高中數(shù)學(xué)第二章圓錐曲線與方程2.3.2.1拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)省公開課一等獎(jiǎng)新名師獲獎(jiǎng)?wù)n

2.3.2拋物線簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)第1課時(shí)拋物線簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)

1/532/53主題拋物線幾何性質(zhì)類比橢圓、雙曲線幾何性質(zhì)及其探究方法,你能否結(jié)合拋物線圖形,探索拋物線幾何性質(zhì)?3/53提醒:由如圖所表示拋物線圖形可見,開口向右拋物線頂點(diǎn)在原點(diǎn),以x軸為對(duì)稱軸且向右無限伸展;圖形改變趨勢(shì)比較平緩,且圖形上任一點(diǎn)到焦點(diǎn)距離與它到準(zhǔn)線距離相等.4/53結(jié)論:拋物線簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)圖象5/53標(biāo)準(zhǔn)方程y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)性質(zhì)范圍________________________________________對(duì)稱軸__軸__軸頂點(diǎn)_______焦點(diǎn)____________________x≥0,y∈Rx≤0,y∈Rx∈R,y≥0x∈R,y≤0xyO(0,0)6/53標(biāo)準(zhǔn)方程y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)準(zhǔn)線____________________離心率e=__17/53【微思索】1.在同一坐標(biāo)系中作出拋物線y2=4x,y2=2x,y2=x,y2=x圖形.觀察并回答拋物線開口大小由什么決定.提醒:作出圖形如圖所表示,依據(jù)圖形比較可知,開口大小由p決定,p越大,開口越開闊,p越小則開口越小.8/539/532.過拋物線y2=2px(p>0)焦點(diǎn)且垂直于對(duì)稱軸直線被拋物線截得線段長(zhǎng)度是多少?提醒:2p.10/53【預(yù)習(xí)自測(cè)】1.頂點(diǎn)在原點(diǎn),準(zhǔn)線方程為y=2拋物線方程為()A.y2=8x B.y2=-8xC.x2=8y D.x2=-8y11/53【解析】選D.因?yàn)闇?zhǔn)線為y=2,設(shè)拋物線方程為x2=-2py(p>0),且=2,p=4,所以拋物線方程為x2=-8y.12/532.若拋物線y=x2上一點(diǎn)P到焦點(diǎn)F距離為5,則P點(diǎn)坐標(biāo)為()A.(4,±4) B.(±4,4)C. D.13/53【解析】選B.因?yàn)閽佄锞€方程為y=x2,所以焦點(diǎn)為F(0,1),準(zhǔn)線為l:y=-1,設(shè)所求點(diǎn)坐標(biāo)為P(x,y),作PQ⊥l于Q.依據(jù)拋物線定義可知P到準(zhǔn)線距離等于PQ長(zhǎng)度,即y+1=5,即y=4,代入拋物線方程,求得x=±4,故點(diǎn)P坐標(biāo)為(±4,4).14/533.以x軸為對(duì)稱軸拋物線通徑(過焦點(diǎn)且與x軸垂直弦)長(zhǎng)為8,若拋物線頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),則其方程為()A.y2=8x B.y2=-8xC.y2=8x或y2=-8x D.x2=8y或x2=-8y15/53【解析】選C.設(shè)拋物線y2=2px或y2=-2px(p>0),p=4,可得拋物線方程.16/534.拋物線y2=ax上有一點(diǎn)P(3,m),它到焦點(diǎn)距離等于4,則a=________,m=________.【解析】由題意得,a>0且

所以

17/53答案:4±218/535.設(shè)拋物線y2=16x上一點(diǎn)P到對(duì)稱軸距離為12,則點(diǎn)P與焦點(diǎn)F距離|PF|=________.【解析】不妨設(shè)P(x,12),代入y2=16x得x=9,所以|PF|=x+=9+4=13.19/53答案:1320/536.已知拋物線關(guān)于y軸對(duì)稱,它頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),而且經(jīng)過點(diǎn)M(,-2),則它方程為________.