高中數學導數及其應用典型例題專題練習40題(詳解版)

試卷第=page2020頁，總=sectionpages4444頁試卷第=page1919頁，總=sectionpages4444頁高中數學導數及其應用典型例題專題練習40題（詳解版)一、單選題1．函數的單調遞增區(qū)間是（）A． B． C．(1,4) D．(0,3)【答案】B【解析】【分析】求出函數的導數，在解出不等式可得出所求函數的單調遞增區(qū)間.【詳解】，，解不等式，解得，因此，函數的單調遞增區(qū)間是，故選B.【點睛】本題考查函數單調區(qū)間的求解，一般是先求出導數，然后解出導數不等式，將解集與定義域取交集得出單調區(qū)間，但單調區(qū)間不能合并，考查計算能力，屬于中等題.2．若函數在上為增函數，則的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】轉化為，即對恒成立，繼而得解.【詳解】由題意函數在上為增函數,可知，即對恒成立，所以．故選：C【點睛】本題考查了導數在函數單調性中的應用，考查了學生綜合分析，數學運算的能力，屬于中檔題.3．設、是上的可導函數，、分別為、的導函數，且滿足，則當時，有（）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】構造函數，利用導數判斷出函數的單調性，結合可得出結論.【詳解】構造函數，則，所以，函數為減函數，，，即，故選：A.【點睛】本題考查利用構造函數法比較函數值的大小關系，利用導數不等式的結構構造新函數是解答的關鍵，考查推理能力，屬于中等題.4．函數的導函數的圖象如圖所示，則的圖象可能是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】根據函數的單調性與導數符號的關系判斷即可.【詳解】根據導函數為正，則原函數遞增，導函數為負，則原函數遞減，導函數從左到右的符號依次為負、正、負、正，則原函數的單調性從左到右依次為減、增、減、增，且在附近單調遞增，通過對比可知，D中的圖象正確.故選：D.【點睛】本題考查利用導數的圖象判斷原函數的圖象，一般利用導數符號與原函數單調性之間的關系來判斷，考查推理能力，屬于中等題.5．對于函數，將滿足的實數稱為的不動點.若函數（且）有且僅有一個不動點，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】令，可得，利用換底公式得出，進而得出，由題意得出函數與函數的圖象有且只有一個公共點，利用導數研究函數的單調性與極值，利用數形結合思想可得出實數的取值范圍.【詳解】函數有且僅有一個不動點，則方程僅有一個根.由可得，即，設，其中.則，令，得，列表如下：極大值所以，函數的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為，所以，函數的極大值為，且當時，.函數的圖象如圖所示，所以或，即或.故選：C.【點睛】本題考查函數新定義“不動點”問題的求解，將問題轉化為函數的零點個數，并利用參變量分離法求解是解答的關鍵，在作函數的圖象時，可利用導數分析函數的單調性與極值，考查數形結合思想的應用，屬于中等題.6．已知函數的導函數為，在上滿足，則下列一定成立的是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】構造函數，利用導數判斷函數在上的單調性，可得出和的大小關系，由此可得出結論.【詳解】令，則.由已知得，當時，.故函數在上是增函數，所以，即，所以.故選：A.【點睛】本題考查利用構造函數法得出不等式的大小關系，根據導數不等式的結構構造新函數是解答的關鍵，考查推理能力，屬于中等題.7．設曲線f(x)=ex+2x(e為自然對數的底數)上任意一點處的切線為l1，總存在曲線g(x)=-ax+sinx上某點處的切線l2，使得A．[-1,2] B．(-1,2) C．