīng)的點都在實軸上,故B選項錯誤;說明與都是實數(shù),所以C正確;選項對實數(shù)成立,但對虛數(shù)未必成立.如但不成立.10.已知正八邊形的邊長為,是正八邊形邊上任意一點,則下列說法正確的是(
)A.在方向上的投影向量為B.C.若函數(shù),則函數(shù)的最大值為D.【正確答案】BD【分析】延長交于點,根據(jù)向量數(shù)量積的定義可判斷B;由投影向量的定義可判斷A;將用數(shù)量積化簡,結(jié)合二次函數(shù)判斷C;對于D,過點作直線的垂線,垂足為,可分析D.【詳解】對于B,延長交于點,正八邊形的內(nèi)角為,則外角為,即,所以,因此,,故B正確;對于A,由圖可知,,因此在方向上的投影向量即為,故A錯誤;對于C,由圖可知,,,所以由題意可知函數(shù),當(dāng)時,取得最小值,,故C錯誤;對于D,過點作直線的垂線,垂足為,因此,易知當(dāng)點在線段上時,取得最大值,當(dāng)點在線段上時,取得最小值,即,故D正確.關(guān)鍵點點睛:本題求數(shù)量積關(guān)鍵是進行轉(zhuǎn)化,結(jié)合平面幾何的知識求出的取值范圍.11.在四棱錐中,已知,,且,則(
)A.四棱錐的體積的取值范圍是B.的取值范圍是C.四棱錐的外接球的表面積的最小值為8πD.與平面所成角的正弦值可能為【正確答案】BC【分析】利用棱錐的體積公式計算可判定A,利用余弦定理可判定B,利用四棱錐與球的特征確定球半徑在平面時最小計算即可判定C,利用P的特殊情況分析線面角的范圍即可判定D.【詳解】由已知可得,四邊形ABCD是上底為1,下底為2,底角為60°的等腰梯形,所以,.對于A,當(dāng)平面時,四棱錐的高最大,則體積最大,所以最大體積為,故A錯誤;對于B,在中,,由題設(shè)易知,易知在以D為圓心且與垂直的圓面上(不在平面上),半徑為2,若在平面上時,當(dāng)與分別在直線的兩側(cè),此時最大,當(dāng)與分在線的同側(cè),此時最小,所以,用余弦定理可知,則其取值范圍是,故B正確;對于C,易知底面的外接圓圓心為的中點,而球心O必在過E且垂直于底面的直線上,設(shè)與底面夾角為,如下圖所示,P在底面的投影為G,則,過O作,設(shè),則有,即,則,當(dāng)且僅當(dāng)時取得最小值,此時,平面,即球心為中點,故外接球的表面積的最小值為,故C正確;對于D,設(shè)與平面所成角為,當(dāng)平面時,過B作,易知,計算可得,所以,當(dāng)P靠面時,θ趨向于0,所以存在某個P點,使得,故D錯誤.關(guān)鍵點點睛:抓住P點的軌跡即以D為圓心2為半徑的圓面,且始終垂直于來解決動點問題.第II卷三、填空題:本大題共3小題,每小題5分,共15分。12.已知復(fù)數(shù)滿足,則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于.【正確答案】第四象限【分析】利用復(fù)數(shù)除法求出復(fù)數(shù),再求出即可得解.【詳解】依題意,,所以在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第四象限.13.已知,是兩個不共線的向量,,,若與共線,則.【正確答案】/【分析】根據(jù)給定條件,利用共線向量定理求出即得.【詳解】由向量,不共線,得,由向量與共線,得,則,所以.14.如圖,一個水平放置的四邊形的斜二測畫法的直觀圖是邊長為2的正方形,則原四邊形的面積是.【正確答案】【分析】根據(jù)斜二測畫法規(guī)則求出,判斷四邊形的形狀,確定,由此求出面積.【詳解】在正方形中可得,由斜二測畫法可知,且,所以四邊形為平行四邊形,所以原四邊形的面積是,四、解答題:本大題共5小題,共77分。解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)已知夾角為,且,求:(1);(4分)(2);(4分)(3)與的夾角.