【解析】因?yàn)閽佄锞€關(guān)于y軸對(duì)稱,它頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),而且經(jīng)過點(diǎn)M(,-2),所以可設(shè)它標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=-2py(p>0).21/53又因?yàn)辄c(diǎn)M在拋物線上,所以()2=-2p(-2),即p=.所以所求方程是x2=-y.答案:x2=-y22/53類型一拋物線性質(zhì)及其應(yīng)用【典例1】(1)(·全國(guó)卷Ⅱ)設(shè)F為拋物線C:y2=4x焦點(diǎn),曲線y=(k>0)與C交于點(diǎn)P,PF⊥x軸,則k=()A. B.1 C. D.223/53(2)已知點(diǎn)P(x,y)在拋物線y2=4x上,則z=x2+y2+4最小值為________.【解題指南】(1)P是兩條曲線交點(diǎn),先利用拋物線方程y2=4x求出交點(diǎn)坐標(biāo),再代入曲線方程y=.(2)將z表示為關(guān)于x二次函數(shù)求解,注意x取值范圍.24/53【解析】(1)選D.因?yàn)閽佄锞€方程是y2=4x,所以F(1,0).又因?yàn)镻F⊥x軸,所以P(1,2),把P點(diǎn)坐標(biāo)代入曲線方程y=(k>0),即=2,所以k=2.25/53(2)z=x2+y2+4=x2+2x+4=(x+1)2+3,因?yàn)閥2=4x≥0,所以x∈[0,+∞),所以當(dāng)x=0時(shí),zmin=4.答案:426/53【方法總結(jié)】拋物線各元素間關(guān)系拋物線焦點(diǎn)一直在對(duì)稱軸上,頂點(diǎn)就是拋物線與對(duì)稱軸交點(diǎn),準(zhǔn)線一直與對(duì)稱軸垂直,準(zhǔn)線與對(duì)稱軸交點(diǎn)和焦點(diǎn)關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱,頂點(diǎn)到焦點(diǎn)距離為.27/53【鞏固訓(xùn)練】(·孝感高二檢測(cè))在拋物線y2=16x上到頂點(diǎn)與到焦點(diǎn)距離相等點(diǎn)坐標(biāo)為()A.(4,±2) B.(±4,2)C.(±2,4) D.(2,±4)28/53【解析】選D.拋物線y2=16x頂點(diǎn)為O(0,0),焦點(diǎn)為F(4,0),設(shè)P(x,y)符合題意,則有所以符合題意點(diǎn)為(2,±4).29/53【賠償訓(xùn)練】(·長(zhǎng)沙高二檢測(cè))已知定點(diǎn)A(-3,0),B(3,0),動(dòng)點(diǎn)P在拋物線y2=2x上移動(dòng),則最小值等于________.30/53【解析】設(shè)P(x,y),因?yàn)锳(-3,0),B(3,0),則=(x+3,y)·(x-3,y)=x2+y2-9=x2+2x-9=(x+1)2-10(x≥0),所以當(dāng)x=0時(shí),()min=-9.答案:-931/53類型二依據(jù)拋物線性質(zhì)求方程【典例2】若拋物線焦點(diǎn)與橢圓一個(gè)焦點(diǎn)重合,則拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為____________.【解題指南】用待定系數(shù)法求方程,分類討論焦點(diǎn)位置.32/53【解析】由題意知橢圓焦點(diǎn)為(2,0),(-2,0),當(dāng)拋物線焦點(diǎn)為(2,0)時(shí),方程為y2=8x,當(dāng)拋物線焦點(diǎn)為(-2,0)時(shí),方程為y2=-8x,所以拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=8x或y2=-8x.33/53答案:y2=8x或y2=-8x34/53【方法總結(jié)】待定系數(shù)法求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程步驟(1)定位置:依據(jù)拋物線幾何性質(zhì)等條件確定焦點(diǎn)位置或開口方向.(2)設(shè)方程:依據(jù)確定焦點(diǎn)位置設(shè)出對(duì)應(yīng)方程,若未能確定則要分情況討論.35/53(3)列方程:利用準(zhǔn)線、焦點(diǎn)等條件列出關(guān)于p方程,確定p值.(4)寫出方程:依據(jù)求出p值,代入設(shè)出方程,確定拋物線方程.36/53【鞏固訓(xùn)練】設(shè)拋物線y2=mx(m≠0)準(zhǔn)線與直線x=1距離為3,求拋物線方程.【解析】當(dāng)m>0時(shí),由2p=m,得=,這時(shí)拋物線準(zhǔn)線方程是x=-.