【答案】D【解析】【分析】求得f(x)的導數，設(x1,y1)為f(x)上的任一點，可得切線的斜率k1，求得g(x)的導數，設g(x)圖象上一點(x2,y2)可得切線l2的斜率為k2，運用兩直線垂直的條件：斜率之積為-1【詳解】f(x)=ex+2x的導數為f'(x)=ex+2，設(x1,y1)為f(x)上的任一點，則過(x1,y1)由l1⊥l2，可得任意的x1∈R，總存在x2∈R使等式成立,則有y1=-a+由B?A，即(-12,0)?[-a-1，-a+1]解得：[-12,1]【點睛】本題考查導數的運用：求切線的斜率，考查兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，考查任意存在性問題的解法，注意運用轉化思想和值域的包含關系，考查運算能力，屬于中檔題．8．若不等式有且僅有兩個正整數解，則實數的取值范圍為（）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】不等式有且僅有兩個正整數解等價于有且僅有兩個正整數解，令，，則問題轉化為函數的圖像有兩個交點?！驹斀狻坑深}得，，∴不等式有且僅有兩個正整數解等價于有且僅有兩個正整數解.記，∴函數的圖象是過定點的直線.又記，∴，令，∴當時，，單調遞增；當時，，單調遞減，如圖所示，要使有且僅有兩個正整數解，數形結合可知，只需滿足，即.故選A.【點睛】含參的不等式可轉化為函數問題，解本題的關鍵是能構造函數，利用導函數解決，屬于難題。9．已知函數，曲線上總存在兩點使曲線在兩點處的切線互相平行，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根據在兩點處的切線互相平行，得到，從而得到，再設，利用導數求出其最大值，從而得到答案.【詳解】函數，可得曲線在兩點處的切線互相平行，所以即，（，故等號取不到）即恒成立，設，當時，，單調遞增；當時，，單調遞減；所以時，取最大值，為所以，即，故選D項.【點睛】本題考查導數的幾何意義，利用導數研究函數的最值，解決恒成立問題，屬于難題.10．已知與軸有3個交點，，且在，時取極值，則的值為（）A．4 B．5 C．6 D．不確定【答案】C【解析】【分析】先確定，由韋達定理可求，再求導函數，由，是的根，結合方程的根與系數關系即可得出結論．【詳解】，，，又，，是兩根，且．由韋達定理，，且在，時取得極值，，．故選：C．【點睛】本題考查利用導數研究函數的極值、韋達定理的應用，考查函數與方程思想、轉化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運算求解能力．11．一質點按規(guī)律運動，則其在時間段內的平均速度為（），在時的瞬時速度為（）.A．12，3 B．10，5 C．14，6 D．16，6【答案】C【解析】【分析】根據題意，由變化率公式可得在時間段內的平均速度為，計算可得答案，求出函數的導數，進而可得的值，由瞬時變化率公式計算可得答案．【詳解】根據題意，一質點按規(guī)律運動，則其在時間段內的平均速度為，其導數，則，則在時的瞬時速度為故選：C．【點睛】本題考查變化率的計算，關鍵是掌握變化率與瞬時變化率的定義，屬于基礎題．12．下列求導結果正確的是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】按照基本初等函數的求導法則，求出、、、選項中正確的結果即可．【詳解】對于A，，故A錯誤；對于B，，故B錯誤；對于C，，故C錯誤；對于D，，故D正確．故選：D．【點睛】本題考查基本初等函數求導問題，解題時應按照基本初等函數的求導法則進行計算，求出正確的導數即可．13．已知函數（為自然對數的底數），若在上有解，則實數的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】由得出，求出函數在區(qū)間上的最小值，即可得出實數的取值范圍.