(5分)【正確答案】(1)(2)12(3)【分析】(1)根據(jù)向量數(shù)量積的運算律和,可求(2)根據(jù)平面向量數(shù)量積的運算法則求值.(3)欲求向量的夾角,應(yīng)先求兩向量的數(shù)量積,再求兩向量的模,根據(jù)求夾角的余弦,再求夾角.【詳解】(1),所以.(4分)(2).(4分)(3)(2分)所以,所以.(3分;公式1分,結(jié)果1分)16.(本小題15分)如圖,在梯形中,,,,,過點作,以為軸旋轉(zhuǎn)一周得到一個旋轉(zhuǎn)體.(1)求此旋轉(zhuǎn)體的體積.(7分)(2)求此旋轉(zhuǎn)體的表面積.(8分)【正確答案】(1)(2)【分析】(1)旋轉(zhuǎn)后形成的幾何體為圓柱中挖去一個倒放的與圓柱等高的圓錐,由此能求出旋轉(zhuǎn)體的體積;(2)先求出圓柱的側(cè)面積、底面積,再求出圓錐的側(cè)面積、底面積和旋轉(zhuǎn)體上底面的面積,由此能求出結(jié)果.【詳解】(1)旋轉(zhuǎn)后形成的幾何體為圓柱中挖去一個倒放的與圓柱等高的圓錐,,(1分)所以小圓錐的半徑,(1分)圓柱的體積(2分)圓錐的體積(2分)旋轉(zhuǎn)體的體積;(1分)(2)圓柱的側(cè)面積(1分)圓錐的側(cè)面積(1分)圓柱的底面積,(1分)圓錐的底面積(1分)旋轉(zhuǎn)體上底面的面積(2分)旋轉(zhuǎn)體的表面積.(2分)17.(本小題15分)已知向量,.(1)當(dāng)k為何值時,與垂直?(7分)(2)若,,且三點共線,求的值.(8分)【正確答案】(1)(2)【分析】(1)利用平面向量垂直的坐標(biāo)表示求解即可.(2)利用平面向量共線的坐標(biāo)表示求解即可.【詳解】(1)易知,,(2分)若與垂直,則,解得,(3分)故當(dāng)時,與垂直.(2分)(2)若三點共線,則與共線,(2分)由題意得,,(2分)可得,解得,(3分)故的值為.(1分)18.(本小題15分)在中,已知,,,(1)求角(4分)(2)若角為銳角,求邊;(5分)(3)求.(6分)【正確答案】(1)或(2)(3)或【分析】(1)由正弦定理得,求出或,檢驗后得到答案;(2)求出,利用正弦和角公式求出,由正弦定理得到;(3)利用三角形面積公式得到答案.【詳解】(1)由正弦定理得,即,(2分)故,其中,解得或,經(jīng)檢驗,均滿足要求;(2分;經(jīng)檢驗1分,未寫扣分)(2)角為銳角,則,故,(1分)其中,(2分)由正弦定理得,即,(1分)解得;(1分)(3)當(dāng)時,由(2)知,(1分);(1分)當(dāng)時,(1分),(1分);(2分)綜上,或.(寫出不給分,未寫扣1分)19.(本小題17分)將所有平面向量組成的集合記作.如果對于向量,存在唯一的向量與之對應(yīng),其中坐標(biāo)由確定,則把這種對應(yīng)關(guān)系記為或者,簡記為.例如就是一種對應(yīng)關(guān)系.若在的條件下有最大值,則稱此最大值為對應(yīng)關(guān)系的模,并把的模記作;若存在非零向量及實數(shù)使得,則稱為的一個特征值.(1)如果,求;(4分)(2)如果,計算的特征值,并求相應(yīng)的;(6分)(3)若,要使有唯一的特征值,實數(shù)應(yīng)滿足什么條件?試找出一個對應(yīng)關(guān)系,同時滿足以下兩個條件:①有唯一的特征值,②,并驗證滿足這兩個條件.(7分)【正確答案】(1)(2),其中且(3),答案見解析【分析】(1)利用向量的坐標(biāo)運算可得,可求得,可求得.(2)利用向量相等的條件可得,進而可求得,進而可得其中且.(3)利用,可得,進而可得,進而可證明當(dāng)時,有唯一的特征值,且.【詳解】(1)由題意(1分),所以,當(dāng)時,,(2分)最大值也為2,所以.(1分)(2)由(1分),可得:,(2分)解此方程組可得:,解得.(1分)當(dāng)時,解方程組,此時這兩個方程是同一個方程,
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