因?yàn)閽佄锞€準(zhǔn)線與直線x=1距離為3,37/53所以1-=3,解得m=8,這時(shí)拋物線方程是y2=8x.同理,當(dāng)m<0時(shí),拋物線方程是y2=-16x.38/53【賠償訓(xùn)練】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,有一定點(diǎn)A(2,1),若線段OA垂直平分線過拋物線y2=2px(p>0)焦點(diǎn),則該拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程是________.39/53【解析】線段OA垂直平分線為4x+2y-5=0,與x軸交點(diǎn)為,所以拋物線焦點(diǎn)為,所以其標(biāo)準(zhǔn)方程是y2=5x.答案:y2=5x40/53類型三焦點(diǎn)弦問題【典例3】(·九江高二檢測(cè))過拋物線y2=4x焦點(diǎn)F作直線交拋物線于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點(diǎn),假如x1+x2=7,求線段AB長(zhǎng).【解題指南】利用拋物線定義,把|AB|=|AF|+|BF|轉(zhuǎn)化為A,B兩點(diǎn)到準(zhǔn)線距離和來求解.41/53【解析】由拋物線方程得=1,所以依據(jù)拋物線定義可得|AB|=|AF|+|BF|=x1++x2+=x1+1+x2+1=7+2=9.42/53【延伸探究】1.本例中,若點(diǎn)A,B是傾斜角為60°直線與拋物線交點(diǎn),則|AB|等于多少?【解析】因?yàn)閽佄锞€焦點(diǎn)是(1,0),所以直線AB方程為y=(x-1),與拋物線方程聯(lián)立消去y得3x2-10x+3=0,所以x1+x2=,從而|AB|=x1+x2+p=+2=.43/532.本例中,證實(shí)以線段AB為直徑圓與拋物線準(zhǔn)線相切,該結(jié)論能否推廣到任意拋物線方程y2=2px?【解析】因?yàn)榫€段AB中點(diǎn)橫坐標(biāo)為,所以以AB為直徑圓圓心到準(zhǔn)線x=-1距離為,而AB長(zhǎng)度為9,所以以AB為直徑圓半徑為,故該圓與準(zhǔn)線相切.該結(jié)論能夠推廣,證實(shí)以下:44/53設(shè)拋物線方程y2=2px過焦點(diǎn)弦為AB,中點(diǎn)為M,準(zhǔn)線為l,A1,B1分別為A,B在準(zhǔn)線l上射影,則|AA1|=|AF|,|BB1|=|BF|,于是M到l距離d=(|AA1|+|BB1|)=(|AF|+|BF|)=|AB|=半徑,故相切.45/53【方法總結(jié)】拋物線焦點(diǎn)弦問題解法(1)因?yàn)閽佄锞€焦點(diǎn)弦過焦點(diǎn),所以與焦點(diǎn)弦相關(guān)問題要注意結(jié)合拋物線定義求解.(2)焦點(diǎn)弦相關(guān)問題要把過焦點(diǎn)直線方程與拋物線方程聯(lián)立,再結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系求解.46/53(3)求焦點(diǎn)弦長(zhǎng)度能夠利用兩點(diǎn)間距離公式,也能夠利用弦長(zhǎng)公式,但因?yàn)橄疫^焦點(diǎn),結(jié)合拋物線定義得出焦點(diǎn)弦長(zhǎng).以拋物線y2=2px(p>0)為例,過拋物線焦點(diǎn)F,作直線交拋物線于A(x1,y1),B(x2,y2),則焦點(diǎn)弦長(zhǎng)為x1+x2+p,同時(shí)由弦長(zhǎng)x1+x2+p≥2+p=2p,當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2時(shí),取“=”知,通徑是全部弦中最短弦.47/53【拓展延伸】1.拋物線焦點(diǎn)弦常見結(jié)論(1)若AB是拋物線y2=2px(p>0)焦點(diǎn)弦(過焦點(diǎn)弦),且A(x1,y1),B(x2,y2),則x1x2=,y1y2=-p2.(2)若AB是拋物線y2=2px(p>0)焦點(diǎn)弦,且直線AB傾斜角為α,則|AB|=(α≠0).48/532.焦點(diǎn)弦公式拋物線y2=2px(p>0),|AB|=p+(x1+x2);拋物線y2=-2px(p>0),|AB|=p-(x1+x2);拋物線x2=2py(p>0),|AB|=p+(y1+y2);拋物線x2=-2py(p>0),|AB|=p-(y1+y2).49/53【賠償訓(xùn)練】設(shè)拋物線y2=8x焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l,P為拋物線上一點(diǎn),PA⊥l,A為垂足,假如直線AF斜率為-,那么|PF|=()A.4B.8C