【詳解】由，即，得，令，其中，，令，得，列表如下：極小值所以，函數的單調遞減區(qū)間為，單調遞增區(qū)間為，所以，函數的最小值為，.因此，實數的取值范圍是.故選：C.【點睛】本題考查利用導數求解函數不等式能成立問題，利用參變量分離法轉化為函數的最值是一種常見的解法，考查化歸與轉化思想的應用，屬于中等題.14．已知函數在是單調增函數，則的取值范圍是（）A． B．或 C． D．或【答案】C【解析】【分析】由題意得出對任意的恒成立，利用參變量分離法得出，即可得出實數的取值范圍.【詳解】，，由題意知，對任意的恒成立，即對任意的恒成立，.故選：C.【點睛】本題考查利用函數在區(qū)間上的單調性求參數，一般轉化為導數不等式在區(qū)間上恒成立，并借助參變量分離法求解，考查運算求解能力，屬于基礎題.15．函數，則（）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】求出導數，然后代值計算可得出的值.【詳解】，，因此，.故選：A.【點睛】本題考查導數的計算，考查計算能力，屬于基礎題.二、解答題16．已知函數，定義在上的函數的導函數，其中．（1）求證：；（2）求函數的單調區(qū)間．【答案】（1）證明見解析（2）增區(qū)間為，減區(qū)間為【解析】【分析】（1）轉化為，利用導數分析的單調性，求解最小值即可；（2）分，討論，的正負，得到函數的單調區(qū)間.【詳解】（1）證明：的定義域為，①當時，，所以，②因為當時，，所以在上單調遞增，所以當時，，綜上，成立.（2）解：①若，則當時，，所以由，得，即；由，得，即，所以的增區(qū)間為，減區(qū)間為②若，則，由（1）知，即，所以由，得或，由，得，所以的增區(qū)間為，減區(qū)間為【點睛】本題考查了函數與導數的綜合應用，考查了學生綜合分析，轉化劃歸，數學運算的能力，屬于中檔題.17．已知函數.（1）若時，求函數在點處的切線方程；（2）若函數在時取得極值，當時，求使得恒成立的實數的取值范圍；（3）若函數在區(qū)間上單調遞減，求實數的取值范圍.【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）根據函數在某點處導數的幾何意義，可得切弦的斜率，利用點斜式可得結果.（2）根據，可得，然后利用導數判斷函數在的單調性，并根據的最值與的關系，可得結果.（3）采用等價轉化的思想，可得在恒成立，并使用分離參數，構建新函數，根據的最值與的大小關系，可得結果.【詳解】（1）時，，，，，故切線方程是：，即；（2），，解得：，∴，，令，解得：或，令，解得：，∴在遞增，在遞減，∴的最小值是或，而，，∴；（3）若函數在區(qū)間上單調遞減，則在恒成立，即在恒成立，令，，在恒成立，∴在遞減，，∴.【點睛】本題考查導數的綜合應用，難點在于構建新函數以及分離參數，達到化繁為簡，學會構建新函數，使目標更加明確，屬基礎題.18．已知函數．（1）求在上的單調區(qū)間；（2）若函數在上只有一個零點，求的取值范圍．【答案】（1）單減區(qū)間：，單增區(qū)間：（2）【解析】【分析】（1）先求函數的定義域，然后對函數求導，令導數等于0，得到，通過導函數的正負，得到函數的單調性；（2）令，根據函數在上只有一個零點，得到，即得a的取值范圍.【詳解】（1）的定義域為，令令，故的單增區(qū)間為；令，或，故的單減區(qū)間為.（2）由，由（1）的單增區(qū)間為，單減區(qū)間為且結合圖像，所以.【點睛】本題考查了函數與導數綜合，考查了學生綜合分析，轉化與劃歸，數學運算的能力，屬于中檔題.19．已知函數．（Ⅰ）當時，求函數在上的單調區(qū)間；（Ⅱ）求證：當時，函數既有極大值又有極小值．【答案】（1）單調遞增區(qū)間是，，單調遞減區(qū)間是；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）求出導函數，解二次不等式即可得到單調區(qū)間；（2）當時，對x分類討論，結合極值概念，即可得到結果.【詳解】（1）當時，所以，令得，或.當變化時，的變化情況如下表：所以在上的單調遞增區(qū)間是，，單調遞減區(qū)間是.(2)當時，若，則，所以因為，所以若，則，所以令，所以有兩個不相等的實根，且不妨設，所以當變化時，的變化情況如下表：因為函數圖象是連續(xù)不斷的，所以當時，即存在極大值又有極小值.【點睛】本題主要考查了利用導數的符號變化判斷函數的單調性及判斷函數的極值問題，此類問題由于含有參數，常涉及到分類討論的思想，還體現了方程與函數相互轉化的思想．20．已知函數，曲線在處的切線與軸平行.（1）求實數的值；（2）設，求在區(qū)間上的最大值和最小值.【答案】（1）；（2）最大值為，最小值為.【解析】【分析】（1）求出導數，由可求出實數的值；（2）利用函數的導數，判斷函數的單調性，求出函數的極值以及端點的函數值，比較大小后可得出該函數的最值．【詳解】（1），，由于曲線在處的切線與軸平行，則，解得；（2）由（1）可得，該函數的定義域為，，令，可得.當時，，，此時；當時，，，此時.所以，函數在上單調遞增，在上單調遞減.，，當時，.，，令，則，所以，函數在時單調遞增，即，則，因此，函數在區(qū)間上的最大值為，最小值為.【點睛】本題考查函數的導數的應用，利用切線斜率求參數以及函數的最值的求法，考查轉化思想的應用，是難題．21．已知函數.（1）若，求曲線在點處的切線方程；（2）當時，討論函數的單調區(qū)間.【答案】（1）；（2）見解析.【解析】【分析】（1）根據題意，由即可得函數的解析式，進而求出函數的導數，據此計算可得與的值，由導數的幾何意義分析可得切線的方程，變形即可得答案；（2）根據題意，求出函數的導數，對的值進行分情況討論，分析函數的單調性，綜合即可得答案．【詳解】（1）若，，導函數為，則，.則所求切線方程為，即；（2）當時，，令，可得或.①當時，即當.令，可得或；令，可得.此時，函數的單調遞增區(qū)間為和，單調遞減區(qū)間為；②當時，即當時，對任意的，，此時，函數的單調遞增區(qū)間為，無單調遞減區(qū)間；③當時，即當時.令，可得或；令，可得.此時，函數的單調遞增區(qū)間為和，單調遞減區(qū)間為.綜上所述，當時，函數的單調遞增區(qū)間為和，單調遞減區(qū)間為；當時，函數的單調遞增區(qū)間為，無單調遞減區(qū)間；當時，函數的單調遞增區(qū)間為和，單調遞減區(qū)間為.【點睛】本題考查利用導數分析函數的單調性以及計算切線的方程，注意函數的定義域以及對的范圍進行討論．22．已知函數，向量，，函數.（Ⅰ）求的極值；（Ⅱ）判斷在區(qū)間內的零點個數.【答案】（Ⅰ）極小值為，沒有極大值；（Ⅱ）在區(qū)間內有一個零點.【解析】【分析】（Ⅰ）利用導數研究函數的單調性，由此可求出函數的極值；（Ⅱ）求出函數的解析式，利用導數判斷函數在區(qū)間上的單調性，結合零點存在定理即可判斷出函數在區(qū)間上的零點個數.【詳解】（Ⅰ）函數的定義域為，，令，則，令，得，由，得，由，得，所以，函數在上單調遞減，在上單調遞增.所以，于是，由得，由得，所以，函數在上遞減，在上遞增.所以，函數的極小值為，沒有極大值；（Ⅱ）.，當時，，，所以，，所以，所以，函數在上單調遞增又因為，，因此，函數在區(qū)間內有一個零點.【點睛】本題考查利用導數求函數的極值，同時也考查了利用導數判斷函數的零點個數，一般利用導數研究函數的單調性與極值，結合零存在定理求解，考查推理能力，屬于中等題.23．設f（x）＝xex﹣ax2﹣2ax．（Ⅰ）若y＝f（x）的圖象在x＝﹣1處的切線經過坐標原點，求a的值；（Ⅱ）若f（x）存在極大值，且極大值小于0，求a的取值范圍．【答案】（Ⅰ）a；（Ⅱ）（0，）∪（，）．【解析】【分析】（Ⅰ）求f'（x）得到切線斜率，結合直線過原點，即得解;（Ⅱ）分a≤0，a＞0兩種情況分析導數極值，得到f（ln2a）是極大值，由極大值小于0，求a的取值范圍.【詳解】（Ⅰ）f'（x）＝ex+xex﹣2ax﹣2a＝（x+1）（ex﹣2a），f'（﹣1）＝0，f（﹣1）a，所以由題意得：0，∴a；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，當2a≤0時，即a≤0時，ex﹣2a≥0，∴x＜﹣1，f'（x）＜0，f（x）單調遞減，x＞﹣1，f'（x）＞0，f（x）單調遞增，所以f（x）有極小值，無極大值；當a＞0，f'（x）＝0，x＝﹣1或x＝ln2a，當ln2a＞﹣1時，即a，∴x∈（﹣∞，﹣1）和（ln2a，+∞），f'（x）＞0，f（x）單調遞增，當﹣1＜x＜ln2a時，f'（x）＜0，f（x）單調遞減，所以f（﹣1）為極大值，且f（﹣1）a，由題意得：f（﹣1）＜0，∴；當ln2a＜﹣1時，即0＜a，∴x∈（﹣∞，ln2a）和（﹣1，+∞），f'（x）＞0，f（x）單調遞增，x∈（ln2a，﹣1），f'（x）＜0，f（x）單調遞減，所以f（ln2a）是極大值，且f（ln2a）＝2aln2a﹣aln22a﹣2aln2a＝﹣aln22a＜0恒成立；當ln2a＝﹣1時，即a，f'（x）＝（x+1）2≥0恒成立，f（x）單調遞增，無極值，舍去；綜上所述：符合條件的a的取值范圍：（0，）∪（，）．【點睛】本題考查了函數與導數綜合，考查了學生綜合分析，轉化劃歸，分類討論的能力，屬于較難題.24．已知函數，其中a為非零常數．討論的極值點個數，并說明理由；若，證明：在區(qū)間內有且僅有1個零點；設為的極值點，為的零點且，求證：．【答案】（1）見解析；（2）（i）證明見解析；（ii）證明見解析.【解析】【分析】先對函數求導，然后結合導數與單調性的關系，對a進行分類討論即可求解函數的單調性，進而可確定極值，轉化為證明只有一個零點，結合函數與導數知識可證；由題意可得，，代入可得，，結合函數的性質可證．【詳解】解：解：由已知，的定義域為，，①當時，，從而，所以在內單調遞減，無極值點；②當時，令，則由于在上單調遞減，，，所以存在唯一的，使得，所以當時，，即；當時，，即，所以當時，在上有且僅有一個極值點.綜上所述，當時，函數無極值點；當時，函數只有一個極值點；證明：由知．令，由得，所以在內有唯一解，從而在內有唯一解，不妨設為，則在上單調遞增，在上單調遞減，所以是的唯一極值點．令，則當時，，故在內單調遞減，從而當時，，所以．從而當時，，且又因為，故在內有唯一的零點．由題意，即，從而，即．因為當時，，又，故，即，兩邊取對數，得，于是，整理得．【點睛】本題考查利用導數研究函數的極值問題，體現了轉化的思想方法，還綜合考查了函數與導數的綜合應用，屬于難題．25．已知設函數.（1）若，求極值；（2）證明：當，時，函數在上存在零點.【答案】（1）取得極大值0，無極小值（2）見證明【解析】【分析】（1）通過求導得到，求出的根，列表求出的單調區(qū)間和極值.（2）對進行分類，當時，通過對求導，得到在單調遞減，找到其零點，進而得到的單調性，找到，，可證在上存在零點.當時，根據（1）得到的結論，對進行放縮，得到，再由，可證在上存在零點.【詳解】（1）當時，，定義域為，由得．當變化時，，的變化情況如下表：極大值故當時，取得極大值，無極小值．（2），．當時，因為，所以，在單調遞減．因為，，所以有且僅有一個，使，當時，，當時，，所以在單調遞增，在單調遞減．所以，而，所以在存在零點．當時，由（1）得，于是，所以．所以．于是．因為，所以所以在存在零點．綜上，當，時，函數在上存在零點．【點睛】本題考查利用導數求函數的極值，通過對導函數求導，得到導函數的單調性來判斷其正負，得到原函數的增減，再由零點存在定理證明函數存在零點，題目涉及知識點較多，綜合程度高，屬于難題.26．對于定義在上的函數，若函數滿足：①在區(qū)間上單調遞減；②存在常數p，使其值域為，則稱函數為的“漸近函數”；（1）證明：函數是函數的漸近函數，并求此時實數p的值；（2）若函數，證明：當時，不是的漸近函數.【答案】（1）證明見解析，；（2）證明見解析；【解析】【分析】（1）通過令，利用“漸近函數”的定義逐條驗證即可；（2）通過記，結合“漸近函數”的定義可知，問題轉化為求時，的最大值問題，進而計算可得的范圍，從而證明結論.【詳解】（1）根據題意，令，則，所以，所以在區(qū)間上單調遞減，且，所以，于是函數是函數，的漸近函數，此時實數.（2）即，，假設函數，的漸近函數是，則當時，，即，令函數，，則，當時，，當時，，在區(qū)間上單調遞增，且所以，所以，所以當時，不是的漸近函數.【點睛】本題考查新定義函數的理解與應用，利用導數求函數的單調性，屬于中檔題.27．設函數.（1）求的單調區(qū)間；（2）設函數，若當時，恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）在上是增函數，在上是減函數；（2）【解析】【分析】（1）求出定義域、，分，兩種情況進行討論，通過解不等式，可得單調區(qū)間；（2）令，則，則問題轉化為當時，恒成立，進而轉化求函數的最大值問題．求導數，根據極值點與區(qū)間的關系進行討論可求得函數的最大值；【詳解】（1）解：因為，其中.所以，當時，，所以在上是增函數.當時，令，得，所以在上是增函數，在上是減函數.（2）令，則，根據題意，當時，恒成立.所以，①當時，時，恒成立.所以在上是增函數，且時，，所以當時，不會恒成立，故不符題意.②當時，時，恒成立.所以在上是增函數，且，時，，所以當時，不會恒成立，故不符題意.③當時，時，恒有，故在上是減函數，于是“對任意都成立”的充要條件是，即，解得，故.綜上所述，的取值范圍是.【點睛】本題考查利用導數研究函數的單調性、函數的最值，考查恒成立問題，考查分類討論思想，考查學生綜合運用知識解決問題的能力．28．已知函數的圖象過點，且在點處的切線與直線平行.（1）求實數，的值；（2）若對任意的，函數在區(qū)間上總不是單調函數，求實數的取值范圍.【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）由的圖象經過可得，求得的導數，可得切線的斜率，由條件可得的方程，解得，即可得到；（2）求出函數的導數，結合函數零點存在定理，問題轉化為，根據函數的單調性求出的范圍即可．【詳解】（1）因為函數的圖象過點，所以，所以，即.因為函數在點處的切線與直線平行，所以，所以，所以，解得，從而.（2）由（1）知，，因為，所以，所以，令，則，此時.所以有兩個不等的實根，，因為，所以方程有一正一負的兩個實根.又，，又在上總不單調，所以在上只有一個正實根，所以，所以，所以，因為，所以.令，易知在上單調遞減，所以，所以，解得，所以實數的取值范圍為.【點睛】本題考查導數的運用、求切線的斜率和單調性、函數零點存在定理、分離參數法，考查化簡整理的運算求解能力、推理能力，屬于中檔題．29．已知命題：方程表示焦點在軸上的橢圓；命題：函數在單調遞減，若命題與命題都為假命題，求：實數的取值范圍.【答案】【解析】【分析】由已知可得命題、的真假，再根據兩個簡單命題的真假得的取值范圍.【詳解】若真，則，解得：；若真，則在恒成立，∴；若命題與命題都為假命題，可知真，假；∴實數的取值范圍為.故答案為：.【點睛】本題考查橢圓的標準方程、復合命題的真假判斷，考查函數與方程思想、轉化與化歸思想、，考查邏輯推理能力和運算求解能力，求解時注意、非，的真假判斷.30．已知函數,．(1)求函數的極值；(2)對,不等式都成立,求整數k的最大值；【答案】(1)極小值為無極大值；(2)3.【解析】【分析】求出函數的單調區(qū)間,然后求解函數的極值，問題轉化為在上恒成立,令,,再求導,分類討論,利用導數求出函數的最值,即可求出k的值．【詳解】解：,，，當時,，函數單調遞減,當時,，函數單調遞增,當時,取得極小值,極小值為無極大值．，,不等式都成立,在上恒成立,即在上恒成立,令,,,當時,即時,在上恒成立,在上單調遞增,,,此時整數k的最大值為2,當時,令,解得,當時,,函數單調遞減,當時,,函數單調遞增,,由,令,在上恒成立,在上單調遞減,又，,存在使得,故此時整數k的最大值為3,綜上所述整數k的最大值3．【點睛】本題考查函數的導數的應用,函數的單調性以及函數的極值,構造法的應用,考查轉化思想以及計算能力．31．已知函數．（1）若函數在點處的切線平行于直線，求切點的坐標及此切線方程；（2）求證：當時，；（其中）（3）確定非負實數的取值范圍，使得，成立．【答案】（1）點，切線方程為；（2）見解析；（3）見解析【解析】【分析】（1）根據函數在某點導數的幾何意義，可得切線的斜率以及點，然后可得結果.（2）構建新的函數，通過導數判斷新函數的單調性，并計算新函數的最值，可得結果.（3）構建函數，采用分類討論與，并利用導數判斷函數的單調性，可得結果.【詳解】（1）由，則由題可知：所以切線方程為，點（2）當時，則在恒成立即在恒成立令所以令或（舍）當時，當時，所以可知在遞增，在遞減且，所以在中，故可知所以當時，（3）由，成立則在恒成立令則當時，，則在單調遞增，所以所以，成立當時，令，則或（舍）若時，當時，所以在遞減，在遞增，又，所以，所以，不成立綜上所述：【點睛】本題主要考查利用導數比較函數式子大小，同時考查了函數在某點處導數的幾何意義，本題難點在于對參數的討論以及構建函數，重點把握對函數單調性的判斷，屬中檔題.32．已知函數.（1）當時，求函數的單調區(qū)間；（2）若對于都有成立，試求的取值范圍.【答案】（1）單調增區(qū)間是，單調減區(qū)間是；（2）.【解析】【分析】（1）將代入函數的解析式，求出導數，分別解不等式和可分別得出函數的單調增區(qū)間和減區(qū)間；（2）由題意可得出，利用導數求出函數在上的最小值，可得出關于實數的不等式，解出即可.【詳解】（1）當時，，定義域為，.解不等式，得；解不等式，得.所以，函數的單調增區(qū)間是，單調減區(qū)間是；（2），，.令，得；令，得.所以，函數在處取得最小值，即，由，得，即，則，解得.因此，實數的取值范圍是.【點睛】本題考查利用導數求函數的單調區(qū)間，同時也考查了利用導數求解函數不等式恒成立問題，一般轉化為與函數最值相關的不等式來求解，考查運算求解能力，屬于中等題.三、填空題33．已知P是曲線上的點，Q是曲線上的點，曲線與曲線關于直線對稱，M為線段PQ的中點，O為坐標原點，則的最小值為________．【答案】【解析】【分析】畫出函數及其關于對稱的曲線的簡圖，根據圖像，分別過P，Q作的平行線，如圖虛線，由于中點在圖中兩條虛線的中間線上，要中點到原點的距離最小需要左邊最近，右邊最遠，因此當兩條虛線是如圖所示曲線的切線時，此時切點分別是P，Q，此時P，Q的中點M到原點O的距離最小，利用相切求得切點坐標，即得解．【詳解】,函數在單調遞增，單調遞減.它的圖像及關于直線對稱的圖像如圖所示：分別過P，Q作的平行線，如圖虛線，由于中點在圖中兩條虛線的中間線上，要中點到原點的距離最小需要左邊最近，右邊最遠，因此當兩條虛線是如圖所示曲線的切線時，此時切點分別是P，Q，此時P，Q的中點M到原點O的距離最小.令，又P在y軸右側，；根據兩條曲線的對稱性，且P，Q處的切線斜率相等，點Q為點關于對稱的點，可求得因此PQ中點坐標為：故答案為：【點睛】本題考查了函數綜合，考查了函數的對稱性，單調性綜合應用，考查了學生轉化劃歸，數形結合的能力，屬于難題．34．已知函數，若是函數的極小值點，則實數的值為________.【答案】【解析】【分析】求出函數的導數，由題意得出，求出實數的值，并驗證為函數的極小值點，綜合即可得出實數的值.【詳解】，定義域為，且，由題意得，解得，此時，.令，得或，列表如下：極大值極小值所以，函數在處取得極小值.故答案為：.【點睛】本題考查利用函數的極值點求參數，對于可導函數而言，導函數在極值點處的函數值為零，同